资源简介

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：1.1.2 勾股定理的图形验证
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
掌握 3-4 种勾股定理的经典图形验证方法（如赵爽弦图、毕达哥拉斯拼图），理解每种方法的拼图逻辑与面积推导过程。
能独立完成简单的图形拼接与面积计算，通过 “图形面积不变” 推导勾股定理，深化对 “数形结合” 思想的理解。
了解勾股定理验证方法的多样性，感受数学文化的丰富性，提升动手操作与逻辑推理能力。
幻灯片 3：知识回顾与引入
知识回顾：
勾股定理内容：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方，即 Rt△ABC 中，∠C=90°，则\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）。
前期探索：通过方格纸中特殊直角三角形（如 3-4-5、等腰直角三角形）的面积计算，提出了勾股定理的猜想，本节课通过图形拼接验证猜想的普遍性。
引入思考：
如何用 “图形拼接” 的方式，通过面积关系证明 “任意直角三角形都满足\(a^2 + b^2 = c^2\)”？不同的拼图方式，核心思路有何共性？
幻灯片 4：验证方法一 —— 赵爽弦图（中国古代经典方法）
1. 拼图组成
核心材料：4 个全等的直角三角形（直角边\(a\)、\(b\)，斜边\(c\)）、1 个小正方形（边长\(b - a\)，\(b > a\)）。
拼接步骤：
将 4 个直角三角形的直角顶点朝内，依次摆放，使它们的斜边围成一个大正方形的四条边；
4 个直角三角形之间自然形成一个小正方形（边长为两直角边之差\(b - a\)），最终得到 “外大正方形、内小正方形、中间 4 个直角三角形” 的结构（如图 1）。
2. 面积推导
步骤 1：计算大正方形的面积（两种表示方法）：
方法一：以斜边\(c\)为边长，面积\(S_{ ¤§ } = c^2\)；
方法二：大正方形面积 = 4 个直角三角形面积 + 小正方形面积：
每个直角三角形面积 = \(\frac{1}{2}ab\)，4 个总面积 = \(4 \frac{1}{2}ab = 2ab\)；
小正方形边长 = \(b - a\)，面积 = \((b - a)^2 = b^2 - 2ab + a^2\)；
故\(S_{ ¤§ } = 2ab + (b^2 - 2ab + a^2) = a^2 + b^2\)。
步骤 2：面积相等推导定理：
因大正方形面积的两种表示方法相等，故\(c^2 = a^2 + b^2\)，即勾股定理成立。
3. 图形示意
（大正方形边长为c）
┌───────────────────┐
│ ┌─────────────┐ │
│ │ 小正方形 │ │
│ │ 边长b - a │ │
│ └─────────────┘ │
│ （4个直角三角形环绕） │
└───────────────────┘
幻灯片 5：验证方法二 —— 毕达哥拉斯拼图（西方经典方法）
1. 拼图组成
核心材料：2 个全等的直角三角形（直角边\(a\)、\(b\)，斜边\(c\)）、1 个边长为\(a\)的正方形、1 个边长为\(b\)的正方形。
拼接步骤：
先将边长为\(a\)的正方形和边长为\(b\)的正方形并排摆放，组成一个 “L” 形图形（总面积 = \(a^2 + b^2\)）；
将 2 个直角三角形的斜边与 “L” 形的缺口边重合，拼接成一个边长为\(c\)的大正方形（如图 2），确保直角三角形的直角边分别与两个小正方形的边对齐。
2. 面积推导
步骤 1：计算 “L” 形图形的面积：\(S_{L } = aé § + bé § = a^2 + b^2\)。
步骤 2：计算拼接后大正方形的面积：
大正方形边长为直角三角形的斜边\(c\)，故\(S_{ ¤§ } = c^2\)。
步骤 3：面积相等推导定理：
因拼接前后图形面积不变（仅重新组合，无重叠或空缺），故\(a^2 + b^2 = c^2\)，勾股定理成立。
3. 关键说明
此方法的核心是 “将两个小正方形的面积和，通过直角三角形的拼接，转化为大正方形的面积”，直观体现了 “平方和” 的几何意义。
幻灯片 6：验证方法三 —— 总统证法（伽菲尔德证法）
1. 拼图组成
核心材料：2 个全等的直角三角形（直角边\(a\)、\(b\)，斜边\(c\)）、1 个等腰直角三角形（直角边\(c\)）。
拼接步骤：
将 2 个全等直角三角形的一条直角边重合，使它们的另一条直角边在同一直线上，组成一个 “梯形” 的两个腰；
将等腰直角三角形（斜边\(c\)）放在两个直角三角形的斜边之间，最终形成一个直角梯形（上底\(a\)、下底\(b\)、高\(a + b\)），且梯形内部由 3 个三角形组成（2 个全等直角三角形 + 1 个等腰直角三角形）（如图 3）。
2. 面积推导
步骤 1：计算直角梯形的面积（两种表示方法）：
方法一：梯形面积公式 = \(\frac{1}{2} ( + ) é = \frac{1}{2}(a + b)(a + b) = \frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2)\)；
方法二：梯形面积 = 2 个全等直角三角形面积 + 等腰直角三角形面积：
2 个直角三角形面积 = \(2 \frac{1}{2}ab = ab\)；
等腰直角三角形面积 = \(\frac{1}{2}c^2\)；
故\(S_{ } = ab + \frac{1}{2}c^2\)。
步骤 2：面积相等推导定理：
联立两种面积表达式：\(\frac{1}{2}(a^2 + 2ab + b^2) = ab + \frac{1}{2}c^2\)
两边乘 2：\(a^2 + 2ab + b^2 = 2ab + c^2\)
化简得：\(a^2 + b^2 = c^2\)，勾股定理成立。
幻灯片 7：验证方法四 —— 青朱出入图（刘徽证法）
1. 拼图逻辑
核心思想：“割补法”—— 将直角三角形的两个直角边对应的正方形（“青方”“朱方”）切割成若干小块，再将这些小块拼接成斜边对应的正方形（“弦方”），通过 “出入相补” 证明面积相等。
具体步骤：
设直角三角形直角边为\(a\)、\(b\)，对应正方形 “青方”（面积\(a^2\)）、“朱方”（面积\(b^2\)）；
将 “青方” 和 “朱方” 沿对角线或特定线条切割成三角形、四边形等小块；
将切割后的小块重新拼接，恰好填满边长为\(c\)的 “弦方”（面积\(c^2\)），且无重叠、无空缺。
2. 核心结论
因 “青方 + 朱方” 的面积 = 切割后小块总面积 = “弦方” 面积，故\(a^2 + b^2 = c^2\)，直观体现了中国古代 “以形证数” 的思想。
幻灯片 8：动手操作 —— 小组拼图验证
1. 活动任务
分组准备材料：每组发放 4 个全等直角三角形（纸质，\(a=3cm\)、\(b=4cm\)、\(c=5cm\)）、剪刀、方格纸。
活动要求：
选择一种验证方法（如赵爽弦图或毕达哥拉斯拼图），完成实物拼接；
在方格纸上画出拼接后的图形，标注各部分边长与面积；
小组内推导面积关系，写出勾股定理的验证过程。
2. 成果展示
选取 2-3 个小组展示拼接成果，讲解推导思路，教师点评并补充细节（如小正方形边长的计算、面积表达式的等价性）。
幻灯片 9：不同验证方法的共性与差异
验证方法
核心材料
面积关系核心
优势
赵爽弦图
4 个直角三角形 + 1 个小正方形
大正方形面积 = 4 个三角形 + 小正方形
中国古代经典，结构对称直观
毕达哥拉斯拼图
2 个直角三角形 + 2 个小正方形
L 形面积 = 大正方形面积
直接关联 “平方和” 与 “大正方形”
总统证法
2 个直角三角形 + 1 个等腰直角三角形
梯形面积 = 3 个三角形面积和
推导过程简洁，用到梯形面积公式
青朱出入图
2 个小正方形 + 切割小块
割补后面积不变
体现 “出入相补” 的中国数学思想
共性：均以 “面积不变” 为核心，通过不同图形的拼接与面积计算，建立直角边平方和与斜边平方的等价关系，验证勾股定理的普遍性。
幻灯片 10：易错点深度剖析
赵爽弦图中小正方形边长计算错误：
错误案例：将小正方形边长错算为\(a + b\)（正确应为\(b - a\)，\(b > a\)），导致面积推导时出现\(c^2 = 2ab + (a + b)^2\)的错误。
规避方法：拼接时观察直角三角形的摆放方向（直角顶点朝内），明确小正方形的边长是 “较长直角边 - 较短直角边”，可通过实物测量验证边长。
毕达哥拉斯拼图中 “面积不变” 理解偏差：
错误案例：认为拼接后大正方形面积 = 2 个小正方形面积 + 2 个三角形面积（忽略 “三角形是从缺口处拼接，未额外增加面积”）。
规避方法：拼接前先计算 “L” 形面积（\(a^2 + b^2\)），拼接后测量大正方形边长（\(c\)），验证\(c^2 = a^2 + b^2\)，明确 “三角形仅用于填补缺口，总面积不变”。
总统证法中梯形高的判断错误：
错误案例：将梯形的高错算为\(c\)（正确应为\(a + b\)，梯形的高是上底\(a\)与下底\(b\)所在直线的距离）。
规避方法：画图时标注梯形的上底（\(a\)）、下底（\(b\)），观察直角边的拼接方式（\(a\)与\(b\)在同一直线上），确定高为\(a + b\)，再代入梯形面积公式。
幻灯片 11：课堂总结
核心思路：
勾股定理的图形验证，本质是 “以形证数”—— 通过图形拼接，将 “直角边平方和” 与 “斜边平方” 转化为可计算的面积关系，利用 “面积不变” 推导定理。
四种经典方法虽拼图形式不同，但均围绕 “面积等价” 展开，体现了数学的统一性与灵活性。
方法提炼：
验证勾股定理 “三步法”：① 确定拼图材料与结构；② 用两种方式表示同一图形的面积；③ 联立面积表达式，化简推导\(a^2 + b^2 = c^2\)。
遇到复杂拼图时，可通过 “实物拼接 + 画图标注” 辅助理解，重点关注 “各部分边长与直角三角形三边的关联”。
幻灯片 12：作业布置
基础作业：
选择一种验证方法（如总统证法），在练习本上画出拼图图形，完整写出面积推导过程；
用边长为 5cm、12cm、13cm 的直角三角形，尝试用赵爽弦图验证勾股定理，计算小正方形的边长与面积。
拓展作业：
查阅资料，了解 “欧几里得证法” 的拼图过程，简要描述其验证思路；
用硬纸板制作赵爽弦图模型，标注各部分边长与面积，拍照并附推导说明。
思考作业：
能否用 3 个全等的直角三角形拼接出验证勾股定理的图形？尝试设计一种新的拼图方案（可画图示意）。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.1.2勾股定理的图形验证
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
观察与思考
活动：请你利用自己准备的四个全等的直角三角形拼出以斜边为边长的正方形．
有不同的拼法吗？
据不完全统计，验证的方法有 400多种，你有自己的方法吗？
问题：上节课我们认识了勾股定理，你还记得它的内容吗？那么如何验证勾股定理呢？
双击图标
演示几何画板
勾股定理的验证
证法1 毕达哥拉斯证法，请先用手中的四个全等的直角三角形按图示进行拼图，然后分析其面积关系后证明吧.
a
a
a
a
b
b
b
b
c
c
c
c
∴ a2 + b2 + 2ab = c2 + 2ab.
∴ a2 + b2 = c2.
证明：
∵ S大正方形 = (a + b)2 = a2 + b2 + 2ab，
S大正方形 = 4S直角三角形 + S小正方形
= 4× ab + c2
= c2 + 2ab，
a
b
b
c
a
b
c
a
证法2 让我们跟着我国汉代数学家赵爽拼图，再用所拼的图形证明命题吧.
a
b
c
∵S大正方形＝c2，
S小正方形＝(b - a)2，
∴S大正方形＝4S三角形＋S小正方形.
赵爽弦图
b-a
证明：
“赵爽弦图”表现了我国古人对数学的钻研精神和聪明才智，它是我国古代数学的骄傲. 因此，这个图案被选为 2002 年在北京召开的国际数学家大会的会徽.
a
a
b
b
c
c
∴ a2 + b2 = c2.
证法3 美国第二十任总统伽菲尔德的“总统证法”.
如图，图中的三个三角形都是直角三角形，
求证：a2 + b2 = c2.
a
b
c
青入
青方
青
出
青出
青入
朱入
朱方
朱出
青朱出入图
课外链接
a
b
c
A
B
C
D
E
F
O
达·芬奇对勾股定理的证明
Ⅰ
Ⅱ
A
a
B
C
b
D
E
F
O
Ⅰ
Ⅱ
A′
B′
C′
D′
E′
F′
如图，过 A 点画一直线 AL 使其垂直于 DE，并交 DE 于 L，交 BC 于 M. 通过证明△BCF≌△BDA，利用三角形面积与矩形面积的关系，得到正方形 ABFG 与矩形 BDLM 等积，同理正方形 ACKH 与矩形 MLEC 也等积，于是推得：
欧几里得证明勾股定理
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视频：
勾股定理
面积法验证
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《02》
议一议
观察下图，用数格子的方法判断图中三角形的三边长是否满足 a2 + b2 = c2.
例1 我方侦查员小王在距离东西向公路 400 m 处侦查，发现一辆敌方汽车在公路上疾驶.他赶紧拿出红外测距仪，测得汽车与他相距 400 m，10 s 后，汽车与他相距500 m，你能帮小王计算敌方汽车的速度吗
公路
B
C
A
400 m
500 m
解：由勾股定理，得 AB2 = BC2 + AC2，
即 5002 = BC2 + 4002，所以 BC = 300.
敌方汽车 10 s 行驶了 300 m，那么它 1 h 行驶的路程为 300×6×60 = 108000 (m).
即它行驶的速度为 108 km/h.
勾股定理的简单应用
练一练
1. 湖的两端有 A、B 两点，从与 BA 方向成直角的 BC 方向上的点 C 测得 CA = 130 米，CB = 120 米，则 AB 为 ( )
A
B
C
A. 50 米 B. 120 米 C. 100 米 D. 130 米
130
120

A
A
B
C
2. 如图，太阳能热水器的支架 AB 长为 90 cm，与 AB 垂直的 BC 长为 120 cm. 太阳能真空管 AC 有多长
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，
得 AC2 = AB2 + BC2，
AC2 = 902 + 1202，
AC = 150 (cm).
答：太阳能真空管 AC 长 150 cm.
例2 如图，高速公路的同侧有 A，B 两个村庄，它们到高速公路所在直线 MN 的距离分别为AA1＝2 km，BB1＝4 km，A1B1＝8 km.现要在高速公路上A1、B1之间设一个出口P，使 A，B 两个村庄到 P 的距离之和最短，求这个最短距离和．
解：作点 B 关于 MN 的对称点 B′，
连接 AB′，交 A1B1 于P 点，连接
BP.
则 AP＋BP＝AP＋PB′＝AB′．
易知 P 点即为到点 A，B 距离之和最短的点．
过点 A 作 AE⊥BB′ 于点 E，
则 AE＝A1B1＝8 km，B′E＝AA1＋BB1＝2＋4＝6 (km)．
由勾股定理，得 AB′2＝AE2＋B′E2＝82＋62＝100，
∴ AB′＝10 (km)，即 AP＋BP＝AB′＝10 km．
故出口 P 到 A，B 两村庄的最短距离和是 10 km．
变式：如图，在一条公路上有 A、B 两站相距 25 km，C、D 为两个小镇，已知 DA⊥AB，CB⊥AB，DA = 15 km，CB = 10 km，现在要在公路边上建设一个加油站 E，使得它到两镇的距离相等，请问 E 站应建在距 A 站多远处
D
A
E
B
C
15
10
25-x
x
1. 在直角三角形中，满足条件的三边长可以是 . (写出一组即可)
【解析】答案不唯一，只要满足式子a2 + b2 = c2 即可.
如：3，4，5.
2. 如图，王大爷准备建一个蔬菜大棚，棚宽 8 m，高 6 m，长 20 m，棚的斜面用塑料薄膜遮盖，不计墙的厚度，阳光透过的最大面积是_______m2.
200
3. 如图，一根旗杆在离地面 9 m 处折断，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处. 旗杆原来有多高
12 m
9 m
解：设旗杆顶部到折断处的距离为 x m，
根据勾股定理得
解得 x = 15，15 + 9 = 24 (m).
答：旗杆原来高 24 m.
4. 如图，某住宅小区在施工过程中留下了一块空地 (图中的四边形 ABCD)，经测量，在四边形 ABCD 中，AB = 3m，BC = 4 m，AD = 13 m，∠B =∠ACD = 90°．小区为美化环境，欲在空地上铺草坪，已知草坪每平方米 100 元，试问铺满这块空地共需花费多少元？
解：在 Rt△ABC 中，由勾股定理，得 AC2 = AB2 + BC2，∴AC = 5 m. 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
得 CD2 = AD2－AC2，∴ CD = 12 m.
S草坪 = SRt△ABC + SRt△ACD = AB BC + AC DC
= ×(3×4 + 5×12) = 36 (m2)．
故需要的费用为 36×100 = 3600 (元)．
5. 如图，折叠长方形 ABCD 的一边 AD，使点 D 落在 BC 边的 F 点处，若 AB = 8 cm，BC = 10 cm，求 EC 的长.
D
A
B
C
E
F
解：在 Rt△ABF 中，由勾股定理，
得 BF2 = AF2－AB2 = 102－82，
∴ BF = 6，CF = BC－BF = 4.
设 EC = x cm，则 EF = DE = 8－x，
在 Rt△ECF 中，根据勾股定理，
得 x2+ 42 = (8－x)2，
解得 x = 3.
∴ EC 的长为 3 cm.
知识点1 勾股定理的验证
1.［教材习题 变式］用4个如图①所示的直角三角形可以摆成如图
②所示的正方形，下面我们利用这个图形验证勾股定理。
（1）图②中大正方形的边长为______，里面
小正方形的边长为___；
（2）大正方形的面积可以表示为_________，
也可以表示为__________；
（3）对比这两种表示方法，可得出_________
_____________，整理，得_____________。
返回
知识点2 勾股定理的简单应用
（第2题）
2.［教材习题变式］ 如图，一棵高为 的大树被
台风刮断，若大树在离地面的点 处折断，则树顶端
离树底部( )
A
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图①是一块长
方形草坪， 是一条被踩踏的小路，
已知， 。为了
避免行人继续踩踏草坪（走线段
），小梅分别在， 处各挂了
一块图②的牌子，则牌子上“？”处
是( )
D
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
（第4题）
4.如图，一轮船以的速度从港口 出发
向东北方向航行，另一轮船以 的速度同
时从港口出发向东南方向航行，离开港口 后，
两船相距( )
D
A. B.
C. D.
返回
（第5题）
5.如图，有两棵树和（都与水平地面 垂
直），树高，树梢到树 的水平距离
的长度为， ，一
只小鸟从树梢飞到树梢 ，则它至少要飞行的距
离为( )
A
A. B. C. D.
返回
探索勾股定理
勾股定理的验证
勾股定理的简单运用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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