资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：1.1 探索勾股定理
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
通过观察、拼图、计算，经历勾股定理的探索过程，理解直角三角形三边之间的数量关系。
掌握勾股定理的内容（直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方），能结合图形用符号语言表示。
会用面积法验证勾股定理，体会 “数形结合” 的数学思想，提升动手操作与逻辑推理能力。
幻灯片 3：情境导入（直角三角形的 “边” 之谜）
展示生活中的直角三角形：
建筑：埃及金字塔的侧面（直角三角形）、楼梯的倾斜面与地面形成的直角三角形；
工具：三角尺（30°-60°-90°、45°-45°-90°）、木工画直角用的 “勾股尺”；
自然：长方形对角线分割形成的两个直角三角形（如课本封面）。
提出问题：
观察三角尺的三边长度（如 3cm、4cm、5cm；5cm、12cm、13cm），直角边与斜边之间有什么特殊的数量关系？
若直角三角形的两直角边分别为 a、b，斜边为 c，a、b、c 的平方之间是否存在固定的等式关系？
幻灯片 4：活动 1—— 观察特殊直角三角形，提出猜想
1. 等腰直角三角形（45°-45°-90°）
操作：在方格纸中画一个等腰直角三角形，直角边长度为 1 个单位，标注顶点为 A、B、C（∠C=90°，AC=BC=1）。
计算面积：
以 AC 为边的正方形面积：\(S_1 = 1 1 = 1 = 1^2\)；
以 BC 为边的正方形面积：\(S_2 = 1 1 = 1 = 1^2\)；
以 AB 为边的正方形面积（用 “割补法” 计算）：将正方形分割为 4 个全等的等腰直角三角形，每个面积为\(0.5\)，总面积\(4 0.5 = 2 = (\sqrt{2})^2\)。
发现关系：\(S_1 + S_2 = 1 + 1 = 2 = S_3\)，即\(AC^2 + BC^2 = AB^2\)。
2. 整数边直角三角形（3-4-5 型）
操作：在方格纸中画直角三角形，∠C=90°，AC=3，BC=4。
计算面积：
以 AC 为边的正方形面积：\(S_1 = 3^2 = 9\)；
以 BC 为边的正方形面积：\(S_2 = 4^2 = 16\)；
以 AB 为边的正方形面积（数方格或割补法）：\(S_3 = 25 = 5^2\)。
发现关系：\(S_1 + S_2 = 9 + 16 = 25 = S_3\)，即\(AC^2 + BC^2 = AB^2\)。
3. 提出猜想
对于任意直角三角形，若两直角边分别为 a、b，斜边为 c，是否都有\(a^2 + b^2 = c^2\)？
幻灯片 5：活动 2—— 拼图实验，验证猜想（赵爽弦图）
1. 准备材料
4 个全等的直角三角形（直角边 a、b，斜边 c）、1 个小正方形（边长\(b - a\)）、1 个大正方形（边长 c）。
2. 拼图步骤
第一步：将 4 个直角三角形的直角顶点朝内，拼成一个大正方形，中间留出小正方形（如图 1）。
大正方形边长 = 斜边 c，面积\(S_{ ¤§ } = c^2\)；
大正方形面积也可表示为 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积：\(4 (\frac{1}{2}ab) + (b - a)^2\)。
第二步：等式推导：\(
\begin{align*}
c^2 &= 4 \frac{1}{2}ab + (b - a)^2 \\
&= 2ab + b^2 - 2ab + a^2 \\
&= a^2 + b^2
\end{align*}
\)
结论：通过赵爽弦图验证，任意直角三角形都满足\(a^2 + b^2 = c^2\)。
幻灯片 6：活动 3—— 欧几里得法验证，深化理解
1. 图形构造
以直角三角形 ABC（∠C=90°）的三边为边，分别向外作正方形 ACDE、BCFG、ABHI（如图 2）。
2. 证明思路
连接 CE、CH，证明△ACE ≌ △BCF（SAS），推导两个正方形的面积关系：
正方形 ACDE 的面积 = 2×△ACE 的面积（同底等高）；
矩形 BCIH 的面积 = 2×△BCF 的面积（同底等高）；
因△ACE ≌ △BCF，故正方形 ACDE 的面积 = 矩形 BCIH 的面积。
同理可证：正方形 BCFG 的面积 = 矩形 ACIH 的面积。
综上：正方形 ACDE 的面积 + 正方形 BCFG 的面积 = 矩形 BCIH 的面积 + 矩形 ACIH 的面积 = 正方形 ABHI 的面积，即\(a^2 + b^2 = c^2\)。
幻灯片 7：勾股定理的定义与表示
1. 定理内容
直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
文字语言：若直角三角形的两直角边长度分别为 a、b，斜边长度为 c，则\(a^2 + b^2 = c^2\)。
符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，则\(AC^2 + BC^2 = AB^2\)（或\(a^2 + b^2 = c^2\)，其中 a=AC，b=BC，c=AB）。
2. 名称由来
古代中国称直角三角形的短直角边为 “勾”，长直角边为 “股”，斜边为 “弦”，故该定理称为 “勾股定理”，也叫 “勾股弦定理”。
3. 常见勾股数
能构成直角三角形三边的正整数组，如（3,4,5）、（5,12,13）、（6,8,10）、（7,24,25）等（注意：勾股数的倍数仍为勾股数，如 3×2=6，4×2=8，5×2=10，（6,8,10）也是勾股数）。
幻灯片 8：例题讲解（初步应用勾股定理）
例 1：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，已知两直角边 a=6，b=8，求斜边 c 的长度。
解答与分析：
根据勾股定理\(a^2 + b^2 = c^2\)，代入 a=6，b=8：\(
c^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100
\)
因 c 为边长（正数），故\(c = \sqrt{100} = 10\)。
答：斜边 c 的长度为 10。
例 2：在 Rt△DEF 中，∠F=90°，已知斜边 DE=13，一条直角边 EF=5，求另一条直角边 DF 的长度。
解答与分析：
根据勾股定理\(DF^2 + EF^2 = DE^2\)，变形得：\(
DF^2 = DE^2 - EF^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144
\)
因 DF 为边长（正数），故\(DF = \sqrt{144} = 12\)。
答：另一条直角边 DF 的长度为 12。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，若 a=3，b=4，求 c；若 a=5，c=13，求 b。
判断下列各组数是否为勾股数：（1）4,5,6；（2）8,15,17；（3）9,12,15。
提升题
如图，等腰直角三角形的斜边长为\(2\sqrt{2}\)，求它的直角边长度及面积。
一个直角三角形的两直角边之差为 3，斜边长为 15，求这个直角三角形的两直角边长度。
拓展题
用 4 个全等的直角三角形（a=3，b=4，c=5）拼出两种不同的图形，并用面积法验证勾股定理。
幻灯片 10：易错点深度剖析
混淆直角边与斜边，代入公式错误：
错误案例：在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=3，c=5，求 b 时，错算为\(b^2 = a^2 + c^2 = 9 + 25 = 34\)（正确应为\(b^2 = c^2 - a^2 = 25 - 9 = 16\)）。
规避方法：先根据直角符号确定直角边和斜边（斜边是最长边，对应直角的对边），代入公式前明确\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边，避免盲目套用。
勾股数判断忽略 “正整数” 条件：
错误案例：认为（2,3,\(\sqrt{13}\)）是勾股数（虽满足\(2^2 + 3^2 = (\sqrt{13})^2\)，但\(\sqrt{13}\)不是整数）。
规避方法：勾股数必须是 “正整数组”，需同时满足两个条件：① 满足\(a^2 + b^2 = c^2\)；② a、b、c 均为正整数。
验证勾股定理时面积计算错误：
错误案例：用赵爽弦图验证时，误将小正方形边长算为\(a + b\)（正确应为\(b - a\)，\(b > a\)），导致面积推导错误。
规避方法：拼图时仔细观察图形结构，明确各部分边长与直角三角形三边的关系（如小正方形边长为两直角边之差），计算面积时分步拆解，避免符号或数值错误。
幻灯片 11：课堂总结
探索过程：
特殊入手（等腰直角三角形、3-4-5 三角形）→ 提出猜想（\(a^2 + b^2 = c^2\)）→ 拼图验证（赵爽弦图、欧几里得法）→ 归纳定理。
核心内容：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方（\(a^2 + b^2 = c^2\)）。
关键思想：数形结合（通过面积关系推导数量关系）、从特殊到一般（从特殊直角三角形推广到任意直角三角形）。
初步应用：
已知两直角边求斜边（\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)）；
已知斜边和一直角边求另一直角边（\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)或\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)）。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（勾股定理探索相关题目）。
拓展练习：
（1）在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=12，BC=5，求 AC 的长度；
（2）若一个直角三角形的三边长为连续整数，求这三个数（提示：设中间数为 x，列方程求解）。
实践作业：
（1）用硬纸板制作 4 个全等的直角三角形（a=5cm，b=12cm，c=13cm），拼出赵爽弦图，测量并验证大正方形面积与两小正方形面积之和的关系；
（2）查阅资料，了解勾股定理的其他证明方法（如美国总统伽菲尔德的 “总统证法”），尝试用自己的语言描述证明过程。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1 探索勾股定理
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如图，这是一幅美丽的图案，仔细观察，你能发现这幅图中的奥秘吗？带着疑问我们来一起探索吧.
双击图标开始演示几何画板
点击视频开始播放
←
（图中每一格
代表 1 cm2）
（1）正方形 P 的面积是 cm2；
（2）正方形 Q 的面积是 cm2；
（3）正方形 R 的面积是 cm2.
1
2
1
SP + SQ = SR
R
Q
P
A
C
B
AC2 + BC2 = AB2
等腰直角三角形 ABC 三边长度之间存在什么关系吗？
SP = AC2 SQ = BC2 SR = AB2
上面三个正方形的面积之间有什么关系？
做一做：观察正方形瓷砖铺成的地面.
勾股定理的初步认识
填一填：观察右边两幅图：完成下表 (每个小正方形的面积为单位 1).
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图
右图
4
？
怎样计算正方形 C 的面积呢？
9
16
9
？
方法一：割
方法二：补
方法三：拼
分割为四个直角三角形和一个小正方形.
补成大正方形，用大正方形的面积减去四个直角三角形的面积.
将几个小块拼成若干个小正方形，图中两块红色（或绿色）可拼成一个小正方形.
分析表中数据，你发现了什么？
A 的面积 B 的面积 C 的面积
左图 4 9 13
右图 16 9 25
结论：以直角三角形两直角边为边长的两个小正方形的面积的和，等于以斜边为边长的正方形的面积.
双击图标开始演示几何画板
13
5
12
A
B
C
分别以 5 cm、12 cm 为直角三角形的直角边作出一个直角三角形 ABC，测量斜边的长度，然后验证上述关系对这个直角三角形是否成立.
做一做
几何语言：
在 Rt△ABC 中，∵∠C = 90°，
∴ a2 + b2 = c2 (勾股定理).
a
A
B
C
b
c
∟
总结归纳
定理揭示了直角三角形三边之间的数量关系.
　直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方．如果 a，b 和 c 分别表示直角三角形的两直角边和斜边，那么 a2 + b2 = c2．
勾股定理
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新知讲解
《02》
求下列直角三角形中未知边的长：
练一练
8
x
17
12
5
x
解：由勾股定理可得
82 + x2 = 172，
x = 15.
解：由勾股定理可得
52 + 122 = x2，
x = 13.
我们一起穿越到 2500 年前，跟随毕达哥拉斯再去他那位老朋友家做客，
看到他朋友家用砖铺成的地
面（如图所示）：
A
B
C
穿越毕达哥拉斯做客现场
正方形 A 的面积
正方形 B 的面积
正方形 C 的面积
+
=
一直角边2
另一直角边2
斜边2
+
=
知识链接
例1 已知∠ACB = 90°，CD⊥AB，AC = 3，BC = 4. 求 CD 的长.
典例精析
解：由勾股定理可得
AB2 = AC2+BC2 = 25，
即 AB = 5.
根据三角形面积公式，
得 AC·BC = AB·CD.
∴ CD = .
A
D
B
C
3
4
利用勾股定理进行计算
方法总结
由直角三角形的面积求法可知直角三角形两直角边的积等于斜边与斜边上高的积，这个规律也称“弦高公式”，它常与勾股定理联合使用．
例2 如图，已知 AD 是△ABC 的中线．
求证：AB2＋AC2 ＝ 2(AD2＋CD2)．
证明：如图，过点 A 作 AE⊥BC 于点 E.
在 Rt△ACE、Rt△ABE 和 Rt△ADE 中，
AB2＝AE2＋BE2，AC2＝AE2＋CE2，AE2＝AD2－ED2，
BE＝DB－ED，CE＝CD＋ED.
∴ AB2＋AC2＝(AE2＋BE2)＋(AE2＋CE2)
＝2AD2＋DB2＋DC2＋2ED·(DC－DB)．
又∵ AD 是△ABC 的中线，∴ DB＝DC.
∴ AB2＋AC2＝2AD2＋2DC2＝2(AD2＋CD2)．
E
方法总结
构造直角三角形，利用勾股定理把需要证明的线段联系起来．一般地，涉及线段之间的平方关系问题时，通常沿着这个思路去分析问题比较好．
解：当高 AD 在△ABC 内部时，如图①.
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，
得 BD2＝AB2－AD2＝202－122＝162，
∴ BD＝16.
在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
得 CD2＝AC2－AD2＝152－122＝81，
∴ CD＝9. ∴ BC＝BD＋CD＝25.
∴ △ABC 的周长为 25＋20＋15＝60.
例3 在△ABC 中，AB＝20，AC＝15，AD 为 BC 边上的高，且 AD ＝ 12，求△ABC 的周长．
题中未给出图形，作高构造直角三角形时，易漏掉钝角三角形的情况．如在本例题中，易只考虑高AD 在△ABC 内的情形，忽视高 AD 在△ABC 外的情形．
当高 AD 在△ABC 外部时，如图②.
同理可得 BD＝16，CD＝9.
∴ BC＝BD－CD＝7.
∴△ABC 的周长为 7＋20＋15＝42.
综上所述，△ABC 的周长为 42 或 60.
方法总结
解：∵ AE＝BE，
∴ S△ABE＝ AE·BE＝ AE2.
又∵ AE2＋BE2＝AB2，
∴ 2AE2＝AB2.
∴ S△ABE＝ AB2＝ .
同理可得 S△AHC＋S△BCF＝ AC2＋ BC2.
又∵ AC2＋BC2＝AB2，
∴阴影部分的面积为 AB2＝ .
例4 如图，以 Rt△ABC 的三边长为斜边分别向外作等腰直角三角形. 若斜边 AB＝3，求△ABE及阴影部分的面积.
方法总结
求解与直角三角形三边有关的图形面积时，要结合图形想办法把图形的面积与直角三角形三边的平方联系起来，再利用勾股定理找到图形面积之间的等量关系．
1. 图中阴影部分是一个正方形，则此正方形的面积为 cm .
8 cm
10 cm
36
2. 求下列图中未知数 x、y 的值：
解：由勾股定理可得
81 + 144 = x2，
x = 15.
解：由勾股定理可得
y2 + 144 = 169，
y = 5.
3. 在△ABC 中，∠C = 90°.
（1）若 a = 6，b = 8，则 c = ；
（2）若 c = 13，b = 12，则 a = .
4. 若直角三角形中，有两边长是 3 和 4，则第三边长的平方为（ ）
A 25 B 14 C 7 D 7 或 25
10
5
D
5. 一长为 2.5 米的木梯，架在高为 2.4 米的墙上(如图)，这时梯脚与墙的距离是多少
解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
得 BC2 = AB2 - AC2
= 2.52 - 2.42 = 0.49，
所以 BC = 0.7.
答：梯脚与墙的距离是 0.7 米.
A
B
C
6. 求斜边长 17 cm、一条直角边长 15 cm 的直角三角形的面积.
解：设另一条直角边长是 x cm.
由勾股定理得 152 + x2 = 172，
x2 = 172-152 = 289-225 = 64，
所以另一直角边长为 8 cm.
则直角三角形的面积是
(cm2).
思维拓展
解：S5 = S1 + S2 = 4，
S7 = S5 + S6 = 10.
已知 S1 = 1，S2 = 3，S3 = 2，S4 = 4，求 S5，S6，S7 的值.
S6 = S3 + S4 = 6，
知识点1 勾股定理
1.在中， ，下列结论正确的是( )
D
A. B.
C. D.
返回
2.在一个直角三角形中，若一条直角边长是3，另一条直角边长是4，则
斜边长的平方是( )
D
A.5 B.9 C.16 D.25
返回
3.如图，在中， 。
（第3题）
（1）若，，则 ____；
（2）若，，则 ___；
（3）若，，则 ___。
17
8
7
返回
（第4题）
4. 如图，某农舍的大门是一个木制的长方形
栅栏，它的高为，宽为 ，现需要在相对的顶点间
用一块木板加固，则木板的长为_______。
返回
5.［2025渭南期中］如图，在中，，垂足为，是
边上的中线，，，则的长是____ 。
13
（第5题）
返回
6.［教材习题变式］ 如图，在中，，是 边上
的高。已知，，则 的长为___。
8
（第6题）
返回
7.如图，在中，,垂足为， ,
, 。求：
（1） 的长；
解：因为,所以 。在
中，因为 ，所以
。所以 。
所以 。
认识勾股定理
如果直角三角形两直角边长分别为 a，b，斜边长为 c，那么 a2 + b2 = c2
利用勾股定理进行计算
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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