资源简介

(共41张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：3.2.1 平面直角坐标系
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解平面直角坐标系的定义，能识别坐标系的组成要素（x 轴、y 轴、原点、单位长度）。
掌握平面内点的坐标表示方法（有序数对（x，y）），能根据点的位置写出坐标，或根据坐标描出点的位置。
理解坐标与平面内点的 “一一对应” 关系，体会 “数形结合” 思想，为后续学习坐标特征奠定基础。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
有序数对：用两个有顺序的数（a，b）表示位置，如教室座位（3，4）表示第 3 列第 4 行，顺序不同位置不同。
生活中用有序数对确定位置的场景：棋盘、电影院座位、方格纸等，均需统一规则（如列 / 行、排 / 号）。
情境导入：
问题 1：在方格纸上，我们用（列，行）表示点的位置，若去掉方格线，仅保留两条互相垂直的直线，能否仍用有序数对表示位置？
问题 2：如图，在平面内画两条互相垂直的直线，交点为 O，水平直线上标有 1、2、3…，垂直直线上标有 1、2、3…，如何用有序数对表示点 A、B 的位置？
提问引导：
这两条互相垂直的直线有什么作用？它们的交点和标注的数字分别代表什么？
如何用有序数对描述平面内任意一点的位置？
幻灯片 4：平面直角坐标系的定义与组成
1. 定义
在平面内，由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成的图形，叫做平面直角坐标系，简称直角坐标系。
2. 组成要素（四要素）
组成要素
定义与特征
表示与作用
x 轴（横轴）
水平放置的数轴，通常规定向右为正方向
表示点的 “横向位置”（左右距离），用数字标注单位长度
y 轴（纵轴）
垂直放置的数轴，通常规定向上为正方向
表示点的 “纵向位置”（上下距离），用数字标注单位长度
原点 O
x 轴与 y 轴的公共交点，是坐标的基准点
坐标为（0，0），是计算其他点坐标的参照
单位长度
x 轴和 y 轴上统一的 “1 个单位” 的长度（通常相同，特殊情况可不同）
确定点到坐标轴的距离，保证坐标的准确性
3. 坐标系的画法规范
画两条互相垂直的直线，分别标注 “x 轴（横轴）” 和 “y 轴（纵轴）”；
在 x 轴右侧、y 轴上方标注正方向（箭头）；
在两轴上选取合适的单位长度，均匀标注正整数（如 1、2、3…）和负整数（如 - 1、-2、-3…）；
标注原点 O，确保原点是两轴的交点。
幻灯片 5：平面内点的坐标表示
1. 坐标的定义
对于平面内任意一点 P，过点 P 作 x 轴的垂线，垂足对应的 x 轴上的数叫做点 P 的横坐标（记为 x）；过点 P 作 y 轴的垂线，垂足对应的 y 轴上的数叫做点 P 的纵坐标（记为 y）。
把横坐标 x 和纵坐标 y 组成的有序数对（x，y）叫做点 P 的坐标，记作 P（x，y），其中横坐标在前，纵坐标在后，顺序不可颠倒。
2. 坐标的确定步骤（以点 P 为例）
作垂线：过 P 分别作 x 轴、y 轴的垂线，得到两个垂足；
读数值：读取垂足在 x 轴上对应的数（横坐标 x）、在 y 轴上对应的数（纵坐标 y）；
写坐标：按 “横坐标在前，纵坐标在后” 的顺序，写成有序数对（x，y），即 P（x，y）。
3. 实例演示（确定点的坐标）
例 1：如图，在平面直角坐标系中，确定点 A、B、C、D 的坐标：
点 A：过 A 作 x 轴垂线，垂足为 2（x=2）；作 y 轴垂线，垂足为 3（y=3）→ A（2，3）；
点 B：过 B 作 x 轴垂线，垂足为 - 1（x=-1）；作 y 轴垂线，垂足为 2（y=2）→ B（-1，2）；
点 C：过 C 作 x 轴垂线，垂足为 - 3（x=-3）；作 y 轴垂线，垂足为 - 4（y=-4）→ C（-3，-4）；
点 D：过 D 作 x 轴垂线，垂足为 4（x=4）；作 y 轴垂线，垂足为 - 1（y=-1）→ D（4，-1）；
原点 O：x=0，y=0→ O（0，0）。
4. 根据坐标描点（以点 P（-2，3）为例）
找横坐标：在 x 轴上找到表示 - 2 的点，过该点作 x 轴的垂线（垂直于 x 轴的直线）；
找纵坐标：在 y 轴上找到表示 3 的点，过该点作 y 轴的垂线（垂直于 y 轴的直线）；
定交点：两条垂线的交点即为点 P（-2，3）的位置，在交点处标注 P（-2，3）。
幻灯片 6：坐标与点的 “一一对应” 关系
1. 对应关系
平面直角坐标系中，每一个点都有唯一的一组坐标（有序数对）与之对应；反过来，每一组有序数对都有唯一的一个点与之对应，即 “点” 与 “坐标” 是一一对应的关系。
示例：点（5，-2）对应平面内唯一的点，平面内任意一点（如教室墙角）也对应唯一的坐标。
2. 特殊位置点的坐标特征（初步）
（1）在 x 轴上的点：纵坐标为 0，如（3，0）、（-2，0）、（0，0）（原点）；
（2）在 y 轴上的点：横坐标为 0，如（0，4）、（0，-1）、（0，0）（原点）；
（3）原点：横、纵坐标均为 0，即（0，0），是 x 轴与 y 轴的唯一交点。
幻灯片 7：例题讲解 1—— 确定点的坐标与描点
例 1：如图，在平面直角坐标系中，写出图中点 E、F、G、H 的坐标，并描出点 M（1，-3）、N（-4，0）的位置。
解答与分析：
写坐标：
E：x=0，y=5→ E（0，5）（y 轴上）；
F：x=3，y=0→ F（3，0）（x 轴上）；
G：x=-2，y=-3→ G（-2，-3）；
H：x=5，y=4→ H（5，4）；
描点：
点 M（1，-3）：在 x 轴找 1，作垂线；y 轴找 - 3，作垂线，交点即为 M；
点 N（-4，0）：在 x 轴找 - 4，y=0，故 N 在 x 轴上，对应 - 4 的位置。
例 2：已知点 P（a，b），若 P 在 x 轴上，求 b 的值；若 P 在 y 轴上，求 a 的值；若 P 是原点，求 a、b 的值。
解答与分析：
x 轴上的点纵坐标为 0→ b=0；
y 轴上的点横坐标为 0→ a=0；
原点坐标为（0，0）→ a=0，b=0。
幻灯片 8：例题讲解 2—— 坐标在实际中的应用（方格纸与坐标系）
例 3：如图是某社区的平面示意图，以社区中心为原点，建立平面直角坐标系，x 轴向东，y 轴向北，单位长度为 100 米。
（1）写出超市、医院的坐标；
（2）若图书馆的坐标为（-2，3），在图中描出图书馆的位置，并说明它相对于社区中心的方向和距离。
解答与分析：
写坐标：
超市：向东 2 个单位（x=2），向北 1 个单位（y=1）→ 超市（2，1）（实际距离：x 方向 200 米，y 方向 100 米）；
医院：向西 3 个单位（x=-3），向南 2 个单位（y=-2）→ 医院（-3，-2）；
描点与说明：
图书馆（-2，3）：在 x 轴西 2 单位，y 轴北 3 单位，描出交点；
方向：西北方向（西偏北）；实际距离：x 方向 2×100=200 米，y 方向 3×100=300 米，直线距离可后续用勾股定理计算。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
填空：
（1）平面直角坐标系中，x 轴的正方向是______，y 轴的正方向是______，原点坐标是______；
（2）点（-5，7）的横坐标是______，纵坐标是______；点（0，-3）在______轴上，点（4，0）在______轴上。
在平面直角坐标系中，写出下列点的坐标：
（1）x 轴上到原点距离为 5 的点：；
（2）y 轴上到原点距离为 3 的点：；
（3）过点（2，0）作 y 轴的平行线，该直线上点的______坐标恒为 2。
提升题
已知点 A（m，n），若 A 在 x 轴上方、y 轴左侧，且 m=-2，n=4，求 A 的坐标，并判断 A 到 x 轴、y 轴的距离（提示：到 x 轴的距离是 | n|，到 y 轴的距离是 | m|）。
在方格纸中建立平面直角坐标系，以点（2，3）为原点，x 轴向右，y 轴向上，单位长度为 1，写出原方格纸中（5，6）、（0，1）在新坐标系中的坐标。
拓展题
如图，在平面直角坐标系中，点 P 从原点出发，先向右移动 3 个单位，再向上移动 2 个单位到达点 A；点 Q 从点 A 出发，向左移动 5 个单位，再向下移动 4 个单位到达点 B，求点 A、B 的坐标，并计算线段 OB 的长度（O 为原点）。
幻灯片 10：易错点深度剖析
混淆坐标的 “顺序”，横坐标与纵坐标颠倒：
错误案例：将点（3，-4）写成（-4，3）（颠倒横、纵坐标，实际对应不同位置）；描点（-2，5）时，在 x 轴找 5，y 轴找 - 2（正确应为 x 轴 - 2，y 轴 5）。
规避方法：牢记 “横坐标在前，纵坐标在后” 的规则，确定坐标时先读 x 轴（横向）数值，再读 y 轴（纵向）数值；描点时先找横坐标对应的垂线，再找纵坐标对应的垂线，顺序不可颠倒。
忽略坐标轴的 “正方向”，正负号判断错误：
错误案例：将 x 轴左侧的点横坐标写成正数（如点在 x 轴左侧 3 单位，错写 x=3，正确应为 x=-3）；y 轴下方的点纵坐标写成正数（如点在 y 轴下方 2 单位，错写 y=2，正确应为 y=-2）。
规避方法：确定坐标前先观察点在坐标轴的哪一侧 ——x 轴右侧为正，左侧为负；y 轴上方为正，下方为负，结合位置判断正负号，再读具体数值。
误解 “单位长度”，坐标与实际距离混淆：
错误案例：坐标系中单位长度为 2 厘米，点（2，3）错认为实际距离 x 方向 2 厘米、y 方向 3 厘米（正确应为 x 方向 2×2=4 厘米，y 方向 3×2=6 厘米）。
规避方法：明确坐标系的 “单位长度” 定义（1 个单位代表的实际长度），计算实际距离时需用坐标数值乘以单位长度，避免直接将坐标数值当作实际距离。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
平面直角坐标系：由 x 轴（横轴，右为正）、y 轴（纵轴，上为正）、原点（0，0）、单位长度组成；
点的坐标：（横坐标 x，纵坐标 y），横前纵后，一一对应；
特殊点：x 轴上 y=0，y 轴上 x=0，原点（0，0）。
方法提炼：
写坐标 “两步法”：过点作两轴垂线→读垂足数值→按（x，y）记录；
描点 “两步法”：找 x 轴数值作垂线→找 y 轴数值作垂线→定交点；
实际应用 “转化法”：将实际场景（如社区地图）转化为坐标系，用坐标表示位置，结合单位长度计算实际距离。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（平面直角坐标系相关题目）。
拓展练习：
（1）在平面直角坐标系中，画出点 A（-1，2）、B（3，-4）、C（0，5），连接 AB、BC、CA，判断△ABC 的形状（提示：计算边长或观察角度）；
（2）已知点 P（x，y）到 x 轴的距离为 4，到 y 轴的距离为 3，求点 P 的所有可能坐标。
实践作业：
（1）用坐标纸建立平面直角坐标系，以自己的书桌一角为原点，x 轴沿桌面长，y 轴沿桌面宽，单位长度为 10 厘米，写出桌面上书本、笔盒的坐标；
（2）查阅资料，了解平面直角坐标系的发明者（笛卡尔）及发明故事，下节课分享。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.1平面直角坐标系
第三章 位置与坐标
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
文字密码游戏：如图“家”字的位置记作 (1，9)， 请你破解密码：(3，3) (5，5) (2，7) (2，2) (1，8) (8，7)
(8，8).
9 家 个 和 怎 他 是 的 去 常
8 聪 到 饿 日 一 有 啊 ！ 哦
7 的 我 是 发 搞 可 了 明 在
6 确 小 大 北 京 你 才 批 不
5 年 没 定 妈 ， 爸 事 达 方
4 营 业 女 天 员 各 合 乎 经
3 由 于 嘿 毫 力 量 靠 孩 济
2 仍 真 击 歼 安 机 麻 生 世
1 然 往 亲 赌 东 门 密 棒 暗
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
密码是：“嘿，我真聪明！”
思考1 如图，数轴上的点 A、B 表示的数是什么？
表示数字 4 的点是哪个点？
0
1
2
3
4
-3
-2
-1
A
B
C
思考2 由思考1你发现数轴上的点与实数是什么关系？
①数轴上的每个点都对应一个实数(这个实数叫做这个
点在数轴上的坐标)；②反过来，知道数轴上的一个点的坐标，这个数在数轴上的位置就确定了.
A： -3 ； B：2.
点C
一
一一对应
平面直角坐标系
(1) 你是怎样确定各个景点位置的？
问题：如图是某城市旅游景点的示意图：
1.你是怎样确定各个旅游景点的位置的？
2.“大成殿”在“中心广场”的西、南各多少个小格？“碑林”在中心广场的东、北各多少格？
3.如果中心广场为（0，0），每小格为 1 个单位长度，你能表示出其他景点的位置么？
（3，1）
（－2，1）
（－2，－1）
（－1，－3）
（－4，－4）
小丽能根据小明的提示从左图中找出图书馆的位置吗？
周末小明和小丽约好一起去图书馆学习.小明告诉小丽，图书馆在中山北路西边 50 米，人民西路北边 30 米 的位置.
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
找一找
中山南路
人民东路
中山北路
人民西路
北
西
想一想
4.如果小明只说在“中山北路西边 50 米”，或只说在“人民西路北边 30 米”，你能找到吗？
1.小明是怎样描述图书馆的位置的？
2.小明可以省去“西边”和“北边”这几个字吗？
3.如果小明说图书馆在“中山北路西边、人民西路北边”，你能找到吗？
若将中山路与人民路看成两条互相垂直的数轴，十字路口为它们的公共原点，这样就形成了一个平面直角坐标系.
x
y
o
30
20
10
20
10
-10
-20
-30
-40
-20
-50
-10
-70
-60
-50
-40
-30
-80
（-50，
北
西
30）
人民路
中山路
3
1
4
2
5
-2
-4
-1
-3
O
y
在平面内，两条互相垂直且有公共原点重合的数轴组成平面直角坐标系.
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
竖直的数轴叫 y 轴或纵轴；y 轴取向上为正方向
水平的数轴叫 x 轴或横轴；x 轴取向右为正方向
x 轴与 y 轴的交点为平面直角坐标系的原点
x
O
练一练：下面四个图形中，是平面直角坐标系的是（ ）
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
y
x
x
y
（A）
3 2 1 -1 -2 -3
x
y
（B）
3
2
1
-1
-2
0
-3 -2 -1 1 2 3
3
2
1
-1
-2
-3
（C）
O
3
2
1
-1
-2
-3
-3 -2 -1 1 2 3
y
（D）
O
D
这样 P 点的横坐标是 -2，纵坐标是 3，规定把横坐标写在前，纵坐标写在后，记作：P(-2，3).
有序数对 (-2，3) 就叫做点 P 在平面直角坐标系中的坐标，简称点 P 的坐标.
-4 -3 -2 -1 O1 2 3
1
2
3
4
-1
-2
-3
-4
x
y
思考：如图的点 P 如何表示呢？
后由 P 点向 y 轴画垂线，垂足 N 在 y 轴上的坐标是 3，称为 P 点的纵坐标.
先由 P 点向 x 轴画垂线，垂足 M 在 x 轴上的坐标是 -2，称为 P 点的横坐标；
P
N
M
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
1
1
-1
-2
-3
-4
2
3
2
3
4
5
4
-1
-2
-3
-4
-5
O
A
（4，3）
x
y
1. 找出点 A 的坐标.
(1)过点 A 作 x 轴的垂线，垂足在 x 轴上对应的数是 4；
(2)过点 A 作 y 轴的垂线，垂足在 y 轴上对应的数是 3.
点 A 的坐标为（4，3）.
试一试
由坐标找点的方法：
(1)先找到表示横坐标
与纵坐标的点；
(2)然后过这两点分别作
x 轴与 y 轴的垂线；
(3)这两条垂线相交于点 A， 则点 A 就是坐标为A (3，-2)
x
O
1
2
3
-1
-2
-3
1
2
-1
-2
-3
y
2. 在平面直角坐标系中
找点 A (3，-2)
A
A
B
C
E
F
D
1
2
3
4
-1
-2
1
2
3
-1
-2
-3
【答案】
A（-2，0）
B（0，-3）
C（3，-3）
D（4，0）
E（3，3）
F（0，3）
y
O
x
典例精析
例1 写出下图中的多边形 ABCDEF 各个顶点的坐标.
在直角坐标系中描出下列各点：
A（4，3），
B（-2，3），
C（-4，-1），
D（2，-2）.
3
1
4
2
5
-2
-1
-3
O
1
2
3
4
5
-4
-3
-2
-1
x
y
·
B
·
A
·
D
·
C
练一练
注意：坐标轴上的点不属于任何一个象限.
在平面直角坐标系中，两条坐标轴（即横轴和纵轴）把平面分成如图所示的Ⅰ，Ⅱ ，Ⅲ，Ⅳ四个区域.
分别称为第一，二，三，四象限.
直角坐标系中点的坐标的特征
活动1 观察平面直角坐标系，填写各象限内的点的坐标的特征：
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的
符号
第一象限
第二象限
第三象限
第四象限
+
+
+
-
-
-
+
-
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
A
B
C
D
E
交流:不看平面直角坐标系，你能迅速说出 A(4，5)，B(-2，3)，C(-4，-1)，D(2.5，-2)，E(0，-4) 所在的位置吗？
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的
符号
在 x 轴的正半轴上
在 x 轴的负半轴上
在 y 轴的正半轴上
在 y 轴的负半轴上
0
+
+
-
-
0
0
0
A
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
E
活动2 观察直角坐标系，填写坐标轴上的点的坐标的特征：
交流：不看平面直角坐标系，你能迅速说出点 (4，5)，(-2，3)， (-4，-1)，(2.5，-2)，(0，-4) 所在的位置吗？你的方法又是什么？
思考：坐标平面上的点与有序实数对(坐标)是什么关系
类似数轴上的点与实数是一一对应的.我们可以得出：
①对于坐标平面上任意一点 M，都有唯一的一个有序实数(x，y) (即点 M 的坐标)和它对应；
②反过来，对于任意一对有序实数(x，y)，在坐标平面内都有唯一的一点 M (即坐标为(x，y)的点)和它对应.
也就是说，坐标平面内的点与有序实数对是一一对应的.
例2 在平面直角坐标系中，描出下列各点，并指出它们分别在哪个象限：A(5，4)，B(-3，4)，
C (-4 ，-1)，D(2，-4).
解：
如图，先在 x 轴上找到表示 5 的点，再在 y 轴上找出表示 4 的点，过这两个点分别作 x 轴，y 轴的垂线，垂线的交点就是点 A. 类似地，其他各点的位置如图所示.点 A 在第一象限，
点 B 在第二象限，点 C 在
第三象限，点 D 在第四象限.
(5，4)
(-3，4)
(-4 ，-1)
(2，-4)
例3 设点 M (a，b) 为平面直角坐标系中的点．
(1)当 a＞0，b＜0 时，点 M 位于第几象限？
(2)当 ab＞0 时，点 M 位于第几象限？
(3)当 a 为任意有理数，且 b＜0 时，点 M 位于什么位置？
解：(1)点 M 在第四象限.
(2)可能在第一象限 (a＞0，b＞0) 或者在第三象限
(a＜0，b＜0).
(3)可能在第三象限 (a＜0，b＜0 ) 或者第四象限
(a＞0，b＜0 ) 或者 y 轴负半轴上 (a = 0，b＜0)．
练一练
已在平面直角坐标系中，点 P(m，m－2) 在第一象限内，则 m 的取值范围是________．
解析：根据第一象限内点的坐标的符号特征，横坐标为正，纵坐标为正，可得关于 m 的一元一次不等式组 解得 m＞2.
m＞2
【方法总结】求点的坐标中字母的取值范围的方法：根据各个象限内点的坐标的符号特征，列出关于字母的不等式或不等式组，解不等式或不等式组即可求出相应字母的取值范围．
1. 如图，点 A 的坐标为 ( )
A. ( -2，3)
B. ( 2，-3)
C . ( -2，-3)
D . ( 2，3)
x
y
O
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
A
A
2.如图，点 A 的坐标为 ，
点 B 的坐标为 .
x
y
O
1
2
3
-3
-2
-1
1
2
-1
-2
A
B
(-2，0)
(0，-2)
A（3，6）
B（0，－8）
C（－7，－5）
D（－6，0）
E（－3.6，5）
F（5，－6）
G（0，0）
第一象限
第三象限
第二象限
第四象限
y 轴负半轴上
x 轴负半轴上
原点处
3.下列各点分别在坐标平面的什么位置上？
知识点1 平面直角坐标系及相关概念
1.下列平面直角坐标系的画法正确的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.如图所示，轴、 轴把平面直角坐标系分成四部分，则②是( )
A
A.第一象限 B.第二象限
C.第三象限 D.第四象限
返回
知识点2 点的坐标与平面内点的对应性
3.已知点在第一象限，并且它到轴的距离为1，到 轴的距离为2，则
点 的坐标为( )
B
A. B. C. D.
返回
4.如图，在平面直角坐标系中，有,,, 四
个点，点的坐标是______，点 的横坐标是
___，纵坐标是____，横坐标和纵坐标都是负
数的是点___，坐标是 的是点___，在
第____象限。
3
二
返回
5.下列说法正确的是( )
B
A.和 表示的位置相同
B.和 是表示不同位置的两个有序实数对
C.和 表示两个不同的位置
D.和 表示的位置一定不同
返回
6.［教材 操作·思考变式］ 在如图所示的平面直角坐标系中，把以下
各点描出来，并顺次连接点，，，，，， 。
，，，，， 。
解：如图所示。
返回
7.［教材例1变式］ 如图，给出格点三角形 （三角形的各个顶点
都在格点上）。
（1）写出 各顶点的坐标；
解：，， 。
（2）求出 的面积。
解： 。
返回
知识点3 由已知原点建立平面直角坐标系
8.如图，横、纵相邻格点间的距离均为1个单位长
度，有个圆经过，，，四个点，圆心为点 。
（1）若以点为坐标原点，所在直线为 轴，建
立平面直角坐标系，写出，，， 四个点的坐标；
解：如图所示，由图可知，，， 。
（2）若以点为坐标原点，所在直线为 轴，建立平面直角坐标系，
则，，， 四个点的坐标又是多少？
解：如图所示，由图可知，，， 。
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平面直角坐标系
构成：原点、坐标轴
点的坐标
定义与符号特征
点的坐标的确定
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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