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2025年广东省惠州市仲恺区中考数学一检试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
2．（3分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5
C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7
3．（3分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x6÷x4＝x2 B．
C．（x3）2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
5．（3分）某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（　　）
A．x2＝36 B．（1+x）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
7．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
8．（3分）2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为42km，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是x km/h，则可列方程为（　　）
A． B．
C．20 D．20
9．（3分）如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ABC＝4，则S△ADE＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
10．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且k≠0 D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共15分．
11．（5分）的平方根是　 　 ．
12．（5分）把函数y＝（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为　 　 ．
13．（5分）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝60°，OA＝3，则的长为　 　 ．
14．（5分）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为　 　 m（结果保留整数，1.73）．
15．（5分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的是　 　 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16、17题各6分，第18题7分，共19分．
16．（12分）计算：．
17．（12分）解不等式组：．
18．（12分）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
（1）x＝　 　 ，y＝　 　 ，扇形图中表示C的圆心角的度数为 　 　 度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
四、解答题（二）：本大题共2小题，第19题、21题各9分，第20题10分，共28分．
19．（14分）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角是30°，看这栋楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？
20．（15分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
2025年广东省惠州市仲恺区中考数学一检试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C D A C C C B A D
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．（3分）的相反数是（　　）
A． B．2 C．﹣2 D．
【解答】解：的相反数是，
故选：A．
2．（3分）人体内一种细胞的直径约为1.56微米，相当于0.00000156米，数字0.00000156用科学记数法表示为（　　）
A．1.56×10﹣5 B．0.156×10﹣5
C．1.56×10﹣6 D．15.6×10﹣7
【解答】解：0.00000156＝1.56×10﹣6，
故选：C．
3．（3分）垃圾分类功在当代利在千秋，下列垃圾分类指引标志图形中，是轴对称图形又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：A．是轴对称图形，不是中心对称图形，故此选项不符合题意
B．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
C．不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故此选项不符合题意；
D．是轴对称图形，又是中心对称图形，故此选项符合题意．
故选：D．
4．（3分）下列计算正确的是（　　）
A．x6÷x4＝x2 B．
C．（x3）2＝x5 D．（x+y）2＝x2+y2
【解答】解：A、x6÷x4＝x2，故此选项符合题意；
B、与不能合并，故此选项不符合题意；
C、（x3）2＝x6，故此选项不符合题意；
D、（x+y）2＝x2+2xy+y2，故此选项不符合题意；
故选：A．
5．（3分）某校“玩转数学”活动小组在一次实践调查中发现某种植物的1个主干上长出x个支干，每个支干上再长出x个小分支．若在1个主干上的主干、支干和小分支的总数是36个，则下列方程中正确的是（　　）
A．x2＝36 B．（1+x）2＝36
C．1+x+x2＝36 D．1+x+（1+x）2＝36
【解答】解：依题意得：1+x+x2＝36．
故选：C．
6．（3分）如图，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB于点D，若⊙O的半径为10cm，AB＝16cm，则CD的长是（　　）
A．2cm B．3cm C．4cm D．5cm
【解答】解：连接OA，则OA＝10cm，
∵OC⊥AB，OC过O，AB＝16cm，
∴∠ODA＝90°，AD＝BD＝8cm，
在Rt△ODA中，由勾股定理得：OD6（cm），
∵OC＝10cm，
∴CD＝OC﹣OD＝4cm，
故选：C．
7．（3分）关于二次函数y＝﹣3（x﹣1）2+2，下列说法正确的是（　　）
A．抛物线的开口向上
B．对称轴是直线x＝﹣1
C．抛物线的顶点坐标是（1，2）
D．当x＞3时，y随x的增大而增大
【解答】解：∵y＝﹣3（x﹣1）2+2，且a＝﹣3＜0，
∴该函数的图象开口向下，故选项A不符合题意；
对称轴是直线x＝1，故选项B不符合题意；
顶点坐标是（1，2），故选项C符合题意；
当x＞3时，y随x的增大而减小，故选项D不符合题意．
故选：C．
8．（3分）2024年3月17日惠州举办了首届马拉松，本届赛事以“畅跑山海惠州，尽享东坡文化”为主题，以弘扬惠州东坡文化为主旨，是一场体现文旅体深度融合的“嘉年华”赛事．已知总赛程约为42km，在同一场比赛中A选手的平均速度是B选手的1.2倍，最终A选手冲刺终点的时间比B选手提前20分钟，若设B选手的平均速度是x km/h，则可列方程为（　　）
A． B．
C．20 D．20
【解答】解：∵A选手的平均速度是B选手的1.2倍，且B选手的平均速度是x km/h，
∴A选手的平均速度是1.2x km/h．
根据题意得：，
即．
故选：B．
9．（3分）如图，在△ABC中，若点D、E分别是AB、AC的中点，S△ABC＝4，则S△ADE＝（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解答】解：如图，
∵D，E分别是AB，AC的中点，
∴DE：BC＝1：2，DE∥BC，
∴△ADE∽△ABC，
∴（）2，即，
∴S△ADE＝1．
故选：A．
10．（3分）若关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0有两个实数根，则k的取值范围是（　　）
A． B． C．且k≠0 D．
【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2﹣2x+3＝0，
∴k≠0，
∵方程有两个实数根，
∴Δ＝（﹣2）2﹣4k×3≥0，
解得k，
∴k的取值范围是k且k≠0，
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共15分．
11．（5分）的平方根是　±3　 ．
【解答】解：∵9，9的平方根是±3，
∴的平方根是±3．
故答案为±3．
12．（5分）把函数y＝（x﹣1）2+2的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后图象的函数解析式为　y＝（x﹣3）2+4　 ．
【解答】解：平移后图象的函数解析式为：y＝（x﹣1﹣2）2+2+2，即y＝（x﹣3）2+4．
故答案为：y＝（x﹣3）2+4．
13．（5分）如图，在扇形纸扇中，若∠AOB＝60°，OA＝3，则的长为　π　 ．
【解答】解：弧长，
所以的长为π．
故答案为：π．
14．（5分）如图所示，九（1）班数学课外活动小组在河边测量河宽AB（这段河流的两岸平行），他们在点C测得∠ACB＝30°，点D处测得∠ADB＝60°，CD＝80m，则河宽AB约为　69　 m（结果保留整数，1.73）．
【解答】解：在Rt△ABC中，∠ACB＝30°，∠ADB＝60°，
∴∠DAC＝30°，
∴DA＝DC＝80m，
在Rt△ABD中，
，
∴4069（米），
故答案为69．
15．（5分）如图，若二次函数y＝ax2+bx+c（a≠0）图象的对称轴为直线x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A、点B（﹣1，0），则①二次函数的最大值为a+b+c；②a﹣b+c＜0；③b2﹣4ac＜0；④当y＞0时，﹣1＜x＜3，其中正确的是　①④　 ．
【解答】解：①由图象可知，x＝1时，y＝a+b+c＞0，因此①正确；
②由图象可知，x＝﹣1时，y＝a+b+c＝0，因此②错误；
③由图象可知，函数图象与x轴有2个交点，因此b2﹣4ac＞0，因此③错误；
④∵对称轴为直线x＝1，B（﹣1，0），
∴A（﹣3，0），
∴y＞0时，﹣1＜x＜3，
∴④正确，
故答案为①④．
三、解答题（一）：本大题共3小题，第16、17题各6分，第18题7分，共19分．
16．（12分）计算：．
【解答】解：
＝﹣2．
17．（12分）解不等式组：．
【解答】解：解不等式组：，
由①得，x＜3，
由②得，x＞﹣2，
∴不等式组的解集为：﹣2＜x＜3．
18．（12分）为了解某校九年级全体男生1000米跑步的成绩，随机抽取了部分男生进行测试，并将测试成绩分为A、B、C、D四个等级，绘制如下不完整的统计图表，如图表所示，根据图表信息解答下列问题：
成绩等级频数分布表
成绩等级 频数
A 24
B 10
C x
D 2
合计 y
（1）x＝　4　 ，y＝　40　 ，扇形图中表示C的圆心角的度数为 　36　 度；
（2）甲、乙、丙是A等级中的三名学生，学校决定从这三名学生中随机抽取两名介绍体育锻炼经验，用列表法或画树状图法，求同时抽到甲，乙两名学生的概率．
【解答】（1）随机抽取男生人数：10÷25%＝40（名），即y＝40；
C等级人数：40﹣24﹣10﹣2＝4（名），即x＝4；
扇形图中表示C的圆心角的度数360°36°．
故答案为4，40，36；
（2）画树状图如下：
P（同时抽到甲，乙两名学生）．
四、解答题（二）：本大题共2小题，第19题、21题各9分，第20题10分，共28分．
19．（14分）热气球的探测器显示，从热气球看一栋楼顶部的仰角是30°，看这栋楼底的俯角为60°，热气球与楼的水平距离为120米，这栋楼有多高？
【解答】解：如图，
由题意可得，
∠BAD＝30°，∠CAD＝60°，AD＝120米，∠ADC＝∠ADB＝90°，
在Rt△ADB中，∠BAD＝30°，AD＝120米，
∴BD＝AD tan30°＝12040（米），
在Rt△ADC中，∠CAD＝60°，AD＝120米，
∴CD＝AD tan60°＝120（米），
∴BC＝BD+CD＝40120160（米），
即这栋楼的高度BC约为160米．
20．（15分）某商店销售10台A型和20台B型电脑的利润为4000元，销售20台A型和10台B型电脑的利润为3500元．
（1）求每台A型电脑和B型电脑的销售利润；
（2）该商店计划一次购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．
①求y关于x的函数关系式；
②该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设每台A型电脑销售利润为a元，每台B型电脑的销售利润为b元；
根据题意得，
解得．
答：每台A型电脑销售利润为100元，每台B型电脑的销售利润为150元；
（2）①根据题意得，y＝100x+150（100﹣x），
即y＝﹣50x+15000；
②据题意得，100﹣x≤2x，
解得x≥33，
∵y＝﹣50x+15000，
∴y随x的增大而减小，
∵x为正整数，
∴当x＝34时，y取最大值，则100﹣x＝66，
此时最大利润是y＝﹣50×34+15000＝13300．
即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大，最大利润是13300元．

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