资源简介

(共36张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.3.1 二次根式及其乘除运算
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解二次根式的定义，能判断一个式子是否为二次根式，明确二次根式有意义的条件（被开方数非负）。
掌握二次根式的基本性质（\(\sqrt{a} \geq 0\)、\((\sqrt{a})^2 = a\)、\(\sqrt{a^2} = |a|\)），能灵活运用性质化简二次根式。
掌握二次根式的乘除运算规则，能准确进行简单的乘除运算，并将结果化为最简二次根式。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
算术平方根：若正数\(x\)的平方等于\(a\)（\(a \geq 0\)），则\(x = \sqrt{a}\)，\(\sqrt{a}\)是非负数（如\(\sqrt{4} = 2\)，\(\sqrt{2} \approx 1.414\)）。
平方运算与开平方运算互为逆运算，开平方运算的结果为算术平方根（非负）。
情境导入：
问题 1：要计算一个面积为\(S\)的正方形的边长，边长可表示为\(\sqrt{S}\)（\(S \geq 0\)），这样的式子\(\sqrt{S}\)有什么共同特征？
问题 2：若正方形的边长为\(\sqrt{3}\)，则它的面积是多少？若两个正方形的边长分别为\(\sqrt{2}\)和\(\sqrt{6}\)，它们的面积之比是多少？
提问引导：
像\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、\(\sqrt{S}\)（\(S \geq 0\)）这样的式子叫什么？它们有什么共同特征？
如何计算\(\sqrt{2} \sqrt{6}\)、\(\sqrt{8} ·\sqrt{2}\)这类涉及二次根式的乘除运算？
幻灯片 4：二次根式的定义
1. 定义内容
一般地，形如\(\sqrt{a}\)（\(a \geq 0\)）的式子叫做二次根式，其中 “\(\sqrt{\quad}\)” 是二次根号（根指数为 2，通常省略不写），\(a\)是被开方数。
关键词解析：
形式特征：必须含有二次根号 “\(\sqrt{\quad}\)”，且根指数为 2（区别于立方根的 “\(\sqrt[3]{\quad}\)”）；
有意义条件：被开方数\(a\)必须是非负数（\(a \geq 0\)），若\(a < 0\)，则\(\sqrt{a}\)无意义（如\(\sqrt{-3}\)无意义）；
结果特征：二次根式\(\sqrt{a}\)的结果是非负数（\(\sqrt{a} \geq 0\)），与算术平方根的非负性一致。
2. 二次根式的判断示例
是二次根式的式子：\(\sqrt{5}\)（\(5 \geq 0\)）、\(\sqrt{x^2 + 1}\)（\(x^2 + 1 \geq 1 > 0\)，恒有意义）、\(\sqrt{0}\)（\(0 \geq 0\)）；
不是二次根式的式子：\(\sqrt[3]{2}\)（根指数为 3，是立方根）、\(\sqrt{-2}\)（被开方数为负，无意义）、\(2\sqrt{3}\)（系数为 2，整体是二次根式的倍数，式子本身是二次根式）。
3. 二次根式有意义的条件应用
例：求式子\(\sqrt{x - 2}\)有意义的\(x\)的取值范围。
解：由被开方数非负得\(x - 2 \geq 0\)，解得\(x \geq 2\)，即\(x\)的取值范围是\(x \geq 2\)。
幻灯片 5：二次根式的基本性质
性质 1：二次根式的非负性
内容：对于二次根式\(\sqrt{a}\)（\(a \geq 0\)），有\(\sqrt{a} \geq 0\)（二次根式的结果是非负数）。
示例：\(\sqrt{3} \geq 0\)，\(\sqrt{x^2} \geq 0\)（无论\(x\)取何值，\(x^2 \geq 0\)，故\(\sqrt{x^2} \geq 0\)）。
应用：若两个非负数的和为 0，则每个非负数均为 0（如\(\sqrt{x} + \sqrt{y} = 0\)，则\(x = 0\)且\(y = 0\)）。
性质 2：\((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a \geq 0\)）
内容：二次根式的平方等于被开方数（前提是\(a \geq 0\)，保证\(\sqrt{a}\)有意义）。
推导：由算术平方根的定义，若\(\sqrt{a} = x\)（\(x \geq 0\)），则\(x^2 = a\)，即\((\sqrt{a})^2 = a\)。
示例：\((\sqrt{4})^2 = 4\)，\((\sqrt{2})^2 = 2\)，\((2\sqrt{3})^2 = 2^2 (\sqrt{3})^2 = 4 3 = 12\)。
性质 3：\(\sqrt{a^2} = |a|\)（\(a\)为任意实数）
内容：一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值（无论\(a\)正负，\(a^2\)均非负，故\(\sqrt{a^2}\)有意义）。
分类讨论：
当\(a \geq 0\)时，\(\sqrt{a^2} = a\)（如\(\sqrt{3^2} = 3\)，\(\sqrt{0^2} = 0\)）；
当\(a < 0\)时，\(\sqrt{a^2} = -a\)（如\(\sqrt{(-2)^2} = \sqrt{4} = 2 = -(-2)\)，\(\sqrt{(-\sqrt{5})^2} = \sqrt{5} = -(-\sqrt{5})\)）。
示例：\(\sqrt{(-4)^2} = 4\)，\(\sqrt{(x - 1)^2} = |x - 1|\)（当\(x \geq 1\)时为\(x - 1\)，当\(x < 1\)时为\(1 - x\)）。
幻灯片 6：二次根式的乘法运算
1. 乘法运算规则
文字语言：两个非负数的算术平方根的积，等于这两个数的积的算术平方根。
符号语言：\(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a \geq 0\)，\(b \geq 0\)）。
推导：设\(\sqrt{a} = m\)（\(m \geq 0\)），\(\sqrt{b} = n\)（\(n \geq 0\)），则\(m^2 = a\)，\(n^2 = b\)，故\(mn = \sqrt{m^2n^2} = \sqrt{ab}\)，即\(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)。
2. 乘法运算示例
例 1：计算\(\sqrt{2} \sqrt{3}\)
解：由乘法规则得\(\sqrt{2} \sqrt{3} = \sqrt{2 3} = \sqrt{6}\)（\(\sqrt{6}\)是最简二次根式，保留结果）。
例 2：计算\(\sqrt{4} \sqrt{9}\)
解：方法一（直接乘）：\(\sqrt{4} \sqrt{9} = 2 3 = 6\)；
方法二（用规则）：\(\sqrt{4} \sqrt{9} = \sqrt{4 9} = \sqrt{36} = 6\)，两种方法结果一致。
例 3：计算\(2\sqrt{3} 3\sqrt{2}\)
解：系数与系数相乘，二次根式与二次根式相乘：\(2\sqrt{3} 3\sqrt{2} = (2 3) (\sqrt{3} \sqrt{2}) = 6 \sqrt{6} = 6\sqrt{6}\)。
3. 逆向应用（化简二次根式）
规则逆向：\(\sqrt{ab} = \sqrt{a} \sqrt{b}\)（\(a \geq 0\)，\(b \geq 0\)），可将被开方数拆为 “能开得尽方的因数 × 剩余因数”，简化计算。
例：化简\(\sqrt{12}\)
解：\(\sqrt{12} = \sqrt{4 3} = \sqrt{4} \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)（4 是能开得尽方的因数，3 是剩余因数）。
幻灯片 7：二次根式的除法运算
1. 除法运算规则
文字语言：两个非负数的算术平方根的商，等于这两个数的商的算术平方根。
符号语言：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a \geq 0\)，\(b > 0\)，\(b\)不能为 0，避免分母为 0）。
推导：设\(\sqrt{a} = m\)（\(m \geq 0\)），\(\sqrt{b} = n\)（\(n > 0\)），则\(m^2 = a\)，\(n^2 = b\)，故\(\frac{m}{n} = \sqrt{\frac{m^2}{n^2}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)，即\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)。
2. 除法运算示例
例 1：计算\(\sqrt{8} ·\sqrt{2}\)
解：由除法规则得\(\sqrt{8} ·\sqrt{2} = \sqrt{8 ·2} = \sqrt{4} = 2\)。
例 2：计算\(\sqrt{27} ·\sqrt{3}\)
解：方法一（直接除）：\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)，\(\sqrt{3} = \sqrt{3}\)，故\(3\sqrt{3} ·\sqrt{3} = 3\)；
方法二（用规则）：\(\sqrt{27} ·\sqrt{3} = \sqrt{27 ·3} = \sqrt{9} = 3\)，结果一致。
例 3：计算\(6\sqrt{12} ·2\sqrt{3}\)
解：系数与系数相除，二次根式与二次根式相除：\(6\sqrt{12} ·2\sqrt{3} = (6 ·2) (\sqrt{12} ·\sqrt{3}) = 3 \sqrt{4} = 3 2 = 6\)。
3. 逆向应用（化简分母含根号的式子）
规则逆向：\(\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)（\(a \geq 0\)，\(b > 0\)），可将分母中的根号化去（初步分母有理化）。
例：化简\(\sqrt{\frac{2}{9}}\)
解：\(\sqrt{\frac{2}{9}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{9}} = \frac{\sqrt{2}}{3}\)（9 是能开得尽方的数，化去分母中的根号）。
幻灯片 8：最简二次根式（补充概念）
1. 定义
满足以下两个条件的二次根式叫做最简二次根式：
被开方数不含分母（分母中不含根号）；
被开方数中不含能开得尽方的因数或因式（如\(\sqrt{4}\)、\(\sqrt{x^2}\)均不是最简二次根式）。
示例：\(\sqrt{2}\)、\(\sqrt{3}\)、\(2\sqrt{5}\)是最简二次根式；\(\sqrt{8}\)（含能开得尽方的因数 4）、\(\sqrt{\frac{1}{2}}\)（含分母）不是最简二次根式。
2. 化简步骤
步骤 1：若被开方数含分母，利用除法规则化去分母（如\(\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{1}}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)）；
步骤 2：若被开方数含能开得尽方的因数，利用乘法规则拆分（如\(\sqrt{18} = \sqrt{9 2} = 3\sqrt{2}\)）。
幻灯片 9：例题讲解（综合应用）
例 1：判断下列式子是否为二次根式，若为二次根式，求其有意义的条件：
（1）\(\sqrt{-x}\)；（2）\(\sqrt{x^2 + 2}\)；（3）\(\sqrt[3]{x}\)。
解答与分析：
（1）是二次根式。由被开方数非负得\(-x \geq 0\)，即\(x \leq 0\)；
（2）是二次根式。因\(x^2 \geq 0\)，故\(x^2 + 2 \geq 2 > 0\)，\(x\)取任意实数均有意义；
（3）不是二次根式，是立方根（根指数为 3）。
例 2：运用性质化简下列式子：
（1）\((\sqrt{5})^2\)；（2）\(\sqrt{(-3)^2}\)；（3）\(\sqrt{a^2 - 2a + 1}\)（\(a < 1\)）。
解答与分析：
（1）由\((\sqrt{a})^2 = a\)得\((\sqrt{5})^2 = 5\)；
（2）由\(\sqrt{a^2} = |a|\)得\(\sqrt{(-3)^2} = |-3| = 3\)；
（3）先因式分解：\(a^2 - 2a + 1 = (a - 1)^2\)，因\(a < 1\)，故\(\sqrt{(a - 1)^2} = |a - 1| = 1 - a\)。
例 3：计算下列乘除运算，并将结果化为最简二次根式：
（1）\(\sqrt{3} \sqrt{6}\)；（2）\(\sqrt{24} ·\sqrt{6}\)；（3）\(3\sqrt{2} 2\sqrt{5}\)。
解答与分析：
（1）\(\sqrt{3} \sqrt{6} = \sqrt{3 6} = \sqrt{18} = \sqrt{9 2} = 3\sqrt{2}\)；
（2）\(\sqrt{24} ·\sqrt{6} = \sqrt{24 ·6} = \sqrt{4} = 2\)；
（3）(3\sqrt{2}×2
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.1二次根式及其乘除运算
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 满足什么条件的根式是最简二次根式 试化简下列二次
根式：
2. 上述化简后的二次根式有什么特点 你会怎么对它们
进行分类
某些二次根式化简后被开方数相同.
为一组；
为一组.
还记得吗
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0）．
二次根式的乘法法则和除法法则
（a≥0，b≥0），
（a≥0，b＞0）．
二次根式的乘除运算
典例精析
例1 计算：
例2 计算：
解：
只需其中两个结合就可实现转化进行计算，说明二次根式乘法法则同样适合三个及三个以上的二次根式相乘，即 .
归纳
可先用乘法结合律，再运用二次根式的乘法法则
例3 计算：
解：
当二次根式根号外的因数不为 1 时，可类比单项式乘单项式的法则计算，即 .
归纳
问题 你还记得单项式乘单项式法则吗？
试回顾如何计算 3a2·2a3 = .
6a5
提示：可类比上面的计算哦！
二次根式的乘法法则的推广：
归纳总结
多个二次根式相乘时此法则也适用，即
当二次根号外有因数(式)时，可以类比单项式乘单 项式的法则计算，即根号外的因数(式)的积作为根号外的因数(式)，被开方数(式)的积作为被开方数(式)，即
（2）x2 + 2x2 + 4y = .
1.（1）3x2 + 2x2 = ；
2.类比合并同类项的方法，想想如何计算：
解：
3. 能不能再进行计算 为什么
答：不能，因为两个加数都是最简二次根式，被开方数不相同，所以不能合并.
5x2
3x2 + 4y
合作探究
二次根式的加减运算
解：(1)原式 =
例4 计算：
(2)原式 =
(3)原式 =
(4)原式 =
解：(5)原式 =
(6)原式 =
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学校标志
新知讲解
《02》
归纳总结
二次根式的加减法法则
一般地，二次根式相加减时，可以先将各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式进行合并.
要点提醒
1. 加减法的运算步骤：“一化简二判断三合并”.
2. 合并的前提条件：只有被开方数相同的最简二次根式才能进行合并.
化为最简
二次根式
用分配
律合并
整式
加减
二次根
式性质
分配律
整式加
减法则
依据：二次根式的性质、乘法分配律和整式加减法则.
基本思想：把二次根式加减问题转化为整式加减问题.
解：(1)原式 =
例5 计算：
(2)原式 =
(3)原式 =
例6 若最简根式 与 可以合并，求
的值.
解：由题意得 解得
即
确定可以合并的二次根式中字母取值的方法：利用被开方数相同，指数都为 2 ，列关于待定字母的方程求解即可.
归纳
【变式题】如果最简二次根式 与 可以合并，那么要使式子 有意义，求 x 的取值范围.
解：由题意得 3a - 8 = 17 - 2a，
∴ a = 5.
∴
∴ 20 - 2x≥0，x - 5＞0.
∴ 5＜x≤10.
练一练
1. 下列二次根式中，能与 合并的是（ ）
A. B. C. D.
D
2. 与最简二次根式 能合并，则 m =____.
1
3. 下列二次根式，不能与 合并的是_______ (填
序号）.
②⑤
分析：(1)若几个非负式的和为零，则这几个非负式必然都为零；(2)根据三角形的三边关系来判断.
例7 已知 a，b，c 满足 .
(1) 求 a，b，c 的值；
(2) 以 a，b，c 为三边长能否构成三角形？若能构成
三角形，求出其周长；若不能，请说明理由.
解：(1) 由题意得
(2) 能. 理由如下：∵ 即 a＜c＜b.
又∵ ∴ a + c＞b.
∴ 能够成三角形，周长为
【变式题】有一个等腰三角形的两边长分别为
，求其周长.
解： 当腰长为 时，
∵
∴ 此时能构成三角形，周长为
当腰长为 时，
∵
∴ 此时能构成三角形，周长为
二次根式的加减与等腰三角形的综合运用，关键是要分类讨论及会比较两个二次根式的大小.
归纳
1. 在括号中填写适当的数或式子使等式成立.
（ ）＝10；
（ ）＝ 4；
2. 下列计算正确的是（ ）
A. B.
C. D.
B
解： (1)原式 =
3. 计算：
(2)原式 =
(3)原式 =
4. 已知 x + y = －4，xy = 2. 求 的值.
解： 原式=
把 x + y = -4，xy = 2 代入上式，得原式=
解：
5. 计算：
解：
6. 下图是某土楼的平面剖面图，它是由两个相同圆心的圆构成.已知大圆和小圆的面积分别为 763.02 m2 和 150.72 m2，求圆环的宽度 d（π 取 3.14）.
d
解：
设大圆和小圆的半径分别为 R，r，面积分别为 ， ，由 ，
可知
则
答：圆环的宽度约为
d
7. 已知 a，b 都是有理数，现定义新运算：a*b =
，求（2*3）-（27*32）的值．
解：∵ a*b = ，
∴ (2*3) - (27*32)
=
=
=
能力提升：
知识点1 二次根式的定义及其有意义的条件
1.下列各式中，是二次根式的是( )
A
A. B. C.2 D.
返回
2.［2024常州中考］若二次根式有意义，则 可取的值是( )
D
A. B.0 C.1 D.2
返回
知识点2 二次根式的乘法
3.对于二次根式的乘法运算，一般地，有 ，该运算法则成
立的条件是( )
D
A.， B.， C.， D.，
返回
4.［2024湖南中考］计算 的结果是( )
D
A. B. C.14 D.
返回
5.［2024南通中考］计算 的结果是( )
B
A.9 B.3 C. D.
返回
6.下列计算正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
二次根式的运算
乘除法则
加减法则
乘除公式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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