资源简介

(共35张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：3.3 轴对称与坐标变化
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
探索平面直角坐标系中，点关于 x 轴、y 轴对称时的坐标变化规律，能准确写出对称点的坐标。
能根据坐标变化规律，在平面直角坐标系中画出一个图形关于 x 轴、y 轴对称的图形。
理解 “坐标变化” 与 “轴对称” 的内在联系，提升数形结合能力与图形变换思维。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
轴对称图形：如果一个图形沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。
平面直角坐标系：由两条互相垂直且有公共原点的数轴组成，点的坐标用（x，y）表示，x 为横坐标（水平方向），y 为纵坐标（垂直方向）。
情境导入：
如图，在平面直角坐标系中，点 A 的坐标为（2，3）。若作点 A 关于 x 轴的对称点 A ，关于 y 轴的对称点 A ，你能通过观察图形，说出 A 、A 的坐标吗？它们的坐标与点 A 的坐标有什么规律？
提问引导：
关于 x 轴对称的两个点，横坐标和纵坐标分别有什么变化？
关于 y 轴对称的两个点，坐标变化规律与 x 轴对称有何不同？
幻灯片 4：探究 1—— 点关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律
1. 实验观察（以具体点为例）
列出平面直角坐标系中的几个点，分别找出它们关于 x 轴、y 轴的对称点，记录坐标：
原点点坐标（x，y）
关于 x 轴对称的点坐标（x ，y ）
关于 y 轴对称的点坐标（x ，y ）
A（2，3）
A （2，-3）
A （-2，3）
B（-1，2）
B （-1，-2）
B （1，2）
C（3，-4）
C （3，4）
C （-3，-4）
D（0，5）
D （0，-5）
D （0，5）
E（-2，0）
E （-2，0）
E （2，0）
2. 总结规律
关于 x 轴对称的点的坐标规律：
横坐标不变，纵坐标互为相反数，即若点 P（x，y）关于 x 轴对称的点为 P ，则 P （x，-y）。
示例：点（-4，5）关于 x 轴对称的点为（-4，-5）；点（0，-3）关于 x 轴对称的点为（0，3）。
关于 y 轴对称的点的坐标规律：
纵坐标不变，横坐标互为相反数，即若点 P（x，y）关于 y 轴对称的点为 P ，则 P （-x，y）。
示例：点（6，-2）关于 y 轴对称的点为（-6，-2）；点（-1，0）关于 y 轴对称的点为（1，0）。
幻灯片 5：探究 2—— 图形关于 x 轴、y 轴对称的坐标变化
1. 核心思路
一个图形关于某条直线对称，其本质是图形上所有点都关于这条直线对称。因此，要画图形的对称图形，只需：
找出原图形的关键点（如顶点、端点）的坐标；
根据对称规律，计算出各关键点的对称点坐标；
在坐标系中描出对称点，顺次连接得到对称图形。
2. 示例：画△ABC 关于 x 轴、y 轴的对称图形
步骤 1：确定原图形关键点坐标
如图，△ABC 的三个顶点坐标分别为 A（1，2）、B（3，1）、C（2，3）。
步骤 2：计算对称点坐标
关于 x 轴对称的△A B C ：
A （1，-2）（横坐标不变，纵坐标取反），
B （3，-1），
C （2，-3）；
关于 y 轴对称的△A B C ：
A （-1，2）（纵坐标不变，横坐标取反），
B （-3，1），
C （-2，3）。
步骤 3：描点连线
在坐标系中分别描出 A 、B 、C 和 A 、B 、C ，顺次连接，得到△ABC 关于 x 轴、y 轴的对称图形。
幻灯片 6：例题讲解 1—— 根据坐标找对称点
例 1：已知点 P（m + 2，2m - 4）关于 x 轴的对称点 P 在 y 轴上，求点 P 的坐标及点 P 关于 y 轴的对称点 P 的坐标。
解答与分析：
求 P 的坐标：根据 x 轴对称规律，P （m + 2，-(2m - 4)）=（m + 2，-2m + 4）；
利用 “P 在 y 轴上” 的条件：y 轴上的点横坐标为 0，故 m + 2 = 0 → m = -2；
求点 P 的坐标：将 m = -2 代入 P 的坐标，得 P（-2 + 2，2×(-2) - 4）=（0，-8）；
求 P 的坐标：根据 y 轴对称规律，P （-0，-8）=（0，-8）（y 轴上的点关于 y 轴对称的点是自身）。
答：点 P 的坐标为（0，-8），点 P 的坐标为（0，-8）。
幻灯片 7：例题讲解 2—— 根据对称图形求坐标
例 2：如图，在平面直角坐标系中，四边形 ABCD 的顶点坐标为 A（-2，3）、B（-4，1）、C（-1，-1）、D（1，2）。
（1）画出四边形 ABCD 关于 x 轴对称的四边形 A B C D ，并写出 A 、B 、C 、D 的坐标；
（2）画出四边形 ABCD 关于 y 轴对称的四边形 A B C D ，并判断四边形 A B C D 与 A B C D 是否关于原点对称（原点对称：横、纵坐标均互为相反数）。
解答与分析：
（1）关于 x 轴对称的坐标：
A （-2，-3），B （-4，-1），C （-1，1），D （1，-2）；
描点连线得到 A B C D （画图略）。
（2）关于 y 轴对称的坐标：
A （2，3），B （4，1），C （1，-1），D （-1，2）；
判断原点对称：对比 A （-2，-3）与 A （2，3）（横、纵坐标均互为相反数），同理 B 与 B 、C 与 C 、D 与 D 均满足原点对称，故两四边形关于原点对称。
答：（1）A （-2，-3）、B （-4，-1）、C （-1，1）、D （1，-2）；（2）四边形 A B C D 与 A B C D 关于原点对称。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
写出下列各点关于 x 轴、y 轴的对称点坐标：
（1）P（-3，5）：关于 x 轴______，关于 y 轴______；
（2）Q（0，-2）：关于 x 轴______，关于 y 轴______；
（3）R（a，b）：关于 x 轴______，关于 y 轴______。
已知点 M（x，y）关于 x 轴对称的点为 M （3，-4），求 x、y 的值及点 M 关于 y 轴的对称点 M 的坐标。
提升题
如图，△DEF 的顶点坐标为 D（2，-1）、E（4，3）、F（1，2），画出△DEF 关于 x 轴的对称图形△D E F 和关于 y 轴的对称图形△D E F ，并计算△D E F 与△D E F 对应顶点坐标的关系。
已知点 A（2a - b，5 + a）与点 B（2b - 1，-a + b）关于 y 轴对称，求 a、b 的值。
拓展题
在平面直角坐标系中，点 P（x，y）在第二象限，且点 P 到 x 轴的距离为 3，到 y 轴的距离为 4。
（1）求点 P 的坐标；
（2）求点 P 关于 x 轴、y 轴的对称点坐标，并判断这两个对称点分别在哪个象限。
幻灯片 9：易错点深度剖析
混淆 x 轴、y 轴对称的坐标变化规律：
错误案例：认为点（2，3）关于 x 轴对称的点为（-2，3）（混淆 x 轴与 y 轴的规律，正确应为（2，-3））；点（-1，-4）关于 y 轴对称的点为（-1，4）（正确应为（1，-4））。
规避方法：牢记 “关于 x 轴，y 变号；关于 y 轴，x 变号” 的口诀，或通过画图辅助记忆 ——x 轴是水平轴，对称时上下翻转（纵坐标变号）；y 轴是垂直轴，对称时左右翻转（横坐标变号）。
忽略特殊点的对称性质（坐标轴上的点）：
错误案例：认为点（0，5）关于 x 轴对称的点为（-0，-5）=（0，-5）（正确），但误将点（0，5）关于 y 轴对称的点写为（0，-5）（正确应为（0，5），y 轴上的点关于 y 轴对称的点是自身）。
规避方法：明确 “x 轴上的点（y=0）关于 x 轴对称的点是自身，关于 y 轴对称的点横坐标变号、纵坐标为 0”；“y 轴上的点（x=0）关于 y 轴对称的点是自身，关于 x 轴对称的点纵坐标变号、横坐标为 0”，特殊点单独记忆。
画对称图形时漏找关键点或连线错误：
错误案例：画三角形对称图形时，只找了两个顶点的对称点，导致图形变形；或描点后未按原图形顺序连线，得到错误图形。
规避方法：画对称图形时，先列出所有关键点（如三角形的三个顶点、四边形的四个顶点），确保每个关键点都计算出对称点；描点后按原图形的顶点顺序顺次连线，避免跳点或乱序。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
坐标变化规律：关于 x 轴（x 不变，y 变号），关于 y 轴（y 不变，x 变号）；
图形对称步骤：找关键点→算对称点→描点连线；
特殊点性质：坐标轴上的点对称时，自身或坐标部分不变（如 x 轴上的点关于 x 轴对称的点是自身）。
方法提炼：
坐标计算 “口诀法”：x 轴对称 y 变号，y 轴对称 x 变号，记准符号不混淆；
图形绘制 “三步法”：关键点定位→对称点计算→顺次连线，确保图形准确；
复杂问题 “数形结合法”：遇到含参数的对称点问题（如例 1、例 2），先根据规律列坐标，再结合已知条件（如点在坐标轴上、对称关系）列方程求解。
幻灯片 11：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（轴对称与坐标变化相关题目）。
拓展练习：
（1）已知点 P（3m - 6，n + 2）关于 x 轴对称的点为 P （m + 4，2n - 8），求 m、n 的值及点 P 关于 y 轴的对称点 P 的坐标；
（2）在平面直角坐标系中，画出边长为 2 的正方形（顶点在坐标轴上），并写出它关于 x 轴、y 轴的对称图形的顶点坐标。
实践作业：
（1）在方格纸上建立平面直角坐标系，标记出自己家的位置（设为点 A），再标记出学校的位置（设为点 B），计算点 A、B 关于 x 轴、y 轴的对称点坐标，描述对称点对应的实际方向；
（2）观察生活中的轴对称图形（如蝴蝶、窗户），尝试在坐标系中用坐标表示其轮廓，再画出对称图形。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
3.3轴对称与坐标变化
第三章 位置与坐标
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
沿着某一直线对折，直线两旁的部分能够完全重合的图形就是轴对称图形；这条直线称为对称轴.
1.什么叫轴对称图形？
2.如何在平面直角坐标系中确定点 P 的位置？
a 称为点 P 的横坐标，
b 称为点 P 的纵坐标.
a
b
△ABC 与△A1B1C1 关于 x 轴对称
（1）△ABC 与△A1B1C1 有怎样的位置关系？
1. △ABC 与△A1B1C1 在如图所示的直角坐标系中，仔细观察，完成下列各题：
探索一 两个关于坐标轴对称的图形的坐标关系
轴对称与坐标变化
（3）如果点 P(m，n)在△ABC 内，那么它在△A1B1C1内的对应点 P1的坐标是 .
对应点的纵坐标互为相反数
对应点的横坐标相同
（2）请在下表中填入点 A 与 A1、点 B 与 B1、点 C 与 C1
的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？
C1：
B1：
A1：
C：
B：
A：
2.如右图所示的平面直角坐标系中，第一、二象限内各有一面小旗.
(1)两面小旗之间有怎样的位置关系？
关于 y 轴成轴对称
(2，6)
(-2，6)
（3）如果点 P(m，n)在△ABC 内，那么它在△A1B1C1内的对应点 P1 的坐标是 .
对应点的纵坐标相等
对应点的横坐标互为相反数
（2）请在下表中填入点 A 与 A1、点 B 与 B1、点 C 与 C1、点 D 与 D1的坐标，并思考：这些对应点的坐标之间有什么关系？
D1：
C1：
B1：
A1：
D：
C：
B：
A：
3.通过以上学习，你知道关于 x 轴对称的两个点的坐标之间的关系吗？关于 y 轴对称的两个点的坐标之间的关系呢？
关于横轴对称的点，
横坐标相同；
关于x轴对称的两个点的坐标，横坐标相同，纵坐标互为相反数；
关于 y 轴对称的两个点的坐标，横坐标互为相反数，纵坐标相同.
关于纵轴对称的点，
纵坐标相同.
2. 已知点 A(a，1)与点 A1(5，b)关于 y 轴对称，则
a = ，b = .
1. 平面直角坐标系中，点 P( 2，3)关于 x 轴对称的点的坐标为 .
练一练
1
2
3
4
5
6
7
8
0
–1
–2
–3
–4
–5
1
2
3
4
9
10
5
在平面直角坐标系中依次连接下列各点：(0，0)， (5，4) ，(3，0)，
(5，1) ，(5，-1)， (3，0)， (4，-2) ，(0，0)，你得到了一个怎样的图案？
x
–1
y
探索二 坐标变化引起的图形变化
坐标变化为：
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(-x,y) (0,0) (-5,4) (-3,0) (-5,1) (-5,-1) (-3,0) (-4,-2) (0,0)
将各坐标的纵坐标保持不变，横坐标都乘以－1 ，则图形怎么变化？
1
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5
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-3
0
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–5
1
2
3
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-4
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5
y
x
两个图形关于 y 轴对称
将各坐标的纵坐标都乘以－1，横坐标保持不变，则图形怎么变化？
坐标变化为：
(x,y) (0,0) (5,4) (3,0) (5,1) (5,-1) (3,0) (4,-2) (0,0)
(x,-y) (0,0) (5,-4) (3,0) (5,-1) (5, 1) (3,0) (4, 2) (0,0)
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5
y
x
与原图形关于 x 轴对称
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
归纳总结
1.关于 y 轴对称的两个图形上点的坐标特征：
(x ，y)
(-x ，y)
2.关于 x 轴对称的两个图形上点的坐标特征：
(x ，y)
(x ，-y)
横坐标相同，纵坐标互为相反数
横坐标互为相反数，纵坐标相同
想一想
图形的点的坐标变化与图形的变化有怎样的关系？
1.横坐标保持不变，纵坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 ________成轴对称.
2.纵坐标保持不变，横坐标互为相反数，所得图形与原图形关于 ______成轴对称.
x 轴
y 轴
讨论：点 P(2，-3)到 x 轴、y 轴和坐标原点的距离分别多少？
O
1
1
-2
x
y
P（2，-3）
A
B
点 M(-3，4)到 x 轴、y轴和坐标原点的距离分别多少？
M（-3，4）
N
H
x
y
o
P(a，b)
M
N
纵坐标的绝对值
横坐标的绝对值
归纳总结
①点 P(a，b)到 x 轴的距离是
②点 P(a，b)到 y 轴的距离是
③点 P(a，b)与坐标原点的距离是
1.点M（-5，12）到 x 轴的距离是____；到 y 轴的距离是____；到原点的距离是____.
2.已知点 M（m，-5）.①点 M 到 x 轴的距离是____；
②若点 M 到 y 轴的距离是 4；那么 m 为____.
练一练
12
5
13
5
±4
拓展提升
1.点A（2，-3）关于 x 轴对称的点的坐标是 .
2.点B（-2，1）关于 y 轴对称的点的坐标是 .
3.点（4，3）与点（4，-3）的关系是（ ）
A.关于原点对称 B.关于 x 轴对称
C.关于 y 轴对称 D.不能构成对称关系
4.点（m，-1）和点（2，n）关于 x 轴对称，
则 mn 等于( )
A.- 2 B.2 C.1 D.-1
(2，3)
(2，1)
B
B
5. 已知 A、B 两点的坐标分别是(－2，3)和(2，3)，
则下面四个结论：①A、B 关于 x 轴对称；②A、B 关于 y 轴对称；③A、B 关于原点对称；④A、B 之间的距离为 4.其中正确的有( )
A．1 个 B．2 个 C．3 个 D．4 个
6.一束光线从点 A (3，3)出发，经过 y 轴上点 C 反射后经过点 B(1，0)，则光线从 A 点到 B 点经过的路线长是（ ） A.4 B.5 C.6 D.7
B
B
7.点 P 到 x 轴的距离是 2.5；到 y 轴的距离是 4.5. 求点 P 的坐标.
(4.5，2.5)或(-4.5，2.5)或(-4.5，-2.5)或(4.5，-2.5)
（1）点 A 的坐标为 ，点 B 的坐标为 ；
（2）在 x 轴上有一条河，现准备在河流边上建一个抽水站 P，使得抽水站 P 到 A、B 两个村庄的距离之和最小，请作出点 P 的位置，并求此时距离之和的最小值.
已知：A，B 两个村庄在如图所示的直角坐标系中，那么：
拓展提升：
作出点 B 关于 x 轴的对称点 B1，连接 AB1，与 x 轴的交点就是抽水站 P 的位置，理由如下：
连接 PB，则 PB = PB1，有 AP + PB = AB + PB1；
根据两点之间线段最短知：AP + PB 的最小值即为线段 AB1 的长度.于是，问题转化为求线段 AB1 的长度.
分别过点 A、B1 作 x 轴、y 轴的垂线，交点为 C，得到 Rt△AB1C.
显然 AC = 3，B1C = 4，根据勾股定理可得 AB1 = 5.
于是，AP + PB 的最小值为 5.
知识点1 建立适当的坐标系求点的坐标
1.如图，正方形的边长为4，建立平面直角坐标系后，表示点 的
坐标正确的是( )
A
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2.［教材例4变式］ 如图，在中， ,
，边上的高 ，则以点___为坐标原点，
以____所在的直线为轴，以____所在的直线为 轴建
立的平面直角坐标系较简明，此时，， 三个点的
坐标依次是______，________，______。
返回
3.如图,在梯形中,,上底 ,下底
,高 ,建立适当的平面直角坐标系,并写
出四个顶点的坐标。
解：如图,以为原点，,所在的直线分别为
轴、轴建立平面直角坐标系，则, ,
, 。（答案不唯一）
返回
知识点2 由已知点的坐标求其他点的坐标
4.如图，象棋盘上的“将”位于点，“象”位于点 ，则“炮”位
于点( )
C
（第4题）
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.如图，长方形的边在轴上，为 的中
点。已知，交轴于点，则点 的
坐标为( )
D
A. B. C. D.
返回
（第6题）
6.在如图所示的方格纸上建立适当的平面直角坐标系，若
点的坐标为，点的坐标为，则点 的坐标为
______。
返回
7. ［教材习题 变式］ 如
图是游乐场中过山车轨道从高处俯拍的示意图，
在点 点 （均在格点上）处分别设置有速
度监测器，若监测器的位置表示为 ，监
测器的位置表示为 ，请你建立平面直角
坐标系并写出其他五个监测器的位置。
解：建立平面直角坐标系如图。其他五个监测器的位置为 ,
,,, 。
返回
轴对称与坐标变换
关于坐标轴对称
作图 — — 关于轴对称变化
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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