资源简介

2025-2026学年青岛西海岸自主招生考试数学模拟（1）
一、单选题
1．已知对于实数 ，，定义一种新运算“#”：#，若#，则实数的值为（ ）
A．3 B．3或-4 C．8 D．3或8
2．某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（2）班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分．如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行整理后，分成5组画出的频数分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为．
下列说法：
（1）学生的成绩分的共有15人；
（2）学生成绩的众数在第四小组内；
（3）学生成绩的中位数在第四小组范围内．
其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
3．若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式、如在代数式a+b+c中，把a和b互相替换，得b+a+c；把a和c互相替换，得c+b+a；把b和c…；a+b+c就是完全对称式、下列三个代数式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a其中为完全对称式的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
4．如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数之和相等，则这六个数之和是（ ）
A．39 B．45 C．51 D．以上均可
5．如图，在一张矩形纸片中，对角线，点分别是和的中点，现将这张纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，若的延长线恰好经过点，则点到对角线的距离为（ ）.
A． B． C． D．
6．甲，乙两车从A地开往B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50km时，乙车的行驶时间为（　　）
A．或 B．或 C． D．
二、填空题
7．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为 ．
8．计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，如图是扫雷游戏中的一部分（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．B方格中有地雷的概率为 ．
9．如图，四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为较长直角边，，则正方形ABCD的面积为 S．
10．如图，正方形ABCD内有两点E、F，AE⊥EF，CF⊥EF，且AE=2，EF=3，FC=4，则正方形ABCD的面积等于 ．
11．如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接、，点、分别是、的中点，则的长度是 ．
12．如图，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，过点作交于点，连接．给出以下结论：（1）；（2）四边形是菱形；（3）；（4）当时，的长为，其中正确的是 ．（只填序号）

三、解答题
13．已知关于的一元二次方程两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根，满足，求的值．
14．如图，点是等边中边的延长线上的一点，且．以为直径作，分别交、于点、．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，交于点，若，求线段、与围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）．

15．某校准备去学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种栽培架，已知每个甲种栽培架的价格比乙种栽培架贵40元，且用25000元购进甲种栽培架的数量和用20000元购进乙种栽培架的数量相同．
(1)求甲、乙两种栽培架的单价；
(2)若学校计划购进这两种栽培架共60个，采购时要求乙种栽培架的数量不得少于30个，同时乙种栽培架的数量不多于甲种栽培架数量的2倍．设购进甲种栽培架个，购买甲、乙两种栽培架的总费用为元，试求出购买总费用与之间的函数关系式，并说明应该如何采购才能使费用最低，最低费用是多少？
16．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．
试卷第4页，共5页
试卷第5页，共5页2025-2026学年青岛西海岸自主招生考试数学模拟（1）
一、单选题
1．已知对于实数 ，，定义一种新运算“#”：#，若#，则实数的值为（ ）
A．3 B．3或-4 C．8 D．3或8
【答案】A
【分析】根据题意，可得：（1）x≥-2时，x2+x+（-2）=10；（2）x＜-2时，（-2）2+x+（-2）=10；据此求出实数x的值为多少即可．
【详解】解：（1）x≥-2时，
x2+x+（-2）=10，
∴x2+x-12=0，
解得：x=-4或x=3，
∵x≥-2，
∴x=3；
（2）x＜-2时，
（-2）2+x+（-2）=10，
∴4+x+（-2）=10，
解得：x=8，
∵8＞-2，
∴x=8不符合题意．
综上，可得：实数x的值为3．
故选：A．
【点睛】本题主要考查了解一元二次方程，以及定义新运算，解答此题的关键是要明确“#”的含义．
2．某校为了了解学生的身体素质情况，对初三（2）班的50名学生进行了立定跳远、铅球、100米三个项目的测试，每个项目满分为10分．如图，是将该学生所得的三项成绩（成绩均为整数）之和进行整理后，分成5组画出的频数分布直方图，已知从左至右前4个小组的频率分别为．
下列说法：
（1）学生的成绩分的共有15人；
（2）学生成绩的众数在第四小组内；
（3）学生成绩的中位数在第四小组范围内．
其中正确的说法有（　　）
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】C
【分析】由五组的数据的频率和为1求得第五组的频率，然后由每组人数=总人数×该组频率，得到第五组的人数，可判断（1）的正误；由众数的概念判断众数落在那一个小组，可判断（2）的正误；由中位数的概念可判断（3）的正误．
本题主要考查了读频数分布直方图和利用统计图获取信息，中位数，众数．熟练掌握中位数，众数的求法，是解决问题的关键．给定n个数据，按从小到大排序，如果n为奇数，位于中间的那个数就是中位数；如果n为偶数，位于中间两个数的平均数就是中位数．任何一组数据，都一定存在中位数，但中位数不一定是这组数据中的数．给定一组数据，出现次数最多的那个数，称为这组数据的众数．
【详解】（1）从左至右的5个小组的频率之和为1，
∵前四个分别为，
∴第五组的频率是，，
学生的成绩分的在第五组，
∵总共有50名学生，
∴第五组共有，（人），
故（1）正确；
（2）观察直方图，第四组人数最多，
但学生成绩的众数不一定在第四小组内，
故（2）不正确；
（3）学生成绩的中位数是第25个数和第26个数的平均数，一定落在第四组，
故（3）正确．
故选：C．
3．若将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式、如在代数式a+b+c中，把a和b互相替换，得b+a+c；把a和c互相替换，得c+b+a；把b和c…；a+b+c就是完全对称式、下列三个代数式：①（a﹣b）2；②ab+bc+ca；③a2b+b2c+c2a其中为完全对称式的是（　　）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
【答案】A
【分析】由于将代数式中的任意两个字母互相替换，代数式不变，则称这个代数式为完全对称式，根据这个定义分别将①②③中的字母进行替换，看它们都有没有改变，由此即可确定是否完全对称式．
【详解】①∵（a-b）2=（b-a）2，
∴①是完全对称式；
②ab+bc+ca中把a和b互相替换得ab+bc+ca，与原式想等；
ab+bc+ca中把a和c互相替换得bc+ab+ac，与原式想等；
ab+bc+ca中把b和c互相替换得ac+bc+ab，与原式想等；
∴②是完全对称式；
③a2b+b2c+c2a中把a和b互相替换得b2a+a2c+c2b，和原来不相等，
∴不是完全对称式；
故①②正确．
故选A．
【点睛】此题是一个阅读材料题，考查了学生对新定义的理解，难点在于读懂题意，然后才能正确利用题意解决问题．
4．如图，一个正方体的六个面上标着连续的整数，若相对面上所标数之和相等，则这六个数之和是（ ）
A．39 B．45 C．51 D．以上均可
【答案】A
【分析】本题主要考查了正方体对面上的数字问题，根据题意可得这 6 个整数可以为或或，再由相对面上所标数字之和相等得到最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，据此分三种情况讨论，结合三个数不是互为对面进行求解即可．
【详解】解：由题意得，这 6 个整数可以为或或，
∵相对面上所标数字之和相等，
∴那么最大的数和最小的数是对面，第二大的数和第二小的数为对面，剩下的两个数为对面，
当这6个整数为，则和为对面，和8为对面，和7为对面，符合题意，
∴此时这 6 个数的和为；
当这 6 个整数为，则由相对面上所标数之和相等，可知和为对面，而图中它们是相邻面，不符合题意；
当这 6 个整数为，则由相对面上所标数之和相等，可知和为对面，而图中它们是相邻面，不符合题意，
综上所述，这 6 个整数的和为，
故选：A．
5．如图，在一张矩形纸片中，对角线，点分别是和的中点，现将这张纸片折叠，使点落在上的点处，折痕为，若的延长线恰好经过点，则点到对角线的距离为（ ）.
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】设DH与AC交于点M，易得EG为△CDH的中位线，所以DG=HG，然后证明△ADG≌△AHG，可得AD=AH，∠DAG=∠HAG，可推出∠BAH=∠HAG=∠DAG=30°，然后设BH=a，则BC=AD=AH=2a，利用勾股定理建立方程可求出a，然后在Rt△AGM中，求出GM，AG，再求斜边AM上的高即为G到AC的距离.
【详解】如图，设DH与AC交于点M，过G作GN⊥AC于N，
∵E、F分别是CD和AB的中点，
∴EF∥BC
∴EG为△CDH的中位线
∴DG=HG
由折叠的性质可知∠AGH=∠B=90°
∴∠AGD=∠AGH=90°
在△ADG和△AHG中，
∵DG=HG，∠AGD=∠AGH，AG=AG
∴△ADG≌△AHG（SAS）
∴AD=AH，AG=AB，∠DAG=∠HAG
由折叠的性质可知∠HAG=∠BAH，
∴∠BAH=∠HAG=∠DAG=∠BAD=30°
设BH=a，
在Rt△ABH中，∠BAH=30°
∴AH=2a
∴BC=AD=AH=2a，AB=
在Rt△ABC中，AB2+BC2=AC2
即
解得
∴DH=2GH=2BH=，AG=AB=
∵CH∥AD
∴△CHM∽△ADM
∴
∴AM=AC=，HM=DH=
∴GM=GH-HM=
在Rt△AGM中，
∴
故选B.
【点睛】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，全等三角形与相似三角形的判定与性质，以及勾股定理的应用，解题的关键是求出∠BAH=30°，再利用勾股定理求出边长.
6．甲，乙两车从A地开往B地，并以各自的速度匀速行驶，甲车比乙车早出发2h，并且甲车途中休息了0.5h，甲、乙两车行驶的路程与甲车的行驶时间的函数关系如图所示．当甲、乙两车相距50km时，乙车的行驶时间为（　　）
A．或 B．或 C． D．
【答案】B
【分析】先根据题意，结合图像，计算出乙的速度和甲的速度；再分当乙还没追上甲时，和乙追上甲后两种情况计算甲、乙两车相距50km时，乙行驶的时间即可得出.
【详解】解：由图可得，
乙的速度为：
甲的速度为：
乙出发后，甲、乙两车相距50km共有两种情况：
当乙还没追上甲时，得：，解得：
当乙追上甲后，得：，解得：
综上所述，当甲、乙两车相距50km时，乙车的行驶时间为或.
故选：B.
【点睛】本题主要考查一次函数与行程问题，懂得从图像中获取信息，计算甲和乙各自的速度是解题的关键.
二、填空题
7．已知不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，那么的值为 ．
【答案】
【分析】设，得出，根据不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，得出，且，求出，，代入求出结果即可．
【详解】解：根据题意设，
则，
整理得：，
∵不论x取何数值，分式的值都为同一个定值，
∴，且，
∴，
∴，
解得：，
∴．
故答案为：．
【点睛】本题主要考查了分式化简求值，解题的关键是根据题意得出．
8．计算机上有一个有趣的游戏“扫雷”，如图是扫雷游戏中的一部分（说明：图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷）．小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）．B方格中有地雷的概率为 ．
【答案】
【分析】本题考查了概率公式，先理解游戏内容，得B，C这两个方格必有1个地雷，再结合概率公式列式计算，即可作答．
【详解】解：∵图中数字2表示在以该数字为中心的8个方格中有2个地雷，小旗表示该方格已被探明有地雷，现在还剩下A，B，C三个方格未被探明，其他地方为安全区（包括有数字的方格）
∴B，C这两个方格必有1个地雷，
∴B方格中有地雷的概率为，
故答案为：．
9．如图，四个全等的直角三角形按如图所示的方式围成正方形ABCD，过各较长直角边的中点作垂线，围成面积为S的小正方形EFGH．已知AM为较长直角边，，则正方形ABCD的面积为 S．
【答案】13
【分析】设AM=2a．BM=b．则正方形ABCD的面积=4a2+b2，由题意可知EF=（2a-b）-2（a-b）=2a-b-2a+2b=b，由此即可解决问题．
【详解】解：设．．则正方形ABCD的面积=AB2，
由题意可知，
∵，
∴，
∴，
∵正方形EFGH的面积为S，
∴，
∴正方形ABCD的面积，
故答案为：13．
【点睛】本题考查正方形的性质、勾股定理、线段的垂直平分线的定义等知识，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题．
10．如图，正方形ABCD内有两点E、F，AE⊥EF，CF⊥EF，且AE=2，EF=3，FC=4，则正方形ABCD的面积等于 ．
【答案】．
【分析】首先连接AC，则可证得△AEM∽△CFM，根据相似三角形的对应边成比例，即可求得EM与FM的长，然后由勾股定理求得AM与CM的长，进而得到AC的长，在Rt△ABC中，利用勾股定理即可得出结论．
【详解】如图，连接AC，
∵AE⊥EF，EF⊥FC，
∴∠E=∠F=90°，
∵∠AME=∠CMF，
∴△AEM∽△CFM，
∴，
∵AE=2，EF=3，FC=4，
∴，
∴EM=1，FM=2，
在Rt△AEM中，AM，
在Rt△FCM中，CM，
∴AC=AM+CM=3，
在Rt△ABC中，AB=BC，AB2+BC2=AC2=45，
∴AB2，
故正方形ABCD的面积为．
故答案为：．
【点睛】此题综合性较强，考查了相似三角形的判定与性质，正方形的性质以及勾股定理的应用，解题时要注意数形结合思想的应用．
11．如图，在矩形中，，，点、分别是、的中点，连接、，点、分别是、的中点，则的长度是 ．
【答案】/
【分析】连接并延长交于，连接，根据矩形的性质得到，，根据全等三角形的性质得到，根据勾股定理和三角形的中位线定理即可得到结论．
【详解】
连接并延长交于，连接，
四边形是矩形，
，，
，分别是边，的中点，，，
，，
，
，
在与中，
，
（AAS）
， ，
，
点是的中点，
.
故答案为：．
【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的中位线定理，勾股定理，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键．
12．如图，将矩形沿折叠，使点落在边的点处，过点作交于点，连接．给出以下结论：（1）；（2）四边形是菱形；（3）；（4）当时，的长为，其中正确的是 ．（只填序号）

【答案】（1）（2）（4）
【分析】先依据翻折的性质和平行线的性质证明，从而得到，接下来依据翻折的性质可证明，连接，交于点O．由菱形的性质可知，再证明，由相似三角形的性质可证明，即可得到，过点G作，垂足为H．再证明，利用相似三角形的性质可求得的长，最后即可求得
【详解】解：∵，
∴．
∵由翻折的性质可知：，
∴．
∴．故（1）正确；
∴．
∴四边形为菱形，故（2）正确；
如图1所示：连接，交于点O．

∵四边形为菱形，
∴
∵，
∴．
∴
∴
∵
∴故（3）错误；
如图2所示：过点G作，垂足为H．

∵
∴
解得：或（舍去）．
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴
∴故（4）正确，
故答案为：（1）（2）（4）．
【点睛】本题是四边形综合题，考查了矩形的性质，菱形的判定和性质，相似三角形的性质和判定，勾股定理的应用，利用相似三角形的性质求得的长是解答问题的关键．
三、解答题
13．已知关于的一元二次方程两个实数根，．
(1)求实数的取值范围；
(2)若方程的两个实数根，满足，求的值．
【答案】(1)实数的取值范围为
(2)
【分析】（1）根据一元二次方程根的判别式即可求出答案；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，再由，得到关于的方程，求出的值即可．
【详解】（1）解：根据题意得：
，
解得，
实数的取值范围为；
（2）解：根据题意得：
，
，
，
解得，
，
．
【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系，若是一元二次方程的两根，，熟练掌握一元二次方程的根的判别式、根与系数的关系是解题的关键．
114．如图，点是等边中边的延长线上的一点，且．以为直径作，分别交、于点、．
（1）求证：是的切线；
（2）连接，交于点，若，求线段、与围成的阴影部分的面积（结果保留根号和）．

【答案】（1）详见解析；（2）
【分析】（1）已知△ABC为等边三角形，可得AC=BC，又因AC=CD，所以AC=BC=CD，即可判定△ABD为直角三角形，再根据切线的判定推出结论；（2）连接OE，分别求出△AOE、△AOC，扇形OEG的面积，根据 即可求得S．
【详解】(1)证明：为等边三角形，
．
又
∴
∵
．
∴
∴，
．
为直径，是的切线，
（2）解：连接．

，，
是等边三角形，
．
，，
．
，
．
是边长为的等边三角形，
，由勾股定理，得，
同理等边三角形中边上的高是，
．
【点睛】本题考查了切线的判定；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算，掌握切线的判定；等边三角形的判定与性质；扇形面积的计算是解题的关键．
15．某校准备去学校劳动实践基地，开展劳动教育．现欲购进甲、乙两种栽培架，已知每个甲种栽培架的价格比乙种栽培架贵40元，且用25000元购进甲种栽培架的数量和用20000元购进乙种栽培架的数量相同．
(1)求甲、乙两种栽培架的单价；
(2)若学校计划购进这两种栽培架共60个，采购时要求乙种栽培架的数量不得少于30个，同时乙种栽培架的数量不多于甲种栽培架数量的2倍．设购进甲种栽培架个，购买甲、乙两种栽培架的总费用为元，试求出购买总费用与之间的函数关系式，并说明应该如何采购才能使费用最低，最低费用是多少？
【答案】(1)甲种栽培架的价格为200元，则乙种栽培架的价格为160元
(2)()，甲种栽培架购买20个，购买乙种栽培架40个，费用最低，最低费用10400元
【分析】（1）设甲种栽培架的价格为x元，则乙种栽培架的价格为元，根据题意，得，解方程即可．
（2）根据题意，甲种栽培架购买了个，则购买乙种栽培架数量为个，且，根据题意，得，解答即可．
本题考查了分式方程的应用题，不等式组的应用，一次函数的性质应用，熟练掌握性质是解题的关键．
【详解】（1）解：设甲种栽培架的价格为x元，则乙种栽培架的价格为元，根据题意，得，
解得，
经检验，是原方程的根。
此时，
答：甲种栽培架的价格为200元，则乙种栽培架的价格为160元．
（2）解：根据题意，甲种栽培架购买了个，则购买乙种栽培架数量为个，且，
解得，
根据题意，得，
由，得w随a的增大而增大，
故当时，w取得最小值，且最小值为，
故当时，w取得最小值，且最小费用为10400元．
故甲种栽培架购买20个，购买乙种栽培架40个，费用最低，最低费用10400元．
16．如图，抛物线y=ax2+bx﹣3与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，且经过点（2，﹣3a），对称轴是直线x=1，顶点是M．
（1）求抛物线对应的函数表达式；
（2）经过C，M两点作直线与x轴交于点N，在抛物线上是否存在这样的点P，使以点P，A，C，N为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由；
（3）设直线y=﹣x+3与y轴的交点是D，在线段BD上任取一点E（不与B，D重合），经过A，B，E三点的圆交直线BC于点F，试判断△AEF的形状，并说明理由；
（4）当E是直线y=﹣x+3上任意一点时，（3）中的结论是否成立（请直接写出结论）．
【答案】（1）y=x2﹣2x﹣3；（2）存在，P（2，﹣3）；（3）△AEF是等腰直角三角形．理由见解析；（4）△AEF是等腰直角三角形．
【分析】（1）依题意联立方程组求出a，b的值后可求出函数表达式；
（2）分别令x=0，y=0求出A、B、C三点的坐标，然后易求直线CM的解析式．证明四边形ANCP为平行四边形可求出点P的坐标；
（3）求出直线y=-x+3与坐标轴的交点D，B的坐标．然后证明∠AFE=∠ABE=45°，AE=AF，可证得三角形AEF是等腰直角三角形；
（4）根据（3）中所求，即可得出当E是直线y=-x+3上任意一点时，（3）中的结论仍成立．
【详解】解：(1)根据题意，得，
解得，
∴抛物线对应的函数表达式为y=x2 2x 3；
(2)存在.连接AP，CP，
如下图所示：
在y=x2 2x 3中，令x=0，得y= 3.
令y=0，得x2 2x 3=0，
∴x1= 1，x2=3.
∴A( 1，0)，B(3，0)，C(0， 3).
又y=(x 1)2 4，
∴顶点M(1， 4)，
容易求得直线CM的表达式是y= x 3.
在y= x 3中，令y=0，得x= 3.
∴N( 3，0)，
∴AN=2，
在y=x2 2x 3中，令y= 3，得x1=0，x2=2.
∴CP=2，
∴AN=CP.
∵AN∥CP，
∴四边形ANCP为平行四边形，此时P(2， 3)；
(3)△AEF是等腰直角三角形.
理由：在y= x+3中，令x=0，得y=3，令y=0，得x=3.
∴直线y= x+3与坐标轴的交点是D(0，3)，B(3，0).
∴OD=OB，
∴∠OBD=45°，
又∵点C(0， 3)，
∴OB=OC.
∴∠OBC=45°，
由图知∠AEF=∠ABF=45°，∠AFE=∠ABE=45°，
∴∠EAF=90°，且AE=AF.
∴△AEF是等腰直角三角形；
(4)当点E是直线y= x+3上任意一点时，(3)中的结论：△AEF是等腰直角三角形成立.
【点睛】本题综合考查了等腰直角三角形的判定以及二次函数结合图形的应用，难度较大.
试卷第18页，共19页
试卷第17页，共19页

展开更多......

收起↑