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14.2三角形全等的判定
（第1课时）
人教版（2024）数学八年级上册
1.了解“SSA”不能作为两个三角形全等的条件,理解并掌握三角
形全等的“SAS”判定方法，明确“两边和它们的夹角分别相等的两
个三角形全等”的条件.
2.运用“SAS”证明两个三角形全等，并利用全等证明线段相等或
角相等.
3.通过“一个条件→两个条件→三个条件”的探究过程，经历从
特殊到一般的归纳推理，培养分类讨论的数学思想，积累数学活
动经验．
我们知道，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等、对应角相等．反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？
思考
　　如果两个三角形满足三条边分别相等，三个角分别相等，就能判定这两个三角形全等．
即对于△ABC 与△A′B′C′，如果满足条件
AB＝A′B′，BC＝B′C′，CA＝C′A′，
∠A＝∠A′，∠B＝∠B′，∠C＝∠C′，
就能判定△ABC≌△A′B′C′．
我们知道，如果两个三角形全等，那么它们的对应边相等、对应角相等．反过来，具备什么条件的两个三角形全等呢？
思考
　 一定要满足三条边分别相等，三个角也分别相等，才能保证两个三角形全等吗？
应该从哪儿开始入手研究？
（1）当满足一个条件时，△ABC 和△A′B′C′ 全等吗？
问题1
　 不全等．
　 ①一条边相等：
（1）当满足一个条件时，△ABC 和△A′B′C′ 全等吗？
问题1
　 不全等．
　 ②一个角相等：
60°
60°
（2）当满足两个条件时，△ABC 和△A′B′C′ 全等吗？
问题1
　 不全等．
　 ①两个角相等（第三个角一定相等）：
（2）当满足两个条件时，△ABC 和△A′B′C′ 全等吗？
问题1
　 不全等．
　 ②两条边相等：
（2）当满足两个条件时，△ABC 和△A′B′C′ 全等吗？
问题1
　 不全等．
　 ③一个角和一条边分别相等：
（3）当满足三个条件时，△ABC 和△A′B′C′ 全等吗？满足三个条件时，又需要分哪些情况进行考虑呢？
问题1
两边一角分别相等
两角一边分别相等
三边分别相等
三角分别相等
我们今天先来研究“两边一角分别相等”这种情况．大家想一想，在这种情况中，两条边与一个角在位置上有几种可能性？
思考
两边和其中一边的对角
两边及夹角
如图，直观上，如果∠A，AB，AC 的大小确定了，△ABC 的形状、大小也就确定了．也就是说，在△A′B′C′ 与△ABC中，如果∠A′＝∠A，A′B′＝AB，A′C′＝AC，那么△A′B′C′≌△ABC．这个判断正确吗？
问题2
C
A
B
A'
C'
B'
分析：如图，由∠A′＝∠A 可知：
问题2
C
A
B
C'
A'
B'
(A')
(B')
(C')
如果使点 A′ 与点 A 重合，并使射线 A′B′ 与射线 AB 重合，那么射线 A'C' 与射线 AC 重合.
再由 A′B′ ＝AB，A′C′＝AC，可知点 B′，C′ 分别与点 B，C 重合.
这样，△A′B′C′ 的三个顶点与△ABC的三个顶点分别重合.
问题2
所以△A′B′C′ 与△ABC 能够完全重合.
因而△A′B′C′≌△ABC .
C
A
B
(A')
(B')
(C')
新知
C
A
B
A'
C'
B'
在△A′B′C′ 和△ABC 中，
∴ △A′B′C′≌△ABC（SAS）．
用符号语言表示用“边角边”证明三角形全等的推理过程为：
由前面的分析，可以得到以下基本事实，用它可以判定两个三角形全等：
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等 （可以简写成 “边角边”或 “SAS”）．
新知
注意
书写三角形全等的条件的注意事项
（1）全等条件要按顺序排列；
（2）同一个三角形的三个条件要放在等号同一侧；
（3）两个三角形对应顶点的字母要一一对应．
　　例　如图，AC＝AD，AB 平分∠CAD，求证∠C＝∠D．
A
B
C
D
　　分析　如果能证明△ABC≌△ABD，就可以得出∠C＝∠D．由题意可知，△ABC 与△ABD 具备“边角边”的条件 ．
　　例　如图，AC＝AD，AB 平分∠CAD，求证∠C＝∠D．
A
B
C
D
　　证明：∵ AB平分∠CAD，
∴ ∠CAB＝∠DAB．
在△ABC 和△ABD 中，
∴ △ABC≌△ABD（SAS）．
∴ ∠C＝∠D ．
AB 既是△ABC 的边又是△ABD 的边，我们称它为这两个三角形的公共边．
归纳
因为全等三角形的对应边相等、对应角相等，所以在证明线段相等或角相等时，可以通过证明它们是全等三角形的对应边或对应角来解决．
我们知道，如果两个三角形的两边和它们的夹角分别相等，那么这两个三角形全等．如果两个三角形的两边和其中一边的对角分别相等，那么这两个三角形全等吗？
问题3
A
C
B
D
在△ABC 和△ABD 中，
AB＝AB，
AC＝AD，
∠B＝∠B，
显然，△ABC 和△ABD 不全等．
归纳
两边和其中一边的对角分别相等的两个三角形不一定全等．
A
C
B
D
仔细观察下面的动图，进一步理解“边边角”不能判定三角形全等．
　　1．如图，有一池塘，要测池塘两端 A，B 的距离，可先在平地上取一个点 C，从点 C 不经过池塘可以直接到达点 A 和 B．连接AC 并延长到点 D，使 CD＝CA．连接 BC 并延长到点 E，使 CE＝CB．连接 DE，那么量出 DE 的长就是 A，B 的距离．为什么？
　　分析　如果能证明△ABC≌△DEC，就可以得出 AB＝DE．由题意可知，△ABC 与△DEC 具备“边角边”的条件 ．
　　证明：在△ABC 和△DEC 中，
∴ △ABC≌△DEC（SAS）．
∴ AB＝DE．
　　2．如图，点 E，F 在 BC 上，BE＝CF，AB＝DC，∠B＝∠C．
求证∠A＝∠D．
证明：∵ BE＝CF，
∴ BE＋EF＝CF＋EF，即 BF＝CE．
在△ABF 和△DCE 中，
∴ △ABF≌△DCE（SAS）．
∴ ∠A＝∠D（全等三角形对应角相等）．
A
F
E
B
D
C
　　在“边角边”这个判定方法中，包含了边和角两种元素，一定要记住角是两边的夹角，而不是其中一边的对角；在应用该方法时，要从图形上按“边→角→边”的顺序排列条件．
注意
三角形全等的判定
应用
两边和它们的夹角分别相等的两个三角形全等
SAS
证明线段、角相等的新思路是证明相应的三角形全等
证明全等的思路是寻找对应相等的边、角、边
谢谢

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