资源简介

(共44张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.3.2 二次根式的性质与加减运算
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
巩固二次根式的核心性质（非负性、\((\sqrt{a})^2 = a\)、\(\sqrt{a^2} = |a|\)），能灵活运用性质化简复杂二次根式。
理解同类二次根式的定义，能准确判断两个二次根式是否为同类二次根式。
掌握二次根式加减运算的步骤（先化简，再合并同类二次根式），能准确进行加减运算，提升运算规范性。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
二次根式定义：形如\(\sqrt{a}\)（\(a \geq 0\)）的式子，且\(\sqrt{a} \geq 0\)（非负性）；
基本性质：\((\sqrt{a})^2 = a\)（\(a \geq 0\)），\(\sqrt{a^2} = |a|\)（\(a\)为任意实数）；
最简二次根式：被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数（如\(2\sqrt{3}\)是最简，\(\sqrt{12}\)不是）。
情境导入：
问题 1：现有两根木棒，长度分别为\(\sqrt{12}\)cm 和\(\sqrt{27}\)cm，若将它们首尾相接，总长度是多少？直接相加\(\sqrt{12} + \sqrt{27}\)无法计算，该如何处理？
问题 2：计算\(2\sqrt{5} + 3\sqrt{5}\)，能否像整式\(2x + 3x = 5x\)一样合并？
提问引导：
什么样的二次根式可以像 “同类项” 一样合并？
二次根式的加减运算需要经历哪些步骤？
幻灯片 4：二次根式的核心性质（深化与应用）
1. 性质 1：非负性的拓展应用
内容：若多个非负数的和为 0，则每个非负数均为 0（常见非负数：\(\sqrt{a}\)、\(a^2\)、\(|a|\)）。
示例：若\(\sqrt{x - 3} + (y + 2)^2 + |z - 1| = 0\)，求\(x + y + z\)的值。
解：∵ \(\sqrt{x - 3} \geq 0\)，\((y + 2)^2 \geq 0\)，\(|z - 1| \geq 0\)，且和为 0，
∴ \(x - 3 = 0\)（\(\sqrt{x - 3} = 0\)），\(y + 2 = 0\)（\((y + 2)^2 = 0\)），\(z - 1 = 0\)（\(|z - 1| = 0\)），
解得\(x = 3\)，\(y = -2\)，\(z = 1\)，故\(x + y + z = 3 - 2 + 1 = 2\)。
2. 性质 2：\(\sqrt{a^2} = |a|\)的分类化简
内容：根据\(a\)的正负性分类计算，避免符号错误。
示例：化简\(\sqrt{(x - 5)^2}\)（分情况讨论）：
当\(x \geq 5\)时，\(x - 5 \geq 0\)，故\(\sqrt{(x - 5)^2} = x - 5\)；
当\(x < 5\)时，\(x - 5 < 0\)，故\(\sqrt{(x - 5)^2} = |x - 5| = 5 - x\)。
3. 性质 3：最简二次根式的化简技巧
两步化简法：
去分母：若被开方数含分母，分子分母同乘分母的有理化因式（如\(\sqrt{\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{6}}{3}\)）；
开尽方：将被开方数拆为 “能开得尽方的因数 × 最简因数”（如\(\sqrt{18} = \sqrt{9 2} = 3\sqrt{2}\)）。
示例：化简\(\sqrt{\frac{12}{5}}\)：\(\sqrt{\frac{12}{5}} = \sqrt{\frac{4 3 5}{5 5}} = \frac{\sqrt{4 15}}{\sqrt{25}} = \frac{2\sqrt{15}}{5}\)。
幻灯片 5：同类二次根式的定义与判断
1. 定义
几个二次根式化为最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式叫做同类二次根式。
关键词：先化简，再看被开方数（与系数无关）。
2. 判断方法（两步法）
化简：将所有二次根式化为最简二次根式；
对比：观察化简后被开方数是否相同，相同则为同类二次根式。
3. 判断示例
例：判断下列各组是否为同类二次根式：
（1）\(\sqrt{12}\)与\(\sqrt{27}\)；
化简：\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)，被开方数均为 3，故是同类二次根式；
（2）\(\sqrt{8}\)与\(\sqrt{18}\)；
化简：\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，被开方数均为 2，故是同类二次根式；
（3）\(\sqrt{5}\)与\(\sqrt{20}\)；
化简：\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)，与\(\sqrt{5}\)被开方数均为 5，故是同类二次根式；
（4）\(\sqrt{3}\)与\(\sqrt{6}\)；
均为最简二次根式，被开方数分别为 3 和 6，故不是同类二次根式。
幻灯片 6：二次根式的加减运算（核心步骤）
1. 运算法则
二次根式的加减运算，实质是合并同类二次根式，步骤如下：
化简：将每个二次根式化为最简二次根式；
判断：找出其中的同类二次根式；
合并：同类二次根式的系数相加，被开方数不变（非同类二次根式不能合并，保留原式）。
2. 示例讲解（基础运算）
例 1：计算\(\sqrt{12} + \sqrt{27} - \sqrt{3}\)
解答步骤：
化简：\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{27} = 3\sqrt{3}\)，\(\sqrt{3}\)为最简；
判断：均为同类二次根式（被开方数为 3）；
合并：\(2\sqrt{3} + 3\sqrt{3} - \sqrt{3} = (2 + 3 - 1)\sqrt{3} = 4\sqrt{3}\)。
例 2：计算\(\sqrt{8} + \sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{18}\)
解答步骤：
化简：\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)，\(\sqrt{\frac{1}{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)，\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)；
判断：均为同类二次根式（被开方数为 2）；
合并：\(2\sqrt{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} - 3\sqrt{2} = (2 + \frac{1}{2} - 3)\sqrt{2} = -\frac{1}{2}\sqrt{2}\)（或\(-\frac{\sqrt{2}}{2}\)）。
3. 示例讲解（含括号运算）
例 3：计算\((\sqrt{20} - \sqrt{\frac{1}{5}}) - (\sqrt{\frac{1}{45}} + \sqrt{5})\)
解答步骤：
去括号：\(\sqrt{20} - \sqrt{\frac{1}{5}} - \sqrt{\frac{1}{45}} - \sqrt{5}\)；
化简：\(\sqrt{20} = 2\sqrt{5}\)，\(\sqrt{\frac{1}{5}} = \frac{\sqrt{5}}{5}\)，\(\sqrt{\frac{1}{45}} = \frac{\sqrt{5}}{15}\)，\(\sqrt{5}\)为最简；
合并：\(2\sqrt{5} - \frac{\sqrt{5}}{5} - \frac{\sqrt{5}}{15} - \sqrt{5}\)
通分计算系数：\(2 - \frac{1}{5} - \frac{1}{15} - 1 = (2 - 1) - (\frac{3}{15} + \frac{1}{15}) = 1 - \frac{4}{15} = \frac{11}{15}\)；
结果：\(\frac{11}{15}\sqrt{5}\)。
幻灯片 7：二次根式加减运算的应用（实际问题）
例：如图，一个直角三角形的两条直角边分别为\(\sqrt{48}\)cm 和\(\sqrt{12}\)cm，求它的周长（斜边长度用勾股定理计算）。
解答步骤：
求斜边长度：
由勾股定理，斜边\(c = \sqrt{(\sqrt{48})^2 + (\sqrt{12})^2} = \sqrt{48 + 12} = \sqrt{60} = 2\sqrt{15}\)（cm）；
化简各边长度：
直角边 1：\(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)（cm），直角边 2：\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)（cm），斜边：\(2\sqrt{15}\)（cm）；
计算周长（加减运算）：
周长 = \(4\sqrt{3} + 2\sqrt{3} + 2\sqrt{15} = (4 + 2)\sqrt{3} + 2\sqrt{15} = 6\sqrt{3} + 2\sqrt{15}\)（cm）（\(\sqrt{3}\)与\(\sqrt{15}\)非同类，保留原式）。
答：三角形的周长为\((6\sqrt{3} + 2\sqrt{15})\)cm。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
化简下列二次根式：
（1）\(\sqrt{20}\)；（2）\(\sqrt{\frac{3}{2}}\)；（3）\(\sqrt{(x - 2)^2}\)（\(x < 2\)）。
判断下列各组是否为同类二次根式：
（1）\(\sqrt{18}\)与\(\sqrt{50}\)；（2）\(\sqrt{27}\)与\(\sqrt{\frac{1}{3}}\)；（3）\(\sqrt{4a}\)与\(\sqrt{a}\)（\(a \geq 0\)）。
计算下列加减运算：
（1）\(\sqrt{32} + \sqrt{18} - \sqrt{8}\)；（2）\(\sqrt{\frac{1}{2}} - \sqrt{8} + \sqrt{18}\)。
提升题
计算：\((\sqrt{45} - \sqrt{\frac{1}{5}}) + (\sqrt{\frac{1}{20}} - \sqrt{5})\)。
已知一个等腰三角形的腰长为\(\sqrt{75}\)cm，底边长为\(\sqrt{12}\)cm，求它的周长。
拓展题
若\(x = \sqrt{3} + \sqrt{2}\)，\(y = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)，求\((x + y) - (x - y)\)的值（先化简表达式，再代入计算）。
幻灯片 9：易错点深度剖析
同类二次根式判断忽略 “先化简”：
错误案例：认为\(\sqrt{12}\)与\(\sqrt{27}\)不是同类二次根式（未化简，直接看被开方数 12 和 27 不同，实际化简后均为\(\sqrt{3}\)的倍数）。
规避方法：判断前必须将所有二次根式化为最简，再对比被开方数，不能直接用原被开方数判断。
合并时系数计算错误（含分数或负数）：
错误案例：计算\(2\sqrt{2} - \frac{1}{2}\sqrt{2}\)时，错得\(\frac{3}{2}\)（漏写\(\sqrt{2}\)，正确应为\(\frac{3}{2}\sqrt{2}\)）；计算\(\sqrt{3} - 2\sqrt{3}\)时，错得\(-3\sqrt{3}\)（系数计算错误，正确应为\(-\sqrt{3}\)）。
规避方法：合并时明确 “系数相加，被开方数不变”，系数为分数时通分计算，系数为负数时注意符号，结果需保留被开方数（除非系数为 0）。
化简\(\sqrt{a^2}\)时忽略分类讨论：
错误案例：化简\(\sqrt{(x - 1)^2}\)时，直接得\(x - 1\)（未考虑\(x < 1\)的情况，此时应为\(1 - x\)）。
规避方法：遇到\(\sqrt{a^2}\)时，先判断\(a\)的正负性（或是否给出取值范围），再根据\(\sqrt{a^2} = |a|\)分类化简，避免默认\(a\)为正数导致错误。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
二次根式性质：非负性（多非负和为 0 则各为 0）、\(\sqrt{a^2} = |a|\)（分类化简）、最简二次根式（两步化简：去分母、开尽方）；
同类二次根式：最简后被开方数相同，与系数无关；
加减运算：化简→判断→合并（同类系数相加，非同类保留）。
方法提炼：
化简 “两步法”：先去分母（有理化），再开尽方（拆因数）；
加减 “三步骤”：化简所有根式→筛选同类根式→系数合并（被开方数不变）；
复杂问题 “拆分法”：含括号先去括号，含实际场景先转化为数学表达式，再按步骤运算。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（二次根式性质与加减运算相关题目）。
拓展练习：
（1）化简并计算：\(\sqrt{12} + \sqrt{\frac{1}{3}} - \sqrt{27} + \sqrt{\frac{1}{27}}\)；
（2）已知\(a = \sqrt{5} - 2\)，(b =
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.2二次根式的性质与加减运算
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
下面来看某运动员在里约奥运会赛后的采访视频，注意前方高能表情包.
通过表情来辨别人物，最重要的是根据个人的面部特征，那么数学的特征是什么呢？
“数学根本上是玩概念的，不是玩技巧，技巧不足道也.”
----中科院数学与系统科学研究院
李邦河
复习引入
问题1 什么叫做平方根
一般地，如果一个数的平方等于 a，那么这个数叫做 a 的平方根.
问题2 什么叫做算术平方根 怎么表示它？
如果 x2 = a（x≥0），那么 x 称为 a 的算术平方根，用 表示.
问题3 什么数有平方根
我们知道，负数没有平方根. 因此，在实数范围内开平方时，被开方数只能是非负数.
思考 用带根号的式子填空，这些结果有什么特点？
(1)如图 的海报为正方形，若面积为2 m2，则边长为_____m；若面积为 S m2，则边长为_____m．
(2)如图 的海报为长方形，若长是宽的 2 倍，面积为 6 m2，则它的宽为_____m．
图
图
(3) 一个物体从高处自由落下，落到地面所用的时间 t（单位：s）与开始落下的高度 h（单位：m）满足关系 h =5t2，如果用含有 h 的式子表示 t，那么 t 为 ．
_____
问题1 这些式子分别表示什么意义？
分别表示 2，S，3， 的算术平方根．
上面问题中，得到的结果分别是： ， ， ， ．
① 都含有开方运算；
② 被开方数为非负数.
问题2 这些式子有什么共同特征？
二次根式的概念及有意义的条件
归纳总结
一般地，我们把形如 的式子叫做二次根式. “ a ”叫做被开方数.
注意：a 可以是数，也可以是式子.
两个必备特征
① 外形特征：含有“ ”
② 内在特征：被开方数 a≥0
例1 下列各式中，哪些是二次根式？哪些不是？
解：
(1)(4)(6)均是二次根式，其中 a2 + 1 属于“非负数+正数”的形式，一定大于零. (2)(3)(5)(7)均不是二次根式.
是否为二次根号
被开方数是不是非负数
二次根式
不是二次根式
是
是
否
否
分析：
典例精析
例2 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义
解：由 x - 2≥0，得
x≥2.
当 x≥2 时， 在实数范围内有意义.
【变式题1】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：由题意得 x - 1＞0，
∴ x＞1.
解：∵ 被开方数需大于或等于零，
∴ 3 + x≥0，∴ x≥-3.
∵ 分母不能等于零，
∴ x - 1 ≠ 0，∴ x ≠ 1.
∴ x≥-3 且 x ≠ 1.
要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方式≥0，列不等式求解即可. 若式子含分式，应同时考虑分母不为零.
归纳
【变式题2】当 x 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义？
解：(1)∵无论 x 为何实数，
∴当且仅当 x = 1 时， 在实数范围内有意义.
(2)∵无论 x 为何实数，-x2 - 2x - 3 = -(x + 1)2 - 2＜0，
∴无论 x 为何实数， 在实数范围内都无意义.
被开方式是多项式时，常常需要将多项式变形为完全平方式加(或减)常数项的形式，再研究其取值范围.
归纳
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新知讲解
《02》
(1)单个二次根式如 有意义的条件：A≥0；
(2)多个二次根式相加如 有意义的
条件：
(3)二次根式作为分母如 有意义的条件：A＞0；
(4)形如 的式子有意义的条件：A≥0 且 B ≠ 0.
归纳总结
1.下列各式： .
一定是二次根式的有 （ ）
A. 3 个 B. 4 个 C. 5 个 D. 6 个
B
2.(1)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的取值
范围是_______；
(2)若式子 在实数范围内有意义，则 x 的
取值范围是____________.
x ≥1
x≥0且 x ≠ 2
练一练
问题1 当 x 是怎样的实数时， 在实数范围内有意义？ 呢？
前者 x 为全体实数，后者 x 为非负数.
当 a＞0 时， 表示 a 的算术平方根，因此 ＞0；当 a = 0时， 表示 0 的算术平方根，因此 = 0. 这就是说，当 a≥0 时， ≥0.
问题2 二次根式 的被开方数 a 的取值范围是什么？它本身的取值范围又是什么？
二次根式的双重非负性
二次根式的实质是表示一个非负数（或式）的算术平方根.对于任意一个二次根式 ，我们知道：
（1）a 为被开方数或式，为保证其有意义，必有 a≥0；
（2） 表示一个数或式的算术平方根，故 ≥0.
二次根式的被开方数或被开方式非负
二次根式的值非负
二次根式的双重非负性
归纳总结
例3 若 ，求 a - b + c 的值.
解：
由题意可知 a - 2 = 0，b - 3 = 0，c - 4 = 0，
解得 a = 2，b = 3，c = 4.
所以 a - b + c = 2 - 3 + 4 = 3.
多个非负式的和为零，则可得每个非负式均为零.初中阶段学过的非负式主要有绝对值式、偶次幂式及二次根式.
归纳
典例精析
例4 已知 y = ，求 3x + 2y 的算术平方根.
解：由题意得
∴ x = 3．∴ y = 8．
∴ 3x + 2y = 3×3 + 2×8 = 25．
∵ 25 的算术平方根为 5，
∴ 3x + 2y 的算术平方根为 5．
【变式题】已知 a，b 为等腰三角形的两条边长，且 a，b 满足 ，求此三角形的周长．
解：由题意得
∴ a = 3. ∴ b = 4.
当 a 为腰长时，三角形的周长为 3 + 3 + 4 = 10；
当 b 为腰长时，三角形的周长为 4 + 4 + 3 = 11．
若 ，则根据被开方式大于或等于 0，可得 a = 0，y = b.
归纳
已知 |3x - 3| 和 互为相反数，求 x + 4y 的平方根.
解：由题意得 3x - 3 = 0 且 2y - 4 = 0，
解得 x = 1，y = 2.
∴ x + 4y = 1 + 4×2 = 9.
∴ x + 4y 的平方根为±3.
练一练
（1）
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ；
＝ ，
＝ ．
6
6
20
20
填一填
有何发现？
二次根式的性质及化简
＝ ，
6.480
＝　 　；
（2）用计算器计算：
＝ ，
＝　 　 ．
6.480
0.9255
0.9255
有何发现？
要点归纳
（a≥0，b≥0）
.
（a≥0，b＞0）．
商的算术平方根等于算术平方根的商：
积的算术平方根等于算术平方根的积：
例5 化简：
解：(1)
(2)
(3)
（1） ； （2） ； （3） .
最简二次根式：
　　一般地，被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式.
要点归纳
例6 化简：
解：
例7 化简：
解：①
最简二次根式的条件：
① 是二次根式；
② 被开方数中不含分母；
③ 被开方数中不含能开得尽方的因数或因式．
要点归纳
2.式子 有意义的条件是（ ）
A. x＞2 B. x≥2 C. x＜2 D. x≤2
3.若 是整数，则自然数 n 的值有（ ）
A. 7 个 B. 8 个 C. 9 个 D. 10 个
D
1. 下列式子中，不属于二次根式的是（ ）
C
A
4. 当_____________时， 在实数范围内有意义.
解析：要在实数范围内有意义，必须同时满足被开方数 x + 3≥0 和分母 x + 1 ≠ 0，解得 x≥-3 且 x ≠ -1.
方法总结：使一个式子有意义的未知数的取值范围通常要考虑三种情况：一是分母不为零，二是偶次方根的被开方数是非负数，三是零次幂的底数不为零．
x≥-3且x ≠ -1
5. 当 a 是怎样的实数时，下列各式在实数范围内有意义
6. (1) 若式子 有意义，求 m 的取值范围；
解：由题意得 m - 2≥0 且 m2 - 4 ≠ 0，
解得 m≥2，且 m ≠ -2，且m ≠ 2，
∴ m＞2.
(2) 无论 x 取任何实数，代数式 都有意义，求 m 的取值范围．
解：由题意得 x2 + 6x + m≥0 对任意实数 x 恒成立，
即 (x + 3)2 + m - 9≥0 对任意实数 x 恒成立.
∵ (x + 3)2≥0，∴ m - 9≥0，即 m≥9.
7. 若 x，y 是实数，且 y＜ ，求 的值.
解：根据题意得
∴ x = 1.
∵ y＜ ，
∴ y＜ .
∴ .
知识点1 二次根式的性质
1.计算：
（1）=____×____ ____；
[答案] 16; 9; 4; 3; 12
（2） 。
[答案] 25; 64; 5; 8
返回
2.下列式子正确的是( )
C
A.
B.
C.
D.
返回
3.化简：
（1） ；
解：原式 。
（2） ；
解：原式 。
（3） 。
解：原式 。
返回
知识点2 最简二次根式
4.［2025邵阳月考］下列二次根式中，是最简二次根式的是( )
D
A. B. C. D.
返回
5. 若是最简二次根式，则 的值可以是________
_______________。
5（答案不唯一）
返回
6.把下列二次根式化成最简二次根式：
（1） ；
解：原式 。
（2） ;
解：原式 。
（3） ；
解：原式 。
（4） ；
解：原式 。
（5） ；
解：原式 。
（6） 。
解：原式 。
返回
二次根式
定义
带有二次根号
在有意义条件下求字母的取值范围
抓住被开方数必须为非负数，从而建立不等式求出其解集.
被开方数为非负数
二次根式的双重非负性
二次根式 中,a≥0且 ≥0
最简二次根式
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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