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幻灯片 1：封面
课时标题：2.4.1 有理数的乘方
核心内容：理解乘方的定义，掌握乘方的表示与运算，明确正负数、0 的乘方特点
授课教师：[你的姓名]
授课时长：[预计时长，如 40 分钟]
幻灯片 2：情境导入 —— 生活中的 “重复乘法”
1. 实际问题展示
问题 1：正方形面积计算：一个边长为 5 的正方形，面积是多少？（列式：5×5）
问题 2：正方体体积计算：一个棱长为 3 的正方体，体积是多少？（列式：3×3×3）
问题 3：折纸厚度变化：一张厚度为 0.1mm 的纸，对折 1 次厚度变为 0.1×2mm，对折 2 次变为 0.1×2×2mm，对折 3 次变为 0.1×2×2×2mm，对折 n 次后厚度如何表示？（列式：0.1×\(\underbrace{2 2 2}_{n 2}\)）
2. 提出思考
“观察这些算式，它们有什么共同特点？（都是相同因数的乘法）当相同因数的个数较多时，直接书写会很繁琐，有没有更简洁的表示方法？”
引出核心概念：为了简化相同因数的乘法运算，数学中引入了 “乘方”，今天我们就来学习有理数的乘方。
幻灯片 3：知识点 1—— 乘方的定义与表示
1. 乘方的定义
一般地，把 n 个相同的因数 a 相乘，即\(\underbrace{a a a}_{n a}\)，记作\(a^n\)，读作 “a 的 n 次方” 或 “a 的 n 次幂”。
其中，a 叫做底数，n 叫做指数，\(a^n\)叫做乘方的结果（幂）。
特别说明：当 n=2 时，\(a^2\)读作 “a 的平方”（如\(5^2\)读作 “5 的平方”）；当 n=3 时，\(a^3\)读作 “a 的立方”（如\(3^3\)读作 “3 的立方”）。
2. 乘方的表示方法
写法规范：底数写在下方，指数写在底数的右上角，且指数要写得小一些、靠上一些（如\(2^4\)，不能写成 24）；
示例转化：
5×5 = \(5^2\)（底数 5，指数 2，读作 “5 的平方”）；
3×3×3 = \(3^3\)（底数 3，指数 3，读作 “3 的立方”）；
2×2×2×2×2 = \(2^5\)（底数 2，指数 5，读作 “2 的 5 次方”）；
(-4)×(-4)×(-4) = \((-4)^3\)（底数 - 4，指数 3，读作 “-4 的 3 次方”）。
3. 注意区分易混淆形式
示例 1：\(-2^4\)与\((-2)^4\)
\(-2^4\)：表示 “2 的 4 次方的相反数”，底数是 2，指数是 4，计算为\(-(2 2 2 2)=-16\)；
\((-2)^4\)：表示 “4 个 - 2 相乘”，底数是 - 2，指数是 4，计算为\((-2) (-2) (-2) (-2)=16\)；
示例 2：\(0.3^2\)与\(3 10^{-1}^2\)
\(0.3^2\)：底数 0.3，指数 2，计算为 0.3×0.3=0.09；
避免错误：不能将 0.3 拆分为 3×10^{-1} 后直接写成\(3 10^{-1}^2\)，需先明确底数范围。
幻灯片 4：知识点 2—— 有理数乘方的运算规则
1. 正数的乘方
规则：正数的任何次幂都是正数；
示例：
\(2^2 = 2 2 = 4\)（正数）；
\(3^3 = 3 3 3 = 27\)（正数）；
\(1.5^4 = 1.5 1.5 1.5 1.5 = 5.0625\)（正数）。
2. 负数的乘方
规则：负数的奇次幂是负数，负数的偶次幂是正数（简称 “奇负偶正”）；
推导原因：多个负数相乘，负因数的个数为奇数时，积为负；负因数的个数为偶数时，积为正；乘方是相同因数的乘法，故遵循此规律；
示例：
奇次幂：\((-2)^3 = (-2) (-2) (-2) = -8\)（负数，指数 3 是奇数）；
偶次幂：\((-3)^4 = (-3) (-3) (-3) (-3) = 81\)（正数，指数 4 是偶数）；
易错提醒：\(-(-2)^2 = -[(-2) (-2)] = -4\)（先算乘方，再算负号）。
3. 0 的乘方
规则：0 的任何正整数次幂都是 0（0 的 0 次幂无意义）；
示例：
\(0^2 = 0 0 = 0\)；
\(0^5 = 0 0 0 0 0 = 0\)；
特别说明：0 的 0 次幂在数学中不定义，因为它会导致逻辑矛盾（如\(0^0\)既可以看作\(0^a=0\)，也可以看作\(a^0=1\)）。
4. 分数的乘方
规则：分数的乘方需将分子、分母分别乘方，即\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)（b≠0）；
示例：
\((\frac{2}{3})^2 = \frac{2^2}{3^2} = \frac{4}{9}\)；
\((-\frac{1}{2})^3 = \frac{(-1)^3}{2^3} = \frac{-1}{8} = -\frac{1}{8}\)；
易错提醒：不能写成\(\frac{2^2}{3}\)（只分子乘方，分母不乘方），需分子分母同时乘方。
幻灯片 5：知识点 3—— 乘方的运算步骤
1. 确定底数和指数
第一步：明确乘方表达式中的底数（注意符号是否包含在括号内）和指数；
示例：\(-3^4\)的底数是 3，指数是 4；\((-3)^4\)的底数是 - 3，指数是 4。
2. 判断结果的符号
第二步：根据底数的正负和指数的奇偶性，判断乘方结果的符号（正数的乘方恒正，负数 “奇负偶正”，0 的乘方正数幂为 0）；
示例：\((-2)^5\)，底数负，指数奇，结果为负；\((\frac{1}{3})^3\)，底数正，结果为正。
3. 计算绝对值的乘方
第三步：忽略符号（已判断），计算底数绝对值的乘方，再结合符号得到最终结果；
示例：计算\((-5)^3\)
步骤 1：底数 - 5，指数 3；
步骤 2：底数负，指数奇，结果为负；
步骤 3：计算\(5^3 = 125\)，结合符号得\(-125\)。
4. 复杂乘方的运算（含小数、带分数）
小数化分数：将小数化为分数后再乘方，避免小数乘法的精度误差；
示例：\(0.2^3 = (\frac{1}{5})^3 = \frac{1^3}{5^3} = \frac{1}{125} = 0.008\)；
带分数化假分数：带分数的乘方需先化为假分数，再按分数乘方规则运算；
示例：\(1\frac{1}{2}^2 = (\frac{3}{2})^2 = \frac{3^2}{2^2} = \frac{9}{4} = 2.25\)；
易错提醒：不能写成\(1^2 + (\frac{1}{2})^2 = 1 + \frac{1}{4} = 1.25\)（错误，带分数乘方不是整数部分与分数部分分别乘方的和）。
幻灯片 6：典型例题精讲（分类型）
类型 1：基础乘方运算
例题 1：计算下列各式的值：
\(3^4\)；2. \((-2)^5\)；3. \(-(-4)^2\)；4. \((\frac{2}{3})^3\)；5. \(0.1^4\)
解答：
\(3^4 = 3 3 3 3 = 81\)；
\((-2)^5\)：底数负，指数奇，结果负，\(2^5=32\)，故\(-32\)；
\(-(-4)^2\)：先算\((-4)^2=16\)，再算负号，故\(-16\)；
\((\frac{2}{3})^3 = \frac{2^3}{3^3} = \frac{8}{27}\)；
\(0.1^4 = 0.1 0.1 0.1 0.1 = 0.0001\)。
类型 2：乘方与有理数混合运算（简单）
例题 2：计算\(2 (-3)^2 - 4 (-2)^3\)
解答步骤：
先算乘方：\((-3)^2 = 9\)，\((-2)^3 = -8\)；
再算乘法：\(2 9 = 18\)，\(4 (-8) = -32\)；
最后算减法：\(18 - (-32) = 18 + 32 = 50\)；
规则提醒：混合运算遵循 “先乘方，再乘除，最后加减” 的顺序。
类型 3：实际应用问题
例题 3：一根长度为 1m 的绳子，第一次剪去一半，第二次剪去剩下的一半，如此剪下去，第 5 次剪后剩下的绳子长度是多少米？
解答：
分析每次剩余长度：
第 1 次剪后：\(1 \frac{1}{2} = \frac{1}{2}\)（m）；
第 2 次剪后：\(\frac{1}{2} \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^2\)（m）；
第 3 次剪后：\((\frac{1}{2})^2 \frac{1}{2} = (\frac{1}{2})^3\)（m）；
规律总结：第 n 次剪后剩余长度为\((\frac{1}{2})^n\)（m）；
第 5 次剪后：\((\frac{1}{2})^5 = \frac{1}{32} = 0.03125\)（m）；
结果：第 5 次剪后剩下的绳子长度是\(\frac{1}{32}\)m（或 0.03125m）。
幻灯片 7：易错点警示
1. 底数符号判断错误
错误表现：将\(-a^n\)误认为\((-a)^n\)，如计算\(-2^3\)时，误算为\((-2)^3 = -8\)（结果虽对，但逻辑错误），或计算\(-(-2)^2\)时，误算为\((-(-2))^2 = 4\)；
避坑指南：明确 “是否带括号” 决定底数是否包含符号，\(-a^n\)的底数是 a，\((-a)^n\)的底数是 - a，计算前先圈出底数。
2. 带分数乘方未化假分数
错误表现：计算\(2\frac{1}{3}^2\)时，误算为\(2^2 + (\frac{1}{3})^2 = 4 + \frac{1}{9} = 4\frac{1}{9}\)；
避坑指南：带分数的本质是 “整数 + 分数”，乘方运算需先化为假分数（如\(2\frac{1}{3} = \frac{7}{3}\)），再按分数乘方规则运算（\((\frac{7}{3})^2 = \frac{49}{9}\)）。
3. 0 的乘方理解错误
错误表现：认为 “0 的任何次幂都是 0”，包括 0 的 0 次幂，或计算\(0^0\)时给出结果 1；
避坑指南：牢记 “0 的正整数次幂是 0，0 的 0 次幂无意义”，遇到 0 的乘方先确认指数是否为正整数。
4. 分数乘方只算分子
错误表现：计算\((\frac{3}{4})^2\)时，误算为\(\frac{3^2}{4} = \frac{9}{4}\)；
避坑指南：分数乘方需 “分子分母同时乘方”，即\((\frac{a}{b})^n = \frac{a^n}{b^n}\)，可在草稿纸上先写出分子、分母的乘方形式，再计算。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题 1：填空
\( (-3)^2 = \)，\(-3^2 = \)，\((-3)^3 = \)______；
\((\frac{1}{2})^4 = \)，\(-(\frac{1}{2})^4 = \)，\((-\frac{1}{2})^4 = \)______；
0 的任何______次幂都是 0，______的任何次幂都是正数（答案：正整数；正数）。
答案提示：1. 9，-9，-27；2. \(\frac{1}{16}\)，\(-\frac{1}{16}\)，\(\frac{1}{16}\)。
提升题 2：计算
\( (-2)^4 + 3 (-1)^3 - 0^5 \)；
\( (\frac{2}{3})^2 (-\frac{3}{2})^3 \)；
\( -2^2 (-2)^2 (-2)^3 \)。
答案提示：
\(16 + 3 (-1) - 0 = 13\)；
\(\frac{4}{9} (-\frac{27}{8}) = -\frac{3}{2}\)；
\(-4 4 (-8) = 128\)。
拓展题 3：实际应用
题目：某种细菌每小时繁殖一次，每次繁殖数量是原来的 2 倍，现有 100 个这种细菌，经过 5 小时后，细菌总数是多少个？
解答思路：每小时数量变为原来的 2 倍，5 小时后是原来的\(2^5\)倍，总数 = 100×\(2^5\)=100×32=3200（个）。
幻灯片
2024北师大版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4.1 有理数的乘方
第二章 有理数及其运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1.在现实背景中，理解有理数乘方的意义.
2.正确理解乘方、幂、指数、底数等概念.
3.掌握有理数乘方的运算方法.
学习目标
重点
难点
你知道世界上最高的山峰是什么山峰吗？
珠穆朗玛峰
它的海拔大约高8 848.86米.
课堂导入
假如有一张厚度是0.1mm的纸，连续对折30次，它的厚度能超过珠穆朗玛峰吗？
纸有多厚呢？怎么可能超过珠穆朗玛峰呢？
事实上是可以的，到底是怎么回事呢？
让我们一起来探究一下吧！
课堂导入
思考1：
某种细胞每过30 min便由1个分裂成2个.经过5 h，
这种细胞由1个能分裂成多少个？
5h要分裂10次
新知探究
一次(30min)
二次(1h)
三次(1.5h)
2×2
2×2×2
2
分裂10次能分裂成多少个呢
新知探究
一次(30min)
二次 (1h )
三次(1.5h)
2×2
2×2×2
2
……
……
十次(5h)
2×2×……×2
1个2相乘
2个2相乘
3个2相乘
10个2相乘
可以简便地记作 210
新知探究
归纳：
一般地，n个相同的因数a相乘，记作an
a×a×……×a×a
n个a
＝an
课堂小结
归纳：
这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，
乘方的结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数.
幂
指数
(因数的个数)
底数
(因数)
an可以读作a的n次方，也可读作a的n次幂.
a×a×……×a×a
n个a
＝an
课堂小结
一个数可以看作这个数本身的一次方.
幂
指数
(因数的个数)
底数
(因数)
注意:1次方可省略不写，2次方又叫平方，3次方又叫立方.
课堂小结
在(–6)3中，底数是_____，指数是_____.
3
–6
填一填.
例1
新知探究
例2 计算：
解： (1)53＝5×5×5
(1)53 ； (2)( 3)4
因为an就是n个a相乘，可以利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.
(2)( 3)4＝( 3)×( 3)×( 3)×( 3)
＝125；
＝81；
新知探究



= ( 8) =8
新知探究
想一想： ( 3)4 ， 34，它们一样吗？
说说它们分别表示什么？读作什么？
( 3)4 表示____________ ，底数是______，
读作______________________________ .
4个( 3)相乘
“负3的4次方”或“负3的4次幂”
34 表示 _________________ 底数是_______，
读作 或_______________.
“3的4次方的相反数”
“负的3的4次方”
3
3
4个3相乘的相反数
新知探究

6
10
8
6的10次幂
12
3
0
5
x的m次幂
x
m
m
x
3的12次幂
0的5次幂


随堂练习
2.下列说法中正确的是( )
A.23表示2×3的积
B.任何一个有理数的偶次幂都是正数
C. 32与( 3)2互为相反数
D.一个数的平方是 ，这个数一定是
C
随堂练习
(1) ( 2)3； (2) 24； (3)
3.计算.
(2) 24＝ (2×2×2×2)
(3)
解： (1) ( 2) 3 ＝ [( 2)×( 2)×( 2)]
利用有理数的乘法运算来进行有理数的乘方运算.
＝ ( 8)＝8；
＝ 16；
随堂练习
分析：
4.在 | 3|3 ， ( 3)3 ，( 3)3 ， 33中，最大的数是( )
B
A. | 3|3 B. ( 3)3
C. ( 3)3 D. 33
| 3|3＝ 27
( 3)3＝27
( 3)3＝ 27
33＝ 27
随堂练习
(3) 0.24; (4) ( 4)3.
原式= (2×2×2×2)
=64
解：原式=10×10×10×10
= 0.001 6
=10 000
= 16
原式= (0.2×0.2×0.2×0.2)
原式= ( 4)× ( 4)× ( 4)
5.计算：
(1)104; (2) 24;
随堂练习
知识点1 乘方的意义
1. 可以表示为( )
C
A. B. C. D.
2.下列关于 的说法中，错误的是( )
A
A.表示3个相加 B.底数是
C.表示3个 相乘 D.指数是3
3.将 写成幂的形式是_ ______，读作______
_______________。
负三分之二的四次方
4.填空。
乘方
底数 ___ ______ _ ___ ___
指数 ___ ___ ___ ___
4
6
5
4
3
2
知识点2 乘方的运算
5.计算 的结果是( )
D
A. B. C.6 D.9
6.下列各组式子中，运算结果相等的是( )
A
A.与 B.与 C.与 D.与
7.［2025西安月考］下列各数：，，， 中，负数
的个数为( )
B
A.1 B.2 C.3 D.4
8.（12分）［教材 例1变式］计算：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） ;
解：原式 。
（4） ；
解：原式 。
（5） ；
解：原式 。
（6） 。
解：原式 。
这种求n个相同因数a的积的运算叫作乘方，
乘方的结果叫作幂，a叫作底数，n叫作指数.
幂
指数
(因数的个数)
底数
(因数)
an可以读作a的n次方，也可读作a的n次幂.
课堂小结
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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