资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：1.3 勾股定理的应用
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
回顾勾股定理的内容及逆定理，能熟练运用公式 \(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\) 为斜边）进行计算。
掌握勾股定理在实际场景中的应用方法，能解决 “已知两边求第三边”“判断三角形是否为直角三角形”“折叠与最短路径” 等典型问题。
培养 “数形结合” 思维，提升将实际问题转化为几何模型的能力，感受数学与生活的联系。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
勾股定理：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。若直角三角形的两直角边为 \(a\)、\(b\)，斜边为 \(c\)，则 \(a^2 + b^2 = c^2\)。
勾股定理逆定理：若一个三角形的三边长 \(a\)、\(b\)、\(c\) 满足 \(a^2 + b^2 = c^2\)，则这个三角形是直角三角形（\(c\) 为斜边）。
常见勾股数：如（3,4,5）、（5,12,13）、（6,8,10）等，可快速用于计算。
情境导入：
场景 1：一架梯子长 10 米，斜靠在竖直的墙上，梯子底部距离墙根 6 米，梯子顶端能到达墙上多高的位置？
场景 2：一艘轮船从港口出发，向正东方向行驶 12 千米，再向正北方向行驶 9 千米，此时轮船距离港口有多远？
提问引导：
这两个场景中的问题，能否转化为直角三角形的边长计算问题？
如何确定直角三角形的 “直角边” 和 “斜边”，进而用勾股定理求解？
幻灯片 4：勾股定理应用的核心思路
勾股定理的应用本质是 “构建直角三角形模型”，核心步骤如下：
建模：将实际问题中的数量关系转化为直角三角形的边长关系，明确直角边（\(a\)、\(b\)）和斜边（\(c\)）—— 通常 “垂直关系”（如墙与地面垂直、东西与正北方向垂直）对应直角，斜边为最长边（如梯子、距离）。
计算：
若已知两直角边，求斜边：\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)；
若已知斜边和一条直角边，求另一条直角边：\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\) 或 \(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)；
若已知三边，判断是否为直角三角形：验证较短两边的平方和是否等于最长边的平方。
验证：结合实际场景检验结果的合理性（如长度为正数、符合实际尺寸）。
幻灯片 5：例题讲解 1（已知两边求第三边 —— 生活场景）
类型 1：梯子靠墙问题（已知斜边和一直角边，求另一直角边）
例 1：如图，一架梯子 AB 长 13 米，斜靠在竖直的墙壁 AC 上，梯子底部 B 距离墙根 C 的距离为 5 米，求梯子顶端 A 到地面的高度 AC。
解答与分析：
第一步：构建直角三角形模型 —— 墙壁 AC 与地面 BC 垂直，故△ABC 为直角三角形，直角在 C，斜边 AB = 13 米（梯子长），直角边 BC = 5 米（底部距墙根距离），求另一直角边 AC（顶端高度）。
第二步：代入勾股定理公式（已知斜边和一直角边，求另一直角边）：\(AC^2 + BC^2 = AB^2\)\(AC^2 + 5^2 = 13^2\)\(AC^2 = 13^2 - 5^2 = 169 - 25 = 144\)\(AC = \sqrt{144} = 12\)（米，长度为正，舍去负根）。
第三步：验证合理性 ——12 米小于梯子长度 13 米，符合实际（梯子顶端高度不会超过梯子总长）。
答：梯子顶端 A 到地面的高度 AC 为 12 米。
类型 2：航海距离问题（已知两直角边，求斜边）
例 2：一艘轮船从港口 O 出发，先向正东方向行驶至 A 点（OA = 12 千米），再向正北方向行驶至 B 点（AB = 9 千米），求此时轮船与港口 O 的距离 OB。
解答与分析：
第一步：构建直角三角形模型 —— 正东与正北方向垂直，故△OAB 为直角三角形，直角在 A，直角边 OA = 12 千米、AB = 9 千米，求斜边 OB（轮船与港口距离）。
第二步：代入勾股定理公式（已知两直角边，求斜边）：\(OA^2 + AB^2 = OB^2\)\(12^2 + 9^2 = OB^2\)\(OB^2 = 144 + 81 = 225\)\(OB = \sqrt{225} = 15\)（千米）。
第三步：验证合理性 ——15 千米为斜边，大于两直角边，符合勾股数（12,9,15）（由 3,4,5 放大 3 倍得到），计算正确。
答：轮船与港口 O 的距离 OB 为 15 千米。
幻灯片 6：例题讲解 2（判断直角三角形 —— 实际应用）
例 3：某工地需要搭建一个三角形支架，三根钢管的长度分别为 7 米、24 米、25 米。请问这个支架的形状是否为直角三角形？若为直角三角形，指出斜边。
解答与分析：
第一步：明确三边长度，确定最长边 —— 三边为 7 米、24 米、25 米，最长边为 25 米（假设为斜边 c）。
第二步：验证勾股定理逆定理（较短两边的平方和是否等于最长边的平方）：
较短两边的平方和：\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\)；
最长边的平方：\(25^2 = 625\)。
因 \(7^2 + 24^2 = 25^2\)，满足勾股定理逆定理。
第三步：结论 —— 该三角形是直角三角形，斜边为 25 米（最长边）。
答：这个支架的形状是直角三角形，斜边为 25 米。
幻灯片 7：例题讲解 3（折叠问题与最短路径 —— 综合应用）
类型 1：矩形折叠问题（利用勾股定理列方程）
例 4：如图，在矩形 ABCD 中，AB = 8cm，BC = 6cm，将矩形沿对角线 AC 折叠，点 B 落在点 E 处，AE 与 CD 交于点 F，求 CF 的长度。
解答与分析：
第一步：分析折叠性质 —— 折叠后△ABC ≌ △AEC，故 AE = AB = 8cm，∠E = ∠B = 90°，且∠FAC = ∠BAC（折叠对应角相等）。
第二步：推导等角对等边 —— 因 AB∥CD，故∠BAC = ∠FCA（内错角相等），结合∠FAC = ∠BAC，得∠FAC = ∠FCA，故 CF = AF（等角对等边）。
第三步：设未知数，列勾股定理方程 —— 设 CF = x cm，则 AF = x cm，DF = CD - CF = 8 - x cm（CD = AB = 8cm），AD = 6cm（BC = 6cm）。在 Rt△ADF 中，由勾股定理：\(AD^2 + DF^2 = AF^2\)\(6^2 + (8 - x)^2 = x^2\)
展开：\(36 + 64 - 16x + x^2 = x^2\)
化简：\(100 - 16x = 0\) → \(x = 100/16 = 6.25\)（cm）。
答：CF 的长度为 6.25cm（或 25/4 cm）。
类型 2：立体图形中的最短路径（展开为平面图形）
例 5：如图，一个无盖的正方体纸盒，棱长为 3cm，一只蚂蚁从纸盒的底面顶点 A 出发，沿纸盒表面爬到顶面顶点 B，求蚂蚁爬行的最短路径长度。
解答与分析：
第一步：将立体图形展开为平面图形 —— 正方体表面展开后，A、B 两点所在的平面为 “长方形”（由两个相邻正方形组成），长方形的长为 3 + 3 = 6cm，宽为 3cm，A、B 为长方形的对角顶点。
第二步：用勾股定理求最短路径（长方形对角线长度）：
最短路径长度 = \(\sqrt{é ^2 + ^2} = \sqrt{6^2 + 3^2} = \sqrt{36 + 9} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}\)（cm）。
第三步：验证 —— 展开方式唯一（无盖正方体，A 在底面，B 在顶面相邻面），对角线为最短路径（两点之间线段最短）。
答：蚂蚁爬行的最短路径长度为 \(3\sqrt{5}\) cm（约 6.71cm）。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
一个直角三角形的两直角边分别为 6cm 和 8cm，求斜边的长度；若斜边为 10cm，一条直角边为 6cm，求另一条直角边的长度。
一根旗杆垂直于地面，从旗杆顶部系一根绳子到地面，绳子长 10 米，绳子底部距离旗杆底部 6 米，求旗杆的高度。
判断下列三组线段能否构成直角三角形：（1）5,12,13；（2）7,8,9；（3）9,12,15。
提升题
如图，在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，AC = 5cm，BC = 12cm，现将△ABC 沿 DE 折叠，使点 B 与点 A 重合，求 CE 的长度（提示：设 CE = x，用勾股定理列方程）。
一个长方体木箱，长 40cm、宽 30cm、高 20cm，一只蚂蚁从木箱底面的顶点 P（长和宽的交点）爬到顶面的对角顶点 Q，求最短路径长度（提示：分两种展开方式计算，取较小值）。
拓展题
如图，在等腰三角形 ABC 中，AB = AC = 13cm，BC = 10cm，求等腰三角形的高 AD（D 为 BC 中点）及面积。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆 “直角边” 与 “斜边”，代入公式错误：
错误案例：在梯子靠墙问题中，错将梯子底部距离（5 米）当作斜边，代入公式 \(AB^2 + BC^2 = AC^2\)（正确应为斜边是梯子长 13 米，公式为 \(AC^2 + BC^2 = AB^2\)）。
规避方法：先根据 “垂直关系” 确定直角位置，斜边是 “最长边”（如梯子、距离、对角线），标记清楚直角边和斜边后再代入公式，避免盲目计算。
立体图形最短路径忽略 “展开方式”：
错误案例：正方体表面爬蚂蚁时，错将路径算为 “棱长 + 棱长”（3+3=6cm），忽略展开为平面图形后的对角线（\(3\sqrt{5}\)≈6.71cm）。
规避方法：立体图形的最短路径需 “展开为平面图形”，将两点放在同一平面内，利用 “两点之间线段最短” 转化为直角三角形的斜边计算，复杂图形需考虑多种展开方式，取最小值。
折叠问题中遗漏 “全等性质”，无法建立等量关系：
错误案例：矩形折叠问题中，未发现 CF = AF（等角对等边），直接设 CF = x 后无法关联其他边，导致方程列错。
规避方法：折叠问题的核心是 “全等图形的对应边、对应角相等”，先标记折叠后的等量关系（如 AE = AB、∠E = ∠B），再结合平行、等腰等性质推导边的关系（如内错角相等→等角对等边），为勾股定理方程提供条件。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
应用场景：已知两边求第三边（梯子、航海）、判断直角三角形（支架、线段）、折叠与最短路径（矩形、正方体）。
关键步骤：建模（找直角三角形）→ 确定边（直角边 / 斜边）→ 代入公式（\(a^2 + b^2 = c^2\)）→ 验证（合理性）。
辅助技巧：勾股数（3,4,5 等）简化计算，折叠找全等，立体图形展平面。
方法提炼：
实际问题 “几何化”：将文字描述转化为图形，用符号标记已知条件，突出直角和边长；
复杂问题 “分步化”：折叠、立体图形等问题拆解为 “性质分析→等量关系→方程求解”，逐步突破，避免一步到位的思维误区。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（勾股定理应用相关题目）。
拓展练习：
（1）在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若斜边 AB = 25cm，直角边 AC = 7cm，求 BC 的长度及△ABC 的面积；
（2）一个圆柱形水杯，底面半径为 3cm，高为 10cm，一只蚂蚁从杯底边缘 A 点爬到杯口边缘 B 点（A、B 在同一轴截面上），求最短路径长度（π 取 3.14，结果保留一位小数）。
实践作业：
（1）测量家中的矩形桌子（或课本），用勾股定理计算其对角线长度，与实际测量结果对比，验证勾股定理的准确性；
（2）观察生活中应用勾股定理的场景（如楼梯扶手、晾衣架），记录 1 个实例，画出几何模型并计算关键边长。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.3 勾股定理的应用
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
在 A 点的小狗，为了尽快吃到 B 点的香肠，它选择
A B 路线，而不选择A C B路线，难道小狗也懂数学？
C
B
A
AC+CB>AB（两点之间线段最短）
思考：在立体图形中，怎么寻找最短线路呢？
数学来源于生活，勾股定理的应用在生活中无处不在，观看视频，你能理解小贤和一菲的做法吗？
点击视频开始播放↓
问题：在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在 B 处，恰好一只在 A 处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想沿侧面从 A 处爬到 B 处，问怎么走最近？最短路程怎么求？
A
B
蚂蚁从 A→B 的路线
将侧面展开后，根据“两点之间线段最短”可得最短路线.
立体图形中两点之间的最短路程
若已知圆柱体高为 12 cm，底面半径为 3 cm，π 取 3.
B
A
3
O
12
侧面展开图
12
3π
A
B
A'
A'
解：在 Rt△ABA′ 中，由勾股定理得 AB2 = AA′2 + A′B2
立体图形中求两点间的最短路程，一般把立体图形展开成平面图形，根据“两点之间线段最短”确定最短路线，再根据勾股定理求最短路程.
归纳
= AA′2 + A′B2 ≈ 122 + 92 = 225，故 AB ≈ 15 cm.
→最短路程
例1 有一个圆柱形油罐，要从 A 点环绕油罐建梯子，正好建在 A 点的正上方点 B 处，问梯子最短需多少米(已知油罐的底面半径是 2 m，高 AB 是 5 m，π 取 3)
A
B
A
B
A'
B'
解：油罐的展开图如图，则 AB' 为梯子的最短长度.
BB' ≈ 2×3×2 = 12，由勾股定理得 AB′2 = BB′2 + AB2 ≈ 122 + 52 = 169，∴ AB′ ≈ 13，即梯子最短约需 13 m.
数学思想：
立体图形
平面图形
转化
展开
变式1：当小蚂蚁爬到距离上底 3 cm 的点 E 时，小明同学拿饮料瓶的手一抖，一滴甜甜的饮料就顺着瓶子外壁滑到了距离下底 3 cm 的点 F 处，小蚂蚁到达点 F 处的最短路程是多少？（π取3）
E
F
E
F
E
F
E
F
解：如图，可知△ECF 为直角三角形，
由勾股定理，得
EF2 = EC2 + CF2 = 82 + (12 - 3 - 3)2 = 100，
∴ EF = 10 (cm).
B
牛奶盒
A
变式2：看到小蚂蚁终于找到食物的兴奋劲儿，小明灵光乍现，又拿出了长方体形状的牛奶盒，把小蚂蚁放在了点 A 处，并在点 B 处滴了一滴蜂蜜，你能帮小明求出蚂蚁找到蜂蜜的最短路线么？
6 cm
8 cm
10 cm
B
B1
8
A
B2
6
10
B3
AB12 = 102 + (6 + 8)2 = 296，
AB22 = 82 + (10 + 6)2 = 320，
AB32 = 62 + (10 + 8)2 = 360，
解：由题意知有三种展开方法，
如图.
∴ AB1＜AB2＜AB3.
∴ 小蚂蚁找到蜂蜜的最短路线为 AB1.
8
6
6
10
8
由勾股定理得
问题：李叔叔想要检测雕塑底座正面的 BC 边是否垂直于底边 AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
解：连接对角线 AC，只要分别量出AB、BC、AC 的长度即可.
AB2 + BC2 = AC2
△ABC 为直角三角形
勾股定理的实际应用
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
（2）如果量得 AD 长是 30 cm，AB 长是 40 cm，BD 长是 50 cm，那么 AD 边垂直于 AB 边吗？
解：AD2 + AB2 = 302 + 402 = 502 = BD2，
故∠DAB = 90°，
即 AD 边垂直于 AB 边.
（3）若随身只有一个长度为 20 cm 的刻度尺，能有办法检验 AD 边是否垂直于 AB 边吗？
解：在 AD 上取点 M，使 AM = 9 cm，在 AB 上取点 N 使 AN = 12 cm，测量 MN 是否为 15 cm，若是，就垂直；若不是，就不垂直.
例2 如图是一个滑梯示意图，若将滑道 AC 水平放置，则刚好与 AB 一样长. 已知滑梯的高度 CE = 3 m，CD =
1 m，试求滑道 AC 的长.
故滑道 AC 的长为 5 m.
解：设滑道 AC 的长为 x m，则 AB 的长也为 x m，AE 的长为 (x - 1) m.
在 Rt△ACE 中，∠AEC = 90°，
由勾股定理得 AE2 + CE2 = AC2，
即 (x - 1)2 + 32 = x2，
解得 x = 5.
数学思想：
实际问题
数学问题
转化
建模
例3 一个门框的尺寸如图所示，一块长 3 m，宽 2.2 m的长方形薄木板能否从门框内通过 为什么
2 m
1 m
A
B
D
C
典例精析
解：在 Rt△ABC 中，根据勾股定理，
AC2 = AB2 + BC2 = 12 + 22 = 5，
故 AC 的长大于木板的宽，
所以木板能从门框内通过.
分析：可以看出木板横着，竖着都 不能通过，只能斜着过. 门框的对角线 AC 的长度是斜着能通过的最大长度，只要AC 的长大于木板的宽就能通过.
2.22 = 4.84＜5，
例4 在一次台风的袭击中，小明家房前的一棵大树在离地面 6 米处折断，树的顶部落在离树根底部 8 米处.你能告诉小明这棵树折断之前有多高吗？
8 米
6米
8 米
6米
A
C
B
解：根据题意可以构建一个直角三角形模型，如图.
在 Rt△ABC 中，
AC = 6 米，BC = 8 米，
由勾股定理得
AB2 = AC2 + BC2 = 62 + 82 = 100，
∴ AB = 10 (米).
∴ 这棵树在折断之前的高度是 10 + 6 = 16 (米).
利用勾股定理解决实际问题的一般步骤：
（1）读懂题意，分析已知、未知间的关系；
（2）构造直角三角形；
（3）利用勾股定理等列方程；
（4）解决实际问题.
归纳总结
数学问题
直角三角形
勾股定理
实际问题
转化
建构
利用
决解
1. 如图是一张直角三角形的纸片，两直角边 AC ＝ 6 cm，BC ＝ 8 cm，将△ABC 折叠，使点 B 与点 A 重合，折痕为 DE，则 BE 的长为（ ）
A. 4 cm B. 5 cm C. 6 cm D. 10 cm
B
2. 有一个高为 1.5 m，半径是 1 m 的圆柱形油桶，在靠近边的地方有一小孔，从孔中插入一铁棒，已知铁棒在油桶外的部分为 0.5 m，求这根铁棒的长度范围.
解：设伸入油桶中的长度为 x m，则最长时
最短时，x = 1.5.
所以最长是 2.5 + 0.5 = 3 (m).
答：这根铁棒的长应在 2~3 m 之间.
所以最短是 1.5 + 0.5 = 2 (m).
解得 x = 2.5.
即梯子的顶端沿墙下滑 4 m，梯子底端外移 8 m.
解：在 Rt△AOB 中，
在 Rt△COD 中，
3. 一个 25 m 长的梯子AB，斜靠在一竖直的墙 AO 上，这时 AO 的距离为 24 m，如果梯子的顶端 A 沿墙下滑 4 m，那么梯子底端 B 也外移 4 m 吗
4. 我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为 10 尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面 1 尺，如果把这根芦苇拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
D
A
B
C
解：设水池的水深 AC 为 x 尺，
则这根芦苇长 AD = AB = (x + 1) 尺.
在直角三角形 ABC 中，BC = 5 尺，
由勾股定理，得 BC2 + AC2 = AB2，
即 52 + x2 = (x + 1)2，
25 + x2 = x2 + 2x + 1，
2x = 24，
∴ x = 12，x + 1 = 13.
答：水池深 12 尺，这根芦苇长 13 尺.
D
A
B
C
5. 为筹备迎接新生晚会，同学们设计了一个圆筒形灯罩，底色漆成白色，然后缠绕红色油纸，如图. 已知圆筒的高为 108 cm，其横截面周长为 36 cm，如果在表面均匀缠绕油纸 4 圈，应裁剪多长的油纸？
侧面展开
解：如右下图，在 Rt△ABC 中，
AC＝36 cm，BC＝108÷4 ＝27 (cm).
由勾股定理，得
AB2＝AC2＋BC2 ＝362＋272＝2025＝452.
∴ AB＝45 cm.
∴ 整个油纸的长为 45×4＝180 (cm).
侧面展开
知识点1 勾股定理的应用
（第1题）
1.如图，要从电线杆离地面处向地面拉一条
长的电缆，则地面固定点到电线杆底部 的距离为
( )
A
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.［2025西工大附中月考］如图，圆柱形杯子底面直径为
，高为。将一根长 的木棒斜放在杯子中，
设木棒露在杯子外面的长度为，则 的最小值是( )
B
A.9 B.11 C.12 D.14
返回
3.［教材 例题变式］ 图①中有一首古算诗，根据诗中的描述可以计
算出红莲所在位置的湖水深度，其示意图如图②，其中 ，
于点，尺，尺。设的长度为 尺，可列
方程为____________________。
返回
4.［教材尝试·思考变式］ 如图，将长方形折叠，使点 与点
重合，折痕为，，，则的长为___ 。
9
返回
5.［2025西安铁一中月考］如图，小明为了测得学校旗
杆 的高度，他先将旗绳拉直，绳尾端正好落在地面
点，此时，点到旗杆底部点的距离为 ，他又
将旗绳拉直到旗杆底部点，此时，绳子多出一截 ，
量得多出部分的长度为 ，请你帮他计算出旗杆的高
度。
解：设旗杆的高度为，则 ，
在中，由勾股定理得，解得 。
答：旗杆的高度为 。
返回
勾股定理的应用
立体图形中两点之间的最短路程问题
勾股定理的实际应用问题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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