资源简介

(共40张PPT)
幻灯片 1：封面
课时标题：1.2.3 截一个几何体
核心内容：认识截面，探究不同几何体的截面形状，理解切割方式对截面的影响
授课教师：[你的姓名]
授课时长：[预计时长，如 40 分钟]
幻灯片 2：情境导入 —— 从生活到数学
1. 生活中的 “切割” 现象
展示图片：
切蛋糕：将圆形蛋糕用刀竖直切、水平切，展示不同的切面形状；
切胡萝卜：将圆柱形胡萝卜斜着切、横着切，呈现不同的截面；
切豆腐：把正方体豆腐用刀不同角度切割，观察切面变化。
提问引导：“生活中我们经常会切割物体，切割后产生的‘面’在数学中叫做什么？不同的切割方式，产生的‘面’形状相同吗？今天我们就来研究‘截一个几何体’的问题。”
2. 引入核心概念
定义：用一个平面去截一个几何体，截出的面叫做截面。
强调：截面是一个平面图形，其形状由几何体的形状和平面切割的方向、角度决定。
幻灯片 3：探究 1—— 正方体的截面
1. 实验准备与操作
实验器材：正方体模型（可使用土豆、萝卜制作的实物模型）、小刀（或模拟切割软件）。
切割方式分类：
方式 1：平面与正方体的三个面相交；
方式 2：平面与正方体的四个面相交；
方式 3：平面与正方体的五个面相交；
方式 4：平面与正方体的六个面相交（特殊角度）。
2. 不同切割方式的截面形状
方式 1（与三个面相交）：
操作：平面斜着截正方体，只经过三个相邻的面；
截面形状：三角形（锐角三角形，不能截出直角三角形或钝角三角形）；
图示：展示切割过程图与最终截面图，标注平面经过的面数。
方式 2（与四个面相交）：
操作 1：平面平行于正方体的面切割；
截面形状：正方形；
操作 2：平面垂直于正方体的面，但不平行于任何面；
截面形状：长方形；
操作 3：平面斜着切割，经过四个面且对边相等；
截面形状：平行四边形；
操作 4：平面斜着切割，经过四个面且邻边不相等、角不是直角；
截面形状：梯形（等腰梯形或一般梯形）；
总结：与四个面相交时，截面可能是正方形、长方形、平行四边形、梯形。
方式 3（与五个面相交）：
操作：平面以特定角度切割正方体，经过五个面；
截面形状：五边形；
提示：五边形的每条边对应正方体一个面的交线。
方式 4（与六个面相交）：
操作：平面以特殊角度切割正方体，经过六个面；
截面形状：六边形；
强调：正方体最多能截出六边形，无法截出七边形及以上的多边形（正方体只有 6 个面，平面最多与 6 个面相交）。
3. 正方体截面总结
平面与正方体的交面数
可能的截面形状
3 个面
三角形
4 个面
正方形、长方形、平行四边形、梯形
5 个面
五边形
6 个面
六边形
幻灯片 4：探究 2—— 圆柱的截面
1. 实验操作与截面分析
实验器材：圆柱形模型（如易拉罐、圆柱积木）、小刀。
切割方式分类：
方式 1：平面平行于圆柱的底面；
方式 2：平面垂直于圆柱的底面；
方式 3：平面斜着切割圆柱（不平行也不垂直于底面）。
2. 不同切割方式的截面形状
方式 1（平行于底面）：
操作：平面水平切割圆柱，与上下底面平行；
截面形状：圆形（与圆柱底面形状相同，大小可能不同）；
图示：展示切割过程，标注平面与底面的平行关系。
方式 2（垂直于底面）：
操作：平面竖直切割圆柱，经过圆柱的轴线（或不经过轴线）；
截面形状：
经过轴线：长方形（长方形的长为圆柱的高，宽为圆柱底面的直径）；
不经过轴线：长方形（长仍为圆柱的高，宽为圆柱底面的弦长，小于直径）；
特殊情况：当圆柱的底面直径与高相等时，垂直于底面切割且经过轴线，截面为正方形。
方式 3（斜着切割）：
操作：平面与圆柱的底面成一定角度（非 90°）切割；
截面形状：椭圆形（若平面只与圆柱的侧面相交，不经过底面，截面为椭圆；若平面同时经过侧面和两个底面，截面为椭圆的一部分，即 “半椭圆” 或 “椭圆的一部分图形”）；
补充：当切割角度特殊时，可能截出近似圆形的椭圆（角度越接近 90°，椭圆越扁；角度越接近 0°，椭圆越接近圆形）。
3. 圆柱截面总结
切割方式
截面形状
平行于底面
圆形
垂直于底面
长方形（或正方形）
斜着切割（非平行、垂直）
椭圆形（或其一部分）
幻灯片 5：探究 3—— 圆锥的截面
1. 实验操作与截面分析
实验器材：圆锥形模型（如圆锥积木、纸质圆锥）、小刀。
切割方式分类：
方式 1：平面平行于圆锥的底面；
方式 2：平面垂直于圆锥的底面且经过顶点；
方式 3：平面垂直于圆锥的底面但不经过顶点；
方式 4：平面斜着切割圆锥（非平行、垂直于底面）。
2. 不同切割方式的截面形状
方式 1（平行于底面）：
操作：平面水平切割圆锥，与底面平行；
截面形状：圆形（半径小于圆锥底面半径，越靠近顶点，截面圆越小）；
图示：标注截面圆与底面圆的位置关系。
方式 2（垂直底面且经过顶点）：
操作：平面竖直切割圆锥，经过圆锥的顶点和底面直径；
截面形状：等腰三角形（三角形的两腰为圆锥的母线，底边为圆锥底面的直径）；
强调：只有经过顶点且垂直底面切割，截面才是等腰三角形。
方式 3（垂直底面但不经过顶点）：
操作：平面竖直切割圆锥，不经过顶点，只经过圆锥的侧面和底面；
截面形状：等腰梯形（梯形的两腰为圆锥侧面的交线，上下底分别为平面与圆锥侧面、底面的交线）。
方式 4（斜着切割）：
操作 1：平面与圆锥的侧面和底面相交，且不经过顶点，角度较小时；
截面形状：椭圆形；
操作 2：平面与圆锥的侧面相切（只与侧面相交，不经过底面）；
截面形状：抛物线形；
操作 3：平面与圆锥的两个侧面相交（不经过底面和顶点），角度较大时；
截面形状：双曲线形；
补充：圆锥的截面涉及多种曲线，初中阶段重点掌握圆形、等腰三角形、等腰梯形和椭圆形。
3. 圆锥截面总结
切割方式
截面形状
平行于底面
圆形
垂直底面且经过顶点
等腰三角形
垂直底面但不经过顶点
等腰梯形
斜着切割（非平行、垂直于底面）
椭圆形（或抛物线形、双曲线形）
幻灯片 6：其他几何体的截面（简要介绍）
1. 球体的截面
切割方式：无论平面从哪个角度切割球体；
截面形状：圆形（截面圆的大小由平面到球心的距离决定，距离越近，圆越大；距离越远，圆越小；经过球心时，截面圆最大，为球体的大圆）；
强调：球体的截面只能是圆形，无法截出其他形状。
2. 棱柱的截面（以三棱柱为例）
平行于底面切割：截面形状与底面相同（三角形）；
垂直于底面切割：截面形状为长方形（或正方形）；
斜着切割：截面形状可能为三角形、四边形、五边形（与正方体类似，截面边数不超过棱柱的面数）。
幻灯片 7：典型例题精讲
例题 1：判断截面形状
题目：用一个平面去截下列几何体，能截出长方形的是（ ）
① 正方体 ② 圆柱 ③ 圆锥 ④ 球体
A. ①② B. ①③ C. ②③ D. ③④
解答：
① 正方体：垂直于面切割可截出长方形，正确；
② 圆柱：垂直于底面切割可截出长方形，正确；
③ 圆锥：无法截出长方形，错误；
④ 球体：只能截出圆形，错误；
答案：A。
例题 2：分析切割方式
题目：用一个平面去截正方体，得到一个梯形截面，该平面与正方体的几个面相交？请描述切割方式。
解答：
相交面数：4 个面（梯形有 4 条边，每条边对应平面与正方体一个面的交线，故与 4 个面相交）；
切割方式：平面斜着切割正方体，经过 4 个面，且平面与正方体相对的两个面的交线平行（保证梯形的对边平行），与另外两个面的交线不平行且长度不相等（保证是梯形，非平行四边形）。
例题 3：实际应用
题目：如图，一个圆柱形的管道，工人师傅要在管道上开一个口连接支管，要求开口的截面是长方形，应该如何切割？
解答：
切割方式：用一个平面垂直于圆柱形管道的底面进行切割，平面需经过管道的轴线（或不经过轴线，但垂直底面）；
理由：垂直于圆柱底面切割时，截面为长方形，符合开口要求，且长方形的开口便于连接支管（形状规则，密封性能好）。
幻灯片 8：易错点警示
1. 误以为正方体能截出直角三角形
错误表现：认为用平面切割正方体可以得到直角三角形截面；
避坑指南：正方体的每个面都是正方形，相邻面的夹角为 90°，平面切割经过三个面时，形成的三角形三个角均为锐角（可通过几何计算验证），故正方体无法截出直角三角形或钝角三角形。
2. 混淆圆柱与圆锥的截面
错误表现：认为垂直于底面切割圆锥能截出长方形；
避坑指南：垂直于底面切割圆锥，若经过顶点，截面为等腰三角形；若不经过顶点，截面为等腰梯形，只有圆柱垂直于底面切割才能截出长方形，需明确两种几何体的结构差异。
3. 忽略球体截面的唯一性
错误表现：认为球体可以截出椭圆形截面；
避坑指南：球体的任意截面都是圆形（平面到球心的距离不同，圆的大小不同），因为球体的所有半径相等，平面与球体相交形成的图形必然是圆形。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题 1：填空
用一个平面去截正方体，最多能截出______边形；截圆柱时，平行于底面的截面是______形；截圆锥时，经过顶点且垂直底面的截面是______形。
答案：六；圆；等腰三角。
提升题 2：选择与判断
用一个平面去截圆锥，不可能得到的截面是（ ）
A. 圆形 B. 长方形 C. 等腰三角形 D. 椭圆形
判断：用一个平面去截球体，截面的大小与平面到球心的距离无关（ ）（答案：×，距离越近，截面越大）
拓展题 3：动手操作与描述
请用土豆制作一个正方体模型，尝试用刀切割出五边形截面，并描述切割过程（提示：平面需经过正方体的五个面，可先标记出平面经过的五个面的位置，再沿标记线切割）。
幻灯片 10：课堂总结与课后作业
1. 课堂总结
核心知识：
截面定义：平面截几何体得到的平面图形；
关键规律：截面形状由几何体形状和切割方式（方向、角度）决定，截面边数不超过几何体的面数；
常见几何体截面：
正方体：三角形、四边形（正方形、长方形等）、五边形、六边形；
圆柱：圆形、长方形、椭圆形；
圆锥：圆形、等腰三角形、等腰梯形、椭圆形；
球体：圆形。
学习方法：
通过实物切割或模拟实验，直观感受截面形状；
结合几何体结构，分析平面与面的交线，推导截面形状。
2. 课后作业
必做题：完成教材对应练习题，画出用平面截正方体得到三角形、长方形、六边形截面的示意图，并标注切割方向；
选做题：查阅资料，了解 “截面在建筑设计中的应用”（如桥梁截面、房屋梁柱截面），收集 1-2 个案例并简要分析；
实践题：用家里的水果（如苹果、梨）或蔬菜（如萝卜、土豆）制作一个几何体模型，尝试不同方式切割，记录截面形状并拍照分享。
2024北师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2.3截一个几何体
第一章 丰富的图形世界
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.经历用一个平面切截几何体的活动过程，体会几何体在被截过程中的变化，在面与体的转换中积累数学活动经验.
2.通过用一个平面截一个几何体的活动，认识圆柱、圆锥、棱柱、球等几何体截面的一些特征，发展几何直观.
学习目标
重点
难点
在生活中我们常常需要将一个物体截开，如切西瓜、锯木头等.
将西瓜切开有时候会得到扇形，有时候会得到圆形.
木头锯开，有时候得到圆形，有时候得到长方形.
切开杨桃，可以得到五角星.
课堂导入
知识点1 截面
用一个平面将一个三棱柱横向截开，可以得到一个三角形.
用一个平面去截取一个几何体，截出的面叫作截面.
新知探究
知识点2 用一个平面截正方体
思考1：
如果我们用一个平面去截一个正方体，截出的面可能是什么形状呢？
新知探究
知识点2 用一个平面截正方体
新知探究
截面的形状是正方形.
知识点2 用一个平面截正方体
新知探究
截面的形状是长方形.
知识点2 用一个平面截正方体
正方形
像如图所示的方法去截正方体，截面分别是什么形状？
平行四边形
梯形
这些都是四边形，可能截出其他的形状吗
新知探究
知识点2 用一个平面截正方体
截面的形状是三角形.
用一个平面去截正方体，截面的形状可能是三角形吗 截面的形状还可能是几边形
等腰三角形
等边三角形
新知探究
知识点2 用一个平面截正方体
新知探究
截面的形状是五边形.
知识点2 用一个平面截正方体
新知探究
截面的形状是六边形.
归纳：用一个平面去截正方体:截面的形状可能是三角形、四边形、五边形、六边形.
知识点2 用一个平面截正方体
三角形 等腰三角形 等边三角形
正方形 长方形 长方形
五边形 六边形
长方形 平行四边形 菱形 梯形
新知探究
想一想:用一个平面去截正方体，能截出七边形吗
知识点2 用一个平面截正方体
正方体只有六个面，截面最多有六条边.
平面与正方体几个面相交，就得到几条交线，得到的截面就是几边形.
新知探究
知识点2 用一个平面截正方体
思考2：用一个平面去截一个棱柱（以三棱柱为例），截面可能是什么形状
三角形 长方形(正方形) 梯形 五边形
新知探究
归纳：
知识点2 用一个平面截正方体
棱柱的面数与其截面的边数的关系
用一个平面去截棱柱时，一个棱柱有几个面，截面最多就有几条边，
n 棱柱(有(n +2)个面)的截面形状是多边形，
其边数 m 满足3≤ m ≤n +2.
新知探究
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
思考3：用一个平面去截一个圆柱，截面的形状可能是什么样
新知探究
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
思考3：用一个平面去截一个圆柱，截面的形状可能是什么样
新知探究
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
思考3：用一个平面去截一个圆柱，截面的形状可能是什么样
新知探究
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
思考3：用一个平面去截一个圆柱，截面的形状可能是什么样
类似梯形(鼓形)
类似拱形(铲形)
圆形
椭圆形
长方形
新知探究
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
新知探究
思考4：用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是什么样
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
新知探究
思考4：用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是什么样
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
思考4：用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是什么样
新知探究
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
思考4：用一个平面去截一个圆锥，截面的形状可能是什么样
类似拱形(铲形)
等腰三角形
椭圆形
圆形
新知探究
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
思考5：用一个平面去截一个球，截面的形状可能是什么样
新知探究
用一个平面无论如何截球，截面的形状总是圆，只是大小可能不同.
例1 一个几何体被一个平面所截后,得到一个圆形截面,则原几何体的形状可能是( )
A. 圆柱 B.圆锥 C.球 D.以上都可以
D
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
解析:用一个平面去截圆柱或圆锥,当截面与底面平行时,可以得到圆形截面;
用一个平面去截球,无论如何截,得到的截面都是圆.
故选 D .
新知探究
例2 用平面截一个几何体，如果截面的形状是长方形(或正方形)，那么该几何体不可能是( )
A.圆柱 B.棱柱 C.正方体 D.圆锥
D
解析：圆柱的截面可能是圆、长方形、椭圆;
棱柱的截面可能是三角形、长方形和其他多边形;
圆锥的截面可能是三角形、圆、椭圆;
正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形.
知识点3 圆柱、圆锥、球的截面形状
新知探究
1.如图用一个平面去截下面的几何体，截面分别是什么图形
解:长方形
长方形
三角形
圆形
随堂练习
2. 如图，往一个密封的正方体容器持续注入一些水，注水的过程中，可将容器任意放置，水平面形状不可能是( )
A.三角形 B.正方形 C.六边形 D.七边形
D
随堂练习
3. 用一个平面去截一个三棱柱,截面的形状不可能是( )
A B C D
C
随堂练习
4.如图，用一个平面去截下列各几何体，所得截面可能是三角形的是( )
D
A B C D
随堂练习
5. 下列几何体中，截面可能是圆形的有( )
(1)圆柱;(2)正方体;(3)棱柱;(4)球;(5)圆锥;(6)长方体
A.2种 B.3种 C.4种 D.5种
B
解析：圆柱的截面可能是圆、长方形、椭圆、抛物面;
正方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形;
棱柱的截面可能是三角形、四边形、多边形;
球的截面只能是圆;
圆锥的截面可能是三角形、圆、椭圆;
长方体的截面可能是三角形、四边形、五边形、六边形.
随堂练习
编者注 本书选择题每题4分，填空题每空2分.
知识点1 截面
（第1题）
1.如图，在一密闭的圆柱形玻璃杯中装一半的水，水平放置
时，水面的形状是( )
B
A.圆 B.长方形 C.椭圆 D.梯形
知识点2 用平面截几何体
2.如图，用一个平行于圆锥底面的平面截圆锥，截面的形状是( )
B
A. B. C. D.
（第3题）
3.［教材习题 变式］用一个平面去截如图所示的三棱
柱，截面形状不可能是( )
D
A.三角形 B.四边形 C.五边形 D.六边形
4.［教材 尝试·思考变式］如图，用四个不同的平面去截一个正方体，
请在下面横线上写出截面的形状。
正方形
长方形
三角形
梯形
知识点3 由截面形状想象几何体
5.［教材P随堂练习T 变式］用一个平面去截一个几何体，如果截面
形状是圆，那么原来的几何体可能是( )
C
A.正方体 B.长方体 C.圆柱 D.三棱锥
6.用一个平面去截一个几何体，如果截面形状是三角形，那么这个几何
体不可能是( )
B
A.长方体 B.圆柱 C.三棱锥 D.圆锥
截一个几何体
截面:用一个平面去截一个几何体，截出的面叫作截面
球的截面:圆
正方体的截面:三角形、四边形、五边形、
六边形
三棱柱的截面:三角形、四边形、五边形
圆柱的截面:圆、长方形、椭圆
圆锥的截面:三角形、圆、椭圆
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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