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14.1全等三角形及其性质
人教版（2024）数学八年级上册
1．经历由实际例子抽象出全等形概念的过程，掌握全等形的概念．
2．理解全等三角形的概念，能识别全等三角形中的对应边、对应角，掌握全等三角形的性质，发展几何直观和空间观念．
学习目标
观察所给出的图形，说说它们有什么共同特点？
问题1
每个大图形中，都包含了若干个形状、大小都相同的小图形．
你能再举出一些生活中的类似例子吗？
问题1
翻动书本，把每页纸看作一个图形，这些图形有什么样的特点呢？
　 都能完全重合．
把一把三角尺按在纸板上，画下其图形，照图形剪下来的纸板和三角尺的形状、大小完全一样吗？你是用什么方法验证的？
问题2
　 形状、大小完全一样．
形状、大小相同的图形放在一起能够____________，
能够完全重合的两个图形叫作__________．
能够完全重合的两个三角形叫作______________．
新知
完全重合
全等形
全等三角形
（1）把△ABC 沿直线 BC 平移，得到△DEF．这两个三角形全 等吗？
问题3
A
B
C
E
F
D
（2）把△ABC 沿直线 BC 翻折180°，得到△DBC．这两个三角形全等吗？
问题3
A
B
C
D
（3）把△ABC 绕点 A 旋转，得到△ADE．这两个三角形全等吗？
问题3
D
A
B
C
E
归纳
一个图形经过平移、翻折、旋转后，位置变化了，但形状、大小都没有改变，即平移、翻折、旋转前后的图形全等．
在上面的问题（1）中，把△ABC沿直线BC平移，得到△DEF ．我们知道，△ABC 与△DEF 是全等三角形，也就是说两个三角形能够完全重合．把两个三角形重合到一起后，请你回答下面的问题．
思考
A
B
C
E
F
D
思考
A
B
C
E
F
D
（1）与顶点 A 重合的顶点是 ，与顶点 B 重合的顶点是 ，与顶点 C 重合的顶点是 ．
顶点 D
顶点 E
顶点 F
思考
A
B
C
E
F
D
（2）与边 AB 重合的边是 ，与边 BC 重合的边是 ，与边 AC 重合的边是 ．
DE
DF
EF
思考
A
B
C
E
F
D
（3）与∠A 重合的角是 ，与∠B 重合的角是 ，与∠C 重合的角是 ．
∠D
∠E
∠F
新知
把两个全等的三角形重合到一起，重合的顶点叫作对应顶点，重合的边叫作对应边，重合的角叫作对应角．
全等用符号“≌”表示，读作“全等于”．记两个三角形全等时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上．例如，上面问题中的△ABC 和△DEF 全等，对应关系已确定，可以记作：△ABC≌△DEF．
思考
A
B
C
E
F
D
在上面的问题（1）中，△ABC≌△DEF，对应边有什么关系？对应角呢？
对应边：AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．
对应角：∠A＝∠D，∠B＝∠E，∠C＝∠F．
新知
全等三角形的性质：
全等三角形的对应边相等，全等三角形的对应角相等．
　　例1　找出下列全等图形中相等的边和角．
A
B
C
D
（1）△ABC≌△ABD.
公共边通常是
对应边
解：∵ △ABC≌△ABD，
∴ AB＝AB，BC＝BD，AC＝AD；
∠BAC＝∠BAD，∠ABC＝∠ABD，∠C＝∠D．
　　例1　找出下列全等图形中相等的边和角．
（2）△AOB≌△COD.
解：∵ △AOB≌△COD，
∴ AB＝CD，BO＝DO，AO＝CO；
∠AOB＝∠COD，∠A＝∠C，∠B＝∠D．
A
B
C
D
O
对顶角通常是
对应角
　　例1　找出下列全等图形中相等的边和角．
（3）△ABC≌△ADE
一对最长的边（或最大的角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）．
A
B
D
C
E
解：∵△ABC≌△ADE，
∴AB＝AD，AC＝AE，BC＝DE；
∠BAC＝∠DAE，∠B＝∠D，∠C＝∠E．
归纳
全等三角形中，确定对应边、对应角的方法：
（1）有公共边的，公共边通常是对应边；
（2）有公共角的，公共角通常是对应角；
（3）有对顶角的，对顶角通常是对应角；
（4）两个全等三角形中一对最长的边（或最大的角）是对应边（或对应角），一对最短的边（或最小的角）是对应边（或对应角）．
　　例2　如图所示，△ABC≌△BAD，点 A 和点 B，点 C 和点 D 都是对应顶点，∠BAC ＝65°，∠ABC ＝26°，AC，BD 的延长线相交于点 E．求∠CBD，∠E 的度数．
B
C
D
E
A
　　解：∵ △ABC≌△BAD ，
∴ ∠ABD＝∠BAC＝65°.
∴ ∠CBD＝∠ABD－∠ABC＝65°－26°＝39°．
在△AEB中，
∠E＋∠BAE＋∠ABE＝180°，
∴ ∠E＝180°－∠BAE－∠ABE＝180°－65°－65°＝50°．
全等形
全等形
全等三角形
能够完全重合的两个图形叫作全等形
△ABC≌△DEF
对应顶点、对应边、对应角
能够完全重合的两个三角形叫作全等三角形
对应边相等，对应角相等
定义
表示方法
对应关系
性质
A
B
C
D
1.如右图，已知△ABD≌△ACE， C=45°，AC = 8， AE = 5，则 B = ， DC = .
A
E
B
C
D
8
5
5
45°
3
2.如图所示，△ABD≌△CDB，下面四个结论中，不正确的是( )
A.△ABD 和△CDB 的面积相等 B.△ABD 和△CDB 的周长相等
C. A + ABD = C + CBD D.AD∥BC，且AD = BC
C
分析：根据全等三角形的性质推出两三角形面积相等，
周长相等.且AD=BC， 1= 2，所以AD∥BC.
由全等得 A= C， ABD= CDB，所以 A+ ABD= C+ CDB≠ C+ CBD，故选C.
1
2
3.如图，长方形ABCD沿AM折叠，使D点落在BC上的N点处，AD=7cm， DAM=15°，则AN= cm， NAB= .
分析：∵将长方形ABCD沿AM折叠，使点D落在BC边上的点N，∴△ADM≌△ANM.
∴AN=AD=7cm， DAM= NAM=15°.
∴ NAB=90°- DAM- NAM=60°.故答案为7，60°.
7
60°
4.一个三角形的三边为2，5，a，另一个三角形的三边为b，2，6，若这两个三角形全等，则a+b的值为( )
A.8 B.9 C.10 D.11
D
分析：由全等三角形的性质得a=6，b=5，∴a+b=11.
5.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.
(1)当DE=8，BC=5时，求线段AE的长.
(2)已知 D=35°， C=60°，求 DBC与 AFD的度数.
分析：(1)根据全等三角形的性质得到AB=DE=8，BE=BC=5，结合图形计算，即可得到答案.
解：(1)∵△ABC≌△DEB，DE=8，BC=5
∴AB=DE=8，BE=BC=5.
∴AE=AB-BE=8-5=3.
A
B
C
D
F
E
A
B
C
D
F
E
5.如图，已知△ABC≌△DEB，点E在AB上，DE与AC相交于点F.
(2)已知 D=35°， C=60°，求 DBC与 AFD的度数.
分析：(2)根据全等三角形的性质得到 DBE= C=60°，
A= D=35°，根据三角形内角和定理求出 ABC，即可求得.
解：(2)∵△ABC≌△DEB， D=35°， C=60.
∴ DBE= C=60°， A= D=35°， ABC= DEB.
∴ ABC=180°- A- C=180°-35°-60°=85°.
∴ DBC= ABC- DBE=85°-60°=25°.
∵ ABC=85°，∴ DEB=85°，∴ AED=180°- DEB=180°-85°=95°
∴ AFD= A+ AED=35°+95°=130°.
谢谢

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