资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：3.2.2 平面直角坐标系中点的坐标特征
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
明确平面直角坐标系中四个象限的划分，能准确判断点所在的象限。
掌握不同象限及坐标轴上点的横、纵坐标符号特征，能根据坐标确定点的位置。
理解平行于 x 轴、y 轴的直线上点的坐标特征，以及关于坐标轴、原点对称点的坐标关联（初步），提升数形结合能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
平面直角坐标系：由两条互相垂直且有公共原点 O 的数轴组成，水平数轴为 x 轴（横轴，向右为正方向），垂直数轴为 y 轴（纵轴，向上为正方向）。
点的坐标：任意一点 P 的坐标表示为（x，y），x 是点 P 到 y 轴的距离（横坐标），y 是点 P 到 x 轴的距离（纵坐标），原点 O 的坐标为（0，0）。
情境导入：
如图，在平面直角坐标系中，标记出点 A（2，3）、B（-1，2）、C（-3，-4）、D（4，-1）、E（0，5）、F（-2，0）。观察这些点的坐标，思考：
为什么点 A 和 B 不在同一区域？它们的坐标符号有什么不同？
点 E 和 F 的坐标中都有 0，它们的位置有什么特点？
提问引导：
平面直角坐标系被 x 轴和 y 轴分成了几个区域？每个区域内点的横、纵坐标符号有规律吗？
坐标轴上的点（如 E、F），横、纵坐标有什么特殊之处？
幻灯片 4：象限划分与各象限点的坐标特征
1. 象限划分
平面直角坐标系中，x 轴和 y 轴将平面分成四个部分，每个部分称为一个象限，按逆时针方向依次命名为第一象限、第二象限、第三象限、第四象限。
注意：x 轴和 y 轴不属于任何象限，它们是象限的分界线。
2. 各象限点的坐标特征（核心规律）
通过观察不同象限内点的坐标，总结符号规律：
象限
横坐标（x）符号
纵坐标（y）符号
示例点（坐标）
第一象限
正（+）
正（+）
A（2，3）、（5，1）
第二象限
负（-）
正（+）
B（-1，2）、（-3，4）
第三象限
负（-）
负（-）
C（-3，-4）、（-2，-5）
第四象限
正（+）
负（-）
D（4，-1）、（1，-2）
记忆口诀：“一正正，二负正，三负负，四正负”（按象限顺序，依次对应横、纵坐标符号）。
3. 示例应用
例 1：判断下列各点所在的象限：
（1）P（3，5）：x=3（+），y=5（+）→ 第一象限；
（2）Q（-2，4）：x=-2（-），y=4（+）→ 第二象限；
（3）M（-1，-3）：x=-1（-），y=-3（-）→ 第三象限；
（4）N（5，-2）：x=5（+），y=-2（-）→ 第四象限。
幻灯片 5：坐标轴上点的坐标特征
1. x 轴上的点
特征：纵坐标为 0（y=0），横坐标为任意实数（x 为 +、- 或 0）。
表示形式：（x，0），如 E（-2，0）、F（3，0）、原点 O（0，0）。
细分：
x 轴正半轴上的点：x>0，y=0（如（3，0））；
x 轴负半轴上的点：x<0，y=0（如（-2，0））；
原点：x=0，y=0（既在 x 轴，也在 y 轴）。
2. y 轴上的点
特征：横坐标为 0（x=0），纵坐标为任意实数（y 为 +、- 或 0）。
表示形式：（0，y），如 G（0，4）、H（0，-3）、原点 O（0，0）。
细分：
y 轴正半轴上的点：x=0，y>0（如（0，4））；
y 轴负半轴上的点：x=0，y<0（如（0，-3））；
原点：x=0，y=0（唯一同时在两轴上的点）。
3. 示例应用
例 2：判断下列点是否在坐标轴上，若在，指出在哪个轴的正 / 负半轴：
（1）A（0，5）：x=0，y=5>0→ y 轴正半轴；
（2）B（-3，0）：x=-3<0，y=0→ x 轴负半轴；
（3）C（0，0）：x=0，y=0→ 原点（x 轴和 y 轴）；
（4）D（2，-1）：x≠0，y≠0→ 不在坐标轴上（第四象限）。
幻灯片 6：特殊位置点的坐标特征（平行于坐标轴的直线）
1. 平行于 x 轴的直线上的点
特征：所有点的纵坐标相等（y 值相同），横坐标为任意实数（x 值不同）。
示例：直线 y=2 上的点，如（1，2）、（-3，2）、（5，2），纵坐标均为 2，横坐标不同，直线水平向右延伸。
规律：若两点（x ，y ）、（x ，y ）在平行于 x 轴的直线上，则 y =y ，且两点间的距离为 | x - x |（横坐标之差的绝对值）。
2. 平行于 y 轴的直线上的点
特征：所有点的横坐标相等（x 值相同），纵坐标为任意实数（y 值不同）。
示例：直线 x=-1 上的点，如（-1，3）、（-1，-2）、（-1，0），横坐标均为 - 1，纵坐标不同，直线垂直向上延伸。
规律：若两点（x ，y ）、（x ，y ）在平行于 y 轴的直线上，则 x =x ，且两点间的距离为 | y - y |（纵坐标之差的绝对值）。
3. 示例应用
例 3：已知点 A（2，3）、B（m，3）、C（2，n），且 AB 平行于 x 轴，AC 平行于 y 轴，求 m、n 的取值范围及 AB、AC 的距离（若 m=5，n=-1）。
解：AB 平行于 x 轴→ 纵坐标相等，故 3=3（恒成立），m≠2（两点不重合）；
AC 平行于 y 轴→ 横坐标相等，故 2=2（恒成立），n≠3（两点不重合）；
当 m=5 时，AB 距离 =|5 - 2|=3；当 n=-1 时，AC 距离 =| -1 - 3|=4。
幻灯片 7：例题讲解 1—— 根据坐标判断点的位置
例 4：已知点 P（a + 1，2a - 3），根据下列条件确定点 P 的位置（所在象限或坐标轴）：
（1）点 P 在 x 轴上；（2）点 P 在 y 轴上；（3）点 P 在第二象限；（4）点 P 平行于 x 轴的直线上有一点 Q（3，-2）。
解答与分析：
（1）x 轴上的点 y=0→ 2a - 3 = 0 → a=1.5，代入 x=a+1=2.5→ P（2.5，0）→ x 轴正半轴；
（2）y 轴上的点 x=0→ a + 1 = 0 → a=-1，代入 y=2a-3=-5→ P（0，-5）→ y 轴负半轴；
（3）第二象限：x<0 且 y>0→ \(\begin{cases}a + 1 < 0 \\ 2a - 3 > 0\end{cases}\)→ \(\begin{cases}a < -1 \\ a > 1.5\end{cases}\)，无解（无这样的 a，点 P 不存在）；
（4）PQ 平行于 x 轴→ 纵坐标相等→ 2a - 3 = -2 → a=0.5，代入 x=a+1=1.5→ P（1.5，-2）→ 第四象限。
幻灯片 8：例题讲解 2—— 根据点的位置确定坐标符号
例 5：已知点 M（x，y）在第三象限，且 | x|=2，|y|=3，求点 M 的坐标；若点 N（m，n）在平行于 y 轴的直线 x=-1 上，且 N 在第二象限，|n|=4，求点 N 的坐标。
解答与分析：
（1）第三象限：x<0，y<0→ |x|=2→ x=-2，|y|=3→ y=-3→ M（-2，-3）；
（2）平行于 y 轴的直线 x=-1→ x=-1（固定），第二象限：y>0→ |n|=4→ n=4→ N（-1，4）。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
填空：
（1）点（-3，4）在第______象限，点（5，-2）在第______象限；
（2）点（0，-5）在______轴______半轴，点（-6，0）在______轴______半轴；
（3）平行于 x 轴的直线 y=-3 上的点，纵坐标均为______，如（2，）、（-1，）。
判断下列点的位置：
（1）（3，0）；（2）（0，-2）；（3）（-1，-5）；（4）（4，3）。
提升题
已知点 A（a，b）在第四象限，且 a 为整数，b 为整数，|a|=3，|b|=2，求点 A 的所有可能坐标。
已知点 P（x，y）在平行于 y 轴的直线 x=2 上，且 P 到 x 轴的距离为 5，求点 P 的坐标（提示：到 x 轴的距离为 | y|）。
拓展题
已知点 Q（m，n），若 Q 在第一象限，且 m + n = 5，写出三个满足条件的点 Q 的坐标；若 Q 在第二象限，且 m - n = -3，写出三个满足条件的点 Q 的坐标。
幻灯片 10：易错点深度剖析
混淆象限顺序或坐标符号：
错误案例：认为点（-2，3）在第三象限（正确应为第二象限，混淆 “二负正” 与 “三负负”）；点（4，-1）在第二象限（正确应为第四象限，记错 “四正负”）。
规避方法：牢记象限 “逆时针” 顺序（从 x 轴正半轴上方开始），结合口诀 “一正正，二负正，三负负，四正负”，判断时先看横坐标符号，再看纵坐标符号，分步确认。
误将坐标轴上的点归为某一象限：
错误案例：认为点（0，5）在第一象限（正确应为 y 轴正半轴，坐标轴上的点不属于任何象限）；点（-3，0）在第三象限（正确应为 x 轴负半轴）。
规避方法：明确 “x 轴和 y 轴是象限的分界线，不属于任何象限”，判断时先看坐标是否有 0（x=0 或 y=0），若有则在坐标轴上，无则再判断象限。
平行于坐标轴的直线上点的坐标特征混淆：
错误案例：认为平行于 x 轴的直线上的点横坐标相等（正确应为纵坐标相等，如 y=2 上的点（1，2）、（3，2））；平行于 y 轴的直线上的点纵坐标相等（正确应为横坐标相等，如 x=-1 上的点（-1，2）、（-1，5））。
规避方法：结合图形记忆 —— 平行于 x 轴（水平直线），上下移动时 y 值不变（纵坐标相等）；平行于 y 轴（垂直直线），左右移动时 x 值不变（横坐标相等），可画图辅助理解。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
象限划分：四象限（逆时针），坐标轴为分界线，不属于任何象限；
坐标特征：象限点（符号规律 “一正正，二负正，三负负，四正负”），坐标轴点（x 轴 y=0，y 轴 x=0）；
特殊直线：平行 x 轴（y 相等），平行 y 轴（x 相等），两点距离用横 / 纵坐标差的绝对值计算。
方法提炼：
位置判断 “两步法”：① 看坐标是否有 0（确定是否在坐标轴）；② 无 0 则看横、纵坐标符号（确定象限）；
坐标确定 “符号法”：根据点的位置（象限 / 坐标轴）确定横、纵坐标的符号，结合已知条件（如绝对值、等式）计算具体坐标；
复杂问题 “数形结合法”：遇到含参数的点（如例 4），先根据位置列不等式 / 方程，求解参数后再确定坐标。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（平面直角坐标系中点的坐标特征相关题目）。
拓展练习：
（1）已知点 A（2m - 1，m + 3）在第二象限，求 m 的取值范围；
（2）在平面直角坐标系中，画出平行于 x 轴的直线 y=4 和平行于 y 轴的直线 x=-2，找出两条直线的交点坐标，并判断交点所在的象限。
实践作业：
（1）在方格纸上建立平面直角坐标系，分别在四个象限及坐标轴上各标记 2 个点，写出它们的坐标，验证坐标特征规律；
（2）观察生活中的平面图形（如地图、棋盘），尝试用平面直角坐标系表示图形中关键点的位置，分析这些点的坐标特征。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.2.2平面直角坐标系中点的坐标特征
第三章 位置与坐标
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
问题：如果某小区里有一块如图所示的空地，打算进行绿化，小明想请他的同学小慧提一些建议，小明要在电话中告诉小慧同学如图所示的图形，为了描述清楚，他使用了直角坐标系的知识．
你知道小明是怎样叙述的吗？
问题：我们上节课已经学习过了平面直角坐标系的定义．根据定义想一想你会在坐标轴上描点吗？
找点的方法：
先分别找出该点的横坐标、纵坐标在两条数轴上的点，再分别作对应坐标轴的垂线，交点即为所要找的点的位置．
描点及坐标的特点
例1 在直角坐标系中描出下列各点，并将各组的点用线段依次连接起来.
① (-6，5)，(-10，3)，(-9，3)，(-3，3)，(-2，3)；
② (-9，3)，(-9，0)，(-3，0)，(-3，3)；
③ (3.5，9)，(2，7)，(3，7)，(4，7)，(5，7)；
④ (3，7)，(1，5)，(2，5)，(5，5)，(6，5)；
⑤ (2，5)，(0，3)，(3，3)，(3，0)，(4，0)，(4，3)，(7，3)，(5，5).
典例精析
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　 　
x
y
O
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x
y
O
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●
2.线段 EC 与 x 轴有什么位置关系？点 E 和点 C 的坐标有什么特点？线段 EC上其它点的坐标呢？
D
F
E
C
B
G
A
1.图形中哪些点在坐标轴上，它们的坐标有什么特点？
3.点 F 和点 G 的横坐标有什么共同特点？线段 FG 与 y 轴有怎样的位置关系？
A
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
E
点的位置 横坐标的符号 纵坐标的
符号
在 x 轴的正半轴上
在 x 轴的负半轴上
在 y 轴的正半轴上
在 y 轴的负半轴上
0
+
+
-
-
0
0
0
归纳总结
与坐标轴平行的直线上的点的坐标特征：
(1)与 x 轴平行的直线上各点的_______坐标都相同；
(2)与 y 轴平行的直线上各点的_______坐标都相同．
纵
横
A
y
O
x
-1
-2
-3
-1
-2
-3
-4
1
2
3
4
1
2
3
4
5
-4
B
C
画一画：你能在直角坐标系里描出点 A(-4，-5)，B(-2，0)，C
(4，0)吗？并连线．
O
x
y
-5 -4 -3 -2 -1 1 2 3 4 5
3
2
1
-1
-2
-3
-4
-5
A
B
C
●
●
●
问题：你能求出△ABC 的面积吗？
解：过点 A 作 AD⊥x 轴于点 D.
∵A(-4，-5)，
∴D(-4，0) .
由点的坐标可得
AD = 5 ，BC = 6，
∴ S△ABC =
.
D
例1 如图，已知点 A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，求△ABC 的面积．
解析：本题宜用补形法．
分别过点 A 作 x 轴的平行线，过点 C 作 y 轴的平行线，两条平行线交于点 E，过点 B 分别作 x 轴、y 轴的平行线，分别交 EC 的延长线于点 D，交 EA 的延长线于点 F，然后根据 S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA 即可求出△ABC 的面积．
解：如图，作辅助线.
∵A(2，－1)，B(4，3)，C(1，2)，
∴BD＝3，CD＝1，CE＝3，AE＝1，
AF＝2，BF＝4，
∴S△ABC＝S长方形BDEF－S△BDC－S△CEA－S△BFA
＝BD·DE－ DC·DB－ CE·AE－ AF·BF
＝12－1.5－1.5－4
＝5.
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新知讲解
《02》
本题主要考查如何利用简单方法求坐标系中图形的面积．已知三角形三个顶点坐标，求三角形面积通常有三种方法：
方法一：直接法，计算三角形一边的长，并求出该边上的高；
方法二：补形法，将三角形面积转化成若干个特殊的四边形和三角形的面积的和与差；
方法三：分割法，选择一条恰当的直线，将三角形分割成两个便于计算面积的三角形．
方法总结
例2 正方形 ABCD 的边长为 4，请建立一个平面直角坐标系，并写出正方形的四个顶点 A，B，C，D 在这个平面直角坐标系中的坐标.
A
B
C
D
建立坐标系求图形中点的坐标
4
4
y
x
（A）
B
C
D
解：如图，以顶点 A 为原点，AB 所在直线为 x 轴，AD 所在直线为 y 轴建立平面直角坐标系．
此时，正方形四个顶点 A，B，C，D 的坐标分别为：
A(0，0)，B(4，0)，C(4，4)，D(0，4).
O
A(-4，-4)， B(0，-4)，C(0，0)， D(-4，0).
A
B
C
D
A(0，-4)，B(4，-4)，
C(4，0)， D(0，0).
y
x
O
想一想：还可以建立其他平面直角坐标系，表示正方形的四个顶点 A，B，C，D 的坐标吗？
A(-4，0)，B(0，0)，C(0，4)，D(-4，4).
A(-2，-2)， B(2，-2)，C(2，2)， D(-2，2).
追问　由上得知，建立的平面直角坐标系不同，则各点的坐标也不同．你认为怎样建立直角坐标系才比较适当？
【总结】平面直角坐标系建立的适当，可以容易确定图形上的点，例如以正方形的两条边所在的直线为坐标轴，建立平面直角坐标系．又如以正方形的中心为原点建立平面直角坐标系．建立不同的平面直角坐标系，同一个点就会有不同的坐标，但正方形的形状和性质不会改变．
例3 如图，长方形的两条边长分别为 4，6，建立适当的直角坐标系，使它的一个顶点的坐标为(-2，-3). 请你写出另外三个顶点的坐标．
解：建立如图的平面直角坐标系，
∵ 长方形的一个顶点的坐标为
A (-2，-3)，
∴ 长方形的另外三个顶点的坐标
分别为 B(2，-3)，C(2，3)，D(-2，3)．（答案不唯一）
由已知条件正确确定坐标轴的位置是解决本题的关键，当建立的直角坐标系不同，其点的坐标也就不同，但要注意，一旦直角坐标系确定以后，点的坐标也就确定了．
方法总结
右图是一个围棋棋盘(局部)，把这个围棋棋盘放置在一个平面直角坐标系中，白棋①的坐标是(－2，－1)，白棋③的坐标是(－1，－3)，则黑棋 的坐标是________．
解析：由已知白棋①的坐标是(－2，－1)，白棋③的坐标是(－1，－3)，可知 y 轴应在从左往右数的第四条格线上，且向上为正方向，x 轴在从上往下数第二条格线上，且向右为正方向，这两条直线的交点为坐标原点，由此可得黑棋②的坐标是(1，－2)．
练一练
(1，－2)
1
2
3
4
1
O
3
2
–2
–1
–1
–2
–3
–4
–3
–4
y
A
B
C
x
例4 对于边长为 4的正三角形△ABC，建立适当的直角坐标系，写出各个顶点的坐标.
解:A(0，2 )， B(-2，0) ，
C(2，0).
练一练在一次“寻宝”游戏中，寻宝人已经找到了坐标为（3，2）和（3，-2）的两个标志点，并且知道藏宝地点的坐标为（-2，2），如何确定直角
坐标系找到“宝藏”？
解：如图所示
（3，-2）
·
·
1
2
3
4
-3
-2
-1
3
1
2
-2
-1
y
·
O
x
（3，2）
（-2，2）
·
y
A
B
C
1.已知 A(1，4)，B(-4，0)，C(2，0). △ABC的面积是＿＿＿．
12
O
(1，4)
(-4，0)
(2，0)
C
y
A
B
(-4，0)
(2，0)
O
2.若 BC 的坐标不变，△ABC 的面积为 6，点 A 的横坐标为 -1，那么点 A 的坐标为 ．
(-1，2)或(-1，-2)
3. 在平面直角坐标系 xOy 中，已知点 P（2，2），点 Q 在 y 轴上，△PQO 是等腰三角形，则满足条件的点 Q 共有( )
A．5 个 B．4个 C．3 个 D．2 个
【解析】如图所示，当以 OP 为腰时，分别以 O、P 为圆心 OP 为半径画弧，与 y 轴有三个交点 Q2，Q4，Q3，当以 OP 为底时，OP 的垂直平分线与 y 轴有一个交点 Q1.
B
4.写出平行四边形 ABCD 各个顶点的坐标.
A
C
B
D
O
-1
-2
-3
-4
5
4
3
2
1
6
1
2
3
4
-1
-2
(-3，3)
(-5，-2)
(4，-2)
(6，3)
-5
-6
x
y
5.下图是某植物园的平面示意图，A 是大门，B、C、D、E 分别表示梅、兰、菊、竹四个花圃.
请建立平面直角坐标系，写出各花圃的坐标.
解：以 A 点为原点，以水平方向为坐标轴建立直角坐标系，则
B(2，3)，C(5，10)，
D(8，8)，E(11，9).
A
y
x
B
C
D
E
知识点1 各象限内点的坐标特征
1.［2025蚌埠期末］点 在( )
D
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
2. 如图，在平面直角坐标系中，有一
点被墨迹遮挡了，这个点的坐标可能是( )
B
A. B. C. D.
返回
3.在平面直角坐标系中，点位于第三象限，且点与 轴的距离为3，则
点 的坐标可能是( )
B
A. B. C. D.
返回
4.［2024宿迁中考］点 在第____象限。
四
返回
5.若点在第二象限，则 的取值范围是________。
返回
知识点2 坐标轴上点的坐标特征
6.在平面直角坐标系中，下列点位于 轴上的是( )
B
A. B. C. D.
返回
7.已知点在轴上，则 的值为____。
返回
建立直角坐标系
坐标的特征
建立适当的直角坐标系
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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