资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.2 认识一次函数
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
回顾函数的定义，能识别生活中的函数关系，明确自变量与因变量的对应关系。
理解一次函数的定义，能判断一个函数是否为一次函数，掌握一次函数的一般表达式\(y = kx + b\)（\(k 0\)）。
掌握一次函数中参数\(k\)和\(b\)的几何意义（\(k\)决定直线倾斜方向，\(b\)决定直线与\(y\)轴交点），能结合实例分析\(k\)和\(b\)的实际意义。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
函数的定义：在一个变化过程中，有两个变量\(x\)和\(y\)，如果对于\(x\)的每一个确定的值，\(y\)都有唯一确定的值与之对应，那么就说\(y\)是\(x\)的函数，\(x\)是自变量，\(y\)是因变量。
函数的表示方法：解析式法（如\(y = 2x\)）、列表法、图象法。
情境导入：
情境 1：小明骑自行车从家去学校，速度为 15km/h，家到学校的距离为 30km，行驶时间\(x\)（h）与剩余距离\(y\)（km）的关系可表示为\(y = 30 - 15x\)。
情境 2：某文具店售卖笔记本，每本售价 2.5 元，购买数量\(x\)（本）与总费用\(y\)（元）的关系可表示为\(y = 2.5x\)。
情境 3：某手机套餐月租费 18 元，每分钟通话费 0.1 元，每月通话时间\(x\)（分钟）与月费\(y\)（元）的关系可表示为\(y = 0.1x + 18\)。
提问引导：
上述三个情境中的函数解析式有什么共同特征？
它们的自变量\(x\)的次数都是几？是否存在常数项？
幻灯片 4：一次函数的定义
1. 定义内容
一般地，形如\(y = kx + b\)（其中\(k\)、\(b\)是常数，且\(k 0\)）的函数，叫做一次函数。
特别地，当\(b = 0\)时，一次函数\(y = kx + b\)就变成\(y = kx\)（\(k 0\)），这时的函数叫做正比例函数，正比例函数是特殊的一次函数。
2. 定义关键词解析
\(k 0\)：这是一次函数的核心条件。若\(k = 0\)，则解析式变为\(y = b\)（常数），此时\(y\)不随\(x\)的变化而变化，不是一次函数（称为常数函数）。
自变量次数：自变量\(x\)的次数必须是 1，且\(x\)不能在分母、根号或绝对值符号内（如\(y = \frac{1}{x}\)、\(y = \sqrt{x}\)、\(y = |x|\)均不是一次函数）。
常数项\(b\)：\(b\)可以是任意实数（正数、负数或 0），当\(b = 0\)时，函数为正比例函数，是一次函数的特殊形式。
3. 一次函数与正比例函数的关系
包含关系：正比例函数是一次函数的特殊情况（\(b = 0\)），一次函数包含正比例函数，用集合表示为：\(\{ °\} \subset \{ °\}\)。
示例：\(y = 2x\)既是正比例函数，也是一次函数；\(y = 2x + 3\)是一次函数，但不是正比例函数；\(y = 3\)（\(k = 0\)）既不是一次函数，也不是正比例函数。
幻灯片 5：一次函数的判断示例
1. 判断下列函数是否为一次函数，若是，指出\(k\)和\(b\)的值；若不是，说明理由。
（1）\(y = 3x - 5\)
解：是一次函数，其中\(k = 3\)，\(b = -5\)（符合\(y = kx + b\)，\(k 0\)）。
（2）\(y = \frac{1}{2}x\)
解：是一次函数，也是正比例函数，其中\(k = \frac{1}{2}\)，\(b = 0\)（\(b = 0\)的特殊情况）。
（3）\(y = x^2 + 1\)
解：不是一次函数，因为自变量\(x\)的次数是 2，不符合 “\(x\)的次数为 1” 的条件。
（4）\(y = \frac{5}{x}\)
解：不是一次函数，因为\(x\)在分母中，可变形为\(y = 5x^{-1}\)，自变量次数为 - 1，不符合要求。
（5）\(y = 7\)
解：不是一次函数，因为\(k = 0\)（解析式可看作\(y = 0x + 7\)），不符合\(k 0\)的条件。
2. 变式练习：根据一次函数定义求参数值
例：已知函数\(y = (m - 2)x + (3 - n)\)是一次函数，求\(m\)、\(n\)的取值范围。
解：根据一次函数定义，需满足\(k 0\)，即\(m - 2 0\)→\(m 2\)；\(b\)（常数项）无特殊限制，\(n\)可取任意实数。
答：\(m 2\)，\(n\)为任意实数。
幻灯片 6：一次函数中\(k\)和\(b\)的几何意义
1. 参数\(k\)的几何意义（斜率）
\(k\)表示一次函数图象（直线）的倾斜程度，称为 “斜率”，决定直线的倾斜方向和倾斜角度：
当\(k > 0\)时，直线从左到右上升，\(y\)随\(x\)的增大而增大（如\(y = 2x + 1\)，\(x\)每增 1，\(y\)增 2）；
当\(k < 0\)时，直线从左到右下降，\(y\)随\(x\)的增大而减小（如\(y = -3x + 2\)，\(x\)每增 1，\(y\)减 3）；
\(k\)的绝对值越大，直线倾斜角度越陡（如\(y = 5x\)比\(y = 2x\)的直线更陡，\(y = -4x\)比\(y = -x\)的直线更陡）。
2. 参数\(b\)的几何意义（截距）
\(b\)表示一次函数图象（直线）与\(y\)轴交点的纵坐标，称为 “\(y\)轴截距”：
直线与\(y\)轴的交点坐标为\((0, b)\)（令\(x = 0\)，则\(y = b\)）；
当\(b > 0\)时，直线与\(y\)轴交于正半轴（如\(y = 2x + 3\)，交点为\((0, 3)\)）；
当\(b = 0\)时，直线过原点（如\(y = 3x\)，交点为\((0, 0)\)，即正比例函数的图象特征）；
当\(b < 0\)时，直线与\(y\)轴交于负半轴（如\(y = -x - 2\)，交点为\((0, -2)\)）。
3. 示例：分析一次函数\(y = -2x + 4\)中\(k\)和\(b\)的意义
\(k = -2 < 0\)：直线从左到右下降，\(x\)每增大 1，\(y\)减小 2；
\(b = 4 > 0\)：直线与\(y\)轴交于\((0, 4)\)（正半轴）；
当\(x = 0\)时，\(y = 4\)（初始值为 4）；当\(x = 1\)时，\(y = 2\)；当\(x = 2\)时，\(y = 0\)（直线与\(x\)轴交点为\((2, 0)\)）。
幻灯片 7：一次函数的实际意义（结合生活实例）
1. 行程问题中的一次函数
实例：小明从家去图书馆，步行速度为 5km/h，家到图书馆的距离为 10km，行走时间\(x\)（h）与剩余距离\(y\)（km）的函数关系为\(y = 10 - 5x\)。
分析：
\(k = -5\)：表示 “剩余距离随时间的变化率”，即每行走 1 小时，剩余距离减少 5km（速度大小为 5km/h，负号表示剩余距离随时间减小）；
\(b = 10\)：表示 “初始剩余距离”，即出发时（\(x = 0\)），距图书馆还有 10km；
自变量取值范围：\(0 ¤ x ¤ 2\)（行走 2 小时后到达图书馆，剩余距离为 0）。
2. 费用问题中的一次函数
实例：某健身房推出月卡，每月固定费用 80 元，每次额外消费（如私教）50 元，每月去健身房的次数\(x\)与月总费用\(y\)（元）的函数关系为\(y = 50x + 80\)。
分析：
\(k = 50\)：表示 “总费用随去健身房次数的变化率”，即每多去 1 次，月总费用增加 50 元（每次额外消费 50 元）；
\(b = 80\)：表示 “月固定费用”，即不去健身房（\(x = 0\)）时，仍需支付 80 元月卡费；
自变量取值范围：\(x 0\)（次数为非负整数）。
3. 产量问题中的一次函数
实例：某工厂生产零件，初始库存 100 个，每天生产 20 个，生产天数\(x\)与总库存\(y\)（个）的函数关系为\(y = 20x + 100\)。
分析：
\(k = 20\)：表示 “总库存随生产天数的变化率”，即每天增加 20 个库存（日产量 20 个）；
\(b = 100\)：表示 “初始库存”，即生产开始前（\(x = 0\)），已有 100 个零件；
自变量取值范围：\(x 0\)（天数为非负整数）。
幻灯片 8：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列函数是否为一次函数，若是，指出\(k\)和\(b\)的值；若不是，说明理由：
（1）\(y = -4x + 1\)；（2）\(y = \frac{3}{x}\)；（3）\(y = 7x\)；（4）\(y = x^2 - 3\)。
已知函数\(y = (2k - 1)x + (k + 3)\)是一次函数，求\(k\)的取值范围。
提升题
某出租车的收费标准为：起步价 8 元（3km 内），超过 3km 后，每千米收费 1.5 元，行驶路程\(x\)（km）与车费\(y\)（元）的函数关系为：
（1）当\(x ¤ 3\)时，函数表达式为______；
（2）当\(x > 3\)时，函数表达式为______（提示：总车费 = 起步价 + 超出部分费用）；
（3）该函数是否为一次函数？为什么？
拓展题
已知一次函数\(y = kx + b\)的图象过点\((0, 5)\)和\((1, 3)\)，求\(k\)和\(b\)的值，并分析该函数中\(y\)随\(x\)的变化趋势，以及直线与\(y\)轴的交点坐标。
幻灯片 9：易错点深度剖析
忽略\(k 0\)的条件，误判一次函数：
错误案例：认为\(y = 0x + 5\)（即\(y = 5\)）是一次函数（实际\(k = 0\)，不符合\(k 0\)，是常数函数）；认为\(y = (m^2 + 1)x + 2\)中\(m\)需满足特殊条件（实际\(m^2 + 1 1\)，永远不为 0，无论\(m\)取何值，都是一次函数）。
规避方法：判断一次函数时，首先检查 “\(x\)的系数是否不为 0”，若系数含参数，需确保参数取值使系数不为 0；对于恒正或恒负的系数（如\(m^2 + 1\)、\(|m| + 2\)），可直接确定\(k 0\)。
混淆一次函数与正比例函数的关系：
错误案例：认为 “一次函数就是正比例函数”（实际正比例函数是\(b = 0\)的一次函数，一次函数包含正比例函数，反之不成立）；认为 “\(y = 2x - 0\)不是正比例函数”（实际\(b = 0\)，是正比例函数，可简化为\(y = 2x\)）。
规避方法：牢记 “正比例函数是特殊的一次函数，特殊在\(b = 0\)”，判断时先看是否为一次函数，再看\(b\)是否为 0，若\(b = 0\)则同时是正比例函数。
误解\(k\)和\(b\)的实际意义，符号判断错误：
错误案例：在行程问题\(y = 20 - 5x\)中，认为\(k = 5\)表示 “速度为 5km/h”（实际\(k = -5\)，负号表示 “剩余距离随时间减小”，速度大小为 5km/h，需结合实际场景理解符号含义）；认为\(b = -3\)表示 “直线与\(y\)轴交于负半轴，无实际意义”（如费用问题中\(b = -3\)可能表示 “初始优惠 3 元”，需结合具体情境分析，并非无意义）。
规避方法：分析\(k\)的意义时，不仅看数值，还要看符号（正号表示 “因变量随自变量增大而增大”，负号表示 “减小”）；分析\(b\)的意义时，结合自变量为 0 的初始状态（如\(x = 0\)时的距离、费用、库存），避免孤立看待符号。
幻灯片 10：课堂总结
核心知识梳理：
一次函数定义：\(y = kx + b\)（(k≠
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.2.认识一次函数
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
如果设蛤蟆的数量为 x，y 分别表示蛤蟆嘴的数量，眼睛的数量，腿的数量，扑通声，你能列出相应的函数表达式吗？
y = x
y = 2x
y = 4x
y = x
在现实生活当中有许多问题都可以归结为函数问题，大家能不能举一些例子
一次函数与正比例函数
(2) 你能写出 y 与 x 之间的关系式吗？
y = 3 + 0.5x
情景一：某弹簧的自然长度为 3 cm，在弹性限度内，所挂物体的质量 x 每增加 1 千克，弹簧长度 y 增加 0.5 cm.
(1) 计算所挂物体的质量分别为 1 kg，2 kg，3 kg，4 kg， 5 kg 时的长度，并填入下表：
x/kg 0 1 2 3 4 5
y/cm
3
3.5
4
4.5
5
5.5
情景二：某辆汽车油箱中原有油 60 L，汽车每行驶50 km 耗油 6 L.
(1) 完成下表：
汽车行驶路程 x/km 0 50 100 150 200 300
油箱剩余油量 y/L
60
54
48
42
36
30
(2) 你能写出上表中 y 与 x 的关系式吗
y = 60－0.12x
上面的两个函数关系式：
(1) y = 3 + 0.5x；
(2) y = 60－0.12x.
若两个变量 x，y 间的对应关系可以表示为
y = kx + b (k，b 为常数，k 不等于 0)的形式. 则称 y 是 x 的一次函数. 特别地， 当 b = 0 时，称 y 是 x 的正比例函数，
大家讨论一下，这两个函数关系式有什么特征
下列关系式中，哪些是一次函数，哪些是正比例函数？
(1) y＝－x－4； (2) y＝5x2－6； (3) y＝2πx；
(6) y＝8x2＋x(1－8x).
解：(1)是一次函数，不是正比例函数；
(2)不是一次函数，也不是正比例函数；
(3)是一次函数，也是正比例函数；
(4)是一次函数，也是正比例函数；
(5)不是一次函数，也不是正比例函数；
(6)是一次函数，也是正比例函数．
方法总结
1.判定一个函数是一次函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零；
2.判定一个函数是正比例函数的条件：
自变量是一次整式，一次项系数不为零，常数项为零．
典例精析
例1 写出下列各题中 y 与 x 之间的关系式，并判断：y 是否为 x 的一次函数？是否为正比例函数？
（1）汽车以 60 km/h 的速度匀速行驶，行驶路程 y (km)与行驶时间 x (h)之间的关系；
解：由路程 = 速度×时间，得 y = 60x，
y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数.
解：由圆的面积公式，得 y = πx2，
y 不是 x 的一次函数，也不是 x 的正比例函数.
（2）圆的面积 y (cm2 ) 与它的半径 x (cm) 之间的关系.
解：这个水池每小时增加 5 m3 水，x h 增加 5x m3 水，
因而 y = 15 + 5x.
y 是 x 的一次函数，但不是 x 的正比例函数.
(3) 某水池有水 15 m3，现打开进水管进水，进水速度为 5 m3/h，x h 后这个水池有水 y m3.
例2 已知函数
(1) 若它是一次函数，求 m 的值；
解：∵ 是一次函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0.
∴ m＝±5 且 m≠5.
∴ m＝－5.
∴ 当 m＝－5 时，函数
是一次函数．
解：∵ 是正比例函数，
∴ m2－24＝1 且 m－5≠0 且 m＋1＝0.
∴ m＝±5 且 m≠5 且 m＝－1.
这样的 m 不存在.
∴ 不可能是正比例函数.
【方法总结】若 y = kxn + b 是一次函数，则 k ≠ 0，且 n = 1；当 k ≠ 0，且 b＝0 时，该函数为正比例函数．
例2 已知函数
(2) 它可能是正比例函数吗？若能，求出 m 的值．
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
变式训练
(1)若 是正比例函数，则 m = ；
(2)若 是正比例函数，则 m = ；
-2
-1
m-2 ≠ 0，
|m|-1 = 1，
∴ m = -2.
m-1≠0，
m2-1 = 0，
∴ m = -1.
例3 某地实行个人工资、薪金所得税征收办法规定：月收入低于 3500 元的部分不收税；月收入超过 3500元但低于 5000 元的部分征收 3% 的所得税. 如某人月收入 3860 元，他应缴个人工资、薪金所得税为：(3860 - 3500)×3% = 10.8 元.
(1)当月收入大于 3500 元而又小于 5000 元时，写出应缴所得税 y (元) 与收入 x (元) 之间的关系式.
解：y = 0.03×(x - 3500) (3500＜x＜5000).
(2) 某人月收入为 4160 元，他应缴所得税多少元？
解：当 x = 4160 时，y = 0.03×(4160-3500) = 19.8 (元).
答：他应缴所得税 19.8 元.
解：设此人本月工资是 x 元，则
19.2 = 0.03×( x - 3500 )，
解得 x = 4140.
答：此人本月工资是 4140 元.
(3) 如果某人本月应缴所得税 19.2 元，那么此人本月工资是多少元？
如图，△ABC 是边长为 x 的等边三角形.
(1) 求 BC 边上的高 h 与 x 之间的函数表达式. h 是 x 的一次函数吗？如果是，请指出相应的 k 与 b 的值.
解：∵ BC 边上的高 AD 也是 BC 边上的中线，
∴ 由勾股定理，得
即
∴ h 是 x 的一次函数，且
能力提升
（2）当 h = 时，求 x 的值.
（3）求△ABC 的面积 S 与 x 的函数表达式. S 是 x 的一次函数吗？
解:
（2）当 h = 时，有 .
解得 x = 2.
（3）∵
即 ∴ S 不是 x 的一次函数.
1. 判断正误：
(1) y = 2.2x，y 是 x 的一次函数，也是 x 的正比例函数. （ ）
(2) y = 80x + 100 ，y 是 x 的一次函数. （ ）
√
√
2.在函数 y = (m - 2)x + (m2 - 4)中，当 m 时，y 是 x 的一次函数；当 m 时，y 是 x 的正比例函数.
≠2
= -2
3. 已知函数 y = (m - 1)x|m|+1 是一次函数，求 m 的值.
4. 若函数 y = (m + 3)x + m2 - 9 是正比例函数，求 m 的值.
解：根据题意，得∣m∣=1，
解得 m = ±1.
又∵ m - 1≠0，即 m≠1，
∴ m = -1.
解：根据题意，得 m2 - 9 = 0，
解得 m = ±3.
又∵ m + 3≠0，即 m≠-3，
∴ m = 3.
5.已知 y - 3 与 x 成正比例，并且 x = 4 时，y = 7，求
y 与 x 之间的函数关系式.
解：依题意，设 y - 3 与 x 之间的函数关系式为
y - 3 = kx，
∵x = 4时，y = 7，∴7 - 3 = 4k，解得 k = 1.
∴y - 3 = x，即 y = x + 3.
6.有一块 10 公顷的成熟麦田，用一台收割速度为 0.5 公顷每小时的小麦收割机来收割.
（1）求收割的面积 y（单位：公顷）与收割时间 x（单位：时）之间的函数关系式；
（2）求收割完这块麦田需用的时间.
解：（1）y = 0.5x；
（2）把 y = 10 代入 y = 0.5x 中，得 10 = 0.5x.
解得 x = 20，即收割完这块麦田需要 20 小时.
　7.一个小球由静止开始沿一个斜坡向下滚动，其
速度每秒增加 2 m/s．
（1）求小球速度 v（单位：m/s）关于时间t（单位：
s）的函数表达式；
解：小球速度 v 关于时间 t 的函数表达式为 v = 2t.
（2）求第 2.5 s 时小球的速度；
（3）时间每增加 1 s，速度增加多少，速度增加量是否随着时间的变化而变化？
解：
(2)当 t = 2.5 时，v = 2×2.5 = 5(m/s).
(3)时间每增加 1 s，速度增加 2 m/s，速度增加量不随着时间的变化而变化.
知识点 生活中的均匀变化现象
1.［教材 操作·思考变式］水龙头关闭不严会造成漏水。下表记录了
内7个时间点的漏水量，其中表示时间， 表示漏水量。
时间 0 5 10 15 20 25 30
漏水量 0 15 30 45 60 75 90
（1）结合表中数据写出漏水量关于时间 的函数关系式:_______
（不要求写自变量的取值范围）；
（2）在这种漏水状态下，若不及时关闭水龙头，估算一天的漏水量约
为_______ 。
4 320
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2. 声音在空气中的传播速度与温度 的关系
如下表：
温度 0 5 10 15 20
速度 331 334 337 340 343
（1）写出速度与温度 之间的关系式；
解： 。
（2）当 时，求声音的传播速度；
解：当时， 。
（3）当声音的传播速度为 时，温度是多少？
解：当时，,所以 。
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3.一辆汽车以 的速度在公路上匀速行驶。
（1）用表格表示时间与路程之间的关系如下：
时间/ 0.5 1 1.5 2 2.5 3
路程/ 30 60 90 120 150 180
当汽车行驶的时间为时，行驶的路程为_____ ；
120
（2）用关系式表示：
设汽车行驶的时间为，行驶的路程为，则_____。当
时，汽车行驶的时间___ ；
4
（3）观察图象，并回答下列问题：
①当时，_____ ；
150
②图中点 表示的意义是什么？
解：当汽车行驶时间为时，行驶的路程为 。
一次函数
一次函数的概念
正比例函数的概念
函数关系式的确定
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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