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人教版（2024）数学八年级上册
第十三章　三角形
13.3.1三角形的内角
（第2课时）
1．理解并掌握直角三角形的两个锐角互余的性质，能运用该性质解决直角三角形中角的计算问题．
2．掌握有两个角互余的三角形是直角三角形的判定方法．
3．在探究性质与判定的过程中，发展几何直观和推理能力．
学习目标
这是我们常用的一副直角三角尺，大家知道这两把三角尺中，两个锐角有什么关系吗？
思考
度数之和都是90°
对于任意直角三角形，两个锐角互余这个结论还成立吗？试着证明你的结论．
思考
A
B
C
对于任意直角三角形ABC．求证：两个锐角互余．
问题1
A
B
C
　　证明：由三角形内角和定理，得
　　∠A＋∠B＋∠C＝180°，
　　即∠A＋∠B＋90°＝180°，
　　所以∠A＋∠B＝90°．
直角三角形的两个锐角互余．
直角三角形可以用符号“Rt△”表示，直角三角形 ABC 可以写成 Rt△ABC．
注意：“Rt△”一般不单独使用，后面要紧跟直角三角形的三个顶点字母．如“直角三角形的边”一般不写成“Rt△的边”．
归纳
我们知道，如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余．反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形吗？请你说明理由．
问题2
A
B
C
　　已知：△ABC有两个角互余．求证：它是直角三角形．
　　证明：由三角形内角和定理，得
　　∠A＋∠B＋∠C＝180°．
　　∵ ∠A＋∠B＝90°，
　　∴ ∠C＝180°－(∠A＋∠B)＝90°．
　　∴ 有两个角互余的三角形是直角三角形．
A
B
C
有两个角互余的三角形是直角三角形．
问题2
　　例1　如图，∠C＝∠D＝90°，AD，BC 相交于点 E，比较∠CAE 和∠DBE 的大小．
　　解：在 Rt△ACE 中，∠CAE＝90°－∠AEC．
在 Rt△BDE 中，∠DBE＝90°－∠BED．
∵∠AEC＝∠BED，
∴∠CAE＝∠DBE．
A
C
D
E
B
　　例2　如图，CE⊥AD，垂足为 E，∠A＝∠C，△ABD 是直角三角形吗？为什么？
解：△ABD 是直角三角形．
∵ CE⊥AD，∴ ∠DEC＝90°．
∴ ∠C＋∠D＝90°．
∵ ∠A＝∠C，∴ ∠A＋∠D＝90°．
由三角形内角和定理，得∠A＋∠ABD＋∠D＝180°．
∴ ∠ABD＝180°－(∠A＋∠D)＝90°．
∴ △ABD 是直角三角形．
A
B
D
O
C
E
归纳
　　解决和直角三角形相关问题的注意事项
　 （1）“直角三角形的两个锐角互余”这一性质的前提条件是“在直角三角形中”，所以应用时首先要判定三角形为直角三角形；
　 （2）在运用直角三角形的判定或性质时，多结合“同角或等角的余角相等”“对顶角相等”等结论，可找出更多角的关系，有助于解决问题．
1．如图，∠B＝∠C＝90°，点E是线段BC上一点，AE⊥DE，则与∠1相等的角是（ ）
A．∠D B．∠2 C．∠A D．∠B
A
2．如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝∠BCD，则△BDC是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形
C．直角三角形 D．钝角三角形
C
3．如图，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为点D，下列结论错误的是（　　）
A．图中有3个直角三角形 B．∠1＝∠2
C．∠1和∠B都是∠A的余角 D．∠2＝∠A
B
4．如图，直线l1∥l2，直线l3与l1，l2分别相交于点A，C，BC⊥l3交l1于点B，若∠2＝30°，则∠1的度数为_______度．
60
5．如图，在Rt△ABC中，∠A＝90°，点E，F分别为AB，AC上一点，将△ABC沿直线EF翻折至同一平面内，点A落在点A'处，EA'，FA'分别交BC边于点M，N．若∠BEA'＝80°，则∠CFA'的度数为（ ）
A．100° B．110° C．115° D．120°
A
6．如图，在△ABC 中，∠ACB＝90°，CD⊥AB，垂足为 D. ∠ACD 与∠B 有什么关系？为什么？
解：∠ACD＝∠B．
∵ ∠ACB＝90°，CD⊥AB，
∴ ∠ACD＋∠BCD＝90°，∠B＋∠BCD＝90°，
∴ ∠ACD＝∠B．
A
C
D
B
解：是直角三角形．
∵ ∠C＝90°，∴∠A＋∠2＝90°．
∵ ∠1＝∠2，∴∠A＋∠1＝90°．
∴ ∠ADE＝90°．
∴ △ADE 是直角三角形．
7．如图，在△ABC 中，∠C＝90°，点 D，E 分别在边 AB，AC 上，且∠1＝∠2，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
1
2
A
B
C
D
E
直角三角形的
性质与判定
性质
直角三角形的两个锐角互余
判定
有两个角互余的三角形是直角三角形
谢谢

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