资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.2.2 平方根
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解平方根的定义，能明确平方根与算术平方根的区别与联系。
掌握平方根的表示方法（正负根号表示），能准确读写一个非负数的平方根。
掌握平方根的性质（正数有两个互为相反数的平方根、0 的平方根是 0、负数没有平方根），能进行简单的平方根计算，提升数系运算能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
算术平方根：若正数\(x\)的平方等于\(a\)（\(x^2 = a\)，\(a \geq 0\)），则\(x\)是\(a\)的算术平方根，记为\(\sqrt{a}\)，且\(\sqrt{a} \geq 0\)（如\(2^2 = 4\)，则\(\sqrt{4} = 2\)是 4 的算术平方根）。
无理数：无限不循环小数（如\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)），非完全平方数的算术平方根是无理数。
情境导入：
问题 1：已知一个数的平方等于 16，这个数可能是多少？
分析：因为\(4^2 = 16\)，\((-4)^2 = 16\)，所以这个数是 4 或 - 4，这两个数都与 16 存在 “平方” 关系，它们就是 16 的 “平方根”。
问题 2：算术平方根只考虑正数，那负数的平方对应的原数该如何表示？
提问引导：
一个非负数的平方根有几个？它们之间有什么关系？
平方根与算术平方根的表示方法有何不同？
幻灯片 4：平方根的定义
1. 定义内容
一般地，如果一个数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^2 = a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的平方根（也叫二次方根）。
关键词解析：
前提：\(a\)必须是非负数（\(a \geq 0\)），因为任何数的平方都非负，负数没有平方根；
结果：\(x\)可以是正数、0 或负数（但正数的平方根有两个，0 的平方根只有 0，负数没有平方根）。
2. 与算术平方根的对比
对比维度
平方根
算术平方根
定义
若\(x^2 = a\)，则\(x\)是\(a\)的平方根
若正数\(x^2 = a\)，则正数\(x\)是\(a\)的算术平方根
结果数量
正数有 2 个，0 有 1 个，负数没有
正数有 1 个，0 有 1 个，负数没有
符号特征
正数的两个平方根互为相反数
结果为非负数（\(\sqrt{a} \geq 0\)）
示例（\(a=4\)）
\(\pm 2\)（2 和 - 2）
\(2\)（仅正数）
3. 定义应用示例
因\(3^2 = 9\)，\((-3)^2 = 9\)，故 9 的平方根是 3 和 - 3，记为\(\pm \sqrt{9} = \pm 3\)；
因\(0.5^2 = 0.25\)，\((-0.5)^2 = 0.25\)，故 0.25 的平方根是 0.5 和 - 0.5，记为\(\pm \sqrt{0.25} = \pm 0.5\)；
因\(0^2 = 0\)，故 0 的平方根是 0，记为\(\pm \sqrt{0} = 0\)；
因任何数的平方都不等于 - 4，故 - 4 没有平方根（\(\pm \sqrt{-4}\)无意义）。
幻灯片 5：平方根的表示方法与性质
1. 表示方法
一个非负数\(a\)的平方根记为\(\pm \sqrt{a}\)，读作 “正、负根号\(a\)”，其中 “\(\sqrt{a}\)” 表示\(a\)的算术平方根，“\(-\sqrt{a}\)” 表示\(a\)的负平方根。
符号对应关系：
若\(x^2 = a\)（\(a \geq 0\)），则\(x = \sqrt{a}\)或\(x = -\sqrt{a}\)，即\(x = \pm \sqrt{a}\)；
0 的平方根表示为\(\pm \sqrt{0} = 0\)。
2. 核心性质
被开方数\(a\)的取值
平方根的情况
示例
\(a > 0\)（正数）
有两个平方根，它们互为相反数（和为 0）
\(a=16\)，平方根为\(\pm 4\)（\(4 + (-4) = 0\)）
\(a = 0\)
只有一个平方根，就是 0 本身
\(\pm \sqrt{0} = 0\)
\(a < 0\)（负数）
没有平方根（平方根无意义）
\(\pm \sqrt{-5}\)无意义
3. 平方根与算术平方根的关系
正数的算术平方根是其两个平方根中的 “正根”，即：若\(a > 0\)，则\(\sqrt{a}\)是\(\pm \sqrt{a}\)中的正数部分，\(-\sqrt{a}\)是负数部分；
两者的联系：\(\pm \sqrt{a}\)包含\(\sqrt{a}\)（算术平方根），即平方根是算术平方根的 “扩展”（增加负根）。
幻灯片 6：例题讲解 1（平方根的计算与识别）
例 1：求下列各数的平方根：
（1）36；（2）\(\frac{49}{81}\)；（3）0.0016；（4）0。
解答与分析：
（1）∵ \(6^2 = 36\)，\((-6)^2 = 36\)，∴ 36 的平方根是\(\pm 6\)，记为\(\pm \sqrt{36} = \pm 6\)；
（2）∵ \((\frac{7}{9})^2 = \frac{49}{81}\)，\((-\frac{7}{9})^2 = \frac{49}{81}\)，∴ \(\frac{49}{81}\)的平方根是\(\pm \frac{7}{9}\)，记为\(\pm \sqrt{\frac{49}{81}} = \pm \frac{7}{9}\)；
（3）∵ \(0.04^2 = 0.0016\)，\((-0.04)^2 = 0.0016\)，∴ 0.0016 的平方根是\(\pm 0.04\)，记为\(\pm \sqrt{0.0016} = \pm 0.04\)；
（4）∵ \(0^2 = 0\)，∴ 0 的平方根是 0，记为\(\pm \sqrt{0} = 0\)。
例 2：计算下列各式的值：
（1）\(\sqrt{25}\)；（2）\(-\sqrt{16}\)；（3）\(\pm \sqrt{\frac{16}{25}}\)；（4）\(\sqrt{(-7)^2}\)。
解答与分析：
（1）\(\sqrt{25}\)表示 25 的算术平方根，故\(\sqrt{25} = 5\)；
（2）\(-\sqrt{16}\)表示 16 的负平方根，故\(-\sqrt{16} = -4\)；
（3）\(\pm \sqrt{\frac{16}{25}}\)表示\(\frac{16}{25}\)的两个平方根，故\(\pm \sqrt{\frac{16}{25}} = \pm \frac{4}{5}\)；
（4）先算平方：\((-7)^2 = 49\)，再算算术平方根：\(\sqrt{49} = 7\)（或直接用\(\sqrt{x^2} = |x|\)，\(\sqrt{(-7)^2} = |-7| = 7\)）。
幻灯片 7：例题讲解 2（平方根的性质应用）
例 3：若一个正数的平方根是\(2x - 1\)和\(x + 4\)，求这个正数的值。
解答与分析：
第一步：利用正数平方根的性质 —— 正数的两个平方根互为相反数，故它们的和为 0：\((2x - 1) + (x + 4) = 0\)；
第二步：解方程求 x：\(2x - 1 + x + 4 = 0\) → \(3x + 3 = 0\) → \(x = -1\)；
第三步：求其中一个平方根：
当 x = -1 时，\(2x - 1 = 2 (-1) - 1 = -3\)（或\(x + 4 = -1 + 4 = 3\)）；
第四步：求正数的值（平方根的平方）：
正数 = \((-3)^2 = 9\)（或\(3^2 = 9\)）。
答：这个正数的值为 9。
例 4：已知\(\sqrt{x - 2} + \sqrt{2 - x} + y = 5\)，求\(x + y\)的平方根。
解答与分析：
第一步：根据被开方数非负性，确定 x 的取值：\(x - 2 \geq 0\)且\(2 - x \geq 0\) → \(x = 2\)；
第二步：代入求 y：\(\sqrt{2 - 2} + \sqrt{2 - 2} + y = 5\) → \(0 + 0 + y = 5\) → \(y = 5\)；
第三步：求\(x + y = 2 + 5 = 7\)；
第四步：求 7 的平方根：\(\pm \sqrt{7}\)。
答：\(x + y\)的平方根为\(\pm \sqrt{7}\)。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
求下列各数的平方根：
（1）100；（2）\(\frac{25}{144}\)；（3）0.01；（4）\(-9\)（判断是否有平方根）。
计算下列各式：
（1）\(\sqrt{49}\)；（2）\(-\sqrt{0.09}\)；（3）\(\pm \sqrt{\frac{1}{36}}\)；（4）\(\sqrt{121} - \sqrt{36}\)。
提升题
若\(\sqrt{a} = 3\)，求 a 的平方根；若\((\sqrt{b} - 4)^2 = 0\)，求 b 的平方根。
已知一个正数的两个平方根分别是\(3a - 1\)和\(-a + 5\)，求这个正数及 a 的值。
拓展题
已知\(x = \sqrt{5} - 3\)，\(y = \sqrt{5} + 3\)，求\(x + y\)的平方根（提示：先计算\(x + y\)，再求平方根）。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆 “平方根” 与 “算术平方根” 的符号表示：
错误案例：认为 “16 的平方根是 4”（正确应为\(\pm 4\)，4 只是算术平方根）；将 “\(\pm \sqrt{9}\)” 计算为 3（正确应为\(\pm 3\)，忽略负根）。
规避方法：牢记 “平方根带\(\pm\)，算术平方根不带\(\pm\)”，计算时先明确题目要求的是平方根（\(\pm \sqrt{a}\)）还是算术平方根（\(\sqrt{a}\)），避免符号遗漏。
忽略负数没有平方根，计算无意义的表达式：
错误案例：认为 “\(-\sqrt{-25} = -5\)”（-25 是负数，没有平方根，整个表达式无意义）；计算 “\(\pm \sqrt{-16}\)” 得\(\pm 4\)（同样无意义）。
规避方法：计算前先判断被开方数是否非负，若为负数，直接判定平方根无意义；若表达式中含负号（如\(-\sqrt{a}\)），需先确认\(a \geq 0\)，再计算\(\sqrt{a}\)后加负号。
应用 “正数平方根互为相反数” 时漏解：
错误案例：例 3 中，只考虑\(2x - 1 = x + 4\)，解得 x=5，忽略 “互为相反数” 的条件（正确应为和为 0）。
规避方法：遇到 “一个正数的两个平方根” 相关问题，优先想到 “两平方根之和为 0”，列方程时用 “和为 0” 而非 “相等”，确保符合平方根的性质。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
定义：若\(x^2 = a\)（\(a \geq 0\)），则\(x\)是\(a\)的平方根，记为\(\pm \sqrt{a}\)，正数有两个互为相反数的平方根，0 的平方根是 0，负数没有平方根；
与算术平方根的关系：平方根包含算术平方根（正根）和负根，算术平方根是平方根的非负部分；
计算：先判断被开方数是否非负，再找平方等于\(a\)的两个数（0 只有一个），用\(\pm \sqrt{a}\)表示。
方法提炼：
平方根计算 “三步法”：① 判正负（\(a \geq 0\)有平方根，\(a < 0\)无）；② 找根（找平方等于\(a\)的数）；③ 表结果（用\(\pm \sqrt{a}\)表示）；
性质应用 “关键法”：正数的两个平方根互为相反数（和为 0），据此列方程求解未知数，再反求原正数。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（平方根相关题目）。
拓展练习：
（1）计算：\(\pm \sqrt{0.64} - \sqrt{\frac{1}{25}} + (-\sqrt{1})\)；
（2）已知\(\sqrt{x + 3} + |y - 2| = 0\)，求\((x + y)^2\)的平方根；
（3）若\(a\)是\(\sqrt{17}\)的整数部分，\(b\)是\(\sqrt{17}\)的小数部分，求\((a + b)^2\)的平方根。
实践思考：对比平方根与算术平方根的异同，制作一张对比表格，下节课展示交流。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.2 平方根
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
2. 我们已经学习过哪些运算？它们中互为逆运算的是什么？
答：已学过加法、减法、乘法、除法、乘方五种运算.
其中加法与减法互逆；乘法与除法互逆.
思考：乘方有没有逆运算？
1. 什么叫算术平方根？
若一个正数的平方等于 a，则这个数叫做 a 的算术平方根，表示为 .
你发现了吗
3
7
(1) 3 的平方等于 9，那么 9 的算术平方根就是_____；
(2) 的平方等于 ，那么 的算术平方根就是____；
(3) 展厅地面为正方形，其面积 49 m2，则边长为___m.
问题：除了所填的数之外，平方等于 9， ，49 的数还有吗？
填一填(1)
平方根的概念及性质
64
-11
11
0.6
0
没有
x
2
x
8
-8
4
3
4
3
-
？
？
？
？
？
？
？
？
？
？
121
0.36
0
-4
-0.6
写出左圈和右圈中的“？”表示的数：
填一填(2)
你发现了吗
一般地，如果一个数 x 的平方等于 a，即x2 = a，那么这个数 x 就叫做 a 的平方根（或二次方根）.
平方根的定义：
概念学方根的表示方法、读法：
根号
被开方数
（a 是非负数）
读作：正负根号 a
1. 144 的平方根是什么？
2. 0 的平方根是什么？
3.
的平方根是什么？
4. -4 有没有平方根？为什么？
0
没有，因为一个数的平方不可能是负数
试一试
通过这些题目的解答，你能发现什么
问题：（1）正数有几个平方根？
（2）0 有几个平方根？
（3）负数呢？
有没有一个实数的平方是负数？
想一想
因为任何实数的平方都为非负数，所以负数没有平方根，也没有算术平方根.
平方根的性质：
1. 正数有两个平方根，且两个平方根互为相反数；
2. 0 的平方根还是 0；
3. 负数没有平方根.
要点归纳
归纳总结
1. 包含关系：平方根包含算术平方根，算术平方根是平方根中的一个；
平方根与算术平方根的联系与区别：
2. 只有非负数才有平方根和算术平方根；
3. 0 的平方根是 0，算术平方根也是 0.
区别：
1. 个数不同：一个正数有两个平方根，但只
有一个算术平方根.
2. 表示法不同：平方根表示为 ，
而算术平方根表示为 .
联系：
这是什么运算？
平方运算
+1
-1
+2
-2
+3
-3
1
4
9
x x2
1
4
9
+1
-1
+2
-2
+3
-3
x2 x
开平方及相关运算
观察下面两种运算有什么不同？
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，a 叫做被开方数.
可以看出，平方与开平方互为逆运算，根据这种关系可以求出一个数的平方根.
平方与开平方有什么关系？
开平方的定义：
典例精析
例1 求下列各数的平方根：
(1) 64 ； (2)
(4)
(5) 11.
(3) 0.0004；
解: （1）∵ ，∴ 64 的平方根为±8.
（2）∵ ，∴ 的平方根为 .
（3）∵ ，∴ 0.0004 的平方根为±0.02.
（4）∵ ，∴ 的平方根为 ±25.
（5）11 的平方根是 .
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新知讲解
《02》
方法总结
运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.
注意：要弄清 ， ， 的意义， 不能用来表示 a 的平方根，如：64 的平方根不要写成 .
64
7.2
0
你能把所得的规律用字母表示出来吗？

思考1：根据前面得出的性质填一填，并说明理由．
与 的性质
归纳总结
的性质：
一般地， ＝ a (a≥0).
例2 计算：
解：
想一想：本小题用到了幂的哪条基本性质呢？
积的乘方：
(ab)2 = a2b2
2
0.1
0
如何用字母表示你所发现的规律呢？
思考2：根据前面得出的性质填一填，并说明理由．
归纳总结
的性质：
一般地， ＝ a (a ≥0).
思考：当 a＜0 时， = ？
例3 化简：
解：
你还有其它算法吗？
想一想：如何化简 呢？
=
(a≥0)；
(a＜0).
= | a |
a
-a
辨一辨：请同学们快速分辨下列各题的对错．
（ ）
（ ）
（ ）
（ ）
×
×
√
√
议一议：如何区别 与 ？
从运算顺序看
从取值范围看
从运算结果看
先开方，后平方
先平方，后开方
a≥0
a 取任意实数
a
| a |
2. 下列说法不正确的是（ ）
A. 0 的平方根是 0
B. 的平方根是 2
C. 正数的平方根互为相反数
D. 一个正数的算术平方根一定大于这个数的相反数
1.下列说法正确的是_________.
① -3 是 9 的平方根；② 25 的平方根是 5；③ -36 的平方根是 -6；④ 平方根等于 0 的数是 0；⑤ 64 的算术平方根是 8.
①④⑤
B
3. 已知一个自然数的算术平方根是a，则该自然数的下一个自然数的算术平方根是（ ）
A. a + 1 B. C. a2 + 1 D.
D
4. x 为何值时， 有意义？
解：因为 ，所以 .
5. 实数 a 在数轴上的位置如图所示，则化简 |a - 2| +
的结果是 .
1
6.利用 a ＝ (a≥0)，把下列非负数分别写成一个非负数的平方的形式：
(1) 9； (2) 5； (3) 2.5；
(4) 0.25； (5) ； (6) 0.
-1
0
1
2
a
7. 已知 ，求 x 的值．
解：∵
∴
∴ x = 12 或 x = －10.
知识点1 平方根的定义
1.［2024内江中考］16的平方根是( )
D
A. B.4 C.2 D.
返回
2.36的平方根是 的数学表达式是( )
D
A. B. C. D.
返回
3.下列各数中，没有平方根的是( )
D
A.10 B.0 C. D.
返回
4.下列说法正确的是( )
C
A.7是的平方根 B.40的平方根是
C.是6的一个平方根 D.的一个平方根是
返回
5.平方根等于本身的数是___。
0
返回
知识点2 开平方
6.如果，那么 的值为( )
C
A.3 B. C. D.9
返回
平方根
平方根的概念
开平方及相关运算
平方根的性质
= | a | (a 为任意实数)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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