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习题课三　电磁感应中的动力学、能量和动量问题
题组一　电磁感应中的动力学问题
1.如图所示，虚线为两磁场的边界，左侧磁场的方向垂直纸面向里，右侧磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。一边长为L、电阻为R的单匝正方形导体线圈abcd，水平向右运动到图示位置时，速度大小为v，则（　　）
A.ab边受到的安培力向左，cd边受到的安培力向右
B.ab边受到的安培力向右，cd边受到的安培力向左
C.线圈受到的安培力大小为
D.线圈受到的安培力大小为
2.（多选）如图所示，两根间距为L的光滑金属导轨，平行放置在倾角为θ的绝缘斜面上，导轨的下端接有电阻R，导轨自身的电阻可忽略不计。斜面处在匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上，质量为m、导轨间有效电阻为r的金属棒ab在沿着斜面、与棒垂直的恒力F作用下由静止沿导轨上滑。下列说法正确的是（　　）
A.金属棒ab将会沿金属导轨做匀加速运动
B.金属棒ab最终将沿金属导轨做匀速运动
C.金属棒ab的最大速度为
D.恒力F做的功等于金属棒ab增加的机械能
3.（多选）（2024·四川巴中高二期中）如图所示，MN和PQ是两根互相平行且竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不计，ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接触良好的金属杆。开始时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，经过一段时间后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t变化的图像可能是下列选项中的（　　）
题组二　电磁感应中的能量问题
4.如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则（　　）
A.Q1＞Q2，q1＝q2 B.Q1＞Q2，q1＞q2
C.Q1＝Q2，q1＝q2 D.Q1＝Q2，q1＞q2
5.（2024·四川广安高二期中）如图所示，竖直放置的两根平行金属导轨之间接有定值电阻R，金属棒与两导轨始终保持垂直，并良好接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在水平匀强磁场中，棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升的一段时间内，下列说法正确的是（　　）
A.通过电阻R的电流方向向左
B.棒受到的安培力方向向上
C.棒机械能的增加量等于恒力F做的功
D.棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量
6.如图所示，水平方向的磁场垂直于光滑曲面，闭合小金属环从高h的曲面上端无初速度滑下，又沿曲面的另一侧上升，则（　　）
A.若是匀强磁场，环在左侧上升的高度小于h
B.若是匀强磁场，环在左侧上升的高度大于h
C.若是非匀强磁场，环在左侧上升高度等于h
D.若是非匀强磁场，环在左侧上升的高度小于h
7.（多选）在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B，方向相反的水平匀强磁场，如图所示。PQ为两个磁场的边界，磁场范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属正方形线框，以速度v垂直磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框运动到分别有一半面积在两个磁场中时，速度为，则下列说法正确的是（　　）
A.此过程中通过线框截面的电荷量为
B.此时线框的加速度为
C.此过程中回路产生的电能为mv2
D.此时线框中的电功率为
8.如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，导轨平面与水平面的夹角θ＝30°，两导轨间距L＝1.0 m，底端N、Q两点连接R＝1.0 Ω的电阻，匀强磁场方向垂直于导轨所在平面向上，磁感应强度的大小为B＝0.6 T，质量为m＝0.2 kg、阻值为r＝0.5 Ω的导体棒垂直于导轨放置，在平行于平面向上的拉力F作用下沿导轨向上做匀速直线运动，速度v＝10 m/s。撤去拉力F后，导体棒沿导轨继续运动l＝2.0 m后速度减为零。运动过程中导体棒与导轨始终垂直并接触良好，取g＝10 m/s2，导轨电阻不计。求：
（1）拉力F的大小；
（2）撤去拉力F后导体棒继续沿导轨上滑的过程中电阻R产生的焦耳Q和通过电阻R的电荷量q。
9.（2024·四川宜宾高二期末）两根足够长的固定平行金属导轨位于同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面垂直放置两根导体棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量均为m，电阻均为R，回路中其余部分的电阻不计。在整个导轨平面内都有竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。两导体棒均可沿导轨无摩擦地滑行，开始时，cd棒静止，ab棒有指向cd的速度v0。两导体棒在运动中始终不接触。求：
（1）在运动中产生的最大焦耳热；
（2）当ab棒的速度变为v0时，cd棒的加速度。
习题课三　电磁感应中的动力学、能量和动量问题
1.D　线圈的左右两边分别切割磁感线产生感应电动势，由右手定则可知线圈中感应电流沿顺时针方向，如图所示，再由左手定则可得ab边受到的安培力向左，cd边受到的安培力也向左，故A、B错误；线圈的电动势为E＝2BLv，则电流为I＝＝，线圈受到的安培力F总＝2F＝2BIL＝，故C错误，D正确。
2.BC　根据右手定则可知，流过金属棒的电流由a到b，由左手定则知金属棒ab受到一个沿斜面向下的安培力，所以金属棒ab在运动过程中受到竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力、沿斜面向上的恒力F、沿斜面向下的安培力FA，随着速度增大，安培力也增大，则金属棒的合力减小，加速度减小，当合力为零时，金属棒做匀速直线运动，选项A错误，B正确；金属棒匀速运动时的速度为最大速度，此时有FA＋mgsin θ＝F，而FA＝BIL＝B··L，联立解得v＝，选项C正确；根据能量守恒定律可知，恒力F做的功等于金属棒ab增加的机械能与系统产生的焦耳热之和，选项D错误。
3.ACD　S闭合时，若金属杆受到的安培力＞mg，ab杆先做加速度逐渐减小的减速运动再做匀速运动，D项有可能；若＝mg，ab杆匀速运动，A项有可能；若＜mg，ab杆先做加速度逐渐减小的加速运动再做匀速运动，C项有可能；由于v变化，mg－＝ma中a不恒定，故B项不可能。
4.A　根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又lab＞lbc，故Q1＞Q2；因为q＝t＝t＝，所以q1＝q2，故A正确。
5.D　由右手定则可以判断出通过金属棒的电流方向向左，则通过电阻R的电流方向向右，故选项A错误；由左手定则可以判断出金属棒受到的安培力方向向下，故选项B错误；根据平衡条件可知重力等于恒力F减去安培力，根据功能关系知恒力F做的功等于棒机械能的增加量与电路中产生的热量之和，故选项C错误；金属棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升，安培力做负功，即克服安培力做功，根据功能关系知金属棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量，故选项D正确。
6.D　若是匀强磁场，穿过小环的磁通量不变，没有感应电流产生，其机械能守恒，高度不变，则环在左侧上升的高度等于h，故A、B错误；若是非匀强磁场，穿过小环的磁通量变化，小环中产生感应电流，转化为内能，机械能减小，高度将减小，则环在左侧上升的高度小于h，故C错误，D正确。
7.CD　线圈磁通量的变化ΔΦ＝Ba2，则由E＝，I＝，q＝IΔt可得q＝＝，选项A错误；此时线框产生的电流I＝＝，由牛顿第二定律和安培力公式可得加速度a1＝＝，选项B错误；对此过程，由能量守恒定律可得，回路产生的电能E＝mv2－m＝mv2，选项C正确；由电功率定义可得P＝I2R＝，选项D正确。
8.（1）3.4 N　（2） J　0.8 C
解析：（1）导体棒匀速运动产生的感应电动势为E＝BLv＝6 V
感应电流为I＝＝4 A
由导体棒受力平衡可得
F＝F安＋mgsin θ＝BIL＋mgsin θ＝3.4 N。
（2）撤去拉力后，由动能定理可得
－mglsin θ－W克安＝0－mv2
得导体棒克服安培力所做的功W克安＝8 J
则电阻R产生的焦耳热Q＝W克安＝ J
通过电阻R的电荷量
q＝Δt＝＝＝0.8 C。
9.（1）m　（2），方向水平向右
解析：（1）从初始到两棒速度相等的过程中，两棒总动量守恒，则有mv0＝2mv
解得v＝
由能量守恒定律得Q＝m－×2mv2＝m。
（2）当ab棒的速度变为v0时，设此时cd棒的速度为v'，由动量守恒定律可知mv0＝m×v0＋mv'
解得v'＝v0
此时回路中的电动势为E＝Blv0－Blv0＝Blv0
此时回路中的电流为I＝＝
此时cd棒所受的安培力为F＝BIl＝
由牛顿第二定律可得，cd棒的加速度a＝＝
方向水平向右。
3 / 3习题课三　电磁感应中的动力学、能量和动量问题
核心 素养 目标 1.进一步熟练掌握牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律等基本规律。 2.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，建立解决电磁感应中动力学问题的思维模型。 3.理解电磁感应过程中能量的转化情况，能用能量的观点分析和解决电磁感应问题
要点一　电磁感应中的动力学问题
1.解答导体的平衡与加、减速问题的方法
（1）导体静止或做匀速直线运动：利用平衡条件解答。
（2）导体做匀变速直线运动：利用牛顿第二定律解答。
2.电学对象和力学对象的相互关系
【典例1】　如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距l＝1 m，导轨的电阻可忽略。M、P两点间接有电阻R。一根质量m＝1 kg、电阻r＝0.2 Ω的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置处于磁感应强度B＝0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自图示位置起，杆ab受到大小为F＝0.5v＋2（式中v为杆ab运动的速度，所有物理量均采用国际单位制）、方向平行导轨沿斜面向下的拉力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。g取10 m/s2，sin 37°＝0.6。
（1）试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，请写出推理过程；
（2）求电阻R的阻值；
（3）求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x＝1 m所需的时间t。
思路点拨
（1）金属杆下滑时电动势如何计算？所构成的电路是怎样的？
（2）杆受哪些力？谁是恒力，谁是变力？
（3）杆运动时加速度、速度如何变化？
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　规律总结
“先电后力四步法”分析电磁感应动力学问题
1.如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框中导线的电阻都可忽略不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则（　　）
A.ef将减速向右运动，但不是匀减速
B.ef将匀减速向右运动，最后停止
C.ef将匀速向右运动
D.ef将往返运动
2.如图所示，质量为m的金属环用细线悬挂起来，金属环有一半处于水平且与环面垂直的匀强磁场中，从某时刻开始，磁感应强度均匀减小，则在磁感应强度均匀减小的过程中，关于细线拉力大小的下列说法中正确的是（　　）
A.大于环的重力mg，并逐渐减小
B.始终等于环的重力mg
C.小于环的重力mg，并保持恒定
D.大于环的重力mg，并保持恒定
3.如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，有两根水平放置且足够长的平行金属导轨AB、CD，在导轨的A、C端连接一阻值为R的电阻。一根质量为m、长度为L的金属棒ab垂直导轨放置，导轨和金属棒的电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数为μ。若用恒力F沿水平方向向右拉金属棒使其运动，求金属棒的最大速度。
要点二　电磁感应中的能量和动量问题
1.能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通过安培力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能（通常为内能），外力克服安培力做功，则是其他形式的能（通常为机械能）转化为电能的过程。
2.求解焦耳热Q的方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
3.动量观点在电磁感应中的应用
（1）动量守恒定律的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒定律求解比较方便。
（2）动量定理的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变速直线运动时，安培力的冲量为I安＝BLΔt＝BLq，通过导体棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n，磁通量变化量ΔΦ＝BΔS＝BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外力，则I安＝mv2－mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。
【典例2】　如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与水平面成θ角固定，轨道间距为d。空间存在匀强磁场，磁场方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B。P、M间所接电阻阻值为R。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效电阻为r。现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到最大速度。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
（1）金属杆ab运动的最大速度；
（2）金属杆ab运动的加速度为gsin θ时，电阻R上的电功率；
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做的功。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　【典例3】　足够长的平行金属轨道M、N，相距L＝0.5 m，且水平放置；M、N左端与半径为R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属棒的质量mb＝mc＝0.1 kg，接入电路的有效电阻Rb＝Rc＝1 Ω，轨道的电阻不计。平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度B＝1 T的匀强磁场中，磁场方向垂直于轨道平面向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，如图所示，若使金属棒b以初速度v0＝10 m/s开始向左运动，运动过程中金属棒b、c不相撞，g取10 m/s2，求：
（1）金属棒c的最大速度；
（2）金属棒c达到最大速度时，此棒产生的焦耳热；
（3）若金属棒c达到最大速度后沿半圆轨道上滑，到达轨道最高点时金属棒c对轨道的压力的大小。
尝试解答　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
1.如图所示，一闭合金属圆环用绝缘细线挂于O点，将圆环拉离平衡位置并释放，圆环摆动过程中经过有界的水平匀强磁场区域，A、B为该磁场的竖直边界。若不计空气阻力，则（　　）
A.圆环向右穿过磁场后，还能摆至原来的高度
B.在进入和离开磁场时，圆环中均有感应电流
C.圆环进入磁场后离平衡位置越近，速度越大，感应电流也越大
D.圆环最终将静止在平衡位置
2.如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框abcd，其边长为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ。虚线框a'b'c'd'内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab边与磁场的d'c'边重合。现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场区域的d'c' 边距离为l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为（　　）
A.m＋μmgl B.m－μmgl
C.m＋2μmgl D.m－2μmgl
3.如图所示，两根光滑的导轨平行放置。导轨的水平部分放在绝缘水平面上，水平部分所在空间有竖直向上的磁场，磁感应强度为B。导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。两根完全相同的金属棒ab和cd质量均为m、接入电路的电阻均为R，将cd置于导轨的水平部分与导轨垂直放置，将ab置于导轨的倾斜部分与导轨垂直放置，ab离水平面的高度为h，重力加速度为g，现将ab由静止释放，求：
（1）cd棒最终的速度大小；
（2）整个过程中产生的焦耳热Q。
1.（多选）如图所示，金属杆ab以恒定的速率v在光滑平行导轨上向右滑行，设整个电路中总电阻为R（恒定不变），整个装置置于垂直纸面向里的匀强磁场中，下列叙述正确的是（　　）
A.ab杆中的电流与速率v成正比
B.磁场作用于ab杆的安培力与速率v成正比
C.回路产生的热功率与速率v的二次方成正比
D.外力对ab杆做功的功率与速率v成正比
2.如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B。正方形金属框abcd的边长为L，总电阻为R，可绕光滑轴OO'转动，ab边质量为m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，经一定时间到达竖直位置，ab边的速度大小为v，重力加速度大小为g，则这一过程中，在金属框内产生热量大小等于（　　）
A. B.
C.mgL－ D.mgL＋
3.如图所示，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边界d水平。在竖直面内有一矩形金属线圈，线圈上、下边的距离很短，下边水平。线圈从水平面a开始下落。已知磁场上、下边界之间的距离大于水平面a、b之间的距离。若线圈下边通过水平面b、c（位于磁场中）和d时，线圈所受到的磁场力的大小分别为Fb、Fc和Fd，则（　　）
A.Fd＞Fc＞Fb B.Fc＜Fd＜Fb
C.Fc＞Fb＞Fd D.Fc＜Fb＜Fd
4.（多选）如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m的金属杆从轨道上由静止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速度vm（不计轨道和金属杆的电阻），则（　　）
A.如果B变大，vm将变大
B.如果α变大，vm将变大
C.如果R变大，vm将变大
D.如果m变小，vm将变大
5.如图所示，两平行金属导轨位于同一水平面上，相距l，左端与一阻值为R的电阻相连，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小为B，方向竖直向下。一质量为m的导体棒置于导轨上，在水平外力作用下沿导轨以速率v匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导轨垂直并接触良好。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力加速度大小为g，导轨和导体棒的电阻均可忽略。求：
（1）电阻R消耗的功率；
（2）水平外力的大小。
习题课三　电磁感应中的动力学、能量和动量问题
【核心要点·快突破】
要点一
知识精研
【典例1】　（1）见解析　（2）0.3 Ω　（3）0.5 s
解析：（1）通过R的电流I＝＝，因为B、l、R、r为定值，所以I与v成正比，又因通过R的电流I随时间均匀增大，即杆的速度v随时间均匀增大，即杆的加速度为恒量，故金属杆做匀加速运动。
（2）对回路电流进行分析，根据闭合电路欧姆定律，有I＝
对杆进行受力分析，根据牛顿第二定律，有
F＋mgsin θ－BIl＝ma
将F＝0.5v＋2代入得
2＋mgsin θ＋v＝ma
因为v为变量，a为定值，所以a与v无关，必有
ma＝2＋mgsin θ
0.5－＝0
解得a＝8 m/s2，R＝0.3 Ω。
（3）由x＝at2得，
所需时间t＝ ＝0.5 s。
素养训练
1.A　ef向右运动，切割磁感线产生感应电动势和感应电流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀减速，由F＝BIl＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运动，故A正确。
2.A　根据楞次定律知金属环中感应电流方向为顺时针，再由左手定则判断可知金属环所受安培力竖直向下，对金属环受力分析，根据受力平衡有FT＝mg＋F，F＝BIL，得FT＞mg，根据法拉第电磁感应定律得I＝＝＝S，可知I为恒定电流，联立以上各式可知随着B减小，推知F减小，则由FT＝mg＋F知FT减小。选项A正确。
3.
解析：金属棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，由右手定则知，金属棒中有从a到b方向的电流；由左手定则知，安培力方向向左，金属棒向右运动的过程中受到的合力逐渐减小，故金属棒向右做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力与摩擦力的合力增大到大小等于拉力F时，金属棒的加速度减小到零，速度达到最大，此后金属棒做匀速运动。
由平衡条件得F＝BImaxL＋μmg
由闭合电路欧姆定律有Imax＝
金属棒ab切割磁感线产生的感应电动势为
Emax＝BLvmax
联立以上各式解得金属棒的最大速度为
vmax＝。
要点二
知识精研
【典例2】　（1）　（2）
（3）mgxsin θ－
解析： （1）当杆达到最大速度时安培力F＝mgsin θ
安培力F＝BId
感应电流I＝
感应电动势E＝Bdvmax
解得最大速度vmax＝。
（2）当金属杆ab运动的加速度为gsin θ时
根据牛顿第二定律，有mgsin θ－BI'd＝m·gsin θ
电阻R上的电功率P＝I'2R
解得P＝。
（3）根据动能定理mgx·sin θ－WF＝m－0
解得WF＝mgxsin θ－。
【典例3】　（1）5 m/s　（2）1.25 J　（3）1.25 N
解析：（1）在安培力作用下，金属棒b做减速运动，金属棒c做加速运动，当两棒速度相等时，金属棒c达到最大速度。取两棒组成的系统为研究对象，根据动量守恒定律有mbv0＝（mb＋mc）v
解得金属棒c的最大速度为
v＝v0＝v0＝5 m/s。
（2）从金属棒b开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少的动能转化为电能，两棒中产生的总焦耳热为Q＝mb－（mb＋mc）v2＝2.5 J。
因为Rb＝Rc，所以金属棒c达到最大速度时，此棒产生的焦耳热为Qc＝＝1.25 J。
（3）设金属棒c沿半圆轨道滑到最高点时的速度为v'，从半圆轨道最低点上升到最高点的过程，由机械能守恒定律可得mcv2－mcv'2＝mcg·2R
解得v'＝3 m/s
在最高点，设轨道对金属棒c的弹力为F，由牛顿第二定律得mcg＋F＝mc
解得F＝1.25 N
由牛顿第三定律得，在最高点金属棒c对轨道的压力大小为1.25 N，方向竖直向上。
素养训练
1.B　如题图所示，当圆环从1位置开始下落，进入和离开磁场时（即2和3位置），由于圆环内磁通量发生变化，所以有感应电流产生。同时，金属圆环本身有内阻，必然有能量的转化，即有能量的损失，因此圆环不会摆到4位置。随着圆环进出磁场，其能量逐渐减少，圆环摆动的振幅越来越小。当圆环只在匀强磁场中摆动时，圆环内无磁通量的变化，无感应电流产生，无机械能向电能的转化，又题意中不存在空气阻力，摆线的拉力垂直于圆环的速度方向，拉力对圆环不做功，所以系统的机械能守恒，所以圆环最终将在A、B间来回摆动。综上，B正确。
2.D　依题意知，金属线框移动的位移大小为2l，此过程中克服摩擦力做功为2μmgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳热为Q＝m－2μmgl，故选项D正确。
3.（1）　（2）mgh
解析：（1）设ab下滑到倾斜轨道时速度为v1，
ab下滑过程，有mgh＝m，
得v1＝
ab和cd在水平导轨上运动时，根据动量守恒定律，有mv1＝2mv2，得v2＝。
（2）整个过程中产生的焦耳热Q＝m－×2m＝mgh。
【教学效果·勤检测】
1.ABC　由E＝Blv和I＝得I＝，所以安培力F＝BIl＝，回路产生的热功率P＝I2R＝，外力对ab做功的功率就等于回路产生的热功率，综上可知，A、B、C正确。
2.C　金属框绕光滑轴转动的过程中机械能有损失，但总能量守恒，损失的机械能转变成热量，故产生的热量为mgL－，故C正确。
3.D　线圈在a处自由下落，到b点速度vb＝，受安培力Fb＝，线圈全部进入磁场，无感应电流，则线圈不受安培力作用，Fc＝0，线圈继续加速，由于线圈上下边界很短，故vd＝＞vb，d点处所受安培力为Fd＝，故Fd＞Fb＞Fc，选项D正确。
4.BC　金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝，因此金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用，F＝BIl＝，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示，根据牛顿第二定律，得mgsin α－＝ma，当a＝0时，v＝vm，解得vm＝，故选项B、C正确，A、D错误。
5.（1）　（2）＋μmg
解析：（1）导体棒切割磁感线运动产生的感应电动势为E＝Blv，根据闭合电路欧姆定律，闭合回路中的感应电流为I＝，电阻R消耗的功率为P＝I2R，联立可得P＝。
（2）对导体棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦力及向右的外力，三力平衡，故有
F安＋μmg＝F，F安＝BIl＝B··l，
故F＝＋μmg。
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习题课三　
电磁感应中的动力学、能量和动量问题
核心 素养 目标 1.进一步熟练掌握牛顿运动定律、动能定理、能量守恒定律
等基本规律。
2.掌握电磁感应中动力学问题的分析方法，建立解决电磁感
应中动力学问题的思维模型。
3.理解电磁感应过程中能量的转化情况，能用能量的观点分
析和解决电磁感应问题
目 录
01.
核心要点·快突破
02.
教学效果·勤检测
03.
课时训练·提素能
核心要点·快突破
互动探究 深化认知
01
要点一　电磁感应中的动力学问题
1. 解答导体的平衡与加、减速问题的方法
（1）导体静止或做匀速直线运动：利用平衡条件解答。
（2）导体做匀变速直线运动：利用牛顿第二定律解答。
2. 电学对象和力学对象的相互关系
【典例1】　如图所示，两根足够长的光滑直金属导轨MN、PQ平行
固定在倾角θ＝37°的绝缘斜面上，两导轨间距l＝1 m，导轨的电阻
可忽略。M、P两点间接有电阻R。一根质量m＝1 kg、电阻r＝0.2 Ω
的均匀直金属杆ab放在两导轨上，与导轨垂直且接触良好。整套装置
处于磁感应强度B＝0.5 T 的匀强磁场中，磁场方向垂直斜面向下。自
图示位置起，杆ab受到大小为F＝0.5v＋2（式中v为杆ab运动的速
度，所有物理量均采用国际单位制）、方向平行导轨沿斜面向下的拉
力作用，由静止开始运动，测得通过电阻R的电流随时间均匀增大。g
取10 m/s2，sin 37°＝0.6。
（1）试判断金属杆ab在匀强磁场中做何种运动，请写出推理过程；
答案： 见解析　
解析： 通过R的电流I＝＝，因为B、l、R、r为定
值，所以I与v成正比，又因通过R的电流I随时间均匀增大，即杆
的速度v随时间均匀增大，即杆的加速度为恒量，故金属杆做匀
加速运动。
（2）求电阻R的阻值；
解析：对回路电流进行分析，根据闭合电路欧姆定律，有I＝
对杆进行受力分析，根据牛顿第二定律，有
F＋mgsin θ－BIl＝ma
将F＝0.5v＋2代入得
2＋mgsin θ＋v＝ma
因为v为变量，a为定值，所以a与v无关，必有
ma＝2＋mgsin θ
0.5－＝0
解得a＝8 m/s2，R＝0.3 Ω。
答案：0.3 Ω　
（3）求金属杆ab自静止开始下滑通过位移x＝1 m所需的时间t。
答案：0.5 s
解析：由x＝at2得，
所需时间t＝ ＝0.5 s。
思路点拨
（1）金属杆下滑时电动势如何计算？所构成的电路是怎样的？
（2）杆受哪些力？谁是恒力，谁是变力？
（3）杆运动时加速度、速度如何变化？
规律总结
“先电后力四步法”分析电磁感应动力学问题
1. 如图所示，在一匀强磁场中有一U形导线框abcd，线框处于水平面
内，磁场与线框平面垂直，R为一电阻，ef为垂直于ab的一根导体
杆，它可在ab、cd上无摩擦地滑动。杆ef及线框中导线的电阻都可
忽略不计。开始时，给ef一个向右的初速度，则（　　）
A. ef将减速向右运动，但不是匀减速
B. ef将匀减速向右运动，最后停止
C. ef将匀速向右运动
D. ef将往返运动
解析： 　ef向右运动，切割磁感线产生感应电动势和感应电
流，会受到向左的安培力而做减速运动，直到停止，但不是匀
减速，由F＝BIl＝＝ma知，ef做的是加速度减小的减速运
动，故A正确。
2. 如图所示，质量为m的金属环用细线悬挂起来，金属环有一半处于
水平且与环面垂直的匀强磁场中，从某时刻开始，磁感应强度均匀
减小，则在磁感应强度均匀减小的过程中，关于细线拉力大小的下
列说法中正确的是（　　）
A. 大于环的重力mg，并逐渐减小
B. 始终等于环的重力mg
C. 小于环的重力mg，并保持恒定
D. 大于环的重力mg，并保持恒定
解析： 　根据楞次定律知金属环中感应电流方向为顺时针，再由
左手定则判断可知金属环所受安培力竖直向下，对金属环受力分
析，根据受力平衡有FT＝mg＋F，F＝BIL，得FT＞mg，根据法拉
第电磁感应定律得I＝＝＝S，可知I为恒定电流，联立以上
各式可知随着B减小，推知F减小，则由FT＝mg＋F知FT减小。选
项A正确。
3. 如图所示，在竖直向下的磁感应强度为B的匀强磁场中，有两根水
平放置且足够长的平行金属导轨AB、CD，在导轨的A、C端连接一
阻值为R的电阻。一根质量为m、长度为L的金属棒ab垂直导轨放
置，导轨和金属棒的电阻不计，金属棒与导轨间的动摩擦因数为
μ。若用恒力F沿水平方向向右拉金属棒使其运动，求金属棒的最
大速度。
答案：
解析：金属棒向右运动切割磁感线产生感应电动势，由右手定则
知，金属棒中有从a到b方向的电流；由左手定则知，安培力方向向
左，金属棒向右运动的过程中受到的合力逐渐减小，故金属棒向右
做加速度逐渐减小的加速运动；当安培力与摩擦力的合力增大到大
小等于拉力F时，金属棒的加速度减小到零，速度达到最大，此后
金属棒做匀速运动。
由平衡条件得F＝BImaxL＋μmg
由闭合电路欧姆定律有Imax＝
金属棒ab切割磁感线产生的感应电动势为
Emax＝BLvmax
联立以上各式解得金属棒的最大速度为
vmax＝。
要点二　电磁感应中的能量和动量问题
1. 能量转化的过程分析
电磁感应的实质是不同形式的能量转化的过程，而能量的转化是通
过安培力做功实现的。安培力做功使得电能转化为其他形式的能
（通常为内能），外力克服安培力做功，则是其他形式的能（通常
为机械能）转化为电能的过程。
2. 求解焦耳热Q的方法
公式法 Q＝I2Rt
功能关系法 焦耳热等于克服安培力做的功
能量转化法 焦耳热等于其他形式能的减少量
3. 动量观点在电磁感应中的应用
（1）动量守恒定律的应用
在双金属棒切割磁感线的系统中，双金属棒和导轨构成闭合
回路，安培力为系统内力，如果两安培力等大反向，且它们
受到的外力的合力为0，则满足动量守恒条件，运用动量守恒
定律求解比较方便。
（2）动量定理的应用
导体棒或金属框在感应电流所引起的安培力作用下做非匀变
速直线运动时，安培力的冲量为I安＝BLΔt＝BLq，通过导体
棒或金属框的电荷量为q＝Δt＝Δt＝n，磁通量变化量
ΔΦ＝BΔS＝BLx。如果安培力是导体棒或金属框受到的合外
力，则I安＝mv2－mv1。当题目中涉及速度v、电荷量q、运动
时间t、运动位移x时用动量定理求解更方便。
【典例2】　如图所示，MN、PQ两条平行的光滑金属轨道与
水平面成θ角固定，轨道间距为d。空间存在匀强磁场，磁场
方向垂直于轨道平面向上，磁感应强度为B。P、M间所接电
阻阻值为R。质量为m的金属杆ab水平放置在轨道上，其有效
电阻为r。现从静止释放ab，当它沿轨道下滑距离x时，达到
最大速度。若轨道足够长且电阻不计，重力加速度为g。求：
（1）金属杆ab运动的最大速度；
答案： 　
解析： 当杆达到最大速度时安培力F＝mgsin θ
安培力F＝BId
感应电流I＝
感应电动势E＝Bdvmax
解得最大速度vmax＝。
答案：　
（2）金属杆ab运动的加速度为gsin θ时，电阻R上的电功率；
解析：当金属杆ab运动的加速度为gsin θ时
根据牛顿第二定律，有mgsin θ－BI'd＝m·gsin θ
电阻R上的电功率P＝I'2R
解得P＝。
答案：mgxsin θ－
　
（3）金属杆ab从静止到具有最大速度的过程中，克服安培力所做
的功。
解析：根据动能定理mgx·sin θ－WF＝m－0
解得WF＝mgxsin θ－。
【典例3】　足够长的平行金属轨道M、N，相距L＝0.5 m，且水平放
置；M、N左端与半径为R＝0.4 m的光滑竖直半圆轨道相连，与轨道
始终垂直且接触良好的金属棒b和c可在轨道上无摩擦地滑动，两金属
棒的质量mb＝mc＝0.1 kg，接入电路的有效电阻Rb＝Rc＝1 Ω，轨道的
电阻不计。平行水平金属轨道M、N处于磁感应强度B＝1 T的匀强磁
场中，磁场方向垂直于轨道平面向上，光滑竖直半圆轨道在磁场外，
如图所示，若使金属棒b以初速度v0＝10 m/s开始向左运动，运动过程
中金属棒b、c不相撞，g取10 m/s2，求：
（1）金属棒c的最大速度；
答案： 5 m/s　
解析： 在安培力作用下，金属棒b做减速运动，金属棒c做
加速运动，当两棒速度相等时，金属棒c达到最大速度。取两棒
组成的系统为研究对象，根据动量守恒定律有mbv0＝（mb＋
mc）v
解得金属棒c的最大速度为
v＝v0＝v0＝5 m/s。
（2）金属棒c达到最大速度时，此棒产生的焦耳热；
答案： 1.25 J　
解析：从金属棒b开始运动到两棒速度相等的过程中，系统减少
的动能转化为电能，两棒中产生的总焦耳热为Q＝mb－
（mb＋mc）v2＝2.5 J。
因为Rb＝Rc，所以金属棒c达到最大速度时，此棒产生的焦耳热
为Qc＝＝1.25 J。
（3）若金属棒c达到最大速度后沿半圆轨道上滑，到达轨道最高点时
金属棒c对轨道的压力的大小。
答案： 1.25 N
解析：设金属棒c沿半圆轨道滑到最高点时的速度为v'，从半圆轨道最低点上升到最高点的过程，由机械能守恒定律可得mcv2－mcv'2＝mcg·2R
解得v'＝3 m/s
在最高点，设轨道对金属棒c的弹力为F，由牛顿第二定律得mcg
＋F＝mc
解得F＝1.25 N
由牛顿第三定律得，在最高点金属棒c对轨道的压力大小为1.25
N，方向竖直向上。
1. 如图所示，一闭合金属圆环用绝缘细线挂于O点，将圆环拉离平衡
位置并释放，圆环摆动过程中经过有界的水平匀强磁场区域，A、
B为该磁场的竖直边界。若不计空气阻力，则（　　）
A. 圆环向右穿过磁场后，还能摆至原来的高度
B. 在进入和离开磁场时，圆环中均有感应电流
C. 圆环进入磁场后离平衡位置越近，速度越大，感
应电流也越大
D. 圆环最终将静止在平衡位置
解析： 　如题图所示，当圆环从1位置开始下落，
进入和离开磁场时（即2和3位置），由于圆环内
磁通量发生变化，所以有感应电流产生。同时，
金属圆环本身有内阻，必然有能量的转化，即有
能量的损失，因此圆环不会摆到4位置。随着圆环进出磁场，其能量逐渐减少，圆环摆动的振幅越来越小。当圆环只在匀强磁场中摆动时，圆环内无磁通量的变化，无感应电流产生，无机械能向电能的转化，又题意中不存在空气阻力，摆线的拉力垂直于圆环的速度方向，拉力对圆环不做功，所以系统的机械能守恒，所以圆环最终将在A、B间来回摆动。综上，B正确。
2. 如图所示，在粗糙绝缘水平面上有一正方形闭合线框abcd，其边长
为l，质量为m，金属线框与水平面的动摩擦因数为μ。虚线框
a'b'c'd'内有一匀强磁场，磁场方向竖直向下。开始时金属线框的ab
边与磁场的d'c'边重合。现使金属线框以初速度v0沿水平面滑入磁
场区域，运动一段时间后停止，此时金属线框的dc边与磁场区域的
d'c' 边距离为l。在这个过程中，金属线框产生的焦耳热为（　　）
解析： 　依题意知，金属线框移动的位移大小为2l，此过程中克
服摩擦力做功为2μmgl，由能量守恒定律得金属线框中产生的焦耳
热为Q＝m－2μmgl，故选项D正确。
3. 如图所示，两根光滑的导轨平行放置。导轨的水平部分放在绝缘水
平面上，水平部分所在空间有竖直向上的磁场，磁感应强度为B。
导轨的水平部分和倾斜部分由光滑圆弧连接。两根完全相同的金属
棒ab和cd质量均为m、接入电路的电阻均为R，将cd置于导轨的水
平部分与导轨垂直放置，将ab置于导轨的倾斜部分与导轨垂直
放置，ab离水平面的高度为h，重力加速度为g，现将ab由静止释
放，求：
（1）cd棒最终的速度大小；
答案： 　
解析： 设ab下滑到倾斜轨道时速度为v1，
ab下滑过程，有mgh＝m，
得v1＝
ab和cd在水平导轨上运动时，根据动量守恒定律，有mv1＝
2mv2，得v2＝。
（2）整个过程中产生的焦耳热Q。
答案： mgh
解析：整个过程中产生的焦耳热Q＝m－×2m＝
mgh。
教学效果·勤检测
强化技能 查缺补漏
02
1. （多选）如图所示，金属杆ab以恒定的速率v在光滑平行导轨上向
右滑行，设整个电路中总电阻为R（恒定不变），整个装置置于垂
直纸面向里的匀强磁场中，下列叙述正确的是（　　）
A. ab杆中的电流与速率v成正比
B. 磁场作用于ab杆的安培力与速率v成正比
C. 回路产生的热功率与速率v的二次方成正比
D. 外力对ab杆做功的功率与速率v成正比
解析： 　由E＝Blv和I＝得I＝，所以安培力F＝BIl＝
，回路产生的热功率P＝I2R＝，外力对ab做功的功率就
等于回路产生的热功率，综上可知，A、B、C正确。
2. 如图所示，匀强磁场方向竖直向下，磁感应强度为B。正方形金属
框abcd的边长为L，总电阻为R，可绕光滑轴OO'转动，ab边质量为
m，其他三边质量不计，现将abcd拉至水平位置，并由静止释放，
经一定时间到达竖直位置，ab边的速度大小为v，重力加速度大小
为g，则这一过程中，在金属框内产生热量大小等于（　　）
解析： 　金属框绕光滑轴转动的过程中机械能有损失，但总能量
守恒，损失的机械能转变成热量，故产生的热量为mgL－，故C
正确。
3. 如图所示，空间某区域中有一匀强磁场，磁感应强度方向水平，且
垂直于纸面向里，磁场上边界b和下边界d水平。在竖直面内有一矩
形金属线圈，线圈上、下边的距离很短，下边水平。线圈从水平面
a开始下落。已知磁场上、下边界之间的距离大于水平面a、b之间
的距离。若线圈下边通过水平面b、c（位于磁场中）和d时，线圈
所受到的磁场力的大小分别为Fb、Fc和Fd，则（　　）
A. Fd＞Fc＞Fb B. Fc＜Fd＜Fb
C. Fc＞Fb＞Fd D. Fc＜Fb＜Fd
解析： 　线圈在a处自由下落，到b点速度vb＝，受安培力
Fb＝，线圈全部进入磁场，无感应电流，则线圈不受安培力
作用，Fc＝0，线圈继续加速，由于线圈上下边界很短，故vd＝
＞vb，d点处所受安培力为Fd＝，故Fd＞Fb＞
Fc，选项D正确。
4. （多选）如图所示，有两根和水平方向成α角的光滑平行的金属轨
道，上端接有可变电阻R，下端足够长，空间有垂直于轨道平面的
匀强磁场，磁感应强度为B。一根质量为m的金属杆从轨道上由静
止滑下，经过足够长的时间后，金属杆的速度会趋近于一个最大速
度vm（不计轨道和金属杆的电阻），则（　　）
A. 如果B变大，vm将变大
B. 如果α变大，vm将变大
C. 如果R变大，vm将变大
D. 如果m变小，vm将变大
解析： 　金属杆从轨道上滑下切割磁感线产生感应
电动势E＝Blv，在闭合电路中形成电流I＝，因此
金属杆从轨道上滑下的过程中除受重力、轨道的弹力外还受安培力F作用，F＝BIl＝，先用右手定则判定感应电流方向，再用左手定则判定出安培力方向，如图所示，根据牛顿第二定律，得mgsin α－＝ma，当a＝0时，v＝vm，解得vm＝，故选项
B、C正确，A、D错误。
5. 如图所示，两平行金属导轨位于同一水平面上，相距l，左端与一
阻值为R的电阻相连，整个系统置于匀强磁场中，磁感应强度大小
为B，方向竖直向下。一质量为m的导体棒置于导轨上，在水平外
力作用下沿导轨以速率v匀速向右滑动，滑动过程中始终保持与导
轨垂直并接触良好。已知导体棒与导轨间的动摩擦因数为μ，重力
加速度大小为g，导轨和导体棒的电阻均可忽略。求：
（1）电阻R消耗的功率；
答案： 　
解析： 导体棒切割磁感线运动产生的感应电动势为E＝
Blv，根据闭合电路欧姆定律，闭合回路中的感应电流为I＝
，电阻R消耗的功率为P＝I2R，联立可得P＝。
（2）水平外力的大小。
答案： ＋μmg
解析：对导体棒受力分析，受到向左的安培力和向左的摩擦力
及向右的外力，三力平衡，故有
F安＋μmg＝F，F安＝BIl＝B··l，
故F＝＋μmg。
03
课时训练·提素能
分层达标 素养提升
题组一　电磁感应中的动力学问题
1. 如图所示，虚线为两磁场的边界，左侧磁场的方向垂直纸面向里，
右侧磁场的方向垂直纸面向外，磁感应强度大小均为B。一边长为
L、电阻为R的单匝正方形导体线圈abcd，水平向右运动到图示位
置时，速度大小为v，则（　　）
A. ab边受到的安培力向左，cd边受到的安培力向右
B. ab边受到的安培力向右，cd边受到的安培力向左
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解析： 　线圈的左右两边分别切割磁感线产生
感应电动势，由右手定则可知线圈中感应电流
沿顺时针方向，如图所示，再由左手定则可得
ab边受到的安培力向左，cd边受到的安培力也
向左，故A、B错误；线圈的电动势为E＝2BLv，则电流为I＝＝，线圈受到的安培力F总＝2F＝2BIL＝，故C错误，D正确。
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2. （多选）如图所示，两根间距为L的光滑金属导轨，平行放置在倾
角为θ的绝缘斜面上，导轨的下端接有电阻R，导轨自身的电阻可
忽略不计。斜面处在匀强磁场中，磁场方向垂直于斜面向上，质量
为m、导轨间有效电阻为r的金属棒ab在沿着斜面、与棒垂直的恒
力F作用下由静止沿导轨上滑。下列说法正确的是（　　）
A. 金属棒ab将会沿金属导轨做匀加速运动
B. 金属棒ab最终将沿金属导轨做匀速运动
D. 恒力F做的功等于金属棒ab增加的机械能
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解析： 　根据右手定则可知，流过金属棒的电流由a到b，由左
手定则知金属棒ab受到一个沿斜面向下的安培力，所以金属棒ab在
运动过程中受到竖直向下的重力、垂直斜面向上的支持力、沿斜面
向上的恒力F、沿斜面向下的安培力FA，随着速度增大，安培力也
增大，则金属棒的合力减小，加速度减小，当合力为零时，金属棒
做匀速直线运动，选项A错误，B正确；金属棒匀速运动时的速度
为最大速度，此时有FA＋mgsin θ＝F，而FA＝BIL＝B··L，联立
解得v＝，选项C正确；根据能量守恒定律可知，恒力F做的功等于金属棒ab增加的机械能与系统产生的焦耳热之和，选项D错误。
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3. （多选）（2024·四川巴中高二期中）如图所示，MN和PQ是两根
互相平行且竖直放置的光滑金属导轨，已知导轨足够长，且电阻不
计，ab是一根与导轨垂直且始终与导轨接触良好的金属杆。开始
时，将开关S断开，让杆ab由静止开始自由下落，经过一段时间
后，再将S闭合，若从S闭合开始计时，则金属杆ab的速度v随时间t
变化的图像可能是下列选项中的（　　）
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解析： 　S闭合时，若金属杆受到的安培力＞mg，ab杆先
做加速度逐渐减小的减速运动再做匀速运动，D项有可能；若
＝mg，ab杆匀速运动，A项有可能；若＜mg，ab杆先做加速
度逐渐减小的加速运动再做匀速运动，C项有可能；由于v变化，
mg－＝ma中a不恒定，故B项不可能。
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题组二　电磁感应中的能量问题
4. 如图所示，纸面内有一矩形导体闭合线框abcd，ab边长大于bc边
长，置于垂直纸面向里、边界为MN的匀强磁场外，线框两次匀速
地完全进入磁场，两次速度大小相同，方向均垂直于MN。第一次
ab边平行MN进入磁场，线框上产生的热量为Q1，通过线框导体横
截面的电荷量为q1；第二次bc边平行于MN进入磁场，线框上产生
的热量为Q2，通过线框导体横截面的电荷量为q2，则（　　）
A. Q1＞Q2，q1＝q2 B. Q1＞Q2，q1＞q2
C. Q1＝Q2，q1＝q2 D. Q1＝Q2，q1＞q2
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解析： 　根据功能关系知，线框上产生的热量等于克服安培力做
的功，即Q1＝W1＝F1lbc＝lbc＝lab，同理Q2＝lbc，又
lab＞lbc，故Q1＞Q2；因为q＝t＝t＝，所以q1＝q2，故A正确。
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5. （2024·四川广安高二期中）如图所示，竖直放置的两根平行金属
导轨之间接有定值电阻R，金属棒与两导轨始终保持垂直，并良好
接触且无摩擦，棒与导轨的电阻均不计，整个装置放在水平匀强磁
场中，棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升的一段时间内，下列
说法正确的是（　　）
A. 通过电阻R的电流方向向左
B. 棒受到的安培力方向向上
C. 棒机械能的增加量等于恒力F做的功
D. 棒克服安培力做的功等于电路中产生的热量
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解析： 　由右手定则可以判断出通过金属棒的电流方向向左，则
通过电阻R的电流方向向右，故选项A错误；由左手定则可以判断
出金属棒受到的安培力方向向下，故选项B错误；根据平衡条件可
知重力等于恒力F减去安培力，根据功能关系知恒力F做的功等于
棒机械能的增加量与电路中产生的热量之和，故选项C错误；金属
棒在竖直向上的恒力F作用下匀速上升，安培力做负功，即克服安
培力做功，根据功能关系知金属棒克服安培力做的功等于电路中产
生的热量，故选项D正确。
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6. 如图所示，水平方向的磁场垂直于光滑曲面，闭合小金属环从高h
的曲面上端无初速度滑下，又沿曲面的另一侧上升，则（　　）
A. 若是匀强磁场，环在左侧上升的高度小于h
B. 若是匀强磁场，环在左侧上升的高度大于h
C. 若是非匀强磁场，环在左侧上升高度等于h
D. 若是非匀强磁场，环在左侧上升的高度小于h
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解析： 　若是匀强磁场，穿过小环的磁通量不变，没有感应电流
产生，其机械能守恒，高度不变，则环在左侧上升的高度等于h，
故A、B错误；若是非匀强磁场，穿过小环的磁通量变化，小环中
产生感应电流，转化为内能，机械能减小，高度将减小，则环在左
侧上升的高度小于h，故C错误，D正确。
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7. （多选）在光滑的水平面上方，有两个磁感应强度大小均为B，方
向相反的水平匀强磁场，如图所示。PQ为两个磁场的边界，磁场
范围足够大。一个边长为a、质量为m、电阻为R的金属正方形线
框，以速度v垂直磁场方向从如图实线位置开始向右运动，当线框
运动到分别有一半面积在两个磁场中时，速度为，则下列说法正
确的是（　　）
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解析： 　线圈磁通量的变化ΔΦ＝Ba2，则由E＝，I＝，q＝
IΔt可得q＝＝，选项A错误；此时线框产生的电流I＝＝
，由牛顿第二定律和安培力公式可得加速度a1＝＝，
选项B错误；对此过程，由能量守恒定律可得，回路产生的电能E
＝mv2－m＝mv2，选项C正确；由电功率定义可得P＝I2R＝
，选项D正确。
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8. 如图所示，足够长的光滑平行金属导轨MN、PQ倾斜放置，导轨平
面与水平面的夹角θ＝30°，两导轨间距L＝1.0 m，底端N、Q两点
连接R＝1.0 Ω的电阻，匀强磁场方向垂直于导轨所在平面向上，
磁感应强度的大小为B＝0.6 T，质量为m＝0.2 kg、阻值为r＝0.5
Ω的导体棒垂直于导轨放置，在平行于平面向上的拉力F作用下沿
导轨向上做匀速直线运动，速度v＝10 m/s。撤去拉力F后，导体棒
沿导轨继续运动l＝2.0 m后速度减为零。运动过程中导体棒与导轨
始终垂直并接触良好，取g＝10 m/s2，导轨电阻不计。求：
（1）拉力F的大小；
答案： 3.4 N　
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解析： 导体棒匀速运动产生的感应电动势为E＝BLv
＝6 V
感应电流为I＝＝4 A
由导体棒受力平衡可得
F＝F安＋mgsin θ＝BIL＋mgsin θ＝3.4 N。
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（2）撤去拉力F后导体棒继续沿导轨上滑的过程中电阻R产生的焦
耳Q和通过电阻R的电荷量q。
答案： J　0.8 C
解析：撤去拉力后，由动能定理可得－mglsin θ－W克安＝0－mv2
得导体棒克服安培力所做的功W克安＝8 J
则电阻R产生的焦耳热Q＝W克安＝ J
通过电阻R的电荷量q＝Δt＝＝＝0.8 C。
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9. （2024·四川宜宾高二期末）两根足够长的固定平行金属导轨位于
同一水平面内，两导轨间的距离为l，导轨上面垂直放置两根导体
棒ab和cd，构成矩形回路，如图所示。两根导体棒的质量均为m，
电阻均为R，回路中其余部分的电阻不计。在整个导轨平面内都有
竖直向上的匀强磁场，磁感应强度为B。两导体棒均可沿导轨无摩
擦地滑行，开始时，cd棒静止，ab棒有指向cd的速度v0。两导体棒
在运动中始终不接触。求：
（1）在运动中产生的最大焦耳热；
答案： m　
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解析： 从初始到两棒速度相等的过程中，两棒总动量守
恒，则有mv0＝2mv
解得v＝
由能量守恒定律得Q＝m－×2mv2＝m。
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（2）当ab棒的速度变为v0时，cd棒的加速度。
答案： ，方向水平向右
解析：当ab棒的速度变为v0时，设此时cd棒的速度为v'，由动
量守恒定律可知mv0＝m×v0＋mv'
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解得v'＝v0
此时回路中的电动势为E＝Blv0－Blv0＝Blv0
此时回路中的电流为I＝＝
此时cd棒所受的安培力为F＝BIl＝
由牛顿第二定律可得，cd棒的加速度a＝＝
方向水平向右。
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