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浙江省杭州市上城区2025-2026学年九年级（上）
期中数学模拟试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
1.二次函数的图象的顶点坐标是( )
A. B. C. D.
2.下列事件为必然事件的是( )
A. 买一张电影票，座位号是偶数 B. 抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下
C. 打开电视机，正在播放“快乐大本营” D. 任意画一个三角形，其内角和是
3.绍兴是著名的“桥乡”，其中有一座美丽的圆弧形石拱桥古纤道太平桥如图，已知桥拱的顶部距水面的距离为，桥弧所在的圆的半径为，则水面的宽度是( )
A. B. C. D.
4.如图，以量角器的直径为斜边画直角三角形，量角器上点对应的读数是，则的度数为( )
A. B. C. D.
5.如图，一次函数和二次函数的图象交于点和点，则的解集是( )
A. B. 或 C. D.
6.如图，、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心．若，则这个正多边形的边数为( )
A. B. C. D.
7.已知二次函数，当时，函数值为；当时，函数值为，若，则下列表达式正确的是( )
A. B. C. D.
8.根据下表：
确定方程的解的取值范围是( )
A. 或 B. 或
C. 或 D. 或
9.如图，扇形的圆心角为直角，边长为的正方形的顶点、、分别在、、上，，交的延长线于点则图中阴影部分的面积是( )
A. B. C. D.
10.将函数是常数，的图象向上平移，平移后函数的图象与轴相交于点，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
二、填空题：本题共6小题，每小题4分，共24分。
11.已知的半径为，线段的长为，若点在外，则的取值范围为 ．
12.如图，有张分别印有西游记人物图案的卡片：唐僧，孙悟空，猪八戒，沙僧．现将这张卡片卡片的形状、大小、质地都相同放在不透明的盒子中，搅匀后从中任意取出张卡片，记录后放回、搅匀，再从中任意取出张卡片，则两次取出的两张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率是 ．
13.如图，在的网格图中，每个小正方形的边长均为设经过格点、、三点的圆弧与线段交于点，则弧的弧长为 ．
14.如图，筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，明朝科学家徐光启在农政全书中用图画描绘了筒车的工作原理．筒车盛水桶的运行轨道是以轴心为圆心的圆，如图，已知圆心在水面上方，且被水面截得的弦长为，的半径长为，若点为运行轨道的最低点，则点到弦所在直线的距离是 ．
15.已知二次函数，当时，随着的增大而 填“增大”或“减小”．
16.定义：由两条与轴有相同的交点，并且开口方向相同的抛物线所围成的封闭曲线称为“笑口线”抛物线与抛物线组成一个如图所示的“笑口线”，则 ．
三、解答题：本题共9小题，共96分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.本小题分
如图，二次函数的图像与轴交于点，在的左侧，与一次函数的图像交于，两点．
求的值；
求点坐标并求出的面积；
根据图像，直接写出当时的取值范围．
18.本小题分
有一个转盘如图，转盘可以自由转动．
让转盘自由转动一次，求指针落在红色区域的概率．
让转盘自由转动二次，求两次指针都落在黄色区域的概率．
19.本小题分
掷实心球是兰州市高中阶段学校招生体育考试的选考项目．如图是一名女生投掷实心球，实心求行进路线是一条抛物线，行进高度与水平距离之间的函数关系如图所示，抛出时起点处高度为，当水平距离为时，实心球行进至最高点处．
求关于的函数表达式；
根据兰州市高中阶段学校招生体育考试评分标准女生，投掷过程中，实心球从起点到落地点的水平距离大于等于，此项考试得分为满分分．该女生在此项考试中是否得满分，请说明理由．
20.本小题分
在一个不透明的口袋里装有颜色不同的红、白两种颜色的球共个，某学习小组做摸球试验，将球搅匀后从中随机摸出一个球记下颜色，再把它放回袋中，不断重复，如表是活动进行中的一组统计数据：
摸球的次数
摸到白球的次数
摸到白球的频率
请估计：当很大时，摸到白球的频率将会接近 ；精确到
试估算口袋中红球有多少个？
请画树状图或列表计算：从中先摸出一球，不放回，再摸出一球，这两个球颜色不同的概率是多少？
21.本小题分
如图，是的直径，点是上一点，连接，，于，交于点．
求证：；
若，，求的半径．
22.本小题分
随着年春节电影哪吒大火，商家推出哪吒和敖丙的手办深受同学们的喜欢，一组手办一个哪吒手办和一个敖丙手办为一组的成本为元，经过市场调查发现，当一组手办定价为元时，每天能卖出组，如降价元销售，其销售量会增加组．设每组手办降价元．

用的代数式表示：
每一组手办的利润是 ．
每天可销售的手办组数是 ．
当每组手办降价多少元时利润可以为元？
当降价多少元时，可以使每天的利润最大，最大利润是多少？
23.本小题分
已知：二次函数的图象与轴交于、两点，与轴交于点．
求抛物线的解析式；
若，则的取值范围为 ；若有一直线经过点、，则不等式的解集为 ；
若抛物线上有一动点，使三角形的面积为，求点的坐标．
24.本小题分
如图，是的直径，、为上位于异侧的两点，连接并延长至点，使得，连接交于点，连接、、．
证明：；
若，求的度数；
设是半圆的中点，交于点，若，，求的长．
25.本小题分
已知二次函数，其中．
若二次函数经过，求二次函数解析式．
若该抛物线开口向上，当时，抛物线的最高点为，最低点为，点的纵坐标为，求点和点的坐标．
在二次函数图象上任取两点，，当时，总有，求的取值范围．答案和解析
1.【答案】
【详解】解：抛物线解析式为，
其顶点坐标为，
故选D．
2.【答案】
【解析】根据事件发生的可能性大小判断．
【详解】解：、买一张电影票，座位号是偶数，是随机事件；
B、抛掷一枚均匀的硬币，正面朝下，是随机事件；
C、打开电视机，正在播放“快乐大本营”，是随机事件；
D、任意画一个三角形，其内角和是，是必然事件；
故选D．
3.【答案】
【解析】本题考查了勾股定理，垂径定理，熟练掌握定理，准确计算是解题的关键．
【详解】如图，连接，
，，，
，，
，
，
故选A．
4.【答案】
【详解】解：令圆心为，连接，如图所示：
以量角器的直径为斜边画直角三角形，
在上，
量角器上点对应的读数是，
，
，
，
，
故选：．
5.【答案】
解：由题意可得和，
解得和，
一次函数和二次函数的解析式分别为和，
联立得，解得或，
当时，，
，
观察图象可得，当时，一次函数的图象位于二次函数图象的上方，
不等式的解集为，
故选：．
6.【答案】
【解析】【连接，，根据圆周角定理得到，进一步即可得到结论．
【详解】解：连接，，
、、、为一个正多边形的顶点，为正多边形的中心，
点、、、在以点为圆心，为半径的同一个圆上，
，
，
这个正多边形的边数，
故选：．
7.【答案】
【详解】解：时，二次函数图象开口向上，
，
，
无法确定的正负情况，
，
时，二次函数图象开口向下，
，
，
无法确定的正负情况，
，
综上所述，表达式正确的是，
故选：．
8.【答案】
【详解】解：由表格得：时，，
时，；
时，；
时，，
可得方程的解取值范围是或．
故选：．
9.【答案】
【详解】解：正方形的边长为，，
，
，四边形是矩形，
，
，
，
故选：．
10.【答案】
【详解】解：令，则，
解得或，
平移前函数的图象与轴相交于点，，且，
平移前函数图象的对称轴为直线，与轴的两个交点之间的距离为，
平移后函数的图象与轴相交于点，，
平移后函数的图象的对称轴为直线，与轴的两个交点之间的距离为，
图象向上平移，且开口向下，
对称轴不变，与轴的两个交点之间的距离变大，
，，
，，
故选：．
11.【答案】
【详解】解：若点在外，
．
故答案为：．
12.【答案】
【详解】解：画树状图如图，
一共有种等可能结果，两次取出的两张卡片中至少有张图案为“唐僧”有种，
两次取出的两张卡片中至少有张图案为“唐僧”的概率是，
故答案为：．
13.【答案】

【详解】解：连接，，
，，，
，
，
是等腰直角三角形，
，
是圆的直径，
，
，
，
弧所对的圆心角为，
的长，
故答案为．
14.【答案】
【详解】解：连接，交于点，
点为运行轨道的最低点，
，
，
，
根据勾股定理可得：，
，
故答案为：．
15.【答案】增大
【详解】解：二次函数的对称轴为，
，
二次函数图象开口向下，
当时，随着的增大而增大，
故答案为：增大．
16.【答案】
【解析】本题考查二次函数与轴交点问题，涉及新定义，二次函数的性质等知识，解题的关键是读懂题意，理解“月牙线”的概念．
求出抛物线与轴交点为和，代入求得，据此求解即可．
【详解】在中，令得
解得或，
抛物线与轴交点为和，
把和代入得：
解得
．
故答案为：．
17.【答案】【小题】
解：在中，当时，则，
解得或，
，
把点的坐标代入中得，
解得；
【小题】
解：由得，，，
；
联立
解得或
，
；
【小题】
解：由函数图像可得，当时，的取值范围为或．

18.【答案】【小题】
解：如图，将黄色区域平分成两部分，

这样把一个圆平均分为三部分，红色区域只占一部分，
所以，指针落在红色区域的概率为．
【小题】
解：画树状图得：
共有种等可能的结果，两次指针都落在黄色区域的只有种情况，
两次指针都落在黄色区域的概率为：；

19.【答案】【小题】
解当水平距离为时，实心球行进至最高点处，
设，
经过点，
解得
，
关于的函数表达式为；
【小题】
解：该女生在此项考试中是得满分，理由如下
对于二次函数，当时，有
，
解得， 舍去，
，
该女生在此项考试中是得满分．

20.【答案】【小题】
【小题】
由知摸到白球的概率为，则摸到红球的概率为，所以可估计口袋中红球的个数为：个；
【小题】
由得：红球个，白色球个，画树状图为：
共有种等可能的结果数，其中两个球颜色不同占种，
所以两个球颜色不同的概率．

21.【答案】【小题】
证明：是的直径，
，
，
，
，
；
【小题】
解：设的半径为，
，
，，
，
，
在中，，
，
解得，，
的半径为．

22.【答案】【小题】
解：根据售价成本降价利润可得：元，
每天能卖出组，如降价元销售，其销售量会增加组可得：元，
故答案为：；
【小题】
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
答：每组手办降价或元时利润可以为元．
【小题】
每天的利润为，
则

，
当时，有利润的最大值为元．

23.【答案】【小题】
解：的图象与轴交于、，与轴交于点，
代入得：，解得：
抛物线的解析式为：；
【小题】
或
的图象开口向上，且对称轴为，
当时，随的增大而减小，当时，随的增大而增大，
当时，或，
时，或；
直线经过点、，且，
抛物线在直线的下方，
的解集为．
故答案为：或；；
【小题】
设，
三角形的面积为，
，
，
解得或或，
或或或．

24.【答案】【小题】
证明：是的直径，
，
即，
，
是线段的垂直平分线，
；
【小题】
解：，
，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
；
【小题】
解：过点作于，于，
则，
，
四边形是矩形，
点是半圆的中点，
，
，
是的平分线，
，，
，
矩形是正方形，
设，
，
，
四边形是的内接四边形，
，
，
，
，
，
在中，，，
由勾股定理得：，
，
，
，
解得：，
，
在中，由勾股定理得：．

25.【答案】【小题】
把代入函数解析式得，
，
，
函数解析式为：；
【小题】
抛物线开口方向向上，
，
，
抛物线的顶点为，
当时随增大而减小，
当时，随增大而增大，
最低点，
当时，，
当时，，
且，
，
最高点，
，
，
代入点和点坐标得：，；
【小题】
当时，
则有当时随增大而减小，
当时，随增大而增大，
又当时，总有，
此时，
，
当时，
则有当时随增大而增大，
当时，随增大而减小，
又当时，总有，
此时，
综上，当时；当时，．

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