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幻灯片 1：封面
课程名称：4.3.1 正比例函数的图象与性质
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
回顾正比例函数的定义（\(y = kx\)，\(k 0\)），明确其与一次函数的从属关系（特殊的一次函数）。
掌握正比例函数图象的绘制方法（两点法），理解其图象为过原点的直线。
探究并掌握正比例函数的性质（\(k\)的正负对函数增减性、图象倾斜方向的影响），能结合性质分析函数的变化规律。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
一次函数的定义：\(y = kx + b\)（\(k 0\)），当\(b = 0\)时，函数变为\(y = kx\)（\(k 0\)），称为正比例函数，是特殊的一次函数。
函数的表示方法：列表法、解析式法、图象法，图象法可直观展示函数变化趋势。
情境导入：
问题 1：小明购买铅笔，每支铅笔 0.5 元，购买数量\(x\)（支）与总费用\(y\)（元）的函数关系为\(y = 0.5x\)（正比例函数），若要画出该函数的图象，需要描哪些点？图象是什么形状？
问题 2：对比两个正比例函数\(y = 2x\)和\(y = -2x\)，它们的图象倾斜方向是否相同？\(y\)随\(x\)的变化规律有何差异？
提问引导：
正比例函数的图象有什么共同特征？是否都经过某个固定点？
正比例函数中参数\(k\)的取值对图象形状和函数性质有什么影响？
幻灯片 4：正比例函数的定义回顾与辨析
1. 定义内容
一般地，形如\(y = kx\)（其中\(k\)是常数，且\(k 0\)）的函数，叫做正比例函数，其中\(k\)叫做比例系数。
核心特征：
解析式为 “一次项 + 常数项” 的形式，且常数项\(b = 0\)（无常数项）；
自变量\(x\)的次数为 1，系数\(k 0\)（若\(k = 0\)，则\(y = 0\)，为常数函数，非正比例函数）。
2. 正比例函数与一次函数的关系
从属关系：正比例函数是一次函数的特殊情况（\(b = 0\)），一次函数包含正比例函数，用集合表示为：\(\{ °\} \subset \{ °\}\)。
示例：
是正比例函数：\(y = 3x\)（\(k=3 0\)，\(b=0\)）、\(y = -\frac{1}{2}x\)（\(k=-\frac{1}{2} 0\)，\(b=0\)）；
非正比例函数：\(y = 2x + 1\)（\(b=1 0\)，是一次函数）、\(y = 5\)（\(k=0\)，是常数函数）。
3. 定义辨析示例
例：判断下列函数是否为正比例函数，若是，指出比例系数\(k\)；若不是，说明理由：
（1）\(y = \frac{1}{3}x\)：是正比例函数，\(k = \frac{1}{3}\)；
（2）\(y = x \)：不是，自变量\(x\)的次数为 2，不是一次函数；
（3）\(y = 0x\)：不是，\(k = 0\)，不符合\(k 0\)的条件；
（4）\(y = -x\)：是正比例函数，\(k = -1\)（可看作\(y = -1 x\)）。
幻灯片 5：正比例函数图象的绘制方法
1. 绘制步骤（以\(y = 2x\)为例）
步骤 1：列表（取特殊点，简化计算）
正比例函数\(y = kx\)的图象过原点（\(x=0\)时，\(y=0\)），故优先取\(x=0\)，再取 1 个非零值（如\(x=1\)或\(x=-1\)），减少计算量：
\(x\)
0
1
\(y = 2x\)
0
2
步骤 2：描点
在平面直角坐标系中，找到点（0，0）（原点）和（1，2），用实心圆点标出。
步骤 3：连线
用直尺将两点沿两端延伸，画出直线，即为\(y = 2x\)的图象（直线向两端无限延伸，无端点）。
2. 关键结论：正比例函数的图象是过原点的直线
推导：对于任意正比例函数\(y = kx\)，当\(x=0\)时，\(y=0\)，故图象必过原点（0，0）；同时，一次函数的图象是直线，正比例函数作为特殊的一次函数，图象也是直线，因此正比例函数的图象是经过原点的直线。
3. 简化绘制：“两点法”（必取原点 + 1 个非零点）
因正比例函数图象是过原点的直线，只需确定两个点即可画出直线，通常取：
点 1：原点（0，0）（固定点，无需计算）；
点 2：\(x=1\)时对应的点（1，k）（计算简便，直接取\(k\)为纵坐标）。
示例：绘制\(y = -3x\)的图象：
取点（0，0）和（1，-3），描点后连线，得到过原点且向下倾斜的直线。
幻灯片 6：正比例函数的图象特征（与 k 的关系）
1. 当\(k > 0\)时的图象特征
倾斜方向：直线从左到右向上倾斜（从第三象限经过原点到达第一象限）；
经过象限：第一象限和第三象限（不经过第二、四象限）；
示例：\(y = 2x\)、\(y = 0.5x\)的图象，均过一、三象限，向上倾斜。
2. 当\(k < 0\)时的图象特征
倾斜方向：直线从左到右向下倾斜（从第二象限经过原点到达第四象限）；
经过象限：第二象限和第四象限（不经过第一、三象限）；
示例：\(y = -2x\)、\(y = -\frac{1}{3}x\)的图象，均过二、四象限，向下倾斜。
3. \(k\)的绝对值对图象倾斜程度的影响
\(|k|\)越大，直线与 x 轴正方向的夹角越大，图象越陡；
\(|k|\)越小，直线与 x 轴正方向的夹角越小，图象越平缓；
示例：对比\(y = 3x\)（\(|k|=3\)）和\(y = 0.5x\)（\(|k|=0.5\)），\(y = 3x\)的图象更陡；对比\(y = -3x\)和\(y = -0.5x\)，\(y = -3x\)的图象更陡。
幻灯片 7：正比例函数的性质（与 k 的关系）
1. 函数的增减性（y 随 x 的变化规律）
当\(k > 0\)时：\(y\)随\(x\)的增大而增大（x 每增加 1 个单位，y 增加\(k\)个单位）；
示例：\(y = 2x\)中，x 从 1 增加到 2，y 从 2 增加到 4，随 x 增大而增大。
当\(k < 0\)时：\(y\)随\(x\)的增大而减小（x 每增加 1 个单位，y 减少\(|k|\)个单位）；
示例：\(y = -2x\)中，x 从 1 增加到 2，y 从 - 2 减少到 - 4，随 x 增大而减小。
2. 对称性
正比例函数的图象关于原点对称（若点（x，y）在图象上，则点（-x，-y）也在图象上）；
示例：\(y = 2x\)的图象上有（1，2），则（-1，-2）也在图象上；\(y = -2x\)的图象上有（1，-2），则（-1，2）也在图象上。
3. 性质总结（表格形式）
比例系数\(k\)的取值
图象特征
函数性质（y 随 x 的变化）
经过象限
\(k > 0\)
过原点，从左到右向上倾斜，\(|k|\)越大越陡
\(y\)随\(x\)的增大而增大
第一、三象限
\(k < 0\)
过原点，从左到右向下倾斜，\(|k|\)越大越陡
\(y\)随\(x\)的增大而减小
第二、四象限
幻灯片 8：典型例题 1—— 图象绘制与性质分析
例 1：画出正比例函数\(y = \frac{1}{2}x\)和\(y = -3x\)的图象，并分析它们的性质。
解答与分析：
绘制\(y = \frac{1}{2}x\)的图象：
列表：取（0，0）、（2，1）（x 取 2，使 y 为整数，便于描点）；
描点：标出（0，0）、（2，1）；
连线：画过两点的直线，图象过一、三象限；
性质：\(k = \frac{1}{2} > 0\)，\(y\)随\(x\)的增大而增大，图象较平缓。
绘制\(y = -3x\)的图象：
列表：取（0，0）、（1，-3）；
描点：标出（0，0）、（1，-3）；
连线：画过两点的直线，图象过二、四象限；
性质：\(k = -3 < 0\)，\(y\)随\(x\)的增大而减小，图象较陡。
幻灯片 9：典型例题 2—— 利用性质解决实际问题
例 2：某电动车以恒定速度行驶，行驶路程\(y\)（km）与行驶时间\(x\)（h）的函数关系为正比例函数，且 3 小时行驶了 90km。
（1）求该正比例函数的解析式；
（2）画出函数图象，指出图象经过的象限；
（3）若行驶时间为 2.5 小时，求行驶路程；若行驶路程为 150km，求行驶时间；
（4）分析该函数的性质，说明速度与\(k\)的关系。
解答与分析：
（1）设解析式为\(y = kx\)（\(k 0\)），代入\(x=3\)，\(y=90\)：\(90 = 3k\)→\(k=30\)，故解析式为\(y = 30x\)（\(x 0\)，时间非负）。
（2）图象绘制：取（0，0）、（1，30），连线（仅\(x 0\)部分，因时间不能为负），图象经过第一象限和原点（实际仅第一象限部分）。
（3）计算路程与时间：
① \(x=2.5\)时，\(y = 30 2.5 = 75\)（km）；
② \(y=150\)时，\(150 = 30x\)→\(x=5\)（h）。
（4）性质与速度：\(k=30 > 0\)，\(y\)随\(x\)的增大而增大（路程随时间增加而增加）；比例系数\(k=30\)即为电动车的行驶速度（30km/h），体现了 “速度 = 路程 / 时间” 的数量关系。
幻灯片 10：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列函数是否为正比例函数，若是，指出\(k\)的值：
（1）\(y = 5x\)；（2）\(y = -x\)；（3）\(y = 2x + 3\)；（4）\(y = \frac{x}{3}\)。
画出正比例函数\(y = 4x\)和\(y = -\frac{1}{3}x\)的图象，指出它们经过的象限及\(y\)随\(x\)的变化规律。
提升题
已知正比例函数\(y = (m - 2)x\)的图象过第二、四象限，求\(m\)的取值范围；若该函数图象过点（1，-3），求\(m\)的值及函数解析式。
已知正比例函数\(y = kx\)（\(k 0\)），当\(x = -2\)时，\(y = 6\)，求：
（1）函数解析式；
（2）当\(x = 5\)时，\(y\)的值；
（3）当\(y = -9\)时，\(x\)的值。
拓展题
对比正比例函数\(y = 2x\)和\(y = \frac{1}{2}x\)，当\(x > 0\)时，哪个函数的函数值增长更快？当\(x < 0\)时，哪个函数的函数值减小更快？结合图象说明理由。
幻灯片 11：易错点深度剖析
忽略\(k 0\)的条件，误判正比例函数：
错误案例：认为\(y = 0x\)（即\(y = 0\)）是正比例函数（实际\(k = 0\)，不符合\(k 0\)，是常数函数，非正比例函数）；认为\(y = (m + 1)x\)中\(m\)需满足特殊条件（实际\(m + 1 1\)，永远不为 0，无论\(m\)取何值，都是正比例函数）。
规避方法：判断正比例函数时，首先检查 “\(x\)的系数是否不为 0”，若系数含参数，需确保参数取值使系数不为 0；对于恒正或恒负的系数（如\(m + 1\)、\(|m| + 2\)），可直接确定\(k 0\)。
绘制图象时，未取原点或连线错误：
错误案例：绘制\(y = 2x\)的图象时，取点（1，2）和（2，4），未取原点，导致图象不经过原点（实际正比例函数必过原点，应取（0，0）和（1，2））；描点后未用直线连接，或直线未延伸（正比例函数图象是无限延伸的
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.3.1正比例函数的图象与性质
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
2.函数有哪些表示方法
图象法、列表法、关系式法
是一次函数的是 ，是正比例函数的是 .
(2)，(4)
(2)
三种方法可以相互转化
它们之间有什么关系
3.你能根据函数表达式画出图象吗
什么是函数的图象
知识回顾
1. 在下列函数中：
； ； ； .
例1 画出正比例函数 y = 2x 的图象.
解：
x
y
1
0
0
-1
2
-2
…
…
…
…
2
4
-2
-4
关系式法
列表法
①列表
典例精析
正比例函数的图象的画法
y = 2x
②描点
以表中各组对应值作为点的坐标，在直角坐标系内描出相应的点
③连线
画函数图象的一般步骤：
①列表
②描点
③连线
根据这个步骤画出函数 y = -3x 的图象
要点归纳
这两个函数图象有什么共同特征？
y
1
2
4
5
-1
1
4
3
O
y = -3x
3
2
x
-2
-3
-4
-5
-1
-2
-3
-4
y = 2x
归纳总结
y = kx (k 是常数，k≠0)的图象是一条经过原点的直线 y = kx (k≠0) 经过的象限
k＞0 第一、三象限
k＜0 第二、四象限
怎样画正比例函数的图象最简单？为什么？
由于两点确定一条直线，画正比例函数的图象时，只需描出点 (1，k)，然后过此点和原点画直线即可.
两点
作图法
O
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）y = -3x；（2）
x 0 1
y = -3x
0
-3
0
y = -3x
画一画
例2 已知正比例函数 y = (m + 1)xm2，它的图象经过第几象限？
m + 1 = 2＞0.
该函数是正比例函数
m2 =1.
{
根据正比例函数的性质，可知该图象经过第一、第三象限.
解：
（1）若函数图象经过第一、三象限，则 k 的取值
范围是________.
变式1： 已知正比例函数 y = ( k + 1 )x.
k＞-1
（2）若函数图象经过点（2，4），则 k_____.
解析：因为函数图象经过第一、三象限，所以
k + 1＞0，解得 k＞-1.
解析：将坐标（2，4）带入函数表达式中，得
4 = (k + 1)·2，解得 k = 1.
= 1
变式2：当 x＞0 时，y 与 x 的函数表达式为 y = 2x，
当 x≤0 时，y 与 x 的函数表达式为 y = -2x，则在同一直角坐标系中的图象大致为( )
C
x
x
x
x
y
y
y
y
O
O
O
O
A B C D
画一画：在同一直角坐标系内画出正比例函数 y = x，y = 3x，y = - x 和 y = -4x 的图象.
这四个函数中，随着 x 的增大，y 的值分别如何变化
正比例函数图象的性质
当 k＞0 时，
x 增大时，y 的值也增大；
当 k＜0 时，
x 增大时，y 的值反而减小.
x
y
O
2
4
y = 2x
1
2
2
4
y 随 x 的增大而增大
y 随 x 的增大而减小
y = x
3
2
-3
-6
x
y
O
想一想：下列函数中，随着x的增大，y的值分别如何变化
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
在正比例函数 y = kx 中：
当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
总结归纳
练一练
1.已知正比例函数 y = kx (k＜0) 的图象上有两点 (x1，y1)，
(x2，y2)，若 x1＜x2 ，则 y1 y2.
＞
2. 正比例函数 y = k1x 和 y = k2x 的图象如图，则 k1 和 k2的大小关系是( )
A. k1＞k2 B. k1 = k2
C. k1＜k2 D. 不能确定
y = k1x
y = k2x
x
y
o
A
例3 已知正比例函数 y = mx 的图象经过点 (m，4)，且 y 的值随着 x 值的增大而减小，求 m 的值.
解：∵正比例函数 y = mx 的图象经过点(m，4)，
∴ 4 = m·m，解得 m = ±2.
又 y 的值随着 x 值的增大而减小，
∴ m＜0，故 m = －2.
（1）正比例函数 y = x 和 y = 3x 中，随着 x 值的增大y的值都增加了，其中哪一个增加得更快？你能说明其中的道理吗？
（2）正比例函数 y = - x和 y = -4x 中，随着 x 值的增大 y 的值都减小了，其中哪一个减小得更快？你是如何判断的？
| k |越大，直线越陡，直线越靠近 y 轴.
议一议
1. 下列图象哪个可能是函数 y = -x 的图象（ ）
B
　2. 对于正比例函数 y = (k - 2)x，当 x 增大时，y 随之增大，则 k 的取值范围是 ( )
　　A．k＜2　　　　　　 B．k≤2
　　C．k＞2　　　　　 　D．k≥2
C
x
y
O
x
y
O
x
y
O
x
y
O
3. 函数 y = -7x 的图象经过第_________象限，经过点
_______与点 ，y 随 x 的增大而_______.
二、四
（0，0）
（1，-7）
减小
4. 已知正比例函数 y = (2m + 4)x.
（1）当 m 时，函数图象经过第一、三象限；
（2）当 m 时，y 随 x 的增大而减小；
（3）当 m 时，函数图象经过点(2，10).
＞-2
＜-2
= 0.5
5. 比较大小：
（1）k1 k2；（2）k3 k4；
　 （3）比较 k1， k2， k3， k4 的
的大小，并用不等号连接．
＜
解：k1＜k2 ＜k3 ＜k4.
4
2
-2
-4
4
x
y
O
y =k4x
-4
-2
2
y =k3x
y = k2x
y = k1x
＜
6. 已知某种小汽车的耗油量是每 100 km 耗油 15 L．所使用的汽油为 5 元/ L ．
（1）写出汽车行驶途中所耗油费 y（元）与行程
x（km）之间的函数关系式；
（2）在平面直角坐标系内描出大致的函数图象；
（3）计算该汽车行驶 220 km 所需油费是多少.
y/元
x/km
1 2 3 4 5 6 7
6
5
4
3
2
1
O
（1）
即 .
（2）
x 0 4
y 0 3
列表
（3）当 x = 220 时，
答：该汽车行驶 220 km 所需油费是 165 元．
描点
连线
（元）.
解：
知识点1 正比例函数的图象
1.正比例函数 的图象是( )
D
A. B. C. D.
返回
2.正比例函数 的图象经过( )
B
A.第一、二象限 B.第二、四象限 C.第一、三象限 D.第三、四象限
返回
3.已知正比例函数 ，则下列坐标对应的点在该函数图象上的是
( )
D
A. B. C. D.
返回
4.［2024天津中考］若正比例函数是常数， 的图象经过
第一、三象限，则 的值可以是_________________（写出一个即可）。
1（答案不唯一）
返回
5.［教材尝试·思考 变式］ 在如图所示的直角坐标系内画出下
列函数图象。
（1）；（2） 。
解：如图所示。
返回
知识点2 正比例函数的性质
6.关于正比例函数 ，下列结论正确的是( )
D
A. B.图象必经过点
C.图象不经过原点 D.随 的增大而减小
返回
7.已知正比例函数为常数，且的函数值随 的增大而减
小，那么这个函数图象不可能经过的点是( )
A
A.点 B.点 C.点 D.点
返回
8.［2024山西中考］已知点,都在正比例函数 的
图象上，若，则与 的大小关系是( )
B
A. B. C. D.
返回
正比例函数的图象和性质
图象：经过原点的直线.
当 k＞0 时，经过第一、三象限；当 k＜0 时，经过第二、四象限
性质：当 k＞0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；
当 k＜0 时，y 的值随 x 值的增大而减小
画正比例函数图象的一般步骤：列表、描点、连线
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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