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浙江省杭州十五中教育集团2025-2026学年八年级（上）
期中数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
1.下面四个图形分别是节能、节水、低碳和绿色食品标志，在这四个标志中，是轴对称图形的是( )
A. B. C. D.
A. ， B. ， C. ， D. ，
3.若，则下列式子中错误的是( )
A. B. C. D.
4.用直尺和圆规作一个角等于已知角的示意图如图所示，则说明的依据是( )
A. B. C. D.
5.在中，，，的对边分别是，，，下列条件中，不能判定是直角三角形的是( )
A. B.
C. D.
6.如图，在中，已知和的平分线相交于点，过点作，交于点，交于点若，，则的周长为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，，，，分别是上的点，且，若，则( )
A. B. C. D.
8.如图，在三角形中，过点，作，，，交于点，若，，，则线段的长度为( )
A. B. C. D.
9.如图，在中，过点作的角平分线的垂线，垂足为，交于点，若，则线段的长为( )
A. B. C. D.
10.如图，四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成了一个大正方形，连接，交于点，若正方形的面积为，则的值是( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.命题“内错角相等，两直线平行”的逆命题是 这逆命题是 命题填“真或假”
12.一个等腰三角形的两边长分别是和，则它的周长是 ．
13.若不等式的解的解是，则的取值范围是 ．
14.第二十四届国际数学家大会会徽的设计基础是多年前中国古代数学家赵爽的“弦图”它由个全等的直角三角形拼合而成，若图中大、小正方形的面积分别为和、则直角三角形的较长直角边长为 ．
15.如图，是某款台灯图的示意图，处于水平位置的横杆可以绕着点转动．当分别转到，的位置时，测得，，的高度差，，的水平距离，，若该台灯底座高度，则点到桌面的距离为 ．
16.如图，在中，，，分别以，为边在外作等边和等边，连结，．
，则 ；
若，则的长为 ．
三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
解不等式组，并把解集在数轴上表示出来．
18.本小题分
如图，，，点在边上，，和相交于点．
求证：≌；
若，求度数．
19.本小题分
如图，中，的垂直平分线分别交、于点、，且，作交于点．
若，求的度数．
若，的周长为，求的长．
20.本小题分
已知的三边，，．
求证：是直角三角形．
利用第题的结论，写出两个直角三角形的边长，要求它们的边长均为正整数．
21.本小题分
如图，在中，，过的延长线上一点，作，垂足为，交边于点．
求证：是等腰三角形；
若，，为的中点，求的长．
22.本小题分
某电器超市销售每台进价分别为元、元的、两种型号的电风扇，下表是近两周的销售情况：
销售时段 销售数量 销售收入
种型号 种型号
第一周 台 台 元
第二周 台 台 元
进价、售价均保持不变，利润销售收入进货成本
求、两种型号的电风扇的销售单价；
若超市准备用不多于元的金额再采购这两种型号的电风扇共台，求种型号的电风扇最多能采购多少台？
在的条件下，超市销售完这台电风扇能否实现利润为元的目标？若能，请给出相应的采购方案；若不能，请说明理由．
23.本小题分
如图，在中，于点，于点，为的中点．
若，，求的周长．
设，
若，求的度数．
设，求与之间的数量关系．
24.本小题12分
如图，已知中，，，，、是边上的两个动点，其中点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，点从点开始沿方向运动，且速度为每秒，它们同时出发，设出发的时间为秒．
出发秒后，求的值；
从出发几秒钟后，第一次能形成等腰三角形？
当点运动到上时，求能使是等腰三角形时点的运动时间，求出的值．
25.本小题分
在等腰中，，点是等腰斜边上的一动点，连接，以点为直角顶点作等腰．
如图，是等腰斜边上的动点，且，连接，根据已知条件，易证．
求证：；
当，时，求的长；
如图，若点在所在直线上运动，当，时，则的长为_______请画出图像，并写出答案．答案和解析
1.【答案】
【解析】结合轴对称图形的概念进行求解即可．
【详解】解：根据轴对称图形的概念可知：
A、不是轴对称图形，故本选项错误；
B、是轴对称图形，故本选项错误；
C、不是轴对称图形，故本选项错误；
D、不是轴对称图形，故本选项正确．
故选：．
2.【答案】
故选B．
3.【答案】
【解析】根据不等式的性质判断即可．
【详解】解：、，，正确，故该选项不符合题意；
B、，，正确，故该选项不符合题意；
C、，，故该选项错误，符合题意；
D、，，正确，故该选项不符合题意；
故选：．
4.【答案】
【解析】本题主要考查了作一个角等于已知角，用证明三角形的全等，由作一个角等于已知角可得出，，，即可得出进而可得出答案．
【详解】解：由已知条件可得出，，，
，
，
即，
即说明的依据是．
故选：．
5.【答案】
【解析】根据三角形内角和定理可判断、是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断、是否是直角三角形．
【详解】解：中，而根据三角形内角和定理，
，故 A、是直角三角形；
中设，
，
，
，故 C不是直角三角形；
中符合勾股定理逆定理，故 D是直角三角形．
故选C．
6.【答案】
【解析】先由平行线的性质与角平分线的定义证得，，再由等腰三角形的判定即可得出，，然后根据三角形周长公式求解即可．
【详解】解：平分，平分，
，，
，
，，
，，
，，
的周长为：．
故选：．
7.【答案】
【解析】此题考查了等边对等角，三角形内角和定理、一元一次方程的应用等知识．
根据等腰三角形的性质得到，设，则，根据等边对等角和三角形内角和定理得到，，由列方程求出，代入即可得到答案．
【详解】解：，
，
设，
，
，
，
解得
故选：．
8.【答案】
【解析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根根据证明与全等，进而利用全等三角形的性质解答即可．
【详解】解：，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
，，，
，
在与中，
，
，
，
故选：．
9.【答案】
【解析】此题考查了等腰三角形的性质，平行线的性质，掌握等腰三角形“三线合一”是解题的关键．
延长交于点，通过证明，得出，根据平行线的性质得出，则，进而得出，再根据，推出，得出，即可求解．
【详解】解：延长交于点，
平分，
，
，
，
，，，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
故选：．

10.【答案】
【解析】本题考查了三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，首先要求学生正确理解题意，然后会利用勾股定理和三角形全等的性质解题．先证明，则，所以两三角形面积的差是中间正方形面积的一半，设，则，由于正方形的面积为，则，根据勾股定理得：，整体代入可得结论．
【详解】解：如图所示，与交于点，
正方形的面积为，
，
设，则，
在中，由勾股定理得：，
，
，
，
，
，
此图是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
故选：．
11.【答案】两直线平行，内错角相等
真

故答案为两直线平行，内错角相等；真．
12.【答案】
【解析】等腰三角形两边的长为和，具体哪条是底边，哪条是腰没有明确说明，因此要分两种情况讨论．
【详解】解：当腰是，底边是时：不满足三角形的三边关系，因此舍去．
当底边是，腰长是时，能构成三角形，则其周长．
故答案为：．
13.【答案】
【解析】本题考查解一元一次不等式，掌握解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数不等号方向要改变．
根据不等式的解集为，可知，解之即可．
【详解】解：不等式的解的解是，
，
则．
故答案为：．
14.【答案】
【解析】本题考查了直角三角形中勾股定理的运用，本题中找到和的等量关系是解题的关键．根据图中大、小正方形的面积可以计算大、小正方形的边长，找到两直角边相差，两直角边平方和等于斜边的平方的等量关系，从而求解．
【详解】解：设图中直角三角形的边长分别为、，
图中大、小正方形的面积为和，则大、小正方形的边长为、，
则、满足，
，代入
解得，
，
故较长的直角边为，
故答案为：．
15.【答案】
【解析】过点作于，过点作于，由题意得四边形是矩形，四边形是矩形，，根据矩形的性质得到，，，，根据全等三角形的性质得到，，设，则，根据勾股定理即可得到结论．
【详解】解：过点作于，过点作于，
由题意得，四边形是矩形，四边形是矩形，，

，，，
，
，
在和中，
，
，，
设
则
故，
在中，，
，
整理得
则
解得或舍去，
点到桌面的距离为
故答案为：．
16.【答案】【小题】

度
【小题】

【解析】
根据等边三角形的性质得到，然后根据三角形的内角和定理解题即可；
解：是等边三角形，
，
，
又，
，
故答案为：；

根据等边三角形的性质可以证明，即可得到，过点作于点，然后利用勾股定理计算即可．
解：和是等边三角形，
，，，
，
，
，
过点作于点，
，
，
，
，，
．
故答案为：．
17.【答案】解：
解不等式得，
解不等式得，
不等式组的解集为，
在数轴上表示为：

18.【答案】证明见解答过程；

【解析】证明：，
，
即，
在和中，
，
≌；
解：由知≌，
，，
，
，
，
的度数是．
19.【答案】【小题】
解：垂直平分，
，
，
，
，
；
【小题】
解：
的周长
，
，
．

20.【答案】解：的三边，，，
而，，
，
即，
是直角三角形；
当，时，直角三角形的边长为，，；
当，时，直角三角形的边长为，，答案不唯一
21.【答案】【小题】
证明：在中，，
，
，
，，
，
又，
，
是等腰三角形；
【小题】
为的中点，
，
是等腰三角形，
，
，
，
，
答：的长为．

22.【答案】解：设、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元，
依题意得：，
解得：，
答：、两种型号电风扇的销售单价分别为元、元；
设采购种型号电风扇台，则采购种型号电风扇台．
依题意得：，
解得：．
答：超市最多采购种型号电风扇台时，采购金额不多于元；
依题意有：，
解得：，
，
在的条件下超市不能实现利润元的目标．
23.【答案】【小题】
解：，为的中点，
，
的周长；
【小题】
解：，为的中点，
，
，
，，
，
，
，
由知：，
，
．

24.【答案】【小题】
出发秒后，，．
所以．
因为，根据勾股定理，．
【小题】
设从出发秒钟后，第一次能形成等腰三角形．
此时，．
当时，，解得秒．
【小题】
当时图，则，
，，，
，，，
，
，
，
，
秒，
当时如图，则，
秒；
当时如图，过点作于点，
则
所以，
故，
所以
秒，
由上可知，当为秒或秒或秒时，为等腰三角形．

25.【答案】【小题】
证明：，
，，
，，
，
，
在和中，
；
设，则，
，，
，
，
，
，，
在中，，
，
解得：，
；
【小题】
解：点在线段上时，如图，连接；
，
，
，，
，
，
，
，
，
；
当在的延长线上时，如图，连接，
，，
，
，
，
，，
，
在中，，
；
；
综上所述，的长为或；
故答案为：或

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