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2025年广东省广州市增城区中考数学模拟试卷
一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列四个数中，与2025的乘积为1的数是（　　）
A．﹣2025 B． C．2025 D．
2．（3分）下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．（3分）则下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．（3分）若a＝b，则下列计算正确的有（　　）
①a+m＝b+m；②a﹣m＝b﹣m；③am＝bm；④a+b＝m+m
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
5．（3分）祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（　　）
A．14，5 B．9，6 C．14，4 D．9，5
6．（3分）“广州新机场”来啦！其选址佛山高明区，定位已经明确为“粤港澳大湾区国际航空枢纽之一、广州国际航空枢纽的重要组成部分、大湾区西部综合交通枢纽”．分为两期规划目标：近期规划目标年为2035年，远期规划目标年为2050年．若近期规划目标及远期规划目标共可满足年旅客吞吐量11000万人次，且远期规划目标是近期规划目标的2倍还多2000万人次．设近期规划目标为年旅客吞吐量x万人次，根据题意，可列方程为（　　）
A．2x+2000＝11000 B．2x﹣2000＝11000
C．x+2x﹣2000＝11000 D．x+2x+2000＝11000
8．（3分）如图，函数与y2＝kx+m的图象相交于点A（2，0）及B（﹣1，3），当（　　）时，式子．
A．x＜﹣1 B．x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
9．（3分）已知点A与点B分别在反比例函数（x＞0）与（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则sin∠OAB的值为（　　）
A． B． C． D．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若动点E在⊙A上，动点P在BC上，则PE+PD的最小值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
11．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，∠B＝50°，则∠CAD的度数为　 　 ．
12．（3分）如图，把一个含电阻R的用电器接在闭合电路中．用电器的功率P、两端电压U及用电器的电阻R的关系为U2＝PR，当U＝220V、用电器的功率P＝800W时，用电器的电阻R的值为　 　 Ω．
13．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点E，若DE＝2，AD＝8，∠ADB＝150°，则BC的长为　 　 ．
14．（3分）若，且a≠b，则　 　 ．
15．（3分）定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　 　 ．
16．（3分）如图：我们规定：形如y＝ax2+b|x|+c（a＜0）的函数叫做“M型”函数．如图是“M型”函数y＝﹣x2+4|x|﹣3的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于y轴对称；②关于x的不等式x2﹣4|x|+3＜0的解是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；③当关于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有两个实数解时，k＜﹣3．其中正确的是　 　 （填出所有正确结论的序号）．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解不等式组：．
18．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，求证：△ACD∽△CBD．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．
（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线MN，交AC于点D，交BC于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，∠C＝30°，AB＝3，求CD的长．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣2＝0的根．
21．（8分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为　 　 ；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
22．（8分）如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，MN∥GA∥PQ∥BH，AB∥NP，两个反光镜KI∥CD，直线MN、GA之间的距离为5cm，∠MNP＝122°．与MN平行的一束光线经两个反光镜反射后沿O2F射出，其中O1O2∥AB．（参考值：sin29°≈0.49，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
（1）当G、A、I三点共线时，求反光镜KI的长度；（结果保留一位小数）
（2）已知AB＝4米，求点A到直线BH的距离．
23．（8分）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km﹣10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间x min之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）分别求y1（x≥10），y2关于x的函数解析式；
（2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3km/min，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择 　 　 品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”）
（3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？
24．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作直线l∥AC，交x轴于点E．
①连接AD，求△ADE面积的最大值；
②若在直线l上存在点P，使得以点A，C，D，P为顶点的四边形为菱形，求点P的坐标．
25．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，动点D在线段BC上运动，连接AD．
（1）当CD＝1时，求tan∠ADB的值；
（2）将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到线段DE；将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF、BE．
①判断线段AF和BE的关系并说明理由；
②设直线AF和直线BE交于点G，直线BF和直线CE交于点H，求△CGH面积的取值范围．
2025年广东省广州市增城区中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共9小题）
题号 1 2 3 4 5 6 8 9 10
答案 B B D C D D D C A
一、选择题（本大题共16小题，每小题3分，满分48分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．（3分）下列四个数中，与2025的乘积为1的数是（　　）
A．﹣2025 B． C．2025 D．
【解答】解：20251，
故选：B．
2．（3分）下列图案是我国几家银行的标志，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：第1个，第2个图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；
第3个既不是轴对称图形，又不是中心对称图形，不符合题意；
第4个是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．
故既是轴对称图形，又是中心对称图形的有2个．
故选：B．
3．（3分）则下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据二次根式相关运算法则逐项分析判断如下：
A、与的被开方数不同，不能合并，故本选项的运算错误；
B、，故本选项的运算错误；
C、与的被开方数不同，不能合并，故本选项的运算错误；
D、，故本选项的计算正确．
故选：D．
4．（3分）若a＝b，则下列计算正确的有（　　）
①a+m＝b+m；②a﹣m＝b﹣m；③am＝bm；④a+b＝m+m
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【解答】解：∵a＝b，
∴a+m＝b+m，故①正确，符合题意；
a﹣m＝b﹣m，故②正确，符合题意；
am＝bm，故③正确，符合题意；
由a＝b无法得出a+b＝m+m故④无法判断，不符合题意．
故选：C．
5．（3分）祖冲之是中国数学史上第一个名列正史的数学家，他把圆周率精确到小数点后7位，这是祖冲之最重要的数学贡献．数学活动课上，孙老师对圆周率的小数点后100位数字进行了统计：
数字 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
频数 8 8 12 11 10 8 9 8 12 14
那么，圆周率的小数点后100位数字的众数与中位数分别为（　　）
A．14，5 B．9，6 C．14，4 D．9，5
【解答】解：圆周率的小数点后100位数字的出现次数最多的为9，故众数为9；处于最中间的第51和52两个数均为5和5，所以中位数为5，
故选：D．
6．（3分）“广州新机场”来啦！其选址佛山高明区，定位已经明确为“粤港澳大湾区国际航空枢纽之一、广州国际航空枢纽的重要组成部分、大湾区西部综合交通枢纽”．分为两期规划目标：近期规划目标年为2035年，远期规划目标年为2050年．若近期规划目标及远期规划目标共可满足年旅客吞吐量11000万人次，且远期规划目标是近期规划目标的2倍还多2000万人次．设近期规划目标为年旅客吞吐量x万人次，根据题意，可列方程为（　　）
A．2x+2000＝11000 B．2x﹣2000＝11000
C．x+2x﹣2000＝11000 D．x+2x+2000＝11000
【解答】解：根据题意得，x+2x+2000＝11000，
故选：D．
8．（3分）如图，函数与y2＝kx+m的图象相交于点A（2，0）及B（﹣1，3），当（　　）时，式子．
A．x＜﹣1 B．x＜2 C．x＜﹣1或x＞2 D．﹣1＜x＜2
【解答】解：由题意可得：能使成立的x的取值范围即使得ax2+bx+c＜kx+m的取值范围，结合图象得：﹣1＜x＜2．
故选：D．
9．（3分）已知点A与点B分别在反比例函数（x＞0）与（x＞0）的图象上，且OA⊥OB，则sin∠OAB的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：过点A作AC⊥y轴，过点B作BD⊥y轴，则∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴∠OAC+∠COA＝90°，
∴∠AOC+∠BOD＝90°，
∴∠OAC＝∠BOD，
∵∠ACO＝∠BDO＝90°，
∴△ACO∽△ODB，
∴，
∵点A与点B分别在反比例函数 （x＞0）与（x＞0）的图象上，
∴，
∴，
∴，
设，
∴，
∴．
故选：C．
10．（3分）如图，矩形ABCD中，AB＝4，BC＝6，以A为圆心，2为半径作⊙A．若动点E在⊙A上，动点P在BC上，则PE+PD的最小值是（　　）
A．8 B．9 C．10 D．11
【解答】解：如图，作A关于BC的对称点A′，以A′为圆心，2为半径作⊙A′，连接A′D交⊙A′于E′，交BC于P，
∴PE+PD＝PE′+PD，
∴当D，P，E'三点共线时，PE+PD取得最小值，
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠A＝90°，
AD＝BC＝6，
AA′＝8，
∴
＝10，
∴DE′＝10﹣2＝8，
∴PE+PD取得最小值为8，
故选：A．
11．（3分）如图，四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，∠B＝50°，则∠CAD的度数为　50°　 ．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，AB＝AC，∠B＝50°，
∴AD∥BC，∠ACB＝∠B＝50°，
∴∠CAD＝∠ACB＝50°．
故答案为：50°．
12．（3分）如图，把一个含电阻R的用电器接在闭合电路中．用电器的功率P、两端电压U及用电器的电阻R的关系为U2＝PR，当U＝220V、用电器的功率P＝800W时，用电器的电阻R的值为　60.5　 Ω．
【解答】解：由条件可知2202＝800R，
解得R＝60.5，
故答案为：60.5．
13．（3分）如图，△ABC内接于⊙O，连接AO并延长交BC于点D，交⊙O于点E，若DE＝2，AD＝8，∠ADB＝150°，则BC的长为　　 ．
【解答】解：作OF⊥BC于点F，
∴BC＝2FC，
∵∠ADB＝150°，
∴∠ADC＝30°，
∵DE＝2，AD＝8，
∴OA＝OE＝OC＝5，OD＝3，
∴，
∴，
故答案为：．
14．（3分）若，且a≠b，则　2　 ．
【解答】解：由条件可得，
∴2b﹣a＝ab，
∵a≠b，
∴，
故答案为：2．
15．（3分）定义新运算：，例如：4Θ3＝4﹣2×3＝﹣2，﹣1Θ2＝（﹣1）2+2＝3．若xΘ1＝17，则x的值为　﹣4或19　 ．
【解答】解：∵，xΘ1＝17，
∴当x≥1时，
xΘ1＝x﹣2×1＝17，
∴x＝19，
当x＜1时，
xΘ1＝x2+1＝17，
解得x＝4（舍去）或﹣4．
综上所述，x的值为﹣4或19．
故答案为：﹣4或19．
16．（3分）如图：我们规定：形如y＝ax2+b|x|+c（a＜0）的函数叫做“M型”函数．如图是“M型”函数y＝﹣x2+4|x|﹣3的图象，根据图象，给出以下结论：①图象关于y轴对称；②关于x的不等式x2﹣4|x|+3＜0的解是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3；③当关于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有两个实数解时，k＜﹣3．其中正确的是　①②　 （填出所有正确结论的序号）．
【解答】解：根据二次根式的特征，二次函数与不等式得关系判断如下：
根据函数的特征可知图象关于y轴对称，故①正确，符合题意；
函数y＝﹣x2+4|x|﹣3关于x轴对称的函数图象解析式为y＝x2﹣4|x|+3，
∴关于x的不等式x2﹣4|x|+3＜0的解是﹣3＜x＜﹣1或1＜x＜3，故②正确，符合题意；
由图可得：关于x的方程﹣x2+4|x|﹣3＝k有两个实数解时，k＜﹣3或k取函数的最大值时，故③错误，不符合题意．
故答案为：①②．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．（8分）解不等式组：．
【解答】解：解不等式组，
解①得：x≤8，
解②得：，
∴不等式组的解集为．
18．（8分）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB边上的高，求证：△ACD∽△CBD．
【解答】证明：∵∠ACB＝90°，
∴∠A+∠B＝90°，
∵CD是AB边上的高，
∴∠ADC＝∠BDC＝90°，
∴∠A+∠ACD＝90°，
∴∠ACD＝∠B，
∴△ACD∽△CBD．
19．（8分）如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°．
（1）尺规作图：作线段BC的垂直平分线MN，交AC于点D，交BC于点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）在（1）的条件下，∠C＝30°，AB＝3，求CD的长．
【解答】解：（1）如图所示：直线MN是BC的垂直平分线；
（2）∵直线DE是AB的垂直平分线，
∴BD＝CD，
∴∠CBD＝∠C＝30°，
∵∠A＝90°，∠C＝30°，
∴∠ABC＝60°，
∴∠ABD＝30°，
∴ADBD，
在Rt△ABD中，AB＝3，BD＝2AD，AB2+AD2＝BD2，
∴32+AD2＝（2AD）2，
解得AD，
∴CD＝BD＝2．
20．（8分）先化简，再求值：，其中a是方程x2﹣x﹣2＝0的根．
【解答】解：
，
解方程x2﹣x﹣2＝0，得x1＝2，x2＝﹣1，
∵a≠±1，
∴x2＝﹣1不合题意，舍去，
∴把a＝x1＝2代入得，
原式．
21．（8分）“基础学科拔尖学生培养试验计划”简称“珠峰计划”，是国家为回应“钱学森之问”而推出的一项人才培养计划，旨在培养中国自己的杰出人才．已知A，B，C，D，E五所大学设有数学学科拔尖学生培养基地，并开设了暑期夏令营活动，参加活动的每名中学生只能选择其中一所大学．某市为了解中学生的参与情况，随机抽取部分学生进行调查，并将统计数据整理后，绘制了如下不完整的条形统计图和扇形统计图．
（1）请将条形统计图补充完整；
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为　14.4°　 ；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，请利用树状图或表格求两人恰好选取同一所大学的概率．
【解答】解：（1）参与调查的总人数为：14÷28%＝50（人），
∴选择B大学的人数为：50﹣10﹣14﹣2﹣8＝16（人），
补全统计图所下：
（2）在扇形统计图中，D所在的扇形的圆心角的度数为，
故答案为：14.4°；
（3）甲、乙两位同学计划从A，B，C三所大学中任选一所学校参加夏令营活动，列表如下：
甲 乙 A B C
A （A，A） （B，A） （C，A）
B （A，B） （B，B） （C，B）
C （A，C） （B，C） （C，C）
∴共有9种等可能结果，其中两人恰好选取同一所大学的结果数有3种，
∴甲、乙两人恰好选取同一所大学的概率为．
22．（8分）如图是一名军事迷设计的潜水望远镜，MN∥GA∥PQ∥BH，AB∥NP，两个反光镜KI∥CD，直线MN、GA之间的距离为5cm，∠MNP＝122°．与MN平行的一束光线经两个反光镜反射后沿O2F射出，其中O1O2∥AB．（参考值：sin29°≈0.49，cos29°≈0.87，tan29°≈0.55，sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
（1）当G、A、I三点共线时，求反光镜KI的长度；（结果保留一位小数）
（2）已知AB＝4米，求点A到直线BH的距离．
【解答】解：（1）过K作KS⊥AG，垂足为S，
∵MN∥EO1，O1O2∥AB∥NP，
∴∠KO1E＝∠NKI，∠O1O2＝∠NIK，
由题意：∠KO1E＝∠O1O2，
∴∠NIK＝∠NKI（180°﹣∠MNP）＝29°，
∵MN∥GA，
∴∠KIS＝∠NKI＝29°，
在Rt△KSI中，
KI10.2（cm），
∴反光镜KI的长度为10.2cm；
（2）过A作AT⊥BH，垂足为T，
∵MN∥GI，
∴∠AIP＝∠MNP＝122°，
∵AB∥NP，
∴∠GAB＝∠AIP＝122°，
∵GA∥BH，
∴∠GAB+∠ABT＝180°，
∴∠ABT＝180°﹣122°＝58°，
在Rt△ATB中，
AT＝AB sin∠ABT＝AB sin58°＝4×0.85＝3.4（m），
∴点A到直线BH的距离为3.4m．
23．（8分）共享电动车是一种新理念下的交通工具，主要面向3km﹣10km的出行市场，现有A，B两种品牌的共享电动车，下面图象反映了收费y（元）与骑行时间x min之间的对应关系，其中A品牌收费方式对应y1，B品牌的收费方式对应y2，请根据相关信息，解答下列问题：
（1）分别求y1（x≥10），y2关于x的函数解析式；
（2）如果小明每天早上骑行A品牌或B品牌的共享电动车去上班，已知两种品牌共享电动车的平均行驶速度均为0.3km/min，小明家到工厂的距离为9km，那么小明选择 　A　 品牌共享电动车更省钱；（填“A”或“B”）
（3）当x为何值时，两种品牌共享电动车收费相差4元？
【解答】解：（1）当x≥10时，设y1＝kx+b（k、b为常数，且k≠0），
将坐标（10，6）和（20，8）分别代入y1＝kx+b，
得，
解得，
∴当x≥10时，y1＝0.2x+4；
∵B品牌每分钟收费8÷20＝0.4（元），
∴y2＝0.4x（x≥0）．
答：y1关于x的函数解析式为y1＝0.2x+4（x≥10），y2关于x的函数解析式为y2＝0.4x（x≥0）．
（2）9÷0.3＝30（分钟），
当x＝30时，y1＝0.2x+4＝0.2×30+4＝10，y2＝0.4x＝0.4×30＝12，
∵10＜12，
∴小明选择A品牌共享电动车更省钱．
故答案为：A．
（3）当0≤x＜10时，|y1﹣y2|＝|6﹣0.4x|＝4，
解得x＝5或x＝25（舍去）；
当x≥10时，|y1﹣y2|＝|0.2x+4﹣0.4x|＝4，
解得x＝0（舍去）或x＝40；
∴x＝5或40．
答：当x为5或40时，两种品牌共享电动车收费相差4元．
24．（8分）如图，抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，交x轴于另一点A，连接AC．
（1）求抛物线的解析式；
（2）点D为线段BC上一点，过点D作直线l∥AC，交x轴于点E．
①连接AD，求△ADE面积的最大值；
②若在直线l上存在点P，使得以点A，C，D，P为顶点的四边形为菱形，求点P的坐标．
【解答】解：（1）∵直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，
∴B（4，0），C（0，4），
∵抛物线y＝﹣x2+bx+c交直线y＝﹣x+4于坐标轴上B，C两点，
∴，
解得，
∴抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
答：抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
（2）①如图，
∵抛物线的解析式为y＝﹣x2+3x+4．
当y＝0时，﹣x2+3x+4＝0，
解得x1＝﹣1，x2＝4，
∴A（﹣1，0），
∵C（0，4），
∴yAC＝4x+4，
∵直线l∥AC，
设yDE＝4x+n，
∵点D为线段BC上一点，设D（m，﹣m+4），
代入得n＝﹣5m+4，
∴yDE＝4x﹣5m+4，
∴，
∴，
∴，
当m＝2时，S△ADE有最大值．
②∵A（﹣1，0），C（0，4），
∴，
∵以点A，C，D，P为顶点的四边形为菱形，
当AC＝CD时，
∵D（m，﹣m+4），C（0，4），
∴，
∴，
∵点D为线段BC上一点，
∴m，
∵直线l∥AC，以点A，C，D，P为顶点的四边形为菱形，
∴AC＝DP，
∵D（m，﹣m+4），
∴P（m﹣1，﹣m），
∴P（）．
当AC＝AD时，
∵D（m，﹣m+4），A（﹣1，0），
∴，
∴m1＝0，m2＝3，
当m＝0时，D（0，4）与点C（0，4）重合，不符合题意，舍去，
当m＝3时，D（3，1），
∵直线l∥AC，以点A，C，D，P为顶点的四边形为菱形，
∴AC＝DP，
∵D（m，﹣m+4），
∴P（m+1，﹣m+8），
∴P（4，5），
综上，P的坐标为（）或（4，5）．
25．（8分）如图，在等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，动点D在线段BC上运动，连接AD．
（1）当CD＝1时，求tan∠ADB的值；
（2）将线段DC绕点D逆时针旋转90°得到线段DE；将线段DA绕点D顺时针旋转90°得到线段DF，连接AF、BE．
①判断线段AF和BE的关系并说明理由；
②设直线AF和直线BE交于点G，直线BF和直线CE交于点H，求△CGH面积的取值范围．
【解答】解：（1）过点A作AE⊥BC，
∵等腰直角三角形ABC中，AB＝AC＝2，
∴，
∵AE⊥BC，
∴，
∵CD＝1，
∴，
∴；
（2）①AF＝BE，AF⊥BE，理由如下：
将DB绕点D旋转90°得到DK，连接KF，BK，则：DB＝DK，∠BDK＝90°，
∴∠DKB＝∠DBK＝45°，∠KDC＝90°，
延长CE交BK于点H，
∵将线段DC绕点D逆时针旋转 90°得到线段 DE，
∴∠DCH＝45°，CD＝DE，∠CDE＝90°＝∠CDK，
∴D，E，K三点共线，∠CHB＝180°﹣∠BCH﹣∠DBH＝90°，∠ACH＝∠ACB+∠BCE＝90°，
∵∠CAB＝90°，AC＝AB，
∴四边形ACHB为正方形，
∴AC＝CH＝BH＝AB，∠BHC＝∠ABH＝90°，
∵将线段DA绕点D顺时针旋转 90°得到线段DF，
∴AD＝DF，∠ADF＝90°＝∠BDK，
∴∠ADB＝∠FDK＝90°﹣∠BDF，
又∵BD＝DK，
∴△FDK≌△ADB（SAS），
∴∠DKF＝∠DKB＝45°，
∴点F在直线BK上运动，KF＝BH，
∴KH＝BF，
∵∠CHK＝90°，∠K＝45°，
∴HE＝KH，
∴HE＝BF，
又∵BH＝AB，∠BHC＝∠ABH＝90°，
∴△ABF≌△BHE（SAS），
∴AF＝BE，∠HBE＝∠BAF，
∴∠HBE+∠AFB＝∠BAF+∠AFB，即：∠BGF＝∠ABF＝90°，
∴AF⊥BE；
综上：AF＝BE，AF⊥BE；
②取AB的中点O，连接OG，过点G作GM⊥CH，连接OM，由①知：四边形ACHB为正方形，
∴AC＝CH＝BH＝AB＝2，
∴OA＝OB＝1，
∵AG⊥BG，
∴点G在以AB为直径的圆上运动，
∴OM+OG≥GM≥OM﹣OG，OG＝1，
当O，G，M三点共线，且G在中间时，GM取得最小值，当O，G，M三点共线，且O在中间时，GM取得最大值，此时OM⊥CH，四边形ACMO为矩形，
∴OM＝AC＝2，
∴GM最小为OM﹣OG＝1，GM最大为OM+OG＝3，
∵，
∴当GM最小时，，最小；
当GM最大时，，最大；
∴1≤S△CHG≤3．

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