资源简介

(共20张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.4 估算
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解估算的意义，能根据实际需求估算无理数（如算术平方根、立方根）的近似值。
掌握估算的核心方法（“夹逼法”：确定范围→逐步逼近），能将无理数估算到指定精度（如精确到 0.1、0.01）。
能运用估算解决实际问题（如判断物体尺寸、比较数的大小），提升数感与实用计算能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
无理数：无限不循环小数（如\(\sqrt{2} \approx 1.414\)、\(\sqrt[3]{5} \approx 1.710\)），无法用有限小数精确表示；
算术平方根与立方根：若\(x^2 = a\)（\(a \geq 0\)），则\(x = \sqrt{a}\)；若\(x^3 = a\)，则\(x = \sqrt[3]{a}\)，多数无理数来源于此。
情境导入：
场景 1：小明想给边长为 3m 的正方形花园围栅栏，购买了 12m 长的栅栏，他担心栅栏不够，想知道正方形对角线的长度是否超过 4m（对角线长度为\(\sqrt{3^2 + 3^2} = \sqrt{18}\)，\(\sqrt{18}\)是无理数，需估算）；
场景 2：超市里一款正方体包装盒上标注 “容积约 200cm ”，小明想知道包装盒的棱长大概是多少（棱长为\(\sqrt[3]{200}\)，需估算近似值）。
提问引导：
对于\(\sqrt{18}\)、\(\sqrt[3]{200}\)这类无理数，如何快速确定它们的大致范围？
怎样逐步缩小范围，得到更精确的近似值（如精确到 0.1）？
幻灯片 4：估算的核心方法 —— 夹逼法（确定范围 + 逐步逼近）
1. 基本思路
估算无理数的本质是用 “有理数夹逼无理数”，核心步骤分两步：
确定大致范围：找到两个连续整数（或有限小数），使无理数介于它们之间（如估算\(\sqrt{18}\)，先找整数\(a\)、\(b\)，使\(a^2 < 18 < b^2\)）；
逐步逼近精度：在已确定的范围内，通过 “试算中间值的平方 / 立方” 缩小范围，直到达到目标精度（如精确到 0.1，需使前后两个值的差小于 0.1）。
2. 关键原理
对算术平方根\(\sqrt{a}\)（\(a \geq 0\)）：若\(m^2 < a < n^2\)（\(m < n\)，\(m\)、\(n\)为有理数），则\(m < \sqrt{a} < n\)；
对立方根\(\sqrt[3]{a}\)（\(a\)为任意实数）：若\(m^3 < a < n^3\)（\(m < n\)，\(m\)、\(n\)为有理数），则\(m < \sqrt[3]{a} < n\)。
幻灯片 5：例题讲解 1—— 估算算术平方根（以\(\sqrt{18}\)为例）
目标：估算\(\sqrt{18}\)的近似值，精确到 0.1
步骤 1：确定大致整数范围
找连续整数的平方：\(4^2 = 16\)，\(5^2 = 25\)；
因\(16 < 18 < 25\)，故\(4 < \sqrt{18} < 5\)（\(\sqrt{18}\)在 4 和 5 之间）。
步骤 2：缩小范围到一位小数（精确到 0.1）
试算 4 和 5 之间的一位小数的平方：
\(4.2^2 = 17.64\)（\(17.64 < 18\)，说明\(\sqrt{18} > 4.2\)）；
\(4.3^2 = 18.49\)（\(18.49 > 18\)，说明\(\sqrt{18} < 4.3\)）；
此时\(4.2 < \sqrt{18} < 4.3\)，范围缩小到 0.1 以内，满足 “精确到 0.1” 的要求。
步骤 3：（可选）进一步精确到 0.01
试算 4.2 和 4.3 之间的两位小数：
\(4.24^2 = 17.9776\)（\(17.9776 < 18\)）；
\(4.25^2 = 18.0625\)（\(18.0625 > 18\)）；
故\(4.24 < \sqrt{18} < 4.25\)，精确到 0.01 时，\(\sqrt{18} \approx 4.24\)。
结论
\(\sqrt{18} \approx 4.2\)（精确到 0.1），因此正方形花园的对角线约 4.2m，超过 4m，小明需要额外购买栅栏。
幻灯片 6：例题讲解 2—— 估算立方根（以\(\sqrt[3]{200}\)为例）
目标：估算\(\sqrt[3]{200}\)的近似值，精确到 0.1
步骤 1：确定大致整数范围
找连续整数的立方：\(5^3 = 125\)，\(6^3 = 216\)；
因\(125 < 200 < 216\)，故\(5 < \sqrt[3]{200} < 6\)（\(\sqrt[3]{200}\)在 5 和 6 之间）。
步骤 2：缩小范围到一位小数（精确到 0.1）
试算 5 和 6 之间的一位小数的立方：
\(5.8^3 = 5.8 5.8 5.8 = 33.64 5.8 = 195.112\)（\(195.112 < 200\)，说明\(\sqrt[3]{200} > 5.8\)）；
\(5.9^3 = 5.9 5.9 5.9 = 34.81 5.9 = 205.379\)（\(205.379 > 200\)，说明\(\sqrt[3]{200} < 5.9\)）；
此时\(5.8 < \sqrt[3]{200} < 5.9\)，满足 “精确到 0.1” 的要求。
结论
\(\sqrt[3]{200} \approx 5.8\)（精确到 0.1），即正方体包装盒的棱长约为 5.8cm。
幻灯片 7：例题讲解 3—— 估算的实际应用（比较大小、判断合理性）
类型 1：比较无理数与有理数的大小
例 3：比较\(\sqrt{35}\)与 6 的大小，\(\sqrt[3]{-60}\)与 - 4 的大小。
解答与分析：
（1）比较\(\sqrt{35}\)与 6：
算 6 的平方：\(6^2 = 36\)；
因\(35 < 36\)，故\(\sqrt{35} < 6\)（算术平方根具有单调性，被开方数大的，算术平方根大）；
（2）比较\(\sqrt[3]{-60}\)与 - 4：
算 - 4 的立方：\((-4)^3 = -64\)；
因\(-60 > -64\)，故\(\sqrt[3]{-60} > -4\)（立方根具有单调性，被开方数大的，立方根大）。
类型 2：判断实际问题的合理性
例 4：一个长方形衣柜的长为 5m，宽为 3m，高为 2m，工人师傅说它的体对角线长度约为 6.5m，这个说法合理吗？（体对角线长度公式：\(l = \sqrt{é ^2 + ^2 + é ^2}\)）
解答与分析：
第一步：计算体对角线的平方：\(l^2 = 5^2 + 3^2 + 2^2 = 25 + 9 + 4 = 38\)；
第二步：估算\(\sqrt{38}\)的范围：\(6^2 = 36\)，\(6.2^2 = 38.44\)，故\(6 < \sqrt{38} < 6.2\)；
第三步：判断合理性：工人师傅说约 6.5m，而实际估算值小于 6.2m，差距较大，故说法不合理。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
估算下列无理数的近似值（精确到 0.1）：
（1）\(\sqrt{7}\)；（2）\(\sqrt{23}\)；（3）\(\sqrt[3]{30}\)；（4）\(\sqrt[3]{-120}\)。
比较下列各组数的大小：
（1）\(\sqrt{10}\)与 3.2；（2）\(\sqrt[3]{80}\)与 4.3；（3）\(-\sqrt{17}\)与 - 4.2。
提升题
一个正方体水箱的容积为 300L（1L = 1dm ），求水箱的棱长（精确到 0.1dm，提示：棱长 = \(\sqrt[3]{ § }\)）。
已知长方形的面积为 28cm ，长为 7cm，求宽的近似值（精确到 0.01cm，宽 = 面积 ÷ 长，结果为无理数）。
拓展题
若\(\sqrt{5}\)的近似值为 2.236，估算\(\sqrt{500}\)和\(\sqrt{0.05}\)的近似值（提示：\(\sqrt{100 5} = 10\sqrt{5}\)，\(\sqrt{0.01 5} = 0.1\sqrt{5}\)）。
幻灯片 9：易错点深度剖析
估算时 “范围确定错误”，导致结果偏差过大：
错误案例：估算\(\sqrt{28}\)时，错选\(4^2 = 16\)和\(5^2 = 25\)（\(25 < 28\)，应选\(5^2 = 25\)和\(6^2 = 36\)，正确范围是\(5 < \sqrt{28} < 6\)）。
规避方法：确定整数范围时，先回忆 10 以内整数的平方 / 立方（如\(1^2=1\)到\(10^2=100\)，\(1^3=1\)到\(10^3=1000\)），找到 “平方 / 立方刚好小于被开方数” 和 “刚好大于被开方数” 的两个连续整数，确保范围准确。
逐步逼近时 “试算错误”，导致精度不达标：
错误案例：估算\(\sqrt{13}\)精确到 0.1 时，试算\(3.6^2 = 12.96\)，\(3.7^2 = 13.69\)，却错判\(\sqrt{13} \approx 3.6\)（正确应为\(3.6 < \sqrt{13} < 3.7\)，需根据 “更接近哪个值” 微调，因 13 - 12.96 = 0.04，13.69 - 13 = 0.69，故更接近 3.6，可记为 3.6）。
规避方法：试算后计算 “被开方数与试算值平方的差”，差值小的试算值更接近真实值，同时确保最终结果的精度符合要求（如精确到 0.1，结果保留一位小数）。
比较大小时 “忽略符号”，导致判断错误：
错误案例：比较\(\sqrt[3]{-40}\)与 - 3 时，错算\(3^3 = 27\)，因\(-40 < -27\)，误判\(\sqrt[3]{-40} > -3\)（正确应为\(\sqrt[3]{-40} < -3\)，立方根的单调性对负数同样适用，被开方数越小，立方根越小）。
规避方法：比较含负号的立方根时，先将其转化为 “负的正立方根”（如\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)），再比较正数部分，最后还原符号（如\(\sqrt[3]{-40} = -\sqrt[3]{40}\)，\(\sqrt[3]{40} > 3\)，故\(-\sqrt[3]{40} < -3\)）。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
估算意义：无法精确计算时，用近似值解决实际问题（比较大小、判断合理性）；
核心方法：夹逼法（确定整数范围→试算小数→逐步逼近精度）；
关键应用：算术平方根 / 立方根的估算、数的大小比较、实际问题合理性判断。
方法提炼：
无理数估算 “三步法”：① 算平方 / 立方定整数范围；② 试中间小数缩范围；③ 按精度取近似值；
实际应用 “先算后估”：先计算目标值的平方 / 立方（或相关表达式），再通过估算判断结果，避免直接估算导致误差。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（估算相关题目）。
拓展练习：
（1）估算\(\sqrt{45}\)（精确到 0.01）和\(\sqrt[3]{150}\)（精确到 0.1）；
（2）一个正方形桌面的面积为 1.8m ，求桌面的边长（精确到 0.01m），并判断边长是否超过 1.3m；
（3）若\(\sqrt{3} \approx 1.732\)，求\(\sqrt{27}\)、\(\sqrt{0.03}\)、\(2\sqrt{3}\)的近似值。
实践作业：
（1）测量家中一个长方形物体（如书桌、课本）的长和宽，估算它的对角线长度（精确到 0.1cm），并与实际测量值对比；
（2）查询 “黄金比例”（约 1.618），估算\(\sqrt{5}\)的近似值（黄金比例 = \((1 + \sqrt{5})/2\)），验证与课本中\(\sqrt{5}\)的近似值是否一致。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.2.4估算和用计算器开方
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园. 已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400000 m2.
(1) 公园的宽有 1000 m 吗？
1000
2000
S = 400000
解：∵ 2000×1000 = 2000000＞400000，
∴ 公园的宽没有 1 000 m.
(2) 如果要求误差小于 10 米，它的宽大约是多少？
x
2x
S = 400000
x 2x = 400000，
2x2 = 400000，
x2 = 200000，
x =
大约是多少呢？
解：设公园的宽为 x 米.
问题：下列结果正确吗？你是怎样判断的？
通过“精确计算”可比较两个数的大小关系.
估算的基本方法
通过“估算”也可比较
两个数的大小关系.
估算无理数大小的方法：
(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分；
(2)根据所要求的误差确定小数部分.
要点归纳
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新知讲解
《02》
∴ 的值约是 3.5 或 3.6.
例1 怎样估算无理数 (误差小于 0.1)？
的整数部分是3.
典例精析
按要求估算下列无理数：
解：
练一练
例2 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗
解：设梯子稳定摆放时的高度为 x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理
6
所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到 5.6 m 高的墙头.
例3 通过估算，比较 与 的大小.
解：
用估算法比较数的大小
方法归纳
两个带根号的无理数比较大小的结论：
1.
2.
3. 若 a，b 都为正数，则
方法归纳
对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法：
1. 先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；
2. 当符号相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；
3. 若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小.
1. 通过估算，比较下面各组数的大小：
2. 一个人一生平均要饮用的液体总量大约为 40 m3. 如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到 1 m）
解：设圆柱的高为 x m，那么它的底面半径为 0.5x m，
则
3. 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3∶2. 她不知能否裁得出来，正在发愁. 小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：由题意知正方形纸片的边长为 20 cm.
设长方形纸片的长为 3x cm，则宽为 2x cm.则有
就是3×
∴ 小丽不能裁出符合要求的纸片.
估算
估算的基本方法
估算在生活中的应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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