资源简介

(共31张PPT)
幻灯片 1：封面
课时标题：2.2.2 有理数加法的运算律
核心内容：探索有理数加法的交换律与结合律，掌握运算律的应用技巧
授课教师：[你的姓名]
授课时长：[预计时长，如 35 分钟]
幻灯片 2：情境导入 —— 从小学运算律到有理数
1. 回顾小学加法运算律
问题 1：计算 “3 + 5” 和 “5 + 3”，结果相等吗？（学生回答：相等，均为 8）
问题 2：计算 “(2 + 7) + 3” 和 “2 + (7 + 3)”，结果相等吗？（学生回答：相等，均为 12）
引出旧知：在小学阶段，我们知道 “加法交换律”（a + b = b + a）和 “加法结合律”（(a + b) + c = a + (b + c)），这些运算律能简化整数、小数、分数的加法计算。
2. 提出新问题
“当加法中的数变成有理数（包含正数、负数和 0）时，这些运算律还成立吗？比如计算‘(-2) + 3’和‘3 + (-2)’，‘[(-1) + (-4)] + 5’和‘(-1) + [(-4) + 5]’，结果是否相等？”
引出核心主题：今天我们就来验证并学习 “有理数加法的运算律”，探索如何用运算律简化有理数加法计算。
幻灯片 3：知识点 1—— 有理数加法交换律
1. 规律探索：实例验证
计算对比 1：
左边：(-2) + 3 = 1；
右边：3 + (-2) = 1；
结论：(-2) + 3 = 3 + (-2)。
计算对比 2：
左边：(-5) + (-1) = -6；
右边：(-1) + (-5) = -6；
结论：(-5) + (-1) = (-1) + (-5)。
计算对比 3：
左边：0 + (-4) = -4；
右边：(-4) + 0 = -4；
结论：0 + (-4) = (-4) + 0。
2. 交换律的定义
文字表述：两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。
符号表示：对于任意有理数 a、b，都有 \(a + b = b + a\)。
关键说明：
交换律中，“加数的位置” 指的是整个加数（包括符号）的位置，如 “-2” 和 “3” 交换，不是只交换数字部分；
0 与任何有理数相加，交换位置后和仍不变，符合交换律。
3. 交换律的作用
简化计算：当遇到 “凑整” 或 “同号相加更简便” 的情况时，交换加数位置可减少计算步骤；
示例：计算 (-8) + 5 + 8，交换 “5” 和 “8” 的位置，得 (-8) + 8 + 5 = 0 + 5 = 5，避免了先算 (-8) + 5 的负数计算。
幻灯片 4：知识点 2—— 有理数加法结合律
1. 规律探索：实例验证
计算对比 1：
左边：[(-1) + (-4)] + 5 = (-5) + 5 = 0；
右边：(-1) + [(-4) + 5] = (-1) + 1 = 0；
结论：[(-1) + (-4)] + 5 = (-1) + [(-4) + 5]。
计算对比 2：
左边：(3 + (-6)) + (-2) = (-3) + (-2) = -5；
右边：3 + [(-6) + (-2)] = 3 + (-8) = -5；
结论：(3 + (-6)) + (-2) = 3 + [(-6) + (-2)]。
计算对比 3：
左边：(2.5 + (-3.1)) + 2.1 = (-0.6) + 2.1 = 1.5；
右边：2.5 + [(-3.1) + 2.1] = 2.5 + (-1) = 1.5；
结论：(2.5 + (-3.1)) + 2.1 = 2.5 + [(-3.1) + 2.1]。
2. 结合律的定义
文字表述：三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
符号表示：对于任意有理数 a、b、c，都有 \((a + b) + c = a + (b + c)\)。
扩展说明：结合律可推广到多个有理数相加，即任意改变加数的结合顺序，和仍不变（如 (a + b) + (c + d) = a + (b + c) + d）。
3. 结合律的作用
分组简化：将 “同号的数”“和为整数的数”“小数 / 分数能凑整的数” 结合在一起，减少计算难度；
示例：计算 (-3) + 4 + (-2) + 6，结合同号的数：[(-3) + (-2)] + (4 + 6) = (-5) + 10 = 5，比依次计算更简便。
幻灯片 5：知识点 3—— 运算律的综合应用技巧
1. 核心应用原则
原则 1：同号结合：将正数与正数结合，负数与负数结合，避免正负交替计算；
示例：计算 (-5) + 7 + (-3) + 2 = [(-5) + (-3)] + (7 + 2) = (-8) + 9 = 1。
原则 2：凑整结合：将和为 0（互为相反数）、和为整数（如 10、-5）的数结合；
示例 1（凑 0）：计算 8 + (-8) + (-3) = (8 + (-8)) + (-3) = 0 + (-3) = -3；
示例 2（凑整数）：计算 1.2 + (-0.3) + (-0.2) = 1.2 + [(-0.3) + (-0.2)] = 1.2 + (-0.5) = 0.7（或结合 1.2 与 - 0.2：(1.2 + (-0.2)) + (-0.3) = 1 + (-0.3) = 0.7）。
原则 3：统一形式结合：若算式中既有小数又有分数，先统一为小数或分数，再结合计算；
示例：计算\(\frac{1}{2}\) + (-0.5) + \(\frac{1}{3}\) = 0.5 + (-0.5) + \(\frac{1}{3}\) = 0 + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)（或统一为分数：\(\frac{1}{2}\) + (-\(\frac{1}{2}\)) + \(\frac{1}{3}\) = 0 + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)）。
2. 多步计算示例
例题：计算 (-2) + 5 + (-1) + (-4) + 6 + 3
步骤 1：观察数据：有负数（-2、-1、-4）和正数（5、6、3），可先同号结合；
步骤 2：应用结合律：[(-2) + (-1) + (-4)] + (5 + 6 + 3)；
步骤 3：分别计算：
负数和：(-2) + (-1) + (-4) = -7；
正数和：5 + 6 + 3 = 14；
步骤 4：最终求和：-7 + 14 = 7；
简化对比：若依次计算：(-2)+5=3→3+(-1)=2→2+(-4)=-2→-2+6=4→4+3=7，步骤更多，易出错。
幻灯片 6：典型例题精讲（分类型）
类型 1：基础运算律应用（同号结合）
例题 1：计算 (-3) + (-1) + 2 + (-5) + 4
解答：
同号结合：[(-3) + (-1) + (-5)] + (2 + 4)；
计算各组和：(-9) + 6 = -3；
结果：-3。
类型 2：凑整结合（含相反数）
例题 2：计算 (-6.5) + 2 + 6.5 + (-1)
解答：
凑 0 结合：[(-6.5) + 6.5] + (2 + (-1))；
计算各组和：0 + 1 = 1；
结果：1。
类型 3：分数与小数混合计算
例题 3：计算\(-\frac{1}{3}\) + 0.3 + \(\frac{1}{3}\) + (-0.2)
解答：
统一形式（分数或小数），先凑 0：[-\(\frac{1}{3}\) + \(\frac{1}{3}\)] + (0.3 + (-0.2))；
计算各组和：0 + 0.1 = 0.1（或\(\frac{1}{10}\)）；
结果：0.1。
类型 4：实际应用问题
例题 4：小明在一条东西走向的街道上散步，从起点出发，向东走记为正，向西走记为负，他的行走记录如下（单位：米）：-50，+30，-40，+20，-10。小明最终离起点多远？在起点的东边还是西边？
解答：
问题本质：计算所有行走记录的和，和为正则在东边，为负则在西边，绝对值为距离；
应用运算律：[(-50) + (-40) + (-10)] + (30 + 20) = (-100) + 50 = -50；
结论：最终离起点 50 米，在起点的西边。
幻灯片 7：易错点警示
1. 交换加数时忽略符号
错误表现：计算 (-3) + 5 + (-2) 时，误将 “-2” 与 “5” 交换为 (-3) + 2 + (-5)，忽略 “-2” 的负号；
避坑指南：交换加数位置时，必须带着加数的符号一起移动，如 (-3) + 5 + (-2) = (-3) + (-2) + 5，而非改变符号。
2. 结合时分组错误
错误表现：计算 (-1) + 3 + (-2) + 4 时，误分组为 [(-1) + 3 + (-2)] + 4，未体现 “简化” 目的；
避坑指南：结合前先观察数据特征，优先将 “同号”“凑整” 的数分组，如 [(-1) + (-2)] + (3 + 4)，减少计算步骤。
3. 小数与分数混合时未统一形式
错误表现：计算 0.5 + (-\(\frac{1}{3}\)) + (-0.2) 时，直接计算 0.5 + (-\(\frac{1}{3}\)) = 0.166…，导致后续计算精度误差；
避坑指南：先将小数化为分数（如 0.5 = \(\frac{1}{2}\)，0.2 = \(\frac{1}{5}\)）或分数化为小数（如 -\(\frac{1}{3}\) ≈ -0.333），再结合计算，优先选择能凑整的形式。
4. 忽略运算律的适用条件
错误表现：认为 “只有三个数相加才能用结合律”，计算四个数相加时不敢分组；
避坑指南：加法结合律可推广到任意多个有理数相加，只要合理分组能简化计算，均可应用（如四个数分两组，五个数分三组等）。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题 1：填空（应用交换律 / 结合律）
(-5) + 7 = 7 + ______（答案：-5）；
[(-2) + (-3)] + 4 = (-2) + [______ + 4]（答案：-3）；
(-1) + 3 + (-4) + 2 = [(-1) + ______] + [3 + ______] = ______（答案：-4，2，0）。
提升题 2：计算（应用运算律简化）
(-6) + 8 + (-4) + 12；
1.8 + (-2.5) + (-0.8) + 2.5；
\(-\frac{1}{2}\) + \(\frac{2}{3}\) + (-\(\frac{1}{3}\)) + \(\frac{1}{2}\)。
答案提示：
[(-6) + (-4)] + (8 + 12) = (-10) + 20 = 10；
[1.8 + (-0.8)] + [(-2.5) + 2.5] = 1 + 0 = 1；
[-\(\frac{1}{2}\) + \(\frac{1}{2}\)] + [\(\frac{2}{3}\) + (-\(\frac{1}{3}\))] = 0 + \(\frac{1}{3}\) = \(\frac{1}{3}\)。
拓展题 3：实际应用
题目：某水库的水位在一周内的变化情况如下（上升记为正，下降记为负，单位：米）：+0.2，-0.3，+0.1，-0.1，-0.2，+0.4，-0.1。一周后水库水位与初始水位相比，是上升还是下降？变化了多少米？
解答思路：计算所有变化量的和，应用运算律分组：[0.2 + 0.1 + 0.4] + [(-0.3) + (-0.1) + (-0.2) + (-0.1)] = 0.7 + (-0.7) = 0，即水位无变化。
幻灯片 9：课堂总结与课后作业
1. 课堂总结
核心知识：
加法交换律：a + b = b + a（交换加数位置，和不变）；
加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)（改变结合顺序，和不变）；
应用技巧：同号结合、凑整结合、统一形式结合，简化计算步骤。
关键提醒：
交换加数时必须带符号，结合时优先选择能简化计算的分组方式；
运算律适用于所有有理数加法，包括正数、负数和 0。
2. 课后作业
必做题：完成教材对应练习题，用运算律简化计算下列各式：
(-8) + 10 + 2 + (-1)；
(-3.4) + 4.3 + (-0.6) + (-2.3)；
\(\frac{1}{4}\) + (-\(\frac{2}{3}\)) + \(\frac{3}{4}\) + (-\(\frac{1}{3}\))。
选做题：自己设计一道包含 5 个有理数（含正、负、0，有小数或分数）的加法题，用运算律简化计算，并写出解题步骤；
实践题：记录一周内自己的零花钱收支情况（收入记为正，支出记为负），用运算律计算一周内零花钱的总变化，判断最终是结余还是超支。
2024北师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.2 有理数加法的运算律
第二章 有理数及其运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.掌握有理数加法的运算律，能正确运用加法运算律简化运算.
2.能运用有理数加法及其运算律解决生活中的实际问题.
学习目标
重点
难点
加法的运算律能否扩充到有理数范围？
我们之前学过哪些加法的运算律？
两个数相加，交换加数的位置，和不变.
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
加法交换律
加法结合律
课堂导入
计算：
(-8) + (-9) ＝
(-9) + (-8) ＝
-17
-17
-3
(2) 4 + (-7) ＝
(-7) + 4 ＝
-3
(3) [2 + (-3)]+ (-8)＝　　　　
2+[(-3) + (-8)]＝
(4) [10 + (-10)]+ (-5)＝　　　
10 + [(-10) + (-5)]＝
-9
-9
-5
-5
新知探究
你发现了什么？
计算：
(-8) + (-9) ＝
(-9) + (-8) ＝
-17
-17
-3
(2) 4 + (-7) ＝
(-7) + 4 ＝
-3
两个数相加，交换加数的位置，和不变.
新知探究
计算：
(3) [2 + (-3)]+ (-8)＝　　　　
2+[(-3) + (-8)]＝
(4) [10 + (-10)]+ (-5)＝　　　
10 + [(-10) + (-5)]＝
-9
-9
-5
-5
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变.
新知探究
课堂小结
归纳：
加法交换律：a+b=b+a
加法结合律： (a+b)+c=a+(b+c)
加法的运算律在有理数范围内同样适用.
解： 31+ (-28) + 28+ 69
＝3 + 28 + 69
＝31 + 69
＝100
例1 计算：31+ (-28) + 28 + 69
新知探究
有没有简便
的算法呢？
解： (31 + 69) + [(-28) + 28]
＝100 + 0
＝100
例1 计算：31+ (-28) + 28 + 69
互为相反数的两个数和为0.能凑整的数先计算
新知探究
加法交换律
和结合律
例2
计算： (1) (-64) + 17 + (-23) + 68
解：原式＝ (-64) + (-23) + (17 + 68 )
＝ (-87) + 85
＝-2
加法交换律和结合律
同号的两个数先加
新知探究
(2) + + +
＝(-6) + 6
＝0
加法交换律和结合律
同分母分数先加

新知探究
有理数加法的简便计算
①互为相反数的两数先相加——“相反数结合法”；
②符号相同的数先相加——“同号结合法”；
③分母相同的数先相加——“同分母结合法”；
④相加能得到整数的数先相加——“凑整法”；
⑤带分数相加时，先拆成整数和真分数的和，再利用加法的运算律进行相加——“拆项结合法”.
课堂小结
例3
某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下(单位：km)：
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
(2)若汽车行驶1 km耗油a L，求该天耗油多少升
新知探究
例3
某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下(单位：km)：
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(1)B地在A地何方，相距多少千米？
解:(1) (+18)+(-9)+(+7)+(-14)+(+13)+(-6)+(-8)=1(km).
答:B地在A地正北方，相距1km.
新知探究
例3
某公路养护小组乘车沿南北方向巡视维修，某天早晨他们从A地出发，晚上最后到达B地，约定向北为正方向，当天的行驶记录如下(单位：km)：
＋18，－9，＋7，－14，＋13，－6，－8.
(2)若汽车行驶1 km耗油a L，求该天耗油多少L
解：(2) (18+9+7+14+13+6+8)×a=75a(L).
答:该天耗油75a L.
新知探究
解析：题中既交换了加数的位置，还将前两个数和后三个数分别结合在一起计算，应用了加法交换律和加法结合律.
1. 7+ (-3) + (-4) + 18 + (-11)＝ (7+18) + [(-3) + (-4) + (-11)]是应用了( )
A．加法交换律 B．加法结合律
C．分配律 D．加法交换律与结合律
D
随堂练习
2. 计算.
(-3) + 40 + 32 + (-8)
解：原式＝ (-3) + (-8) + (40 + 32 )
＝ (-11) + 72
＝ 61
随堂练习
(2) 43 + (-77) + 27 + (-43)
解：原式＝ 43 + (-43) + [(-77) + 27 ]
＝ 0 + (-50)
＝ -50
2. 计算.
随堂练习
解析：交换加数的位置，让两个同分母分数结合在一起相加，两个小数结合在一起相加.
3.计算 + (+4.71) + + (-6.71) 的结果为（ ）
A．–2 B．3 C．–3 D．–1
+ (+4.71) + + (-6.71)

＝1+ (-2)
＝-1
D
随堂练习
4. 小虫从某点O出发在一条直线上来回爬行，假定向右为正方向，爬行的记录如下（单位：厘米）：+5、-3、+10、-8、-6、+12、-7. 则小虫最终在起点O的 侧，距离点O 厘米处.
+5 + (-3) + 10 + (-8) + (-6) + 12 + (-7)
＝(5 + 10 + 12) + [(-3) + (-8) + (-6) + (-7)]
＝27+ (-24)
＝3
右
3
随堂练习
5.某村共有6块小麦试验田，每块试验田今年的收成与去年相比情况如下，增产为正，减产为负. (单位：kg)
55 -40 10 -16 27 -5
今年的小麦总产量与去年相比情况如何？
解： 55 + (-40) + 10 + (-16) + 27 + (-5)
＝(55+ 10 + 27) + [(-40) + (-16) + (-5) ]
＝92 + (-61)
＝31(kg)
答：今年的小麦总产量与去年相比，增产了31kg.
随堂练习
知识点1 有理数的加法运算律
1.（1）加法交换律： ______。
例：______ 。
（2）加法结合律： ___________。
例：_______ _______］。
2.［教材 例2变式］在下面的计算过程后面填上运用的运算律。
计算： 。
解：原式 （____________）
（____________）
。
加法交换律
加法结合律
3.小磊解题时，将式子 先变形为
，再计算结果，小磊运用了( )
B
A.加法交换律 B.加法交换律和加法结合律
C.加法结合律 D.以上均不正确
4.下列变形，运用运算律正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
5.（16分）计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） 。
解：原式 。
知识点2 有理数加法运算律的应用
6.某公交车上原有22人，经过2个站点时上下车情况如下（上车为正，
下车为负）：， ，则车上还有____人。
22
7.王先生到市行政中心大楼办事，假定乘电梯向上记作正数，向下记作
负数，王先生从1层出发，电梯上下楼层依次记录如下（单位：层）
，，，， 。则王先生最后______（填“能”或“不
能”）回到出发点1层。
不能
有理数的加法
有理数的加法运算律：
1.加法交换律:a+b=b+a
两个数相加，交换加数的位置，和不变
2.加法结合律:(a+b)+c=a+(b+c)
三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加和不变.
利用运算律简算:
1.互为相反数的两个数先相加;
2.相加能得整数的数可先相加;
3.同分母分数可先相加.
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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