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湖南省邵阳市2026届高三数学一轮复习综合强化训练练习试卷（一）
学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________
一、单选题（本大题共8小题，共40分）
1．[5分]已知，则在复平面内，复数对应的点位于（ ）
A．实轴上 B．虚轴上
C．直线上 D．直线上
2．[5分]设、是非空集合，定义且，若，，则等于
A． B．
C． D．
3．[5分]若直线经过圆的圆心，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
4．[5分]在中，角所对的边分别为，已知，点在所在的平面内，满足，且，则（ ）
A．有最大值 B．有最小值
C．有最大值 D．有最小值
5．[5分]已知均为锐角，，则（ ）
A． B． C． D．
6．[5分]学校举办运动会，高一（7）班共有30名同学参加游泳、田径和球类比赛，其中有13人参加游泳比赛，有12人参加田径比赛，有16人参加球类比赛，同时参加游泳比赛和田径比赛的有3人，同时参加游泳比赛和球类比赛的有5人，同时参加田径比赛和球类比赛的有4人，则同时参加这三项比赛的人数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
7．[5分]已知是常数，幂函数的图象经过原点，则（ ）
A． B． C．3 D．9
8．[5分]已知点，且点在直线上，则下列说法错误的是（ ）
A．存在点，使得
B．存在点，使得
C．（为坐标原点）的最小值为
D．的最小值为3
二、多选题（本大题共3小题，共15分）
9．[5分]下列说法正确的是（ ）
A．若，则异面直线与所成角的余弦值为
B．若平面与平面的法向量分别为，则
C．为所在平面外一点，若，则点平面且在内部
D．若是空间的一个基底，则也是空间的一个基底
10．[5分]下列说法正确的是（ ）
A．为偶函数 B．
C．若，则 D．的最大值为5
11．[5分]在圆锥中，已知高，底面圆的半径为为母线的中点，根据圆锥曲线的定义，下列四个图中的截面边界曲线分别为圆 椭圆 双曲线及抛物线，下面四个结论正确的有（ ）

A．圆的面积为
B．椭圆的长轴长为
C．双曲线两渐近线的夹角正切值为
D．抛物线的焦点到准线的距离为
三、填空题（本大题共3小题，共15分）
12．[5分]已知点，，直线．若直线与线段有公共点，则实数的取值范围是 ．
13．[5分]已知圆与圆心在原点处的单位圆恰有两条公切线，则正数的取值范围为 ．
14．[5分]圆拱桥一孔圆拱，如图所示，该圆拱的跨度米，拱高米，在建造时每隔4米需用一个支柱支撑，支柱的长度是 .（精确到0.01米）
四、解答题（本大题共5小题，共80分）
15．[12分]在2025年春晚《秧BOT》节目中，宇树科技的Unitree H1“福兮”机器人采用人工智能（AI）驱动全身运动控制技术，能根据音乐旋律调整舞步，其最大关节扭矩高达360牛顿·米，节目播出后引发公众对机器人技术的兴趣和热情.为了了解不同性别的学生对AI的关注情况，某校随机抽取了90名学生，调查结果如表：
性别 关注 不关注 合计
男 55 60
女
合计 75
（1）完成上述列联表，根据小概率值的独立性检验，能否认为学生对AI的关注与性别有关
（2）在这90名学生中随机抽取一位，若事件表示“该生关注AI”，事件表示“该生为女生”，求，，及的值.
附：，其中.
0.1 0.05 0.025 0.01 0.001
2.706 3.841 5.024 6.635 10.828
16．[14分]已知数列的前项和为，，当时，；是等差数列，.
（1）求，的通项公式；
（2）记，求.
17．[18分]如图，已知在矩形ABCD中，，BC＝6，点E是边BC的中点，DE与AC相交于点H，现将△ACD沿AC折起，点D的位置记为，此时，M是的中点．

（1）求证：平面；
（2）求证：平面；
（3）求二面角的余弦值．
18．[18分]已知，动点满足与的斜率之积为定值.
（1）求动点的轨迹的方程；
（2）过点的直线与曲线交于 两点，且均在轴右侧，过点 作直线的垂线，垂足为.
（i）求证：直线过定点；
（ii）求面积的最小值.
19．[18分]已知函数．
（1）当时，求曲线在点处的切线方程；
（2）若是的极小值点，求实数的取值范围；
（3）当时，若，求实数的最大值．
参考答案
1．【答案】C
2．【答案】A
3．【答案】B
4．【答案】D
5．【答案】B
6．【答案】B
7．【答案】D
8．【答案】D
9．【答案】AB
10．【答案】AB
11．【答案】ABC
12．【答案】
13．【答案】
14．【答案】3.86米
15．【答案】（1）列联表见详解，能
（2），，，
【详解】（1）根据题意，完成列联表如下：
性别 关注 不关注 合计
男 55 5 60
女 20 10 30
合计 75 15 90
假设：学生对AI的关注与性别无关，则，
根据小概率值的独立性检验，我们推断不成立，所以能认为学生对AI的关注与性别有关；
（2），，∴，
∴，∴.
16．【答案】（1），
（2）
【详解】（1）由时， ①，则当时，可得，将代入，解得，
当时，②，由①-②，可得，即，
因，故数列为等比数列，其首项为，公比为，
故数列的通项公式为，
设等差数列的公差为，由，解得，
故数列的通项公式为.
（2）由和，，
可得③，
则④，
由③-④，可得
，
故得.
17．【答案】（1）见详解
（2）见详解
（3）
【详解】（1）法一：在矩形中，连接，交于点，则易知四边形为矩形，
所以与互相平分，即点为中点，又因为点为中点，
所以在三棱锥中，，
平面，平面，所以平面

法二：取线段的中点，连接、，
翻折前，在矩形中，为的中点，，
则，所以，，
翻折后，在三棱锥中，、分别为、的中点，
则，平面，平面，平面，
为的中点，且，则，
所以，为的中点，又因为为的中点，所以，，
∵平面，平面，所以，平面，
∵，所以，平面平面，
因为平面，∴平面；

（2）在矩形中，，，
，，
因为，则，
因为，为的中点，所以，，则
所以，，所以，，
所以，即，
在三棱锥中，则有，，
因为，所以，平面．
（3）过点作，垂足为点，连接，
平面，平面，，
因为，，平面，
∵平面，，所以，二面角的平面角为.
在中，，，，
，，，所以，
又因为，所以
故，因此，二面角的余弦值为．
18．【答案】（1）
（2）（i）见详解；（ii）
【详解】（1）设动点的坐标为，由动点 满足与的斜率之积为定值，
得，即，
故动点的轨迹的方程为；
（2）（i）证明：设，联立，
得，
设，

结合题意有，
解得，且，
又直线BD的方程为，
令，则
，
故直线过定点；
（ii）由题意知，
故的面积为
，
令，则，
则，
由于在上单调递减，故在上单调递增，
故当，即时，面积取最小值.
19．【答案】（1）；
（2）；
（3）2
【详解】（1）当时，，
所以，故，
所以曲线在点处的切线方程为．
（2）因为，所以，
因为是的极小值点，所以，得，
所以，
当时，，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，故是的极小值点.
当时，由得或.
当时，，由得或；由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极小值点.
当时，，不合题意.
当时，，由得或；由得，
所以在上单调递增，在上单调递减，
所以是的极大值点，不合题意．
综上，实数的取值范围为．
（3）当时，，
当时，因为（当且仅当时等号成立），所以，
所以在上单调递增，故，符合题意.
当时，令，解得，
因为，，所以，故，
所以当时，，故在上单调递减，
所以，不符合题意．
综上，实数的最大值为2．
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