资源简介

(共20张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：2.2.3 立方根
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解立方根的定义，能明确立方根与平方根的区别与联系。
掌握立方根的表示方法（三次根号表示），能准确读写一个数的立方根。
掌握立方根的性质（正数有正立方根、负数有负立方根、0 的立方根是 0），能进行简单的立方根计算，提升数系运算能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
平方根：若\(x^2 = a\)（\(a \geq 0\)），则\(x = \pm \sqrt{a}\)，正数有两个互为相反数的平方根，负数没有平方根；
立方运算：如\(2^3 = 8\)，\((-2)^3 = -8\)，\(0^3 = 0\)，立方运算的结果与原数符号一致（正数立方为正，负数立方为负，0 立方为 0）。
情境导入：
问题 1：要制作一个体积为 8 立方米的正方体木箱，需要确定木箱的棱长是多少米？
分析：设正方体棱长为\(x\)米，根据正方体体积公式 “体积 = 棱长 ”，得\(x^3 = 8\)，因\(2^3 = 8\)，故\(x = 2\)，即棱长为 2 米，2 就是 8 的 “立方根”。
问题 2：若正方体体积为 - 8 立方米（假设存在负体积模型），棱长\(x\)满足什么关系？\(x\)是多少？
分析：\(x^3 = -8\)，因\((-2)^3 = -8\)，故\(x = -2\)，-2 就是 - 8 的 “立方根”。
提问引导：
与平方根不同，负数是否有立方根？一个数的立方根有几个？
立方根的表示方法与平方根有何差异？
幻灯片 4：立方根的定义
1. 定义内容
一般地，如果一个数\(x\)的立方等于\(a\)，即\(x^3 = a\)，那么这个数\(x\)叫做\(a\)的立方根（也叫三次方根）。
关键词解析：
前提：\(a\)可以是任意实数（正数、负数、0），因为立方运算对任意实数都有意义，且结果唯一；
结果：\(x\)的符号与\(a\)一致（\(a > 0\)则\(x > 0\)，\(a < 0\)则\(x < 0\)，\(a = 0\)则\(x = 0\)），且一个数的立方根只有一个。
2. 与平方根的对比（核心差异）
对比维度
立方根
平方根
定义
若\(x^3 = a\)，则\(x\)是\(a\)的立方根
若\(x^2 = a\)（\(a \geq 0\)），则\(x\)是\(a\)的平方根
被开方数范围
任意实数（正数、负数、0）
非负数（\(a \geq 0\)），负数无平方根
结果数量
任意数都有且只有一个立方根
正数有 2 个，0 有 1 个，负数没有
符号特征
立方根与被开方数符号一致（\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)）
正数的两个平方根互为相反数
示例（\(a=8\)）
\(\sqrt[3]{8} = 2\)（仅 1 个）
\(\pm \sqrt{8} = \pm 2\sqrt{2}\)（2 个）
3. 定义应用示例
因\(3^3 = 27\)，故 27 的立方根是 3，记为\(\sqrt[3]{27} = 3\)；
因\((-4)^3 = -64\)，故 - 64 的立方根是 - 4，记为\(\sqrt[3]{-64} = -4\)；
因\(0.5^3 = 0.125\)，故 0.125 的立方根是 0.5，记为\(\sqrt[3]{0.125} = 0.5\)；
因\(0^3 = 0\)，故 0 的立方根是 0，记为\(\sqrt[3]{0} = 0\)；
因\((\frac{2}{3})^3 = \frac{8}{27}\)，故\(\frac{8}{27}\)的立方根是\(\frac{2}{3}\)，记为\(\sqrt[3]{\frac{8}{27}} = \frac{2}{3}\)。
幻灯片 5：立方根的表示方法与性质
1. 表示方法
一个数\(a\)的立方根记为\(\sqrt[3]{a}\)，读作 “三次根号\(a\)”，其中 “\(\sqrt[3]{\quad}\)” 是三次根号，“3” 是根指数（不可省略，与平方根的根指数 “2” 省略不同），\(a\)是被开方数（可任意实数）。
符号对应关系：
若\(x^3 = a\)，则\(x = \sqrt[3]{a}\)（唯一解）；
负数的立方根可转化为正数立方根的相反数：\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)（如\(\sqrt[3]{-8} = -\sqrt[3]{8} = -2\)）。
2. 核心性质
被开方数\(a\)的取值
立方根的情况
示例
\(a > 0\)（正数）
有一个正的立方根（\(\sqrt[3]{a} > 0\)）
\(a=64\)，\(\sqrt[3]{64} = 4\)
\(a < 0\)（负数）
有一个负的立方根（\(\sqrt[3]{a} < 0\)）
\(a=-27\)，\(\sqrt[3]{-27} = -3\)
\(a = 0\)
有一个立方根，就是 0 本身（\(\sqrt[3]{0} = 0\)）
\(\sqrt[3]{0} = 0\)
任意实数\(a\)
\((\sqrt[3]{a})^3 = a\)，\(\sqrt[3]{a^3} = a\)（立方与开立方互为逆运算）
\((\sqrt[3]{5})^3 = 5\)，\(\sqrt[3]{(-5)^3} = -5\)
3. 特殊数的立方根
立方根为本身的数：-1、0、1（因\((-1)^3 = -1\)，\(0^3 = 0\)，\(1^3 = 1\)）；
10 以内整数的立方及立方根：\(\sqrt[3]{1}=1\)、\(\sqrt[3]{8}=2\)、\(\sqrt[3]{27}=3\)、\(\sqrt[3]{64}=4\)、\(\sqrt[3]{125}=5\)等（可直接记忆，简化计算）。
幻灯片 6：例题讲解 1（立方根的计算与识别）
例 1：求下列各数的立方根：
（1）125；（2）-0.008；（3）\(\frac{27}{64}\)；（4）\(-\frac{1}{216}\)。
解答与分析：
（1）∵ \(5^3 = 125\)，∴ 125 的立方根是 5，记为\(\sqrt[3]{125} = 5\)；
（2）∵ \((-0.2)^3 = -0.008\)，∴ -0.008 的立方根是 - 0.2，记为\(\sqrt[3]{-0.008} = -0.2\)；
（3）∵ \((\frac{3}{4})^3 = \frac{27}{64}\)，∴ \(\frac{27}{64}\)的立方根是\(\frac{3}{4}\)，记为\(\sqrt[3]{\frac{27}{64}} = \frac{3}{4}\)；
（4）∵ \((-\frac{1}{6})^3 = -\frac{1}{216}\)，∴ \(-\frac{1}{216}\)的立方根是\(-\frac{1}{6}\)，记为\(\sqrt[3]{-\frac{1}{216}} = -\frac{1}{6}\)。
例 2：计算下列各式的值：
（1）\(\sqrt[3]{-27}\)；（2）\((\sqrt[3]{10})^3\)；（3）\(\sqrt[3]{(-6)^3}\)；（4）\(\sqrt[3]{1} + \sqrt[3]{-8}\)。
解答与分析：
（1）利用\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)，得\(\sqrt[3]{-27} = -\sqrt[3]{27} = -3\)；
（2）利用\((\sqrt[3]{a})^3 = a\)，得\((\sqrt[3]{10})^3 = 10\)；
（3）利用\(\sqrt[3]{a^3} = a\)，得\(\sqrt[3]{(-6)^3} = -6\)；
（4）分别计算立方根：\(\sqrt[3]{1} = 1\)，\(\sqrt[3]{-8} = -2\)，相加得\(1 + (-2) = -1\)。
幻灯片 7：例题讲解 2（立方根的性质应用）
例 3：若\(\sqrt[3]{x - 1} = 2\)，求\(x\)的值；若\(\sqrt[3]{y + 4} = -3\)，求\(y\)的值。
解答与分析：
（1）求\(x\)的值：
两边同时立方（立方与开立方互为逆运算）：\((\sqrt[3]{x - 1})^3 = 2^3\)；
化简得：\(x - 1 = 8\) → \(x = 8 + 1 = 9\)；
（2）求\(y\)的值：
两边同时立方：\((\sqrt[3]{y + 4})^3 = (-3)^3\)；
化简得：\(y + 4 = -27\) → \(y = -27 - 4 = -31\)。
答：\(x = 9\)，\(y = -31\)。
例 4：已知一个正方体的体积是另一个正方体体积的 8 倍，若较小正方体的棱长为 2cm，求较大正方体的棱长。
解答与分析：
第一步：求较小正方体的体积：\(V_{ ° } = 2^3 = 8\)（cm ）；
第二步：求较大正方体的体积：\(V_{ ¤§} = 8 V_{ ° } = 8 8 = 64\)（cm ）；
第三步：求较大正方体的棱长（体积的立方根）：
设棱长为\(x\)，则\(x^3 = 64\) → \(x = \sqrt[3]{64} = 4\)（cm）。
答：较大正方体的棱长为 4cm。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
求下列各数的立方根：
（1）216；（2）-1；（3）0.125；（4）\(-\frac{8}{125}\)。
计算下列各式：
（1）\(\sqrt[3]{-64}\)；（2）\((\sqrt[3]{7})^3\)；（3）\(\sqrt[3]{27} - \sqrt[3]{-1}\)；（4）\(\sqrt[3]{(-4)^3}\)。
提升题
若\(\sqrt[3]{2x + 5} = 3\)，求\(x\)的值；若\(\sqrt[3]{3y - 2} = -2\)，求\(y\)的值。
已知正方体的体积为\(1000\)cm ，求正方体的表面积（提示：先求棱长，再算表面积）。
拓展题
已知\(x = \sqrt[3]{2} - 1\)，求\((x + 1)^3\)的值；已知\(y = \sqrt[3]{a}\)，求\(y^3 + a\)的值。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆立方根与平方根的表示方法（根指数省略错误）：
错误案例：将 “\(\sqrt[3]{8}\)” 写成 “\(\sqrt{8}\)”（忽略立方根的根指数 “3”，误写为平方根）；将 “\(\sqrt[3]{-8}\)” 计算为 “\(\pm 2\)”（混淆立方根与平方根的结果数量，立方根只有 1 个）。
规避方法：牢记 “立方根带根指数 3，平方根根指数 2 可省略”，计算前先看根指数，根指数为 3 则是立方根（结果唯一，符号与被开方数一致），根指数为 2 或省略则是平方根（正数有两个根）。
负数的立方根计算错误（符号判断失误）：
错误案例：认为 “\(\sqrt[3]{-27}\)无意义”（负数有立方根，正确应为 - 3）；计算 “\(\sqrt[3]{-125}\)” 得 5（符号错误，正确应为 - 5）。
规避方法：记住 “立方根符号与被开方数一致”，负数的立方根是负数，可先求正数的立方根，再添负号（如\(\sqrt[3]{-a} = -\sqrt[3]{a}\)），避免符号混淆。
应用立方根性质时，逆运算步骤遗漏：
错误案例：例 3 中，由\(\sqrt[3]{x - 1} = 2\)直接得\(x - 1 = 2\)（遗漏 “两边立方” 的逆运算步骤，正确应为\(x - 1 = 2^3 = 8\)）。
规避方法：已知立方根求被开方数时，必须通过 “立方” 逆运算（两边同时立方）消去三次根号，不可直接去掉根号等式不变，确保运算逻辑正确。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
定义：若\(x^3 = a\)，则\(x = \sqrt[3]{a}\)，任意数都有唯一立方根，符号与被开方数一致；
与平方根的区别：被开方数范围（任意数 vs 非负数）、结果数量（1 个 vs2 个 / 0 个）、符号特征（同号 vs 相反数）；
性质：(\sqrt [3]{-a}
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.4 估算
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
某地开辟了一块长方形荒地，新建一个以环保为主题的公园. 已知这块荒地的长是宽的 2 倍，它的面积为 400000 m2.
(1) 公园的宽有 1000 m 吗？
1000
2000
S = 400000
解：∵ 2000×1000 = 2000000＞400000，
∴ 公园的宽没有 1 000 m.
(2) 如果要求误差小于 10 米，它的宽大约是多少？
x
2x
S = 400000
x 2x = 400000，
2x2 = 400000，
x2 = 200000，
x =
大约是多少呢？
解：设公园的宽为 x 米.
问题：下列结果正确吗？你是怎样判断的？
通过“精确计算”可比较两个数的大小关系.
估算的基本方法
通过“估算”也可比较
两个数的大小关系.
估算无理数大小的方法：
(1)利用乘方与开方互为逆运算来确定无理数的整数部分；
(2)根据所要求的误差确定小数部分.
要点归纳
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学校标志
新知讲解
《02》
∴ 的值约是 3.5 或 3.6.
例1 怎样估算无理数 (误差小于 0.1)？
的整数部分是3.
典例精析
按要求估算下列无理数：
解：
练一练
例2 生活经验表明，靠墙摆放梯子时，若梯子底端离墙的距离约为梯子长度的 ，则梯子比较稳定.现有一长为 6 m 的梯子，当梯子稳定摆放时，它的顶端能达到 5.6 m 高的墙头吗
解：设梯子稳定摆放时的高度为 x m，此时梯子底端离墙的距离恰为梯子长度的 ，根据勾股定理
6
所以梯子稳定摆放时，它的顶端能够达到 5.6 m 高的墙头.
例3 通过估算，比较 与 的大小.
解：
用估算法比较数的大小
方法归纳
两个带根号的无理数比较大小的结论：
1.
2.
3. 若 a，b 都为正数，则
方法归纳
对于含根号的数比较大小，一般可采取下列方法：
1. 先估算含根号的数的近似值，再和另一个数进行比较；
2. 当符号相同时，把不含根号的数平方，和被开方数比较，本方法的实质是比较被开方数，被开方数越大，其算术平方根越大；
3. 若同分母或同分子的，可比较它们的分子或分母的大小.
1. 通过估算，比较下面各组数的大小：
2. 一个人一生平均要饮用的液体总量大约为 40 m3. 如果用一圆柱形的容器（底面直径等于高）来装这些液体，这个容器大约有多高？（结果精确到 1 m）
解：设圆柱的高为 x m，那么它的底面半径为 0.5x m，
则
3. 小丽想用一块面积为 400 cm2 的正方形纸片，沿着边的方向裁出一块面积为 300 cm2 的长方形纸片，使它的长宽之比为 3∶2. 她不知能否裁得出来，正在发愁. 小明见了说：“别发愁，一定能用一块面积大的纸片裁出一块面积小的纸片.”你同意小明的说法吗？小丽能用这块纸片裁出符合要求的纸片吗？
解：由题意知正方形纸片的边长为 20 cm.
设长方形纸片的长为 3x cm，则宽为 2x cm.则有
就是3×
∴ 小丽不能裁出符合要求的纸片.
估算
估算的基本方法
估算在生活中的应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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