资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.1 认识无理数
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
回顾有理数的定义与分类，明确有理数的局限性（不能表示所有实际长度）。
理解无理数的定义（无限不循环小数），能区分有理数与无理数。
能举例说明常见的无理数（如\(\sqrt{2}\)、π），了解无理数的基本特征，提升数系认知能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
有理数的定义：整数（正整数、0、负整数）和分数统称为有理数，可表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）；
有理数的特征：有限小数或无限循环小数（如 3.2、\(0.\dot{3}\)），所有有理数都能化为分数形式。
情境导入：
场景 1：边长为 1 的正方形，其对角线长度是多少？根据勾股定理，对角线长度\(l\)满足\(l^2 = 1^2 + 1^2 = 2\)，即\(l = \sqrt{2}\)，\(\sqrt{2}\)是整数或分数吗？
场景 2：圆的周长与直径的比值是圆周率 π，π=3.1415926535…，它是有限小数或无限循环小数吗？
提问引导：
\(\sqrt{2}\)和 π 能化为分数形式吗？它们属于有理数吗？
除了有理数，数系中还存在哪些类型的数？
幻灯片 4：无理数的引入 —— 从\(\sqrt{2}\)说起
1. 探究\(\sqrt{2}\)是否为有理数
假设与推理：
假设\(\sqrt{2}\)是有理数，则可表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为互质的整数，q≠0），两边平方得\(2 = \frac{p^2}{q^2}\)，即\(p^2 = 2q^2\)。
由此可知\(p^2\)是偶数，故 p 是偶数（奇数的平方为奇数），设 p=2k（k 为整数），代入得\((2k)^2 = 2q^2\)，即\(4k^2 = 2q^2\)，化简得\(q^2 = 2k^2\)，故 q 也是偶数。
p 和 q 均为偶数，与 “p、q 互质” 矛盾，因此假设不成立，\(\sqrt{2}\)不是有理数。
\(\sqrt{2}\)的小数特征：
通过计算可得\(\sqrt{2} \approx 1.41421356237 \)，其小数部分无限且不循环，无法化为分数形式。
2. 类似的无理数
除\(\sqrt{2}\)外，\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{7}\)等非完全平方数的算术平方根，其小数部分均为无限不循环小数，均不是有理数。
幻灯片 5：无理数的定义与特征
1. 无理数的定义
无限不循环小数叫做无理数。
关键词解析：
“无限”：小数部分的位数无限，没有尽头；
“不循环”：小数部分没有重复出现的固定规律（如 1.010010001…，没有循环节）；
与有理数的本质区别：有理数是有限小数或无限循环小数（可化为分数），无理数是无限不循环小数（不可化为分数）。
2. 无理数的基本特征
特征维度
无理数
有理数
小数形式
无限不循环
有限或无限循环
分数表示
不能表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）
可表示为\(\frac{p}{q}\)
常见例子
\(\sqrt{2}\)、π、1.010010001…
3、\(\frac{1}{2}\)、\(0.\dot{6}\)
3. 常见的无理数类型
（1）非完全平方数的算术平方根：如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{5}\)、\(\sqrt{6}\)等（完全平方数的算术平方根是整数，属于有理数，如\(\sqrt{4}=2\)）；
（2）圆周率及相关数：如 π、2π、π+1 等（π≈3.1415926535…，无限不循环）；
（3）有规律的无限不循环小数：如 1.01001000100001…（相邻两个 1 之间依次多一个 0）、2.121121112… 等（虽有规律，但不循环）。
幻灯片 6：有理数与无理数的区别与联系
1. 区别
对比维度
有理数
无理数
定义
整数和分数的统称
无限不循环小数
小数形式
有限或无限循环
无限不循环
分数转化
可化为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）
不可化为分数形式
确定性
循环节固定（无限循环时）
无固定循环节
2. 联系
（1）有理数和无理数都属于实数，共同构成实数系；
（2）两者都可以用数轴上的点表示（后续学习）；
（3）有理数和无理数的和、差、积、商（除数不为 0）可能是有理数或无理数（如 2 + \(\sqrt{2}\)是无理数，\(\sqrt{2} \sqrt{2}=2\)是有理数）。
幻灯片 7：例题讲解（区分有理数与无理数）
例 1：判断下列各数哪些是有理数，哪些是无理数：
（1）3.1415；（2）\(\sqrt{4}\)；（3）\(\sqrt{7}\)；（4）\(0.\dot{3}\)；（5）π；（6）1.010010001…。
解答与分析：
（1）3.1415 是有限小数，属于有理数；
（2）\(\sqrt{4}=2\)，是整数，属于有理数；
（3）\(\sqrt{7} 2.645751311 \)，是无限不循环小数，属于无理数；
（4）\(0.\dot{3}\)是无限循环小数，属于有理数；
（5）π≈3.1415926535…，是无限不循环小数，属于无理数；
（6）1.010010001… 是无限不循环小数（相邻 1 之间多一个 0，无循环节），属于无理数。
例 2：下列说法是否正确？若不正确，请说明理由：
（1）无限小数都是无理数；（2）无理数都是无限小数；（3）带根号的数都是无理数。
解答与分析：
（1）不正确。无限小数包括无限循环小数和无限不循环小数，其中无限循环小数是有理数（如\(0.\dot{6}\)），只有无限不循环小数是无理数；
（2）正确。无理数的定义是 “无限不循环小数”，故所有无理数都是无限小数；
（3）不正确。带根号的数若根号下是完全平方数，则是有理数（如\(\sqrt{9}=3\)），只有根号下是非完全平方数的数才是无理数。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列各数是有理数还是无理数：
（1）\(\sqrt{25}\)；（2）\(\sqrt{8}\)；（3）0.123456…（无循环）；（4）\(\frac{22}{7}\)；（5）3π。
下列说法正确的是（ ）
A. 有理数都是有限小数 B. 无理数都是无限不循环小数 C. \(\sqrt{16}\)是无理数 D. π 是有理数
提升题
写出两个介于 2 和 3 之间的无理数（提示：找 2 =4 和 3 =9 之间的非完全平方数的算术平方根）。
若 x 是无理数，y 是有理数，判断 x + y、x×y（y≠0）是否一定是无理数，并举例说明。
拓展题
探究：\(\sqrt{3}\)是否为有理数？（仿照\(\sqrt{2}\)的推理方法，假设\(\sqrt{3}=\frac{p}{q}\)，推导矛盾）。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆 “无限小数” 与 “无理数” 的关系：
错误案例：认为 “所有无限小数都是无理数”（忽略无限循环小数是有理数，如\(0.\dot{7}\)是有理数）；认为 “无理数是带根号的数”（如 π 是无理数，但不带根号；\(\sqrt{4}\)带根号，但是有理数）。
规避方法：牢记无理数的核心特征是 “无限不循环”，与是否带根号无关；判断时先看小数形式（有限 / 无限循环→有理数，无限不循环→无理数），再结合定义验证。
对 “有规律的无限小数” 判断错误：
错误案例：认为 “1.010010001…（有规律）是有理数”（虽有规律，但不循环，符合无理数定义）；认为 “0.123123123…（循环）是无理数”（实际是无限循环小数，属于有理数）。
规避方法：区分 “有规律” 与 “循环”—— 循环是 “固定片段重复出现”（如 123 重复），有规律不一定循环（如依次多一个 0），只有 “无限且不循环” 才是无理数。
推理\(\sqrt{n}\)是否为无理数时忽略 “完全平方数”：
错误案例：认为 “\(\sqrt{16}\)是无理数”（\(\sqrt{16}=4\)，是整数，属于有理数）；认为 “\(\sqrt{25}\)是无理数”（\(\sqrt{25}=5\)，是有理数）。
规避方法：判断带根号的数时，先看根号下是否为完全平方数（若 n 是 a ，則\(\sqrt{n}=a\)，是有理数），非完全平方数的算术平方根才是无理数。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
有理数：整数和分数，有限或无限循环小数，可化为\(\frac{p}{q}\)；
无理数：无限不循环小数，不可化为分数，如\(\sqrt{2}\)、π、有规律的无限不循环小数；
本质区别：小数部分是否 “无限不循环”，能否化为分数形式。
方法提炼：
区分有理数与无理数 “两步法”：① 看小数形式（有限 / 无限循环→有理数，无限不循环→无理数）；② 带根号的数先判断根号下是否为完全平方数（是→有理数，否→无理数）；
探究无理数 “推理法”：通过反证法（如\(\sqrt{2}\)的推理），证明某些数不能化为分数，从而确定为无理数。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（认识无理数相关题目）。
拓展练习：
（1）写出 3 个不同类型的无理数（如带根号、π 相关、有规律的无限不循环小数）；
（2）判断\(\sqrt{10}\)、\(0.\dot{1}\dot{2}\)、\(\frac{\pi}{2}\)、\(\sqrt{121}\)哪些是有理数，哪些是无理数，并说明理由。
实践思考：查阅资料，了解无理数的发现历史（如毕达哥拉斯学派与\(\sqrt{2}\)的故事），下节课分享你的发现。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1 认识无理数
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
小红是刚升入八年级的新生，一个周末的上午，当工程师的爸爸给小红出了一道数学题：一个边长为 6 cm 的正方形木板，按如图的痕迹锯掉四个一样的直角三角形.请计算剩下的正方形木板的面积是多少？剩下的正方形木板的边长又是多少厘米呢？见过这个数吗？你能帮小红解决这个问题吗？
2
活动：把两个边长为 1 的小正方形通过剪、拼，设法得到一个大正方形，你会吗？
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1
活动探究
无理数的认识
还有好多方法哦！课余时间再动手试一试，比比谁找的多！
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问题1：设大正方形的边长为 a，则 a 满足什么条件？
追问1：a 是一个什么样的数？a 可能是整数吗？
因为 S大正方形 = 2，所以 a2 = 2.
从“数”的角度：
因为 a2 = 2，而 12 = 1，22 = 4，
所以 12 < a2 < 22.
所以 1< a < 2，故 a 不是整数.
B
A
C
取出一个三角形
从“形”的角度：
在三角形 ABC 中，AC = 1，BC = 1，AB = a，
根据三角形的三边关系：
AC - BC ＜ AB ＜ AC + BC，
所以 0＜a＜2，且 a ≠ 1，所以 a 不是整数.
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新知讲解
《02》
追问2：a 可能是分数吗？
① a 是分母为 2 的分数吗？
② a 是分母为 3 的分数吗？
③ a 是分母为 4 的分数吗？
④ a 是分母为多少的分数？
归纳：a 既不是整数，也不是分数，所以 a 不是有理数.
(1) 如图，三个正方形的边长之间有怎样的大小关系？
(2) a 的整数部分是几？十分位是几？百分位呢？千分位呢？……完成下列表格：
1
a
2
面积为 2
问题2：a 究竟是多少？
面积为 1
面积为 4
请同学们借助计算器进行探索：
边长 a 面积 S
1 < a < 2
1.4 < a < 1.5
1.41 < a < 1.42
1.414 < a < 1.415
1.4142 < a < 1.4143
1 < S < 4
1.96 < S < 2.25
1.988 1 < S < 2.016 4
1.999 396 < S < 2.002 225
1.999 961 64 < S < 2.000 244 49
(1) 边长 a 会不会算到某一位时，它的平方恰好等于 2 呢？为什么？
(2) a 可能是有限小数吗？它会是一个怎样的数呢？
a = 1.414 213 56…，它是一个无限不循环小数
想一想
估计面积为 5 的正方形的边长 b 的值.
b = 2.236067978…，它也是一个无限不循环小数
做一做
事实上，有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示.反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数.
问题3：使用计算器计算，把下列有理数写成小数的
形式，你有什么发现？
无限不循环小数称为无理数.
如 π = 3.14159265…，
0.101 001 000 1… (两个 1 之间依次多 1 个 0)
要点归纳
例 下列各数中，哪些是有理数？哪些是无理数？
3.14，- ，0.57，0.1212221222221…（相邻两个 1
之间 2 的个数逐次加 2）.
典例精析
. .
解：有理数有：3.14， ， 0.57；
. .
无理数有：0.1212221222221….
整数是___________；
有理数是____________________；
无理数是____________.
填空：在实数
【跟踪训练】
归纳总结
1．圆周率 π 及一些最终结果含有 π 的数；
2．有一定的规律，但不循环的无限小数.
常见无理数的特征：
1. 下列各数： 1， (相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1)中，无理数的有 ( )
A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个
【解析】无限不循环小数是无理数，其中
(相邻两个 3 之间 0 的个数逐次加 1) 是无理数，其它是有理数.
A
【解析】因为 3.14 是小数， 是分数， 是无限循环小数，所以选项 A，B，D 都是有理数； 是无限不循环小数，所以是无理数.
2. 下列各数中，是无理数的为（ ）
A. 3.14 B. C. D.
C
(1) 有限小数是有理数. （ ）
(2) 无限小数都是无理数. （ ）
(3) 无理数都是无限小数. （ ）
(4) 有理数是有限小数. （ ）
3. 判断题：
╳
√
√
╳
4. 以下各正方形的边长是无理数的是（ ）
A.面积为 25 的正方形
B.面积为 的正方形
C.面积为 8 的正方形
D.面积为 1.44 的正方形
C
知识点1 非有理数的发现
1.若,则 为( )
D
A.整数 B.分数 C.有理数 D.以上都不是
返回
2.在中， ，,,所对的边分别为,, 。
（1）①当，时， ___；
②当，时， ____；
③当，时， _____。
3
16
0.64
（2）通过（1）中计算出的的值，我们知道：是整数的是____；
是分数的是____； 既不是整数，也不是分数的是____。（填序号）
②
③
①
返回
知识点2 非有理数的估算
3.小明想了解一个面积是5的正方形的边长 的近似值,首先,他通过计算
得到,，所以的整数部分是___。又因为 ,
,所以他得到____ ____。
2
2.2
2.3
返回
4.已知在中， ，，，则 的值在
( )
B
A.3.0与3.1之间 B.3.1与3.2之间 C.3.2与3.3之间 D.3.3与3.4之间
返回
5.估计面积等于7的正方形的边长 的值（结果精确到十分位）是( )
B
A.2.5 B.2.6 C.2.7 D.2.8
返回
6.［2025西安月考］下列各数中，不是有理数的是( )
C
A.面积为16的正方形的边长
B.体积为27的正方体的棱长
C.直角边长分别为2和3的直角三角形的斜边长
D.长为4,宽为3的长方形的对角线长
返回
（第7题）
7. ［2025北京丰台区校级期中］ 将相邻边
长分别为3和6的长方形按如图剪开，拼成一个正
方形，则该正方形的边长最接近整数( )
B
A.3 B.4 C.5 D.6
返回
认识无理数
无理数的概念及认识
借助计算器求无理数的近似值
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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