资源简介

(共37张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.3.1 正比例函数的图象与性质
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
回顾正比例函数的定义（\(y = kx\)，\(k 0\)），明确其与一次函数的从属关系（特殊的一次函数）。
掌握正比例函数图象的绘制方法（两点法），理解其图象为过原点的直线。
探究并掌握正比例函数的性质（\(k\)的正负对函数增减性、图象倾斜方向的影响），能结合性质分析函数的变化规律。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
一次函数的定义：\(y = kx + b\)（\(k 0\)），当\(b = 0\)时，函数变为\(y = kx\)（\(k 0\)），称为正比例函数，是特殊的一次函数。
函数的表示方法：列表法、解析式法、图象法，图象法可直观展示函数变化趋势。
情境导入：
问题 1：小明购买铅笔，每支铅笔 0.5 元，购买数量\(x\)（支）与总费用\(y\)（元）的函数关系为\(y = 0.5x\)（正比例函数），若要画出该函数的图象，需要描哪些点？图象是什么形状？
问题 2：对比两个正比例函数\(y = 2x\)和\(y = -2x\)，它们的图象倾斜方向是否相同？\(y\)随\(x\)的变化规律有何差异？
提问引导：
正比例函数的图象有什么共同特征？是否都经过某个固定点？
正比例函数中参数\(k\)的取值对图象形状和函数性质有什么影响？
幻灯片 4：正比例函数的定义回顾与辨析
1. 定义内容
一般地，形如\(y = kx\)（其中\(k\)是常数，且\(k 0\)）的函数，叫做正比例函数，其中\(k\)叫做比例系数。
核心特征：
解析式为 “一次项 + 常数项” 的形式，且常数项\(b = 0\)（无常数项）；
自变量\(x\)的次数为 1，系数\(k 0\)（若\(k = 0\)，则\(y = 0\)，为常数函数，非正比例函数）。
2. 正比例函数与一次函数的关系
从属关系：正比例函数是一次函数的特殊情况（\(b = 0\)），一次函数包含正比例函数，用集合表示为：\(\{ °\} \subset \{ °\}\)。
示例：
是正比例函数：\(y = 3x\)（\(k=3 0\)，\(b=0\)）、\(y = -\frac{1}{2}x\)（\(k=-\frac{1}{2} 0\)，\(b=0\)）；
非正比例函数：\(y = 2x + 1\)（\(b=1 0\)，是一次函数）、\(y = 5\)（\(k=0\)，是常数函数）。
3. 定义辨析示例
例：判断下列函数是否为正比例函数，若是，指出比例系数\(k\)；若不是，说明理由：
（1）\(y = \frac{1}{3}x\)：是正比例函数，\(k = \frac{1}{3}\)；
（2）\(y = x \)：不是，自变量\(x\)的次数为 2，不是一次函数；
（3）\(y = 0x\)：不是，\(k = 0\)，不符合\(k 0\)的条件；
（4）\(y = -x\)：是正比例函数，\(k = -1\)（可看作\(y = -1 x\)）。
幻灯片 5：正比例函数图象的绘制方法
1. 绘制步骤（以\(y = 2x\)为例）
步骤 1：列表（取特殊点，简化计算）
正比例函数\(y = kx\)的图象过原点（\(x=0\)时，\(y=0\)），故优先取\(x=0\)，再取 1 个非零值（如\(x=1\)或\(x=-1\)），减少计算量：
\(x\)
0
1
\(y = 2x\)
0
2
步骤 2：描点
在平面直角坐标系中，找到点（0，0）（原点）和（1，2），用实心圆点标出。
步骤 3：连线
用直尺将两点沿两端延伸，画出直线，即为\(y = 2x\)的图象（直线向两端无限延伸，无端点）。
2. 关键结论：正比例函数的图象是过原点的直线
推导：对于任意正比例函数\(y = kx\)，当\(x=0\)时，\(y=0\)，故图象必过原点（0，0）；同时，一次函数的图象是直线，正比例函数作为特殊的一次函数，图象也是直线，因此正比例函数的图象是经过原点的直线。
3. 简化绘制：“两点法”（必取原点 + 1 个非零点）
因正比例函数图象是过原点的直线，只需确定两个点即可画出直线，通常取：
点 1：原点（0，0）（固定点，无需计算）；
点 2：\(x=1\)时对应的点（1，k）（计算简便，直接取\(k\)为纵坐标）。
示例：绘制\(y = -3x\)的图象：
取点（0，0）和（1，-3），描点后连线，得到过原点且向下倾斜的直线。
幻灯片 6：正比例函数的图象特征（与 k 的关系）
1. 当\(k > 0\)时的图象特征
倾斜方向：直线从左到右向上倾斜（从第三象限经过原点到达第一象限）；
经过象限：第一象限和第三象限（不经过第二、四象限）；
示例：\(y = 2x\)、\(y = 0.5x\)的图象，均过一、三象限，向上倾斜。
2. 当\(k < 0\)时的图象特征
倾斜方向：直线从左到右向下倾斜（从第二象限经过原点到达第四象限）；
经过象限：第二象限和第四象限（不经过第一、三象限）；
示例：\(y = -2x\)、\(y = -\frac{1}{3}x\)的图象，均过二、四象限，向下倾斜。
3. \(k\)的绝对值对图象倾斜程度的影响
\(|k|\)越大，直线与 x 轴正方向的夹角越大，图象越陡；
\(|k|\)越小，直线与 x 轴正方向的夹角越小，图象越平缓；
示例：对比\(y = 3x\)（\(|k|=3\)）和\(y = 0.5x\)（\(|k|=0.5\)），\(y = 3x\)的图象更陡；对比\(y = -3x\)和\(y = -0.5x\)，\(y = -3x\)的图象更陡。
幻灯片 7：正比例函数的性质（与 k 的关系）
1. 函数的增减性（y 随 x 的变化规律）
当\(k > 0\)时：\(y\)随\(x\)的增大而增大（x 每增加 1 个单位，y 增加\(k\)个单位）；
示例：\(y = 2x\)中，x 从 1 增加到 2，y 从 2 增加到 4，随 x 增大而增大。
当\(k < 0\)时：\(y\)随\(x\)的增大而减小（x 每增加 1 个单位，y 减少\(|k|\)个单位）；
示例：\(y = -2x\)中，x 从 1 增加到 2，y 从 - 2 减少到 - 4，随 x 增大而减小。
2. 对称性
正比例函数的图象关于原点对称（若点（x，y）在图象上，则点（-x，-y）也在图象上）；
示例：\(y = 2x\)的图象上有（1，2），则（-1，-2）也在图象上；\(y = -2x\)的图象上有（1，-2），则（-1，2）也在图象上。
3. 性质总结（表格形式）
比例系数\(k\)的取值
图象特征
函数性质（y 随 x 的变化）
经过象限
\(k > 0\)
过原点，从左到右向上倾斜，\(|k|\)越大越陡
\(y\)随\(x\)的增大而增大
第一、三象限
\(k < 0\)
过原点，从左到右向下倾斜，\(|k|\)越大越陡
\(y\)随\(x\)的增大而减小
第二、四象限
幻灯片 8：典型例题 1—— 图象绘制与性质分析
例 1：画出正比例函数\(y = \frac{1}{2}x\)和\(y = -3x\)的图象，并分析它们的性质。
解答与分析：
绘制\(y = \frac{1}{2}x\)的图象：
列表：取（0，0）、（2，1）（x 取 2，使 y 为整数，便于描点）；
描点：标出（0，0）、（2，1）；
连线：画过两点的直线，图象过一、三象限；
性质：\(k = \frac{1}{2} > 0\)，\(y\)随\(x\)的增大而增大，图象较平缓。
绘制\(y = -3x\)的图象：
列表：取（0，0）、（1，-3）；
描点：标出（0，0）、（1，-3）；
连线：画过两点的直线，图象过二、四象限；
性质：\(k = -3 < 0\)，\(y\)随\(x\)的增大而减小，图象较陡。
幻灯片 9：典型例题 2—— 利用性质解决实际问题
例 2：某电动车以恒定速度行驶，行驶路程\(y\)（km）与行驶时间\(x\)（h）的函数关系为正比例函数，且 3 小时行驶了 90km。
（1）求该正比例函数的解析式；
（2）画出函数图象，指出图象经过的象限；
（3）若行驶时间为 2.5 小时，求行驶路程；若行驶路程为 150km，求行驶时间；
（4）分析该函数的性质，说明速度与\(k\)的关系。
解答与分析：
（1）设解析式为\(y = kx\)（\(k 0\)），代入\(x=3\)，\(y=90\)：\(90 = 3k\)→\(k=30\)，故解析式为\(y = 30x\)（\(x 0\)，时间非负）。
（2）图象绘制：取（0，0）、（1，30），连线（仅\(x 0\)部分，因时间不能为负），图象经过第一象限和原点（实际仅第一象限部分）。
（3）计算路程与时间：
① \(x=2.5\)时，\(y = 30 2.5 = 75\)（km）；
② \(y=150\)时，\(150 = 30x\)→\(x=5\)（h）。
（4）性质与速度：\(k=30 > 0\)，\(y\)随\(x\)的增大而增大（路程随时间增加而增加）；比例系数\(k=30\)即为电动车的行驶速度（30km/h），体现了 “速度 = 路程 / 时间” 的数量关系。
幻灯片 10：课堂练习（分层巩固）
基础题
判断下列函数是否为正比例函数，若是，指出\(k\)的值：
（1）\(y = 5x\)；（2）\(y = -x\)；（3）\(y = 2x + 3\)；（4）\(y = \frac{x}{3}\)。
画出正比例函数\(y = 4x\)和\(y = -\frac{1}{3}x\)的图象，指出它们经过的象限及\(y\)随\(x\)的变化规律。
提升题
已知正比例函数\(y = (m - 2)x\)的图象过第二、四象限，求\(m\)的取值范围；若该函数图象过点（1，-3），求\(m\)的值及函数解析式。
已知正比例函数\(y = kx\)（\(k 0\)），当\(x = -2\)时，\(y = 6\)，求：
（1）函数解析式；
（2）当\(x = 5\)时，\(y\)的值；
（3）当\(y = -9\)时，\(x\)的值。
拓展题
对比正比例函数\(y = 2x\)和\(y = \frac{1}{2}x\)，当\(x > 0\)时，哪个函数的函数值增长更快？当\(x < 0\)时，哪个函数的函数值减小更快？结合图象说明理由。
幻灯片 11：易错点深度剖析
忽略\(k 0\)的条件，误判正比例函数：
错误案例：认为\(y = 0x\)（即\(y = 0\)）是正比例函数（实际\(k = 0\)，不符合\(k 0\)，是常数函数，非正比例函数）；认为\(y = (m + 1)x\)中\(m\)需满足特殊条件（实际\(m + 1 1\)，永远不为 0，无论\(m\)取何值，都是正比例函数）。
规避方法：判断正比例函数时，首先检查 “\(x\)的系数是否不为 0”，若系数含参数，需确保参数取值使系数不为 0；对于恒正或恒负的系数（如\(m + 1\)、\(|m| + 2\)），可直接确定\(k 0\)。
绘制图象时，未取原点或连线错误：
错误案例：绘制\(y = 2x\)的图象时，取点（1，2）和（2，4），未取原点，导致图象不经过原点（实际正比例函数必过原点，应取（0，0）和（1，2））；描点后未用直线连接，或直线未延伸（正比例函数图象是无限延伸的
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.3.2一次函数的图象与性质
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
复习引入
　　（1）什么叫一次函数？从表达式上看，一次函数与正比例函数有什么关系？
（2）正比例函数的图象是什么？是怎样得到的？
（3）正比例函数有哪些性质？是怎样得到这些性
质的？
正比例函数
表达式 y = kx（k≠0）
性质：k＞0，y 随 x 的增大而增大；k＜0，y 随 x 的增大而减小．
一次函数
表达式 y = kx+b（k≠0）
针对函数 y = kx + b，要研究什么？怎样研究？
图象：经过原点和点
（1，k）的一条直线
x
y
O
k＞0
k＜0
x
y
O
图象： ？
性质： ？
在上一课的学习中，我们学会了正比例函数图象的画法，分为三个步骤．
①列表
②描点
③连线
那么你能用同样的方法画出一次函数的图象吗？
一次函数的图象的画法
-3
-2
-1
5
4
3
2
1
o
-2
-3
-4
-5
2
3
4
5
x
y
1
y = –2x＋1
描点、
连线
一次函数的图象是什么？
-1
列表
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
0 1 2 3 4 5
0 1 2 3 4 5
x –2 –1 0 1 2
y = –2x+1 5 3 1 –1 –3
例1 画出一次函数 y = －2x＋1 的图象
(0，b)
( ，0)
总结归纳
一次函数 y = kx＋b 的图象
也称为直线 y = kx＋b.
一次函数 y = kx＋b 的图象是一条直线，因此画一次函数图象时，只要确定两个点，再过这两点画直线就可以了.一般过(0，b)和(1，k＋b)或( ，0)
O
y = -2x-1
y = 0.5x+1
用你认为最简单的方法画出下列函数的图象：
（1）y = - 2x - 1；（2）y = 0.5x + 1.
x 0 1
y = -2x -1
y = 0.5x +1
-1
-3
1
做一做
1.5
也可以先画直线 y = -2x 与 y = 0.5x，再分别平移它们，也能得到直线
y = -2x - 1 与 y = 0.5x + 1.
.
.
.
.
x
y
2
O
.
.
.
活动：请大家用描点法在同一坐标系内画出一次函数 y = x + 2，y = x - 2 的图象.
x … -2 -1 0 1 2 …
y = x + 2 … …
y = x - 2 … …
0
-3
1
-4
2
-2
3
-1
4
0
.
.
.
y = x + 2
y = x - 2
思考：观察它们的图象有什么特点？
y = x
y = x + 2
y = x - 2
y
2
O
x
2
●
●
观察三个函数图象的平移情况：
探究归纳
3. 比较三个函数的表达式， 相同，它
们的图象的位置关系是 .
把一次函数y = x+2，y = x-2的图象与y = x比较，发现：
1. 这三个函数的图象形状都是 ，并且倾斜程度
______．
2. 函数 y = x 的图象经过原点，函数 y = x + 2 的图象与
y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y = x 向
平移 个单位长度而得到．函数 y = x - 2 的图
象与 y 轴交于点 ，即它可以看作由直线 y
= x 向____平移____个单位长度而得到．
直线
相同
（0，2）
上
2
（0，-2）
下
2
自变量系数 k
平行
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
一次函数 y = kx + b（k≠0）的图象经过点（0，b），可以由正比例函数 y = kx 的图象平移 个单位长度得到 (当 b＞0时，向 平移；当 b＜0 时，向 平移).
下
上
思考：与 x 轴的交点坐标是什么？
要点归纳
| b |
(1)将直线 y ＝ 2x 向上平移 2 个单位后所得图象对应的函数表达式为(　　)
A．y＝2x－1 B．y＝2x－2
C．y＝2x＋1 D．y＝2x＋2
(2)将正比例函数 y＝－6x 的图象向上平移，则平移后所得图象对应的函数表达式可能是 _____________
(写出一个即可)．
练一练
D
y＝－6x＋3
（1）
（2）
（3）
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
思考：k，b 的值跟图象有什么关系？
画一画1：在同一坐标系中作出下列函数的图象.
一次函数的性质
画一画2： 在同一坐标系中作出下列函数的图象.
（1）
（2）
（3）
-3
o
-2
2
3
1
2
3
-1
-1
-2
x
y
1
思考：k，b 的值跟图象有什么关系？
-3
O
-2
2
3
1
2
3
-1
-2
x
y
1
-1
在一次函数 y = kx + b (k， b 为常数， k ≠ 0) 中，
当 k＞0 时，y 的值随着 x 值的增大而增大；
当 k＜0 时，y 的值随着 x 值的增大而减小.
由此得到一次函数的性质：
归纳总结
提示：反过来也成立：y 越大，x 也越大．
例2 P1(x1，y1)，P2(x2，y2) 是一次函数 y = -0.5x + 3 图象
上的两点，下列判断中，正确的是 ( )
A. y1＞y2 B. 当 x1＜x2 时，y1＜y2
C. y1＜y2 D. 当 x1＜x2 时，y1＞y2
D
解析：根据一次函数的性质，当 k＜0 时，y 随 x 的增大而减小，所以 D 为正确答案．
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
k 0，b 0
思考：根据一次函数的图象判断 k，b 的正负，并说出直线经过的象限：
＞
＞
＞
＞
＜
=
＞
＜
＜
＜
＜
=
归纳总结
一次函数 y = kx＋b 中，k，b 的正负对函数图象及性质有什么影响？
当 k＞0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐上升，y 随 x 的增大而增大.
当 k＜0 时，直线 y = kx＋b 从左到右逐渐下降，y 随 x 的增大而减小.
① b＞0 时，直线经过第一、二、四象限；
② b＜0 时，直线经过第二、三、四象限.
① b＞0 时，直线经过第一、二、三象限；
② b＜0 时，直线经过第一、三、四象限.
两个一次函数 y1 ＝ ax＋b 与 y2 ＝ bx＋a，它们在同一坐标系中的图象可能是(　　)
练一练
C
例3 已知一次函数 y = (1 - 2m)x + m - 1，求满足下列条件的 m 的值：
（1）函数值 y 随 x 的增大而增大；
（2）函数图象与 y 轴的负半轴相交；
（3）函数的图象过第二、三、四象限.
解：(1)由题意得 1 - 2m＞0，解得
(2)由题意得 1 - 2m≠0 且 m - 1 ＜ 0，即
(3)由题意得 1 - 2m ＜ 0 且 m - 1 ＜ 0，解得
1. 一次函数y = x - 2 的大致图象为（ ）
C
A B C D
2.下列函数中，y 的值随 x 值的增大而增大的函数是 ( )
A. y = -2x B. y = -2x + 1
C. y = x - 2 D. y = -x - 2
C
3. 直线 y = 3x - 2 可由直线 y = 3x 向 平移 个单位得到.
4. 直线 y = x + 2 可由直线 y = x - 1向 平移 个单位得到.
下
2
上
3
5. 点 A(-1，y1)，B(3，y2) 是直线 y = kx + b(k ＜ 0)上的两点，则 y1 - y2 0 (填“＞”或“＜”).
＞
6.已知一次函数 y＝(3m - 8)x＋1 - m 图象与 y 轴交点在 x 轴下方，且 y 随 x 的增大而减小，其中 m 为整数，求 m 的值.
解: 由题意得
解得
又∵ m 为整数，
∴ m = 2.
知识点1 一次函数的图象
1.在平面直角坐标系中，一次函数 的图象是( )
C
A. B. C. D.
返回
2.一次函数 的图象不经过( )
A
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
返回
3.［教材复习题 变式］ 如图，一次函数
的图象与轴负半轴交于点，与 轴正半轴
交于点 ，则下列结论正确的是( )
A
A., B.，
C.， D.，
返回
4.已知一次函数的图象与
轴交于点，与轴交于点 。
（1）在给定的直角坐标系中，画出一
次函数 的图象；
解：如图所示。
（2）求， 两点的坐标。
解：因为,所以当时， ；
当时， 。
所以, 。
返回
知识点2 一次函数的性质
5.下列一次函数中，随 的增大而减小的是( )
D
A. B. C. D.
返回
6.下列关于一次函数 的说法中，错误的是( )
D
A.图象与轴的交点坐标为 B.的值随着 的值的增大而减小
C.图象经过第一、二、四象限 D.当时，
返回
7.［2024镇江中考］点，在一次函数 的图象
上，则___（用“ ”“”或“ ”填空）。
返回
8.［2024长春中考］已知直线，是常数经过点，且
随的增大而减小，则 的值可以是_________________。（写出一个即可）
2（答案不唯一）
返回
一次函数的图象和性质
当 k ＞ 0 时，y 的值随 x 值的增大而增大；
当 k ＜ 0 时，y 的值随 x 值的增大而减小.
与 y 轴的交点是（0，b），
与 x 轴的交点是（ ，0）；
当 k ＞ 0， b ＞ 0 时，经过一、二、三象限；
当 k ＞ 0 ，b ＜ 0 时，经过一、三、四象限；
当 k ＜ 0 ，b ＞ 0 时，经过一、二、四象限；
当 k ＜ 0 ，b ＜ 0 时，经过二、三、四象限.
图象
性质
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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