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2025年广东省东莞市南城区中考数学一模试卷
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算结果为0的是（　　）
A．3﹣（﹣3） B．﹣|﹣3|﹣3
C．1+（﹣1）2005 D．﹣22﹣（﹣2）2
2．（3分）2024年东莞市地区生产总值12282.15亿元，12282.15亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.228215×1014 B．12.28215×1012
C．1.228215×1012 D．12.28215×1011
3．（3分）将直线y＝kx﹣2（k≠0）向右平移1个单位后，正好经过点（2，4），则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
4．（3分）下列选项正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B． C．2﹣2＝﹣4 D．2sin30°＝1
5．（3分）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面内上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，∠1＝∠2，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为（　　）
A．60° B．30° C．120° D．90°
6．（3分）有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（　　）
A．（黑桃） B．（红心） C．（梅花） D．（方块）
7．（3分）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
8．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
9．（3分）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣9，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的值可以是 　 　 （写一个即可）．
12．（3分）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2026﹣a2﹣a的值是 　 　 ．
13．（3分）某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 　 　 .（填“平均数”“中位数”或“众数”）
14．（3分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED＝4cm，母线AD＝10cm．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，则∠EAF的大小是 　 　 ．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转得到正方形AEFG．连接CE，BE．当△BCE为直角三角形时，CE的长度是 　 　 ．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）解不等式组：．
17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝3．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知∠CAB的平分线与BC交于点P，用尺规作图法．求作点P，保留作图痕迹，不写作法；
（2）若AC＝3，BC＝4，求点P到AB的距离．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）某专卖店出售一款名牌衬衣，衬衣进价为每件100元，在销售过程中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为150元时，每日可销售20件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该专卖店店主期望此种衬衣的日销售利润为1500元．则销售单价应定为多少元？
20．（9分）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 a b 2
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　 　 ，七年级活动成绩的众数为 　 　 分；
（2）a＝　 　 ，b＝　 　 ；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
21．（9分）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦MN＝24cm，点P是MN的中点，过P作PQ⊥MN，交MN所对的于点Q，PQ＝8cm，台灯支架NC与底座AB垂直，NC＝45cm，底座AB放在水平面上．
【计算】（1）如图1，当MN∥AB时，求所在圆的半径；
【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与CN相切，如图2．
【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度；
（3）求点M经过的路径的长．（参考数据：
五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）【问题提出】
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证：．
【迁移应用】
（2）如图2，在 ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD＝180°，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°，，，请直接写出的值．
23．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M；y＝ax2+bx﹣1的顶点为A．
（1）如图1，若A点横坐标为2，点（4，t）在抛物线M上，求t的值；
（2）如图2，若a＝1，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式；
（3）定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点（3，0），（1，2）都是“整点”．若b＝﹣4a，当抛物线M：y＝ax2+bx﹣1与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围．
2025年广东省东莞市南城区中考数学一模试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C C． D D B B D A C D
一、单选题（本题共10小题，每小题3分，共30分）
1．（3分）下列计算结果为0的是（　　）
A．3﹣（﹣3） B．﹣|﹣3|﹣3
C．1+（﹣1）2005 D．﹣22﹣（﹣2）2
【解答】解：3﹣（﹣3）＝3+3＝6，故选项A不符合题意；
﹣|﹣3|﹣3＝﹣3﹣3＝﹣6，故选项B不符合题意；
1+（﹣1）2005＝1+（﹣1）＝0，故选项C符合题意；
﹣22﹣（﹣2）2＝﹣4﹣4＝﹣8，故选项D不符合题意；
故选：C．
2．（3分）2024年东莞市地区生产总值12282.15亿元，12282.15亿用科学记数法表示为（　　）
A．1.228215×1014 B．12.28215×1012
C．1.228215×1012 D．12.28215×1011
【解答】解：12282.15亿＝1228215000000＝1.228215×1012．
故选：C．
3．（3分）将直线y＝kx﹣2（k≠0）向右平移1个单位后，正好经过点（2，4），则k的值为（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【解答】解：由题知，
将直线y＝kx﹣2（k≠0）向右平移1个单位后所得直线的解析式为y＝k（x﹣1）﹣2．
将点（2，4）代入y＝k（x﹣1）﹣2得，
k﹣2＝4，
解得k＝6．
故选：D．
4．（3分）下列选项正确的是（　　）
A．a5+a5＝a10 B． C．2﹣2＝﹣4 D．2sin30°＝1
【解答】解：A、a5+a5＝2a5，故此选项不符合题意；
B、，故此选项不符合题意；
C、，故此选项不符合题意；
D、2sin30°1，故此选项符合题意；
故选：D．
5．（3分）如图，平面反光镜AC斜放在地面AB上，一束光线从地面内上的P点射出，DE是反射光线．已知∠APD＝120°，∠1＝∠2，若要使反射光线DE∥AB，则∠CAB应调节为（　　）
A．60° B．30° C．120° D．90°
【解答】解：∵DE∥AB，
∴∠A＝∠2，
∵∠1＝∠2，
∴∠A＝∠1，则PA＝PD，
∵在△APD中，∠APD＝120°，
∴∠A＝∠1（180°﹣∠APD）（180°﹣120°）60°＝30°，
所以∠CAB应调节为30°，
故选：B．
6．（3分）有7张扑克牌如图所示，将其打乱顺序后，背面朝上放在桌面上，若从中随机抽取一张，则抽到的花色可能性最大的是（　　）
A．（黑桃） B．（红心） C．（梅花） D．（方块）
【解答】解：∵抽到黑桃的概率为，抽到红心的概率为，抽到梅花的概率为，抽到方块的概率为，
∴抽到的花色可能性最大的是红心，
故选：B．
7．（3分）设的整数部分为a，小数部分为b，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴a＝1，，
∴，
故选：D．
8．（3分）《九章算术》中有一道关于古代驿站送信的题目，其白话译文为：一份文件，若用慢马送到800里远的城市，所需时间比规定时间多1天；若改为快马派送，则所需时间比规定时间少2天，已知快马的速度是慢马的倍，求规定时间．设规定时间为x天，则下列分式方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：由题意可得，
，
故选：A．
9．（3分）如图，点A为反比例函数图象上的一点，连接AO，过点O作OA的垂线与反比例的图象交于点B，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：作AG⊥x轴，垂足为G，BH⊥x轴，垂足为H，
∵点A在函数y图象上，点B在反比例函数y图象上，
∴S△AGO，S△BOH＝1，
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOG＝∠HBO，∠AGO＝∠OHB，
∴△AGO∽△OHB，
∴（）2，
∴．
故选：C．
10．（3分）如图，我们把一个半圆与抛物线的一部分围成的封闭图形称为“果圆”．已知点A、B、C、D分别是“果圆”与坐标轴的交点，抛物线的解析式为y＝（x﹣2）2﹣9，AB为半圆的直径，则这个“果圆”被y轴截得的弦CD的长为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：连接CM，
由图可得，抛物线与y轴交于点D，与x轴分别交于点A，B，
令x＝0，得y＝﹣5，
∴点D的坐标为（0，﹣5），
∴OD＝5．
令y＝0，得（x﹣2）2﹣9＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝5，
∴点A的坐标为（﹣1，0），点B的坐标为（5，0），
∴AB＝6，
∴CM＝BM3，
∴OM＝2．
由勾股定理得，OC．
∴CD＝CO+OD＝5．
故选：D．
二、填空题（本题共5小题，每小题3分，共15分）
11．（3分）若在实数范围内有意义，则x的值可以是 　0（答案不唯一）　 （写一个即可）．
【解答】解：若在实数范围内有意义，则1﹣x≥0，
解得x≤1，
∴x的值可以是0（答案不唯一），
故答案为：0（答案不唯一）．
12．（3分）若a是方程x2+x﹣1＝0的根，则代数式2026﹣a2﹣a的值是 　2025　 ．
【解答】解：∵a是方程x2+x﹣1＝0的根，
∴a2+a﹣1＝0，
∴a2+a＝1，
∴2026﹣a2﹣a
＝2026﹣（a2+a）
＝2026﹣1
＝2025．
故答案为：2025．
13．（3分）某中学举行的“宪法伴你我，守护一生安”的演讲比赛中，有15名学生进入决赛，他们决赛的成绩各不相同，其中一名学生想知道自己能否进入前7名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生的成绩的 　中位数　 .（填“平均数”“中位数”或“众数”）
【解答】解：由题意可得：该学生想要知道自己能否进入前8名，不仅要了解自己的成绩，还要了解这15名学生成绩的中位数，
故答案为：中位数．
14．（3分）某种冰激凌的外包装可以视为圆锥，它的底面圆直径ED＝4cm，母线AD＝10cm．制作这种外包装需要用如图扇形材料，将扇形AEF围成圆锥时，AE，AF恰好重合，则∠EAF的大小是 　72°　 ．
【解答】解：∵ED＝4cm，
∴底面周长为：π ED＝4π，
∵AD＝10cm，
∴，
解得n＝72，
∴∠EAF＝72°，
故答案为：72°．
15．（3分）如图，正方形ABCD的边长为，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转得到正方形AEFG．连接CE，BE．当△BCE为直角三角形时，CE的长度是 　或1或5　 ．
【解答】解：①当C为直角顶点时，D与E重合，如图：
此时CE；
②当E为直角顶点时，过A作AH⊥BE于H，如图：
由旋转性质可得，AE＝AB，
∴BH＝HE，
∵∠CBE＝90°﹣∠ABH＝∠BAH，∠CEB＝90°＝∠AHB，BC＝AB，
∴△CBE≌△BAH（AAS），
∴CE＝BH，
∴CE＝BH＝HE，
∴BE＝2CE，
∵CE2+BE2＝BC2，
∴CE2+4CE2＝5，
解得CE＝1；③当B为直角顶点时，如图：
此时B，A，E共线，
∴BE＝AB+AE＝2，
∴CE5，
综上所述，CE的长为或1或5；
故答案为：或1或5．
三、解答题（一）（本题共3小题，每小题7分，共21分）
16．（7分）解不等式组：．
【解答】解：，
解不等式①，得：x≤1，
解不等式②，得：x＜4，
∴原不等式组的解集为x≤1．
17．（7分）先化简，再求值：，其中x＝3．
【解答】解：原式
，
当x＝3时，原式．
18．（7分）如图，在△ABC中，∠C＝90°．
（1）已知∠CAB的平分线与BC交于点P，用尺规作图法．求作点P，保留作图痕迹，不写作法；
（2）若AC＝3，BC＝4，求点P到AB的距离．
【解答】解：（1）如图，射线AP即为所求；
（2）过点P作PH⊥AB于点H．
∵PA平分∠CAB，PC⊥AC，PH⊥AB，
∴PC＝PH，设PC＝PH＝x．
∵∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，
∴AB5，
∵S△ABC＝S△ACP+S△APB，
∴3×43×x5×x，
∴x，
∴点P到直线AB的距离为．
四、解答题（二）（本题共3小题，每小题9分，共27分）
19．（9分）某专卖店出售一款名牌衬衣，衬衣进价为每件100元，在销售过程中发现，该衬衣的日销售量y（件）是销售价x（元）的反比例函数，已知销售定价为150元时，每日可销售20件．
（1）求y与x之间的函数关系式；
（2）若该专卖店店主期望此种衬衣的日销售利润为1500元．则销售单价应定为多少元？
【解答】解：（1）设函数式为y（k≠0），
∵当销售定价为150元时，每日可销售20件，
∴20，
解得：k＝3000，
∴y与x之间的函数关系式为：y；
（2）设单价是x元，
∵y（x﹣100）＝1500，
∴ （x﹣100）＝1500，
解得：x＝200，
故销售单价应为200元．
20．（9分）端午节是中国的传统节日，民间有端午节吃粽子的习俗．在端午节来临之际，某校七、八年级开展了一次“包粽子”实践活动，对学生的活动情况按10分制进行评分，成绩（单位：分）均为不低于6的整数．为了解这次活动的效果，现从这两个年级各随机抽取10名学生的活动成绩作为样本进行整理，并绘制统计图表，部分信息如下：
八年级10名学生活动成绩统计表
成绩/分 6 7 8 9 10
人数 1 2 a b 2
已知八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分．
请根据以上信息，完成下列问题：
（1）样本中，七年级活动成绩为7分的学生数是 　1　 ，七年级活动成绩的众数为 　8　 分；
（2）a＝　2　 ，b＝　3　 ；
（3）若认定活动成绩不低于9分为“优秀”，根据样本数据，判断本次活动中优秀率高的年级是否平均成绩也高，并说明理由．
【解答】解：（1）由扇形统计图可得，成绩为8分的人数为10×50%＝5（人），
成绩为9分的人数为10×20%＝2（人），
成绩为10分的人数为10×20%＝2（人），
则成绩为7分的学生数为10﹣5﹣2﹣2＝1（人），
∵出现次数最多的为8分，
∴七年级活动成绩的众数为8分，
故答案为：1；8；
（2）由题意，将八年级的活动成绩从小到大排列后，它的中位数应是第5个和第6个数据的平均数，
∵八年级10名学生活动成绩的中位数为8.5分，
∴第5个和第6个数据的和为8.5×2＝17＝8+9，
∴第5个和第6个数据分别为8分，9分，
∵成绩为6分和7分的人数为1+2＝3（人），
∴成绩为8分的人数为5﹣3＝2（人），成绩为9分的人数为10﹣5﹣2＝3（人），
即a＝2，b＝3，
故答案为：2；3；
（3）不是，理由如下：
结合（1）（2）中所求可得七年级的优秀率为100%＝40%，八年级的优秀率为100%＝50%，
七年级的平均成绩为8.5（分），八年级的平均成绩为8.3（分），
∵40%＜50%，8.5＞8.3，
∴本次活动中优秀率高的年级并不是平均成绩也高．
21．（9分）如图是某款可折叠台灯的平面示意图，台灯罩为一个弓形，弦MN＝24cm，点P是MN的中点，过P作PQ⊥MN，交MN所对的于点Q，PQ＝8cm，台灯支架NC与底座AB垂直，NC＝45cm，底座AB放在水平面上．
【计算】（1）如图1，当MN∥AB时，求所在圆的半径；
【操作】将台灯罩从图1中的位置慢慢抬起直到所在的圆与CN相切，如图2．
【探究】（2）在图2中画出所在圆的圆心O的位置（不说理由），并求出点P上升的高度；
（3）求点M经过的路径的长．（参考数据：
【解答】解：（1）设所在圆的圆心为点O，如图，连接OM，OP，
∵点P是MN的中点，
∴OP⊥MN，MP＝NP＝12cm，
∵PQ⊥MN，
∴O、P、Q共线，
设所在圆的半径为r，
∴OP＝r﹣8，
在Rt△OMP中，由勾股定理得：（r﹣8）2+122＝r2，
解得r＝13，
∴所在圆的半径为13cm．
（2）如图，点O即为所在圆的圆心O的位置，
过点P作PT⊥ON于点T，
∵，
∴，
又OP＝r﹣8＝5，
∴，
即点P上升的高度为cm；
（3）∵，
∴∠PON＝67°，MN＝24cm，
∴∠PNO＝90°﹣∠PON＝90°﹣67°＝23°，
∴点M经过的路径的长为．
五、解答题（三）（本题共2小题，第22题13分，第23题14分，共27分）
22．（13分）【问题提出】
（1）如图1，在矩形ABCD中，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，若∠FOC＝90°，求证：．
【迁移应用】
（2）如图2，在 ABCD中，AB＝4，AD＝7，点E，F分别是边AD，AB上的点，连接CE与DF交于点O，且∠COD+∠BAD＝180°，求的值．
【拓展提高】
（3）如图3，在四边形ABCD中，点E是边AD上的一点，连接BD与CE交于点O，∠BOC＝∠BAD＝∠BCD＝120°，，，请直接写出的值．
【解答】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝∠CDE＝90°，
∴∠AFD+∠ADF＝90°，
∵∠FOC＝∠EOD＝90°，
∴∠ADF+∠CED＝90°，
∴∠CED＝∠AFD，
∴△DAF∽△CDE，
∴，
∵CD＝AB，
∴；
（2）解：∵∠COD+∠BAD＝180°，∠COD+∠DOE＝180°，
∴∠DOE＝∠DAF，
∵∠ODE＝∠ADF，
∴△ODE∽△ADF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD∥AB，AB＝CD，
∴∠A+∠ADC＝180°，
又∵∠FOC+∠COD＝180°，
∴∠ADC＝∠COD，
∵∠DCE＝∠OCD，
∴△DCE∽△OCD，
∴，
∴，
∴，
即，
∵AB＝4，AD＝7，
∴的值为；
（3）解：如图所示，过点C作CN∥AD交AB延长线于N，过点D作DM∥AB交NC延长线于M，则四边形DANM是平行四边形，
∴∠M＝∠A＝120°，DM＝AN，MN＝AD，
同（2）可得，
∵，
∴设AB＝a，AD＝3a，
在NM上取一点P使得NB＝NP，连接BP，
∵AD∥MN，∠A＝120°，
∴∠N＝60°，
∴△NBP是等边三角形，
∴BP＝NB＝NP，∠BPN＝60°，
∴∠BPC＝120°＝∠M；
∵∠BCD＝120°，
∴∠PCB+∠PBC＝60°＝∠PCB+∠MCD，
∴∠PBC＝∠MCD，
∴△PBC∽△MCD，
∴，
设DM＝3x，则PC＝4x，BP＝PN＝BN＝AN﹣AB＝3x﹣a，
∴CMPBxa，
∴MN＝PN+PC+CM＝AD＝3a，
∴3x﹣a+4xxa＝3a，
解得xa，
∴DM＝3xa，
∴．
23．（14分）在平面直角坐标系xOy中，抛物线M；y＝ax2+bx﹣1的顶点为A．
（1）如图1，若A点横坐标为2，点（4，t）在抛物线M上，求t的值；
（2）如图2，若a＝1，直线分别交x轴、y轴于点B、C，用b表示点A到直线l的距离d，并求出d取得最小值时抛物线M的解析式；
（3）定义：在平面直角坐标系中，若点P满足横、纵坐标都为整数，则把点P叫做“整点”，如点（3，0），（1，2）都是“整点”．若b＝﹣4a，当抛物线M：y＝ax2+bx﹣1与其关于x轴对称抛物线所围成的封闭区域内（包括边界）共有9个整点，求a的取值范围．
【解答】解：（1）若A点横坐标为2，则x＝2，则b＝﹣4a，
则抛物线的表达式为：y＝ax2﹣4ax﹣1，
当x＝4时，y＝ax2﹣4ax﹣1＝8a﹣8a﹣1＝﹣1；
（2）作AH∥y轴交CB于点H，过点A作AN⊥BC，
则∠HAN＝∠CBO，
由直线BC的表达式知，tan∠CBOtan∠HAN，则cos∠HAN，
由抛物线的表达式知，点A（，b2﹣1）、则点H（，b+1），
则d＝AN＝AH cos∠HAN（b+1b2+1）b2b，
当b时，d取得最大值，此时，b，
故抛物线的表达式为：y＝x2x﹣1；
（3）对于y＝ax2﹣4ax+1，
当a＞0时，存在整点（0，﹣1）、（1，﹣1）、（2，﹣1）、（3，﹣1）、（4，﹣1）等等，超过9个整点；
当a＜0时，如图：
当抛物线过点（1，1）时，正好有9个整点，
将（1，1）代入抛物线表达式得：1＝a﹣4a﹣1，则a，
当抛物线过点（2，2）时，正好有11整点，
将（2，2）代入抛物线表达式得：2＝4a﹣8a+1，则a，
综上，a．

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