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绵阳一诊B卷 2023级高三第一次诊断考试
数学
注意事项：
1 .答卷前，考生务必将自己的班级、姓名、考号填写在答题卡上。
2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。
如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。
3 .回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
4 .考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中,
只有一项是符合题目要求的.
1. 己知集合4 = {xeN|%>0}, B = {x\x2^4},则4n5=
A. {-1, -2, 0} B. {-2, —1, 0, 1, 2）
C. {1, 2} D. {0, 1, 2）
2. 若QZb *0,则下列选项正确的是
c c c
A. B.— > 一 C. a~ca b a b
3. 已知a>0 , b>0, 2a + b = 4,贝UM的最大值为
A. 1 B. 2 C. 4 D. 2及
4. 曲线/（x） = ln%r在点（1,火1））处的切线方程为
A. x+y=O B. x+y-l=O C. 1=0 D. yH=0
5. ua>r是“函数” Y在（o, +oo）上单调递增”的
X
A.充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C.充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知 cos（a-多） = 2^ ,则 sin（： + a）=
A- I B. 一逑 C. 272
3 —
7 .已知。=2，^> = log34, c = ei ,贝U
A. bC. c8 .在某个时期，某湖泊中的蓝藻每天以m%的增长率呈指数增长.若增长为原来的2.5
倍经过了 10天，则增长为原来的5倍需要经过的天数约为()(参考数据：32R0.3 )
A. 12 B. 15
C. 18 D. 20
二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9 .已知定义在R上的偶函数/(%)可导，〃")的导数为/'(%), /。+ 2)是奇函数，则
A. /(2) = 2 B. 的一个周期为8
C.八0) = 0 D. /'(%)的图象关于行2对称
10 .已知公比q不等于1的等比数列｛%｝的前〃项和为8,且。2,。8,。5成等差数列，
下列说法正确的是
1
A. q3 --- B.若 ai=2,则 04=1
C. S3, S9, S6成等差数列
D.若“1<0,则数列｛斯｝的最大项为42
11.己知函数/(%)=〃$访(4%+0)(〃>0)的图象与直线片1,从左往右的连续4个交
点依次为4 B, C, D,且|45|=用8cHeD|, k>l.则下列说法正确的是
A.若/⑴工)，则0的可能取值为巴
4 2
b.若/《)=〃$，则〃刈2/(；)
C.若k3,贝=
D. "sin」—=1
k + l
三、填空题：本大题共3小题，每小题5分，共15分.
12. -2与4的等差中项为.
4
13. 在△4BC 中，co&4=y , tanB=2,则 tanO=.
2~x2, x<0) c
14. 已知函数〃>)= r 则使不等式/a)>〃%2)成立的工的取值范围是
四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15. (13 分)
TT . 冗、/ 3
函数/(x) = sin(〃)x +3)(G>0, ]<0<兀)的最小正周期为" ,且/(万)=一--.
(1)求了(%)的解析式；
(2)将函数f(x)的图象向右平移二个单位后得到函数gQ)的图象，求函数g(%)在
6
区间[0,自上的值域.
16. (15 分)
设函数/(x) = x|x +m| .
(1)若切=2,写出函数〃%)的单调区间；
(2)当xw[l, 2]时，/Q)W2,求实数m的取值范围.
17. (15 分)
已知数列｛斯｝满足:当〃 N2时,q=2%_|-〃+ 2,且数列｛氏+而+与为等比数列
(k, b 为常数)，q=3.
(1)求常数K b的值及数列｛〃”｝的通项公式；
(2)设bn=a： -naH,求数列｛儿｝的前八项和S”.
18. (17 分)
已知函数/(') = —/+2/+- +。的图象关于点《，里普5对称.
(1)求c的值；
(2)记函数/(%)在区间［T, 0］上的最大值为，S),求〃(b)及/z(b)的最小值；
(3)若存在实数”，使得〃，xi,乃是函数ga)= /(x)-ax -加的三个互异零点,
求实数b的取值范围.
19. (17 分)
已知函数 J\x) = ex--X3-kx2-x-l.
6
(1)请判断了(x)是否可以为偶函数，并说明理由；
(2)若/(%)在区间(0, +8)上有唯一的极值点和零点分别为玉，x2.
(i)求实数上的取值范围；
(ii)证明：/(2再一z) +宜『(马一项)3<0.
高中2023级第一次诊断性考试
数学参考答案及评分标准
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1 . C 2 . D 3 . B 4. D 5 . A 6 . B 7. A 8 . C
二、选择题：本大题共3小题，每小题6分，共18分.全部选对的得6分，选对但不
全的得部分分，有选错的得。分.
9 . BCD 10 . ACD 11 .AC
三、填空题：本题共3个小题，每小题5分，共15分.
11
12.1; 13 . ―; 14.( 1, 0) U (0, 1)
2
四、解答题：本题共5小题，第15题13分，第16、17小题15分，第18、19小题
17分，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15 .解： ⑴ : F(x) =$ln(3x+0的最小正周期为“，
3=2 , 2
R f(--) = , 即 sin(〃+:- , 则 sin0 = ^^,--------------- 4 分
2 2 2 2
又夕 (乙，〃)，贝!J / - ,------------------------------------- 5分
2 3
f(x) =sin(2x + —) ； --------------------------------------------------- 6 分
3
(2)由题知：g(x)= ^(x--) =sin[2(x--) +—] =sin(2x + —) ,------ 8 分
6 6 3 3
由XG[O,勺，贝心口2X + &S犯 10分
2 3 3 3
sln(2x + —)^ 1 ,------ 12分
2 3
故g(x)的值域为［ 1]. 13分
2
一,f 人、、.， x(x + 2), xN -2, 一八
16 .解：(1)当 m = 2 时，f(x) = x\ x + 2\=' ------------ 3 分
-x( x + 2), x < —2,
故，(X)的单调递增区间为：(-8,-2], [-1, + 8),单调递减区间为：[-2, 7]；
6分
(2)由题知 xe[1, 2], r(x)0 2,
即对任意 x [1, 2], x|x + m|M 2恒成立，---------------------------------7 分
2 2 2 2 9
*** |x+ m归一,即 S x + mS -,贝！I----蜡 mS x 9
X X XX X
2 9
, x-- S - x + — ,------------------------------------------9 分
x x
2
令 g(x) = x---,易知 g(x)在 xw[1, 2]单调递增. 故 g(x)m“ = g(2) =1 ,
x
一松 1 ,贝1| -1 ,----------------------------------------- 11 分
令力(x) = x + 3,易知g(x)在XG[1,、4单调递减，在xg[JF,2]单调递增，
X
故力"Ln =卜心=2五,--------------------------------------13分
A 2V2 ,即模一-------------------------------------------- 14分
综上：-1 . 15 分
17 .解： ⑴ 因为：当点28寸，art =2a ,,-n + 2 ,
所以：an - n = 2[%_i -(n-1)]( n 2) ,----------------------------- 3 分
因为：耳一1=2,----------------------------------------------4分
所以数列｛a.-力是以2为首项，2为公比的等比数列，------------------- 5分
所以：k = -1 , b = Q , an = 2n + n ;----------------------------- 7 分
(2) 由 (1) 可知： 4 = a 广-nan = 4" + c 2” , --------------------- 9 分
设 7。=2 + 2 2 +3 2, + …+ 〃.2" ①
则 27； =2 +2-23 +3-2* +…②--------------------------- 10 分
由②-①整理得：Tn =-(2 + 22 +23 +…+ 2") + 〃 2"1 =(〃-1)2-1 +2 , —13 分
4"+' 2
Sn = 4 + 42 +43 +--- + 40 + 7 =---+ (n-1)2"+1 +— .----------------15 分
3 3
18 .解：(1) Hx)定义域为R,且图象关于点(士竺3)对称，
3 27
2 43+18b
)=----- ,
3 27
解得：C=1；---------------------------------------------------3分
(2) f'(x) =-3x2 +4x + b = b —(3x2 —4x) t 3x -4x?[0, 7] , ------------- 4 分
①住7时，…x) ="(3x2 -4x)N q ,此时 心)在［7。弹调递增,
二,(虫“ =，(0)=1 ； 5分
②b '(X)eax = AT) =4-6 ； 6分
③ 0V5V7 时,存在 0),使得/(%) = b-(3x；-4x0)=0 ,
且当 xe[-1, %)时，f\ Q；当 xg(x0, 0]时，f'(x)>0 f
即WX)在区间iT，”单调递减，在(。0】单调递增,
4-b, 0 V 丛 3,
此时 =max{ f(0)} = max{1, 4-b}=<
1, 34-b, 3,
综上：6(b)= 8分1. b>3,
当b e (-co, 3］时，h(b)单调递减，此时h(b)的最小值为h(3)=1 ；
当 bw(3, +8)时,h(b) =1 , 9分
综上所述：力⑹的最小值为1； 10分
(3) g(x) = f(x) — ax2 —m=-x3 —(a —2)xJ +bx+1 -m ,
a, xi, M是函数 g(x) = Ax)-，-m 的三个互异零点，即 g(a) = g(%) = g(5),
也即6x)=p(a)的三个根是a, xi, X2, 11分
代入得：—x' —(a—2)x2 +bx + 1—/n=-a3—(a —2)a2+ba+1 - m ,
整理得：— a3 + (a — 2)(x2 —a2)—b(x — a) = 0 ,
(x-a)(xJ + ax + a2) + (a -2)(x-a)(x + a) -b(x-a) = 0 ,
即：+(2a-2)x + 2/ -2a-b) = 0 的三根是 a, X1, X2,
所以X1, X2必然为方程/+(2>2)* + 2/-23-6 = 0的两个相异实根，13分
则△ = (2a-2)’ -4(2a2 —2a - b) = 4(b+1 — a2) >0 ,
所以 b > a2 -1 ,则 b > T ,---------------------- ----------------15 分
又方程 x1 +(2a—2)x + 2a2 —2a — b = Q 两个根都不同于 3,贝！JbH5a'-4a,
，对于b>-1, aw(-而7,小由)，且人工51-3 使得a, X1, X2是函数
g( x) = f (x) — ax2 - m 的三个互异零点,------------- -------------------------- 16 分
b的取值范围为(T, +00).------------------------------------17分
19 .解：(1) f(x)不为偶函数，
理由如下：若“幻为偶函数.则只需要“幻=，(-幻，
1 1 _
即 e4 x3 - kx2 - xr，H—x3 - kx2 + x -1 恒成立，--------------------1 分
6 6
即 e* — e~* - -x3 -2x = 0 恒成立，
3
而该等式显然对任意实数不恒成立，
故“幻不为偶函数；-------------------------------------------------------3分
X 2
(2) f'(x) = ex —1 — 2/cx--- ,
2
* ** f'(0) = 0 且，"(x) = e* — 2A — x ,贝!I f'"(x) = e" —1 ,
又 x> 0 ,故 f''\x) >0 , f'\x)在(0, +oo)上单调递增，----------------4 分
-1
①当K 一时，f”(x)>叫0)=1-2危0 ,对xe(0, + 8)恒成立，
2
，尸(外在(0,+8)上单调递增，
f'(x) > f*(0) =0 ,
r(x)在(o, +8)上单调递增，r(x)>o ,
f(x)在(o, +8)上无极值点，也没有零点，不满足题意；-------------5分
②当时，f”(0)=1-2〃V0,又f”(x)在(0, +8)上单调递增，且当XT+OO,
2
/■"(*)->+8,因此 使，"(不)=0,
当 XW(0, X。)时，f"(x) <0 , f'(x)单调递减，当 X?(/，+8)时，f"(x) >0 ,
r'(x)单调递增，-------------------- -------------------------------------------6分
尸仇)V『(0)=0 又 XT+OO 时，f'(x)
由零点存在性定理知：3x, e(x0,+cc 使f'(xj=o,
. , 当 X?(0, %)时，，'(x)VO, f(x)单调递减，当 XG(X，+ 8)时，，'(外>0,外幻
单调递增，
f(x)在(0, +oo)有唯一的极值点x1 , --------------------------- 7分
又 〃X[) V f(O) =0 且，当 x- +w 时，f(x) ->+00 ,
由零点存在性定理知：丸?(X +00),使f(x2) =0 ,
f(x)在(0, +00)有唯一的零点々，------------------------------ 8分
1
综上所述：k>-,满足题意；---------------------------------------------9分
2
(ii)要证：f(2x, -x2) + e -1(x2 -x,)3 <0 ,由，(々)=0,
3
e*> -i
即证：f{2xy - x2) - f(x2) +---- (x2 - x,)3 < 0 ,
3
1
即打不一(!一演)】一"玉+(!一%)]+%一(*2-X)3<。,---------------- 10 分
令亡=出一%，由⑴知t>。，
即证当t>o时，〃玉-。一 八％+t)+三^3 Vo恒成立，----------------11分
e*i -1
令力(t)= f(%+t) +---- t3(t>0),
3
即证：Mt) vo在te(0,+8)恒成立，注意到力(0)=0,
v /),(t)=-f,(x1-t)- +t) + (ex, -1)t2,
, //(。=_靖-'一十+' + 44工+2 + 菁2+产+(」，- 1)产，且，(0)=0, ------ 12 分
又由/(%)=0,知炉-1-24%-1 = (),-------------------------13 分
e" = 2〃X[+1+ ^-, h'(t) =6^ (-e-r - G2 + F),且//(0)=0,
2
h"(t) = -e*1 (ef - e-r - 2t), 且力"(0) 1 ,---------------------------14 分
hn,(t) = -e*' (er + e-f — 2) —e 2^yje, ,e-f —2)=0 (*) , --------------15 分
，从而(*)知力"(。在E, +8)单调递减，
故 hn(t) < 力"(0) = 0 , ------------------------------------------ 16 分
力'2在(。，+8)单调递减，故8(t)v "(o)= o ；
人2在(0, +8)单调递减，故力仕)〈人(0)=0,
故原不等式成立.--------------------------------------------------------- 17分

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