资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.3.3 二次根式的混合运算
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
类比整式混合运算，理解二次根式混合运算的顺序（先乘方、再乘除、最后加减，有括号先算括号内）。
掌握二次根式乘除、加减及混合运算的方法，能准确进行简单的混合运算（如\(\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{8} ·\sqrt{2}\)）。
熟练运用分母有理化化简含分母的二次根式，提升运算的准确性与规范性。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
二次根式的性质：\(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)（\(a 0\)，\(b 0\)），\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)（\(a 0\)，\(b>0\)）；
同类二次根式：被开方数相同的最简二次根式（如\(\sqrt{2}\)与\(3\sqrt{2}\)），只有同类二次根式可合并；
整式混合运算顺序：先乘方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内（小括号→中括号→大括号）。
情境导入：
问题：计算代数式\(2 3 + 4 ·2 - 5\)，我们会按 “先乘除后加减” 的顺序计算。若将数字换成二次根式，如\(\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{8} ·\sqrt{2} - \sqrt{3}\)，该按什么顺序计算？如何合并结果？
提问引导：
二次根式的混合运算顺序与整式是否一致？
计算中遇到非最简二次根式或分母含二次根式时，该如何处理？
幻灯片 4：二次根式混合运算的核心规则
1. 运算顺序（与整式混合运算一致）
先算乘方：计算二次根式的乘方（如\((\sqrt{a})^2 = a\)，\((2\sqrt{3})^2 = 4 3 = 12\)）；
再算乘除：按二次根式乘除法则计算（\(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)，\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\frac{a}{b}}\)），结果化为最简二次根式；
最后算加减：合并同类二次根式（非同类二次根式不能合并，如\(\sqrt{2}\)与\(\sqrt{3}\)无法合并）；
有括号优先：先算小括号内的运算，再算中括号，最后算大括号。
2. 关键步骤补充
化简优先：所有二次根式需先化为最简二次根式（被开方数不含分母、不含能开得尽方的因数），再进行后续运算；
分母有理化：若运算结果分母含二次根式，需通过 “分子分母同乘分母的有理化因式” 消去分母（如\(\frac{1}{\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} \sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}}{2}\)）。
幻灯片 5：例题讲解 1—— 乘除与加减混合运算
例 1：计算\(\sqrt{2} \sqrt{6} + \sqrt{8} ·\sqrt{2} - \sqrt{12}\)
解答步骤：
先算乘除：
乘法：\(\sqrt{2} \sqrt{6} = \sqrt{2 6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)（化为最简二次根式）；
除法：\(\sqrt{8} ·\sqrt{2} = \sqrt{8 ·2} = \sqrt{4} = 2\)（结果为整数，无需化简）；
再算加减：
整理乘除结果：\(2\sqrt{3} + 2 - \sqrt{12}\)；
化简剩余二次根式：\(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)；
合并同类二次根式：\(2\sqrt{3} + 2 - 2\sqrt{3} = 2\)（\(2\sqrt{3}\)与\(-2\sqrt{3}\)抵消）。
最终结果：\(2\)
例 2：计算\((\sqrt{18} - \sqrt{8}) \sqrt{2}\)
解答步骤：
先算括号内（加减）：
化简二次根式：\(\sqrt{18} = 3\sqrt{2}\)，\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)；
合并同类二次根式：\(3\sqrt{2} - 2\sqrt{2} = \sqrt{2}\)；
再算括号外（乘法）：
\(\sqrt{2} \sqrt{2} = \sqrt{4} = 2\)（或直接用\((\sqrt{2})^2 = 2\)）。
最终结果：\(2\)（也可用乘法分配律：\(\sqrt{18} \sqrt{2} - \sqrt{8} \sqrt{2} = \sqrt{36} - \sqrt{16} = 6 - 4 = 2\)，结果一致）
幻灯片 6：例题讲解 2—— 含分母有理化的混合运算
例 3：计算\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} + \frac{1}{\sqrt{2} - 1}\)
解答步骤：
先算乘除（第一项除法）：
\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}} = \sqrt{\frac{12}{3}} = \sqrt{4} = 2\)；
处理分母含二次根式的项（第二项）：
分母有理化：有理化因式为\(\sqrt{2} + 1\)（与\(\sqrt{2} - 1\)相乘得\((\sqrt{2})^2 - 1^2 = 2 - 1 = 1\)）；
化简：\(\frac{1}{\sqrt{2} - 1} = \frac{1 (\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} = \frac{\sqrt{2} + 1}{1} = \sqrt{2} + 1\)；
最后算加减：
\(2 + \sqrt{2} + 1 = 3 + \sqrt{2}\)（非同类项保留原式）。
最终结果：\(3 + \sqrt{2}\)
例 4：计算\((\sqrt{3} + 2)^2 - (\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2})\)
解答步骤：
先算乘方与乘法（平方差公式）：
完全平方公式：\((\sqrt{3} + 2)^2 = (\sqrt{3})^2 + 2 \sqrt{3} 2 + 2^2 = 3 + 4\sqrt{3} + 4 = 7 + 4\sqrt{3}\)；
平方差公式：\((\sqrt{5} - \sqrt{2})(\sqrt{5} + \sqrt{2}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{2})^2 = 5 - 2 = 3\)；
再算减法：
\(7 + 4\sqrt{3} - 3 = 4 + 4\sqrt{3}\)（合并常数项，保留二次根式）。
最终结果：\(4 + 4\sqrt{3}\)
幻灯片 7：例题讲解 3—— 含多重括号的混合运算
例 5：计算\(\sqrt{2} [\sqrt{8} - (\sqrt{3} + \sqrt{6}) ·\sqrt{3}]\)
解答步骤：
先算小括号内的除法：
\((\sqrt{3} + \sqrt{6}) ·\sqrt{3} = \frac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = 1 + \sqrt{2}\)（分配律简化计算）；
再算中括号内的减法：
化简\(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)；
\(2\sqrt{2} - (1 + \sqrt{2}) = 2\sqrt{2} - 1 - \sqrt{2} = \sqrt{2} - 1\)（去括号，合并同类二次根式）；
最后算括号外的乘法：
\(\sqrt{2} (\sqrt{2} - 1) = \sqrt{2} \sqrt{2} - \sqrt{2} 1 = 2 - \sqrt{2}\)。
最终结果：\(2 - \sqrt{2}\)
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
计算下列各式：
（1）\(\sqrt{6} \sqrt{3} - \sqrt{8} ·\sqrt{2}\)；
（2）\((\sqrt{12} + \sqrt{3}) - \sqrt{27}\)；
（3）\(\frac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} + \sqrt{45}\)。
提升题
计算下列各式（含分母有理化）：
（1）\(\frac{1}{\sqrt{3}} \sqrt{12} + \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{2}}\)；
（2）\((\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1) + \sqrt{18} ·\sqrt{2}\)；
（3）\(\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} - \sqrt{8}\)。
拓展题
计算下列各式（含多重括号）：
（1）\(\sqrt{3} [\sqrt{12} - (\sqrt{6} - \sqrt{3})]\)；
（2）\((\sqrt{5} + \sqrt{2})^2 - \sqrt{40} ·\sqrt{5}\)。
幻灯片 9：易错点深度剖析
运算顺序混乱，先算加减后算乘除：
错误案例：计算\(\sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{6}\)时，错算为\(\sqrt{2} (\sqrt{3} + \sqrt{6}) = \sqrt{2} \sqrt{3} + \sqrt{2} \sqrt{6} = \sqrt{6} + 2\sqrt{3}\)（忽略 “先乘除后加减”，错误添加括号）。
规避方法：计算前先标注运算符号，明确 “乘除” 与 “加减” 的优先级，严格按 “先乘方→乘除→加减” 的顺序计算，无括号时不随意改变运算顺序。
未化简二次根式直接合并，或混淆同类二次根式：
错误案例：计算\(\sqrt{8} + \sqrt{18}\)时，错得\(\sqrt{26}\)（未化简，正确应为\(2\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 5\sqrt{2}\)）；合并\(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)时，错得\(\sqrt{5}\)（非同类二次根式，无法合并）。
规避方法：所有二次根式先化为最简形式（被开方数最简），再判断是否为同类二次根式（被开方数相同），只有同类项才能合并，合并时系数相加，被开方数不变。
分母有理化时，有理化因式选择错误或漏乘：
错误案例：化简\(\frac{1}{\sqrt{3} + \sqrt{2}}\)时，错乘\(\sqrt{3} - \sqrt{2}\)却只乘分子（正确应为分子分母同乘，得\(\frac{\sqrt{3} - \sqrt{2}}{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2} = \sqrt{3} - \sqrt{2}\)）。
规避方法：牢记 “有理化因式” 的选择（如\(\sqrt{a} + \sqrt{b}\)的有理化因式为\(\sqrt{a} - \sqrt{b}\)），分母有理化时需保证 “分子分母同乘同一个因式”，确保分式值不变。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
运算顺序：先乘方→再乘除→最后加减，有括号先算括号内（与整式一致）；
关键步骤：化简二次根式→进行乘除 / 乘方运算→合并同类二次根式→分母有理化（若需）；
公式应用：灵活运用二次根式性质（\(\sqrt{a} \sqrt{b} = \sqrt{ab}\)）、完全平方公式、平方差公式简化计算。
方法提炼：
混合运算 “四步走”：① 标顺序（标注乘方、乘除、加减）；② 先化简（所有二次根式化为最简）；③ 分步算（按顺序逐步计算）；④ 验结果（检查是否为最简，分母是否含二次根式）；
复杂运算 “拆括号”：含多重括号时，从内到外逐步拆解，每步只处理一种运算，避免一步到位导致错误。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（二次根式混合运算相关题目）。
拓展练习：
（1）计算：\(\sqrt{18} ·\sqrt{2} + (\sqrt{3} - 1)^2 - \sqrt{27}\)；
（2）化简并计算：\(\frac{\sqrt{6} - \sqrt{3}}{\sqrt{3}} + (\sqrt{2} + 1)(\sqrt{2} - 1)\)；
（3）已知\(x = \sqrt{3} + 1\)，求\(x^2 - 2x + 3\)的值（提示：先将式子变形为\((x - 1)^2 + 2\)，再代入计算）。
实践思考：对比二次根式混合运算与整式混合运算的异同，总结 3 个易混淆的运算细节，下节课分享。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.3.3二次根式的混合运算
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如果梯形的上、下底长分别为 cm，
cm，高为 cm，那么它的面积是多少？
问题1 单项式与多项式、多项式与多项式的乘法法则分别是什么
问题2 多项式与单项式的除法法则是什么
m(a + b + c) = ma + mb + mc，
(m + n)(a + b) = ma + mb + na + nb.
复习引入
(ma + mb + mc)÷m = a + b + c.
分配律
单×多
转化
前面两个问题的思路是：
思考 若把字母 a，b，c，m 都用二次根式代替(每个同学任选一组)，然后对比归纳，你们发现了什么？
单×单
二次根式的加、减、乘、除混合运算与整式运算一样，体现在：运算律、运算顺序、乘法法则仍然适用.
例1 计算：
解：
二次根式的混合运算
二次根式的混合运算，先要弄清运算种类，再确定运算顺序：先乘除，再加减，有括号的要先算括号内的，最后按照二次根式的相应的运算法则进行.
归纳
解：
此处类比“多项式×多项式”即(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab.
解：(1) 原式
(2) 原式
【变式题】计算：
有绝对值符号的，同括号一样，先去绝对值，注意去掉绝对值后，得到的数应该为正数.
归纳
例2 计算：
解：
（1）原式
（2）原式
解法一：
（3）
你还有其他解法吗？
解法二： 原式 =
解： 原式 =
思考：还可以继续化简吗？为什么？
如果算式当中有个别二次根式化为最简二次根式后，仍不能与其它最简二次根式合并，那么结果中可直接保留，不必再化.
提醒
问题：化简 ，其中 a = 3，b = 2. 你是怎么做的？
解法一：
把 a = 3，b = 2 代入式子中，
原式 =
解法二：
原式 =
把 a = 3，b = 2 代入式中，
原式
先代入后化简
先化简后代入
二次根式的化简求值
哪种更简便？
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
解二次根式化简求值题目时，直接代入求值往往很麻烦，一般应先化简所求式子，再用代入数字求值.
方法总结
例3 已知 ，求
分析：先化简已知条件，再利用乘法公式变形，即 a2 + b2 = (a + b)2 - 2ab，最后代值求解.
解：
已知 的整数部分是 a，小数部分是 b，求 a2 - b2 的值.
解：
练一练
思考：如图，图中小正方形的边长为 1，试求图中梯形 ABCD 的面积.你有哪些方法？
二次根式的应用
可把梯形 ABCD 分割成两个三角形和一个梯形，如图所示.
方法 1：分割法
S1
S2
S3
S梯形ABCD = S1 + S2 + S3
通过补图，可把梯形ABCD 变成一个大梯形，如图所示.
方法2：补图法
S1
S2
S梯形ABCD = S梯形ABEF－S1－S2
E
F
过点 D 作 AB 边的高 DE，如图所示.
方法3：直接法
S梯形ABCD
E
归纳：利用二次根式可以简单便捷的求出结果．
例4 教师节就要到了，小欣同学准备做两张大小不同的正方形贺卡送给老师以表示祝贺，其中一张面积为288 平方厘米，另一张面积为 338 平方厘米. 如果用彩带把贺卡镶边会更漂亮，她现在有 1.5 米的彩带，请你帮忙算一算她的彩带够不够用.
分析：可以通过两个正方形的面积分别计算出正方形的边长，进一步求出两个正方形的周长之和，与1.5 米比较即可得出结论.
解：贺卡的周长为
答：小欣的彩带够用.
本题是利用二次根式的混合运算来解决实际生活中的问题，解答本题的关键在于理解题意并列出算式.
方法总结
1. 下列计算中正确的是（ ）
B
2. 已知 试求 x2 + 2xy + y2 的值.
解：x2 + 2xy + y2 = (x + y)2.
把 代入上式得
原式=
解：
3. 计算：
（3）
4. 在一个边长为 cm 的正方形内部，挖去一个边长为 cm 的正方形，求剩余部分的面积.
解：由题意得
即剩余部分的面积是
5. (1) 已知 ，求 的值；
解：x2 - 2x - 3 = (x - 3)(x + 1)
(2)已知 ，求 的值.
解：
6. 阅读下列材料，然后回答问题：
在进行类似于二次根式 的运算时，通常有如下两种方法将其进一步化简：
方法一：
方法二：
能力提升：

(1)请用两种不同的方法化简：
(2)化简：
解：(1)
知识点 二次根式的混合运算
1.（1）计算 时，先算____法，再算____法，过程如下：
原式_________ _____；
（2）计算 时，先算____________，再算____法；也可
利用__________律，先算____法，再算____法，结果是___。
乘
加
括号里面的
乘
乘法分配
乘
减
2
返回
2.［2024威海中考］计算： _______。
返回
3.计算 的结果是( )
B
A. B.1 C. D.3
返回
4.计算 的结果是( )
C
A. B. C. D.
返回
5.下列各数中，与 的积不含二次根式的是( )
A
A. B. C. D.
返回
二次根式混合运算
乘法公式
化简求值
分母有理化
化简已知条件和所求式子
(a+b)(a－b)=a2－b2
(a+b)2=a2+2ab+b2
(a－b)2=a2－2ab+b2
(x+a)(x+b)=x2+(a+b)x+ab
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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