资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.2.1 算术平方根
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解算术平方根的定义，能明确算术平方根与平方运算的互逆关系。
掌握算术平方根的表示方法（根号表示），能准确读写一个非负数的算术平方根。
掌握算术平方根的性质（非负性、特殊数的算术平方根），能进行简单的算术平方根计算，提升数学抽象与运算能力。
幻灯片 3：情境导入（从实际问题到数学概念）
问题 1：学校要新建一个正方形的花坛，计划花坛的面积为 25 平方米，需要确定花坛的边长是多少米？
分析：设正方形边长为 x 米，根据正方形面积公式 “面积 = 边长 ”，得\(x^2 = 25\)。因为边长为正数，所以 x=5（5 =25），即花坛边长为 5 米。
问题 2：若正方形的面积为 16 平方米、9 平方米、1 平方米，对应的边长分别是多少？
答案：4 米（4 =16）、3 米（3 =9）、1 米（1 =1）。
问题 3：若正方形面积为 2 平方米，边长 x 满足什么关系？x 是多少？
分析：\(x^2 = 2\)，x 是正数，但不是整数，我们需要用新的数学概念表示 x—— 这就是 “算术平方根”。
提问引导：对于正数 a，若存在正数 x 使得\(x^2 = a\)，x 与 a 之间是什么关系？如何表示 x？
幻灯片 4：算术平方根的定义
1. 定义内容
一般地，如果一个正数 x的平方等于 a，即\(x^2 = a\)，那么这个正数 x 叫做 a 的算术平方根。
特别规定：0 的算术平方根是 0。
关键词解析：
前提：a 必须是非负数（a≥0），因为任何数的平方都非负，负数没有算术平方根；
结果：算术平方根 x 是正数（或 0），即 x≥0，具有 “非负性”。
2. 符号表示
正数 a 的算术平方根记为\(\sqrt{a}\)，读作 “根号 a”，其中 “\(\sqrt{\quad}\)” 是根号，a 是被开方数（a≥0）。
符号对应关系：
若\(x^2 = a\)（a≥0，x>0），则\(x = \sqrt{a}\)；
0 的算术平方根表示为\(\sqrt{0} = 0\)。
3. 定义应用示例
因\(5^2 = 25\)，且 5 是正数，故 25 的算术平方根是 5，记为\(\sqrt{25} = 5\)；
因\(0.3^2 = 0.09\)，且 0.3 是正数，故 0.09 的算术平方根是 0.3，记为\(\sqrt{0.09} = 0.3\)；
因\((\frac{2}{3})^2 = \frac{4}{9}\)，且\(\frac{2}{3}\)是正数，故\(\frac{4}{9}\)的算术平方根是\(\frac{2}{3}\)，记为\(\sqrt{\frac{4}{9}} = \frac{2}{3}\)；
因\(x^2 = 2\)（x>0），故 2 的算术平方根是 x，记为\(x = \sqrt{2}\)（\(\sqrt{2}\)是无理数，约等于 1.414）。
幻灯片 5：算术平方根的核心性质
1. 非负性（核心性质）
性质内容：
被开方数非负：\(a \geq 0\)（负数没有算术平方根，即\(\sqrt{a}\)中 a 必须≥0）；
算术平方根非负：\(\sqrt{a} \geq 0\)（算术平方根是正数或 0，不存在负的算术平方根）。
示例：
\(\sqrt{-4}\)无意义（被开方数 - 4<0）；
\(\sqrt{9} = 3 \geq 0\)，\(\sqrt{0} = 0\)，均满足非负性。
2. 平方与算术平方根的互逆关系
若 a≥0，则\((\sqrt{a})^2 = a\)（算术平方根的平方等于被开方数）；
若 x≥0，则\(\sqrt{x^2} = x\)（非负数的平方的算术平方根等于它本身）。
示例：
\((\sqrt{5})^2 = 5\)，\((\sqrt{0.6})^2 = 0.6\)；
\(\sqrt{3^2} = 3\)，\(\sqrt{(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{2}\)。
3. 特殊数的算术平方根
0 的算术平方根：\(\sqrt{0} = 0\)；
1 的算术平方根：\(\sqrt{1} = 1\)；
100 以内常用平方数的算术平方根：\(\sqrt{1}=1\)、\(\sqrt{4}=2\)、\(\sqrt{9}=3\)、\(\sqrt{16}=4\)、\(\sqrt{25}=5\)、\(\sqrt{36}=6\)、\(\sqrt{49}=7\)、\(\sqrt{64}=8\)、\(\sqrt{81}=9\)、\(\sqrt{100}=10\)。
幻灯片 6：例题讲解 1（算术平方根的计算与识别）
例 1：求下列各数的算术平方根：
（1）64；（2）0.01；（3）\(\frac{25}{36}\)；（4）17。
解答与分析：
（1）∵ \(8^2 = 64\)，且 8 是正数，∴ \(\sqrt{64} = 8\)；
（2）∵ \(0.1^2 = 0.01\)，且 0.1 是正数，∴ \(\sqrt{0.01} = 0.1\)；
（3）∵ \((\frac{5}{6})^2 = \frac{25}{36}\)，且\(\frac{5}{6}\)是正数，∴ \(\sqrt{\frac{25}{36}} = \frac{5}{6}\)；
（4）∵ 没有一个整数或分数的平方等于 17，∴ 17 的算术平方根是\(\sqrt{17}\)（保留根号形式，或近似为 4.123）。
例 2：计算下列各式的值：
（1）\((\sqrt{12})^2\)；（2）\(\sqrt{(-7)^2}\)；（3）\(\sqrt{4} + \sqrt{9}\)。
解答与分析：
（1）根据\((\sqrt{a})^2 = a\)（a≥0），得\((\sqrt{12})^2 = 12\)；
（2）先算平方：\((-7)^2 = 49\)，再算算术平方根：\(\sqrt{49} = 7\)（或直接用\(\sqrt{x^2} = |x|\)，\(\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7\)）；
（3）分别算算术平方根：\(\sqrt{4} = 2\)，\(\sqrt{9} = 3\)，再相加：\(2 + 3 = 5\)。
幻灯片 7：例题讲解 2（算术平方根的非负性应用）
例 3：若\(\sqrt{x - 2} + \sqrt{y + 3} = 0\)，求 x + y 的值。
解答与分析：
第一步：利用算术平方根的非负性 ——\(\sqrt{x - 2} \geq 0\)，\(\sqrt{y + 3} \geq 0\)；
第二步：两个非负数的和为 0，只有当每个非负数都为 0 时成立（非负性性质：若 a≥0，b≥0，且 a + b = 0，则 a = 0，b = 0）；
第三步：列方程求解：\(\sqrt{x - 2} = 0\) → \(x - 2 = 0\) → \(x = 2\)；\(\sqrt{y + 3} = 0\) → \(y + 3 = 0\) → \(y = -3\)；
第四步：计算 x + y = 2 + (-3) = -1。
答：x + y 的值为 - 1。
例 4：已知\(y = \sqrt{x - 1} + \sqrt{1 - x} + 4\)，求\(\sqrt{y}\)的值。
解答与分析：
第一步：根据被开方数非负性，确定 x 的取值：\(x - 1 \geq 0\)（第一个根号有意义），\(1 - x \geq 0\)（第二个根号有意义）；
即 x≥1 且 x≤1，故 x = 1；
第二步：代入求 y：\(y = \sqrt{1 - 1} + \sqrt{1 - 1} + 4 = 0 + 0 + 4 = 4\)；
第三步：求\(\sqrt{y} = \sqrt{4} = 2\)。
答：\(\sqrt{y}\)的值为 2。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
求下列各数的算术平方根：
（1）100；（2）0.25；（3）\(\frac{9}{16}\)；（4）0。
计算下列各式：
（1）\(\sqrt{36}\)；（2）\((\sqrt{7})^2\)；（3）\(\sqrt{81} - \sqrt{16}\)。
提升题
若\(\sqrt{a + 5} = 3\)，求 a 的值；若\((\sqrt{b} - 2)^2 = 0\)，求 b 的值。
已知\(\sqrt{x - 3} + \sqrt{4 - y} = 0\)，求\(x^y\)的算术平方根。
拓展题
已知 a 是\(\sqrt{10}\)的整数部分，b 是\(\sqrt{10}\)的小数部分，求\(a - b\)的值（提示：\(\sqrt{9} = 3\)，\(\sqrt{16} = 4\)，故\(3 < \sqrt{10} < 4\)）。
幻灯片 9：易错点深度剖析
忽略被开方数的非负性，计算无意义的算术平方根：
错误案例：认为\(\sqrt{-9} = -3\)（-9 是负数，没有算术平方根，该式无意义）；计算\(\sqrt{(-5)^2}\)时错得 - 5（正确应为\(\sqrt{25} = 5\)，算术平方根非负）。
规避方法：计算前先判断被开方数是否非负，若为负数，直接判定无意义；计算平方的算术平方根时，结果必为非负数，可借助绝对值（\(\sqrt{x^2} = |x|\)）辅助判断。
混淆 “算术平方根” 与 “平方” 的互逆关系：
错误案例：认为\(\sqrt{16} = \pm 4\)（算术平方根是正数，正确应为 4，±4 是 16 的平方根，非算术平方根）；认为\((\sqrt{5})^2 = \sqrt{25} = 5\)（虽结果正确，但逻辑混淆，直接用\((\sqrt{a})^2 = a\)即可，无需多步）。
规避方法：牢记 “算术平方根是唯一的非负根”，与 “平方根（正负两个）” 区分开；互逆关系直接应用公式（\((\sqrt{a})^2 = a\)，\(\sqrt{x^2} = x\)（x≥0）），避免多余步骤导致错误。
非负性应用时漏解被开方数的取值范围：
错误案例：例 4 中，只考虑\(x - 1 \geq 0\)，忽略\(1 - x \geq 0\)，错得 x≥1，导致 y 的值不确定。
规避方法：当式子中含多个根号时，需保证每个被开方数都非负，列不等式组确定变量取值，再代入计算，确保所有根号均有意义。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
定义：正数 a 的算术平方根是正数 x（\(x^2 = a\)），记为\(\sqrt{a}\)，0 的算术平方根是 0；
性质：被开方数非负（a≥0）、算术平方根非负（\(\sqrt{a} 0\)），平方与算术平方根互逆（\((\sqrt{a})^2 = a\)，\(\sqrt{x^2}=x\)（x≥0））；
计算：常用平方数的算术平方根直接记忆，无理数的算术平方根保留根号或取近似值。
方法提炼：
算术平方根计算 “两步法”：① 判断被开方数是否非负；② 找正数 x 使\(x^2 = a\)，或直接应用互逆公式；
非负性问题 “关键法”：多个非负数相加为 0，則每个非负数均为 0，据此列方程求解变量，再代入计算。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（算术平方根相关题目）。
拓展练习：
（1）计算：\(\sqrt{0.04} + \sqrt{\frac{1}{4}} - \sqrt{1.21}\)；
（2）已知\(x = \sqrt{5} + 2\)，\(y = \sqrt{5} - 2\)，求\(\sqrt{x + y}\)的值；
（3）若\(\sqrt{2a - 1} + |b + 3| = 0\)，求\((a + b)^2\)的算术平方根。
实践思考：查阅资料，了解 “算术平方根” 与 “平方根” 的区别，记录 3 个不同的例子，下节课分享。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.1算术平方根
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
历史感悟
毕达哥拉斯(约公元前 580 年～约公元前 500 年)，
古希腊的哲学家、数学家、天文学家
万物皆数
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情境引入
学校要举行美术作品比赛，小明很高兴，他想裁出一块面积为 25 dm2 的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？为什么？
应取 5 dm，
因为 52 = 25.
填一填(1)
正方形的面积 1 9 16 36 0.25
边长
1
3
4
6
0.5
已知正方形的面积，求出其边长：
算术平方根的概念
请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
，
，
，
．
2
3
4
5
中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
填一填(2)
一般地，如果一个正数 x 的平方等于 a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作“ ”，读作“根号 a ”．
特别地，我们规定：0 的算术平方根是 0，即 ．
概念学习
试一试：你能根据等式 122 = 144，说出 144 的的算术平方根是多少吗？并用等式表示出来．
想一想：下列式子表示什么意思？你能求出它们的值吗？
144 的算术平方根是 12，即 ＝12.
温馨提示：求值时，要按照算术平方根的意义，写出应该满足的关系式，然后按照算术平方根的记法写出对应的值．
解: (1) 因为 302 ＝ 900， 所以 900 的算术平方根是 30，即 .
(2) 因为 12 ＝ 1， 所以 1 的算术平方根是 1，即 .
例1 求下列各数的算术平方根：
(1) 900； (2) 1； (3) ； (4) 14．
典例精析
非平方数的算术平方根只能用根号表示.
(3) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，即 .
(4) 14 的算术平方根是 .
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学校标志
新知讲解
《02》
注意：带分数先化为假分数.
注意：不等于-25.
解: (1) 因为 所以 的算术平方根是 3.
求下列各数的算术平方根：
练一练
算术平方根的性质：
非负数
算术平方根具有双重非负性.
(a≥0)
合作探究
问题1：负数有算术平方根吗？
问题2：一个非负数的算术平方根可能是负数吗？
算术平方根的性质及其实际应用
例2 若 |m - 1| + = 0，求 m + n 的值.
解：因为 |m - 1|≥0， ≥0，又 |m - 1| + = 0，
所以 |m - 1| = 0， = 0. 所以 m = 1，n = -3.
所以 m + n = 1 + (-3) = -2.
几个非负式的和为 0，则每个式子均为 0，现阶段
学过的非负式有绝对值式、平方式及算术平方根.
归纳
3. 若 ，则 a = ；
2. 若 = 0，则 m = ；
4. 若 |a - 3|+ ，则式子 (a + b)2023 =___.
1. 若 |a + 3| = 0， 则 a = ；
-3
7
5
-1
练一练
到目前为止，表示非负的式子有：
| a |≥0，a2 ≥0， ≥0.
例3 自由下落物体下落的距离 h (米)与下落时间 t (秒)的关系为 ．有一铁球从 19.6 米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解：将 h＝19.6 代入公式，得
，
即 ，
所以正数 .
即铁球到达地面需要 2 秒.
1. 填空题：
① 若一个数的算术平方根是7，那么这个数是 ；
② 的算术平方根是 ；
③ 的算术平方根是 ；
④ 若 ，则 ．
16
49
2. 求下列各数的算术平方根：
（1）169； (2) ； (3) 0.0001.
解：(1) 因为 132 = 169，所以 169 的算术平方根是 13，
即 .
(2) 因为 ，所以 的算术平方根是 ，
即
(3) 因为 0.012 =0.0001，所以 0.0001 的算术平方根是 0.01，即
解：由题意得：
解得
3. 已知：|x + 2y| + + = 0，求 x - 3y + 4z 的值.
解：设每块地板砖的边长为 x m. 由题意得
故每块地板砖的边长是 0.5 m.
4. 用大小完全相同的 240 块正方形地板砖，恰好铺一间面积为 60 m2 的会议室的地面，每块地板砖的边长是多少？
5. 如图，将一个长方形 ABCD 折叠，可得到一个面积为 144 cm2 的正方形 ABFE，已知正方形 ABFE 的面积等于长方形 CDEF 面积的 2 倍，求长方形 ABCD 的长和宽．
解：设正方形 ABFE 的边长为 a，
则 a2 = 144，
所以 a = =12.
所以 AB = BF = CD = 12.
设 FC = x，因为 SABFE = 2SCDEF，
所以 144 = 2×12x，解得 x = 6.
所以 BC = BF + FC = 12 + 6 = 18 (cm).
所以长方形的长为 18 cm，宽为 12 cm.
A
B
C
D
E
F
知识点1 算术平方根的定义及其计算
1.［2025深圳月考］9的算术平方根是( )
C
A. B. C.3 D.
返回
2.“的算术平方根是 ”，用式子表示为( )
C
A. B. C. D.
返回
3.若一个数的算术平方根是5，则这个数是( )
B
A. B.25 C. D.
返回
4.下列说法正确的是( )
A
A.因为 ,所以6是36的算术平方根
B.因为,所以 是36的算术平方根
C.因为,所以6和 都是36的算术平方根
D.以上说法都不对
返回
5.（1） 的算术平方根是__；
（2）［2024广安中考］ ___。
0
返回
6.求下列各数的算术平方根：
（1）0；
解： 。
（2）121；
解： 。
（3）1.96；
解： 。
（4） ；
解： 。
（5）10；
解： 。
（6） 。
解： 。
返回
知识点2 与 的性质
7.［教材P随堂练习T变式］ 计算：___,___,
___。
7
7
7
返回
8.下列各式中正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
算术平方根
算术平方根的概念
算术平方根的双重非负性
算术平方根的应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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