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13.3.2三角形的外角
人教版（2024）数学八年级上册
第十三章　三角形
1．理解三角形的外角的概念．
2．掌握三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和，并利用这一性质解决相关问题，发展空间观念、几何直观和推理能力．
学习目标
如图，在证明三角形的内角和定理时，我们用过这样的方法.
回顾
想一想：图形中除了出现△ABC 的三个内角外，还出现了什么样的角？这样的角又有什么样的特点呢？
B
A
C
A
B
A
B
C
l
如图，把△ABC 的一边 BC 延长，得到∠ACD．试着说出这个角有什么特征．
问题1
　 （1）角的顶点是三角形的顶点；
　 （2）角的一边是三角形的一边；
　 （3）角的另一边是三角形某一边的延长线．
像∠ACD 这样，三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角．
B
C
D
A
如图，你能画出△ABC 的所有外角吗？观察这些外角，试着说出你的发现．
问题2
B
C
A
如图，你能画出△ABC 的所有外角吗？观察这些外角，试着说出你的发现．
问题2
B
C
A
向两个方向延长三角形的各边，可以画出所有外角；
三角形每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角；
外角和与它同顶点的内角互为邻补角；
……
归纳
（1）三角形的一个外角和与它同顶点的内角互为邻补角．
（2）向两个方向延长三角形的各边，可以画出这个三角形所有的外角：三角形每个顶点处都有两个外角，它们是对顶角，所以一个三角形有6个外角，其中有三个与另外三个分别相等．
如图，在△ABC 中，∠A＝70°，∠B＝60°．∠ACD 是△ABC的一个外角，能由∠A，∠B 求出∠ACD 吗？如果能，∠ACD 与∠A，∠B 有什么关系？
问题3
B
70°
A
60°
C
D
　　解：能．∠ACD＝∠A＋∠B．
　　解：由三角形内角和定理，得
　 ∠ACB＝180°－∠A－∠B＝180°－70°－60°＝50°，
∴ ∠ACD＝180°－∠ACB＝180°－50°＝130°，
∴ ∠ACD＝∠A＋∠B．
B
70°
A
60°
C
D
任意一个三角形的一个外角与和它不相邻的两个内角是否都有这种关系？
思考
B
A
C
D
试着写出完整的证明过程
B
A
C
D
已知：∠ACD 是△ABC 的一个外角．
求证：∠ACD＝∠A＋∠B．
证明：∵ ∠A＋∠B＋∠ACB＝180°，
∴ ∠ACB＝180°－∠A－∠B．
∵ ∠ACB＋∠ACD＝180°，
∴ ∠ACD＝180°－∠ACB
＝180°－(180°－∠A－∠B)
＝∠A＋∠B．
思考
归纳
　　 一般地，由三角形内角和定理可以推出下面的推论：
　　 三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和．
　　推论是由定理直接推出的结论，和定理一样，推论可以作为进一步推理的依据．
　　例　如图，∠BAE，∠CBF，∠ACD是△ABC 的三个外角，它们的和是多少？
A
B
C
E
F
D
1
2
3
　　解法1：由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，得
　　 ∠BAE＝∠2＋∠3，
　　 ∠CBF＝∠1＋∠3，
　　 ∠ACD＝∠1＋∠2．
　　 所以∠BAE＋∠CBF＋∠ACD
　　 ＝2(∠1＋∠2＋∠3)．
　　 由∠1＋∠2＋∠3＝180°，得
　　 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝2×180°＝360°．
还有其他解法吗？
A
B
C
E
F
D
1
2
3
　　解法2：由∠1＋∠BAE＝180°，
∠2＋∠CBF＝180°，∠3＋∠ACD＝180°，
得 ∠1＋∠2＋∠3＋∠BAE＋∠CBF＋∠ACD＝540°．
又 ∠1＋∠2＋∠3＝180°，
得 ∠BAE＋∠CBF＋∠ACD
＝540°－180°＝360°．
A
B
C
E
F
D
1
2
3
归纳
三角形的每个顶点处有两个外角，它们相等，所以每个顶点处只取一个外角，把它们的和叫作三角形的外角和．
三角形的外角和等于360°．
1．下列说法正确的是（ ）．
A．三角形的外角大于它的内角
B．三角形的一个外角等于它两个内角的和
C．三角形的一个内角小于和它不相邻的外角
D．三角形的外角和为180°
C
　　2. 说出下列各图形中∠1和∠2的度数．
∠1＝40°
∠2＝140°
∠1＝110°
∠2＝70°
∠1＝50°
∠2＝140°
（1）
（2）
（3）
∠1＝55°
∠2＝70°
∠1＝80°
∠2＝40°
∠1＝60°
∠2＝30°
　　2. 说出下列各图形中∠1和∠2的度数．
（4）
（5）
（6）
归纳
　　应用三角形外角性质的注意事项
　 （1）应用三角形外角的性质时，不能忽视“不相邻”这个条件；
　 （2）不要混淆“三角形内角和是180°”与“三角形的外角和是360°”这两个定理．
三角形的外角
概念
三角形的一边与另一边的延长线组成的角，叫作三角形的外角
性质
三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和
谢谢

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