资源简介

(共18张PPT)
13.1.3　反证法
第13章　13.1　勾股定理及其逆定理
1.掌握反证法证题的基本步骤.(重点)
2.会用反证法证明简单的命题.(难点)
学习目标
情境引入
从前有个聪明的孩子叫王戎.他7岁时，与小伙伴们外出游玩，看到路边的李树上结满了果子.小伙伴们纷纷去摘取果子，只有王戎站在原地不动.
有人问王戎为什么，王戎说：“树在道边而多子，此必苦李.”小伙伴摘取一个尝了一下果然是苦李.
王戎是怎样知道李子是苦的呢？他运用了怎样的推理方法？
反证法
问题1　“在△ABC中，AB＝c，BC＝a，AC＝b(b≤a≤c)，a2＋b2≠c2，则这个三角形不是直角三角形，”请说明理由.
提示　假设它是一个直角三角形，由勾股定理，一定有a2＋b2＝c2，与已知条件a2＋b2≠c2矛盾，因此假设不成立，即它不是一个直角三角形.
知识梳理
先假设结论的反面是_____的；然后通过演绎推理，推出与基本事实、已证的定理、定义或已知条件等相______；从而说明假设不成立，进而得出原结论正确，这种证明的方法叫做“反证法”.即：(1)反设；
(2)推理得矛盾；
(3)假设不成立，原命题正确.
注意点：用反证法证明命题时，应注意的事项：
(1)周密考察原命题结论的否定事项，防止否定不当或有所遗漏；
(2)推理过程必须完整，否则不能说明命题的真伪性；
(3)在推理过程中，要充分使用已知条件，否则推不出矛盾，或者不能断定推出的结果是错误的.
正确
矛盾
问题2　在△ABC中，如果AB＝c，BC＝a，CA＝b，且∠C≠90°，那么a2＋b2≠c2是真命题吗？
提示　 (1)假设a2＋b2＝c2；
(2)由勾股定理逆定理可知，△ABC是直角三角形且∠C＝90°与已知条件∠C≠90°相矛盾；
(3)因此假设不成立，从而说明原结论a2＋b2≠c2成立.
(课本P127例5)证明：两条直线相交只有一个交点.
已知：两条相交直线l1与l2.
求证：l1与l2只有一个交点.
例1
证明　假设两条相交直线l1与l2不止一个交点，不妨假设l1与l2有两个交点A和B.
这样过点A和点B就有两条直线l1和l2，这与“两点确定一条直线”，即“经过点A和点B的直线只有一条”这个基本事实矛盾.
所以假设不成立，因此两条直线相交只有一个交点.
(课本P128例6)证明：在一个三角形中，至少有一个内角小于或等于60°.
已知：△ABC.
求证：△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
例2
证明　假设△ABC中没有一个内角小于或等于60°，即
∠A>60°，∠B>60°，∠C>60°.
于是∠A＋∠B＋∠C>60°＋60°＋60°＝180°，
这与“三角形的内角和等于180°”这个定理矛盾.
所以△ABC中至少有一个内角小于或等于60°.
反思感悟
反证法的第一步是假设，假设原命题结论的反面成立；
若反面不止一种情况，要把所有可能情况都列出来，再分类证明各种情况均不成立，从而肯定原命题成立.
已知“如图，直线a，b被直线c所截，∠1≠∠2.
求证：a不平行于b.
跟踪训练1
证明　假设结论不成立，则a∥b，
∴∠1＝∠2(两直线平行，同位角相等)，
这与已知的∠1≠∠2矛盾，
∴假设不成立，
∴a不平行于b.
(课本P128练习第3题)求证：如果整数m的平方是一个偶数，那么m必为偶数.
跟踪训练2
证明　假设m是奇数.
根据奇数的定义，存在整数n，使得m＝2n＋1.
m2＝(2n＋1)2＝4n2＋4n＋1＝2(2n2＋2n)＋1，
显然，m2＝2k＋1(其中k＝2n2＋2n)，即m2为奇数.
这与题设“m2是偶数”矛盾，故假设不成立.
因此，m必为偶数.
1.“证明：若a2≠b2，则a≠b”，用反证法证明这个结论时，应先假设
A.a2＝b2 B.a＝b
C.a＝－b D.a≠b
√
2.反证法是从反方向证明命题的论证方法.如图，想要证明“如果直线AB，CD被直线EF所截，AB∥CD，那么∠EOB＝∠EO'D.”先假设∠EOB≠∠EO'D，过点O作直线A'B'，使∠EOB'＝∠EO'D，由“同位角相等，两直线平行”，可
得A'B'∥CD.这样过点O就有两条直线AB，A'B'都平行于直线CD，这与数学中的一条基本事实相矛盾，说明∠EOB≠∠EO'D的假设是不正确的，于是有∠EOB＝∠EO'D，上述材料中的“基本事实”是指
A.两点确定一条直线
B.两直线平行，内错角相等
C.经过直线外一点，有且只有一条直线与已知直线平行
D.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与这条直线垂直
√
3.用反证法证明“一个三角形中至多有一个钝角”时，应假设________
___________________.
4.用反证法证明“在三角形中至少有一个内角大于或等于60°”，应先假设“在三角形中每一个角都　　　60°”(填“大于”“等于”或“小于”).
小于
一个三角
形中至少有两个钝角
本课结束

展开更多......

收起↑