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2025年广东省清远市连州市中考数学模拟试卷
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）计算：0﹣12＝（　　）
A．12 B．﹣12 C．0 D．6
2．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
3．（3分）据悉，2024年巴黎奥运会的全球收视率已经突破历史记录，巴黎奥运会将会产生11000小时的超高清内容，屏幕让“眼见为实”的边界和范围无限扩大，让体育的魅力走进无数人心中，其中数据“11000”用科学记数法表示为（　　）
A．11×103 B．1.1×104 C．0.11×105 D．1.1×103
4．（3分）某班在班会课上开展有关社会热点的讨论会，将“直播短视频”、“以色列与加沙”、“游戏代练”、“日本排核污水”写在四张卡片上（形状和大小完全相同），小红想从这四张卡片中随机选一张，并开展主题讨论，则选中“以色列与加沙”的概率是（　　）
A． B．0 C． D．
5．（3分）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＞b﹣3 C． D．﹣3a＜﹣3b
6．（3分）如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（　　）
A．AB＝PB B．BC＝AC C．AC＝AP D．PA＝PB＝PC
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，连接BE，CE．下列说法错误的是（　　）
A．BD＝DC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AD D．BE＝CE
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝110°，则∠E的度数是（　　）
A．40° B．35° C．70° D．100°
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的内角和是（　　）
A．360° B．180° C．90° D．540°
10．（3分）已知点P（5，2）、Q（﹣2，﹣5）都在反比例函数的图象上．过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为S2，S1与S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝2S2 C．S1＜S2 D．S1＝S2
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）因式分解：x2﹣2x+1＝　 　 ．
12．（3分）如图，直线m平行于直线n，写出图中所有相等的内错角 　 　 ．
13．（3分）2024年8月6日，巴黎奥运会上中国运动员潘展乐在100米自由泳决赛中以以46.40的成绩打破世界纪录斩获冠军．本次决赛中运动员们的成绩分别是：46.40，47.48，47.49，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98．本次决赛成绩的中位数是 　 　 ．
14．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　 　 ．
15．（3分）如图，一扇形纸扇完全打开后外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，求纸扇两个面的贴纸部分的面积共是 　 　 ．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（7分）计算：．
17．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC关于O点中心对称，试作出对称后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 　 　 ；
（2）计算四边形ABA1B1的面积．
18．（7分）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A东北方向，点B在点C南偏西60°，点D在点C北偏西30°方向100海里处．（参考数据：）
（1）求AD的长．
（2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径C﹣D﹣A和C﹣B﹣A哪一条最短？
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．如表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）：
选手 主题活动项目
在线学习 知识竞赛 演讲比赛
甲 89 99 85
乙 84 96 90
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？
（2）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按1：3：4的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
（3）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按20%，50%，30%的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
20．（9分）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】
（1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】
（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
21．（9分）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题14分，共27分。
22．（13分）【知识技能】
（1）如图1，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D在BC上，将△ADB沿直线AD翻折后，点B落在点E处，如果BD⊥ED，那么线段DE的长为多少？
【数学理解】
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD上一点，且∠ABE＝30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则tan∠DCF的值为 　 　 ；
【拓展探索】
（3）如图3，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E为射线AD上的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，求AE的长．
23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴直线x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为⊙B上一个动点，请求出PCPA的最小值．
2025年广东省清远市连州市中考数学模拟试卷
参考答案与试题解析
一．选择题（共10小题）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A B． C C D C B D D
一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．（3分）计算：0﹣12＝（　　）
A．12 B．﹣12 C．0 D．6
【解答】解：0﹣12＝﹣12．
故选：B．
2．（3分）现实世界中，对称现象无处不在，中国的方块字中有些也具有对称性．下列汉字是轴对称图形的是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：中是轴对称图形，华，儿，女不是轴对称图形，
故选：A．
3．（3分）据悉，2024年巴黎奥运会的全球收视率已经突破历史记录，巴黎奥运会将会产生11000小时的超高清内容，屏幕让“眼见为实”的边界和范围无限扩大，让体育的魅力走进无数人心中，其中数据“11000”用科学记数法表示为（　　）
A．11×103 B．1.1×104 C．0.11×105 D．1.1×103
【解答】解：11000＝1.1×104．
故选：B．
4．（3分）某班在班会课上开展有关社会热点的讨论会，将“直播短视频”、“以色列与加沙”、“游戏代练”、“日本排核污水”写在四张卡片上（形状和大小完全相同），小红想从这四张卡片中随机选一张，并开展主题讨论，则选中“以色列与加沙”的概率是（　　）
A． B．0 C． D．
【解答】解：由题意知，共有4种等可能的结果，其中选中“以色列与加沙”的结果有1种，
∴选中“以色列与加沙”的概率为．
故选：C．
5．（3分）若a＜b，则下列各式中一定成立的是（　　）
A．a+3＞b+3 B．a﹣3＞b﹣3 C． D．﹣3a＜﹣3b
【解答】解：A．∵a＜b，
∴a+3＜b+3，故本选项不符合题意；
B．∵a＜b，
∴a﹣3＜b﹣3，故本选项不符合题意；
C．∵a＜b，
∴，故本选项符合题意；
D．∵a＜b，
∴﹣3a＞﹣3b，故本选项不符合题意．
故选：C．
6．（3分）如图，三角形三条边的垂直平分线相交于一点，则以下正确的是（　　）
A．AB＝PB B．BC＝AC C．AC＝AP D．PA＝PB＝PC
【解答】解：A、AB与PB的相等关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
B、BC与AC的关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
C、AC与AP的关系不能确定，故本选项说法错误，不符合题意；
D、∵三角形三条边的垂直平分线相较于一点，
∴PA＝PB＝PC，故本选项说法正确，符合题意；
故选：D．
7．（3分）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，点E是AD上一点，连接BE，CE．下列说法错误的是（　　）
A．BD＝DC B．∠BAD＝∠CAD C．AB＝AD D．BE＝CE
【解答】解：∵AB＝AC，AD⊥BC，
∴BD＝CD，∠BAD＝∠CAD，故A、B正确，不符合题意；
∵AD⊥BC，BD＝CD，
∴BE＝CE，故D正确，不符合题意；
∵AD⊥BC，
∴AB＞AD，故C错误，符合题意；
故选：C．
8．（3分）如图，AB是⊙O的直径，∠BOD＝110°，则∠E的度数是（　　）
A．40° B．35° C．70° D．100°
【解答】解：连接BE，
∵AB是⊙O的直径，
∴∠AEB＝90°，
∵∠BOD＝110°，
∴∠DEB∠DOB＝55°，
∴∠AED＝∠AEB﹣∠DEB＝90°﹣55°＝35°，
故选：B．
9．（3分）过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，则这个多边形的内角和是（　　）
A．360° B．180° C．90° D．540°
【解答】解：∵过某个多边形一个顶点的所有对角线，将这个多边形分成3个三角形，
∴该多边形是五边形．
∵五边形的内角和为180°×（5﹣2）＝540°，
∴这个多边形的内角和是540°．
故选：D．
10．（3分）已知点P（5，2）、Q（﹣2，﹣5）都在反比例函数的图象上．过点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为S1；过点Q分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的面积为S2，S1与S2的大小关系是（　　）
A．S1＞S2 B．S1＝2S2 C．S1＜S2 D．S1＝S2
【解答】解：由题知，
因为点P坐标为（5，2），
所以S1＝5×2＝10．
因为点Q的坐标为（﹣2，﹣5），
所以S2＝2×5＝10，
所以S1＝S2．
故选：D．
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分．
11．（3分）因式分解：x2﹣2x+1＝　（x﹣1）2　 ．
【解答】解：原式＝（x﹣1）2．
故答案为：（x﹣1）2
12．（3分）如图，直线m平行于直线n，写出图中所有相等的内错角 　∠3＝∠6，∠4＝∠5　 ．
【解答】解：∵m∥n，
∴∠3＝∠6，∠4＝∠5，
故答案为：∠3＝∠6，∠4＝∠5．
13．（3分）2024年8月6日，巴黎奥运会上中国运动员潘展乐在100米自由泳决赛中以以46.40的成绩打破世界纪录斩获冠军．本次决赛中运动员们的成绩分别是：46.40，47.48，47.49，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98．本次决赛成绩的中位数是 　47.605　 ．
【解答】解：将数据从小到大排列为：46.40，47.48，47.49，47.50，47.71，47.80，47.96，47.98．
所以中位数是：（47.50+47.71）÷2＝47.605，
故答案为：47.605．
14．（3分）一元二次方程x2﹣x＝0的解是 　x1＝0，x2＝1　 ．
【解答】解：x2﹣x＝0，
x（x﹣1）＝0，
∴x＝0或x﹣1＝0，
∴x1＝0，x2＝1，
故答案为：x1＝0，x2＝1．
15．（3分）如图，一扇形纸扇完全打开后外侧两竹条AB和AC的夹角为120°，AB长为30cm，贴纸部分的宽BD为20cm，求纸扇两个面的贴纸部分的面积共是 　cm2　 ．
【解答】解：S＝2×（）（cm2），
故答案为：cm2．
三、解答题（一）：本大题共3小题，每小题7分，共21分．
16．（7分）计算：．
【解答】解：原式＝3﹣4+1+1
＝1．
17．（7分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A（﹣2，3），B（﹣3，2），C（﹣1，1）．
（1）将△ABC关于O点中心对称，试作出对称后的△A1B1C1，并写出点A1的坐标 　（2，﹣3）　 ；
（2）计算四边形ABA1B1的面积．
【解答】（1）如图所示，△A1B1C1为所求．A1（2，﹣3）；
（2）如图，．
18．（7分）中国人民解放军在台海地区开展的演习活动是维护国家主权安全和发展利益的正当之举，是外部势力干涉和“台独”势力挑衅的警慑反制，也是维护台海地区和平稳定的必要行动．某次演习中，中国人民解放军在A城市周围B、C、D三个区域演习，B在A正南方向，C在A正东方向，D在A东北方向，点B在点C南偏西60°，点D在点C北偏西30°方向100海里处．（参考数据：）
（1）求AD的长．
（2）由于演习过程中的特殊任务，从点C到点A需要经过点D或点B，那么C到A的两条路径C﹣D﹣A和C﹣B﹣A哪一条最短？
【解答】（1）如图，过D点作AC的垂线交AC于E点，根据题意有：
∠EDC＝30°，CD＝100海里，∠DAE＝45°，
在Rt△DCE中，（海里），
在等腰直角△ADE中，（海里），
所以（海里），
所以122.5（海里）；
（2）由（1）知，CD＝100海里，海里，海里，CE＝50海里，
所以，走C﹣D﹣A路线时，（海里），
走C﹣B﹣A路线时，（海里），
（海里），
（海里），
（海里），
所以，AD+CD＜AB+BC，
即选择C﹣D﹣A最短．
四、解答题（二）：本大题共3小题，每小题9分，共27分．
19．（9分）为了增强学生的防溺水安全意识，某校举办了“防溺水安全主题系列活动”，要求每个班派一名代表参加本次活动．八（1）班陈老师从全班学生中经过层层筛选，决定从以下两名同学中选一名学生代表八（1）班参加比赛．如表是班上两名同学参加各项活动的测试成绩（单位：分）：
选手 主题活动项目
在线学习 知识竞赛 演讲比赛
甲 89 99 85
乙 84 96 90
（1）如果根据三项测试的平均成绩确定人选，那么谁将被选中？
（2）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按1：3：4的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
（3）如果将在线学习、知识竞赛、演讲比赛三项测试成绩得分按20%，50%，30%的比例确定两人的测试成绩，那么谁将被选中？
【解答】解：（1）甲的平均成绩为 ，
乙的平均成绩为，
因此甲将被选中．
（2）根据题意，两人的测试成绩如下：
甲的测试成绩为，
乙的测试成绩为，
因此乙将被选中．
（3）根据题意，两人的测试成绩如下：
甲的测试成线为89×20%+99×50%+85×30%＝92.8（分）
乙的测试成线为84×20%+96×50%+90×30%＝91.8（分）
因此甲将被选中．
20．（9分）综合与实践
【问题情境】“漏壶”也称为“漏刻”，是一种古代计时器，在社会实践活动中，某同学根据“漏壶”的原理制作了如图①所示的液体漏壶，漏壶是由一个圆锥和一个圆柱组成的，中间连通，液体可以从圆锥容器中匀速漏到圆柱容器中，实验开始时圆柱容器中已有一部分液体．
【实验观察】
（1）如表是实验记录的圆柱体容器液面高度y（厘米）与时间x（小时）的数据：
时间x（小时） 1 2 3 4 5
圆柱体容器液面高度y（厘米） 6 10 14 18 22
在图②所示的直角坐标系中描出上表的各点，用光滑的线连接；
【探索发现】
（2）请你根据表中的数据及图象，用所学过的一次函数、二次函数、反比例函数的知识确定y与x之间的函数表达式；
【结论应用】
（3）如果本次实验记录的开始时间是上午8：00，那么当圆柱体容器液面高度达到20厘米时是几点？
【解答】解：（1）描出各点，并连接，如图所示：
（2）由（1）中图象可知该函数为一次函数，设该函数的表达式为y＝kx+b（k≠0），
∵点（1，6），（2，10）在该函数图象上，
∴，
解得，
∴y与x的函数表达式为y＝4x+2；
（3）当y＝20时，即4x+2＝20，
解得：x＝4.5，
∴8+4.5＝12.5，
所以圆柱体容器液面高度达到20厘米时是上午12：30．
21．（9分）中秋节是我国的传统节日．月饼是中秋节的一种美食之一，月饼寓意着团圆和完美．“豆沙饼”是某地的特色月饼，深受当地人们的喜爱．某商店在中秋节来临之前，去当地的玉猫饼家订购普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼两种进行试销．已知蛋黄豆沙月饼的单价是普通豆沙饼单价的2倍，用1600元购进蛋黄豆沙饼的数量比用700元购进普通豆沙月饼的数量多50个．
（1）普通豆沙月饼和蛋黄豆沙月饼的单价分别是多少？
（2）若某商店把蛋黄豆沙月饼以6元销售时，那么半个月可以售出200个．根据销售经验，把这个蛋黄豆沙月饼的单价每提高2元，销量会相应减少40个．将售价定为多少元时，才能使半个月获得的利润最大？最大利润是多少？
【解答】解：（1）设普通豆沙饼的单价是x元，则蛋黄豆沙饼的单价是2x元，根据题意，得
50，
解得x＝2，
经检验，x＝2是所列方程的根，且符合题意，
∴2x＝2×2＝4，
答：普通豆沙饼的单价是2元，蛋黄豆沙饼的单价是4元；
（2）设售价定为t元，利润为y元，根据题意得，
y＝（t﹣4）[200]＝﹣20（t﹣10）2+720，
∵﹣20＜0，
∴当t＝10时，y的最大值是720，
答：当售价定为10元时，才能使半个月获得的利润最大，最大利润是720元．
五、解答题（三）：本大题共2小题，第22题12分，第23题14分，共27分。
22．（13分）【知识技能】
（1）如图1，在三角形纸片ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC＝2，点D在BC上，将△ADB沿直线AD翻折后，点B落在点E处，如果BD⊥ED，那么线段DE的长为多少？
【数学理解】
（2）如图2，矩形ABCD中，AB＝6，BC＝8，点E为AD上一点，且∠ABE＝30°，将△ABE沿BE翻折，得到△A′BE，连接CA′并延长，与AD相交于点F，则tan∠DCF的值为 　　 ；
【拓展探索】
（3）如图3，在矩形纸片ABCD中，AB＝5，BC＝8，点E为射线AD上的一个动点，把△ABE沿直线BE折叠，当点A的对应点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，求AE的长．
【解答】解：（1）如图：
在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AC ＝2，
∴BC2，
由△ADB沿直线BD翻折后，可知∠ADB＝∠ADE，DE＝BD，
∵BD⊥ED，
∴∠CDE＝∠BDE＝90°，
∴∠ADE＝∠ADB＝（360°﹣90°）÷2＝135°，
∴∠CDA＝∠ADE﹣∠CDE＝135°﹣90°＝45°，
∵∠C＝90°，
∴∠CAD＝∠CDA ＝45°，
∴CD＝AC＝2，
∴BD＝BC﹣CD＝22；
∴DE＝22；
（2）过点A'作A'M⊥BC于M，如图：
∵四边形ABCD是矩形，
∴∠ABC＝∠A＝∠D＝90°， AD∥BC，AB＝CD，
由△ABE沿BE翻折，得到△A'BE，可知∠ABE＝∠EBA'＝30°，AE＝A'E，AB＝A'B＝6，
∵∠ABC＝90°，∠ABE＝∠EBA'＝30°，
∴∠A'BM＝30°，
在Rt△A'BM中，∠AMB＝90°，A'B＝6，∠A'BM＝30°，
∴A'MA'B＝3，BM＝A'B cos30°＝6，
∴CM＝BC﹣BM＝8，
∵AD∥BC，
∴∠DFC＝∠FCM，
∵∠D＝∠CMA'，
∴△FDC∽△CMA'，
∴，即，
∴DF，
在Rt△FDC中，∠D＝90°，DF，DC ＝6，
∴tan∠DCF；
故答案为：；
（3）∵四边形 ABCD 是矩形，
∴AD ＝ BC ＝8．
设线段BC的垂直平分线交BC于点M，交AD于点N，则MN＝AB＝5，ANAD＝4，BMBC＝4，
分两种情况：
①当点F在矩形内部时，
由折叠的性质得BF＝BA＝5，AE＝FE，
在Rt△BFM中，由勾股定理得FM，
∴FN＝MN﹣FM＝5﹣3＝2，
设AE＝FE＝y，则EN＝4﹣y，
在Rt△ENF中，由勾股定理得EF2＝EN2+FN2，
∴y2 ＝（4﹣y）2+22，
解得y，
∴AE的长为；
②当点F在矩形外部时，如图：
由折叠的性质得BF＝BA＝5，AE＝FE，
同①得FM ＝3，
∴FN＝MN+FM＝5+3＝8，
设AE＝FE＝a，则EN＝AE﹣AN＝a﹣4，
在Rt△ENF 中，由勾股定理得EF2＝EN2+FN2，
∴a2＝（a﹣4）2+82，
解得a＝10，
∴AE的长为10；
综上所述，当点F刚好落在线段BC的垂直平分线上时，AE 的长为或10．
23．（14分）如图，抛物线y＝ax2+bx+5与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C，AB＝4．抛物线的对称轴直线x＝3与经过点A的直线y＝kx﹣1交于点D，与x轴交于点E．
（1）求抛物线的表达式；
（2）若在抛物线上存在点M，使得△ADM是以AD为直角边的直角三角形，求出所有点M的坐标；
（3）以点B为圆心，画半径为2的圆，P为⊙B上一个动点，请求出PCPA的最小值．
【解答】解：（1）∵抛物线的对称轴为直线x＝3，AB＝4，
∴A（1，0），B（5，0），
则抛物线的表达式为：y＝a（x﹣1）（x﹣5）＝a（x2﹣6x+5）＝ax2+bx+5，
则a＝1，
故抛物线的解析式为：y＝x2﹣6x+5；
（2）∵直线AD：y＝kx﹣1经过点A（1，0），
∴得k﹣1＝0，解得k＝1，
∴直线AD的解析式为：y＝x﹣1，
∵直线AD的解析式为y＝x﹣1，抛物线对称轴直线x＝3与x轴交于点E，
∴当x＝3时，y＝x﹣1＝2，
∴D（3，2）．
设M（x，y），则AD2＝（3﹣1）2+22＝8，AM2＝（x﹣1）2+y2，
DM2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2，
①当∠DAM＝90°时，由AD2+AM2＝DM2，得8+（x﹣1）2+y2＝（x﹣3）2+（y﹣2）2，化简得y＝﹣x+1．
联立
解得或，
∴点M的坐标为（4，﹣3），
②当∠ADM＝90°时，AD2+DM2＝AM2，
同理可求得点M的坐标为（0，5）或（5，0），
综上所述，点M的坐标为（4，﹣3）或（0，5）或（5，0）；
（3）如图，在AB上取点F，使BF＝1，连接CF，PF，PB．
∵PB＝2，∴，
∵，
∴．
∵∠PBF＝∠ABP，
∴△PBF∽△ABP，
∴，即PFPA，
∴PCPA＝PC+PF≥CF，
∴当点C，P，F三点共线时，PCPA的值最小，即为线段CF的长．
∵OC＝5，OF＝OB﹣1＝5﹣1＝4，
∴CF，
∴PCPA的最小值为．

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