资源简介

(共27张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.4.1 根据一次函数的图象确定表达式
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
明确一次函数的一般表达式为\(y = kx + b\)（\(k 0\)），知道确定表达式需求出参数\(k\)和\(b\)的值。
掌握根据一次函数图象确定表达式的核心方法（两点法）：从图象中选取两点坐标，代入表达式列方程组求解\(k\)和\(b\)。
能结合一次函数的性质（如增减性、图象经过的象限）或特殊点（与坐标轴交点、原点），简化表达式求解过程，提升数形结合应用能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
一次函数的表达式：\(y = kx + b\)（\(k 0\)），其中\(k\)是斜率（决定图象倾斜方向和增减性），\(b\)是\(y\)轴截距（决定图象与\(y\)轴交点）。
一次函数的图象：是一条直线，直线上任意两点的坐标都满足函数表达式；反之，满足表达式的点都在直线上。
情境导入：
问题 1：如图，是某手机套餐月费\(y\)（元）与通话时间\(x\)（分钟）的一次函数图象，过（0，18）和（100，28）两点，如何根据这两个点的坐标求出该函数的表达式，进而确定套餐的月租费和每分钟通话费？
问题 2：若一次函数的图象过原点，且过点（2，4），能否直接确定它的表达式？与一般一次函数相比，求解过程有何简化？
提问引导：
确定一次函数的表达式，关键是求哪两个参数？为什么需要两个点的坐标才能求解？
若图象中只给出一个点的坐标，但已知函数的增减性（如\(y\)随\(x\)增大而减小），能否确定表达式？还需要什么条件？
幻灯片 4：核心方法 —— 两点法（已知图象上两点坐标）
1. 方法原理
一次函数的表达式\(y = kx + b\)含两个未知参数\(k\)和\(b\)，根据 “两点确定一条直线”，直线上任意两点的坐标\((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)都满足表达式，代入后可得到一个关于\(k\)和\(b\)的二元一次方程组，解方程组即可求出\(k\)和\(b\)，进而确定表达式。
2. 解题步骤（四步走）
设表达式：设一次函数的表达式为\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
找两点：从图象中选取两个清晰的点（优先选与坐标轴交点、整数坐标点，简化计算），记录坐标\((x_1, y_1)\)、\((x_2, y_2)\)；
列方程组：将两点坐标代入表达式，得到：\(\begin{cases} y_1 = kx_1 + b \\ y_2 = kx_2 + b \end{cases}\)；
解方程组：通过消元法（代入消元或加减消元）求出\(k\)和\(b\)的值，代入表达式即可。
3. 示例 1：已知两点求表达式（一般情况）
问题：一次函数的图象过点（2，5）和（-1，-1），求该函数的表达式。
解答步骤：
设表达式：\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
列方程组：将（2，5）和（-1，-1）代入，得：\(\begin{cases} 5 = 2k + b \\ -1 = -k + b \end{cases}\)；
解方程组：
用第一个方程减第二个方程：\(5 - (-1) = 2k + b - (-k + b)\)→\(6 = 3k\)→\(k = 2\)；
将\(k = 2\)代入\(-1 = -k + b\)：\(-1 = -2 + b\)→\(b = 1\)；
写表达式：\(y = 2x + 1\)。
验证：将（2，5）代入\(y = 2x + 1\)，\(2 2 + 1 = 5\)（成立）；将（-1，-1）代入，\(2 (-1) + 1 = -1\)（成立），表达式正确。
幻灯片 5：特殊场景 1—— 已知图象与坐标轴交点
1. 场景特点
一次函数图象与\(y\)轴交点为\((0, b)\)（\(b\)直接已知），与\(x\)轴交点为\((-\frac{b}{k}, 0)\)，若图象中给出这两个交点，可直接获取\(b\)的值，只需再求\(k\)，简化计算。
2. 示例 2：已知与坐标轴交点求表达式
问题：一次函数的图象与\(x\)轴交于（3，0），与\(y\)轴交于（0，-6），求该函数的表达式。
解答步骤：
设表达式：\(y = kx + b\)（\(k 0\)）；
求\(b\)：与\(y\)轴交点（0，-6），故\(b = -6\)，表达式简化为\(y = kx - 6\)；
求\(k\)：将与\(x\)轴交点（3，0）代入\(y = kx - 6\)，得\(0 = 3k - 6\)→\(k = 2\)；
写表达式：\(y = 2x - 6\)。
验证：与\(x\)轴交点：令\(y = 0\)，\(2x - 6 = 0\)→\(x = 3\)（符合）；与\(y\)轴交点：\(x = 0\)时，\(y = -6\)（符合），表达式正确。
幻灯片 6：特殊场景 2—— 图象过原点（正比例函数）
1. 场景特点
若一次函数图象过原点（0，0），则该函数为正比例函数，表达式简化为\(y = kx\)（\(b = 0\)），只需一个非原点的点即可求出\(k\)。
2. 示例 3：正比例函数图象求表达式
问题：正比例函数的图象过点（-2，6），求该函数的表达式。
解答步骤：
设表达式：因过原点，故为正比例函数，设\(y = kx\)（\(k 0\)）；
求\(k\)：将（-2，6）代入\(y = kx\)，得\(6 = -2k\)→\(k = -3\)；
写表达式：\(y = -3x\)。
验证：将（-2，6）代入，\(-3 (-2) = 6\)（成立）；过原点（0，0），\(-3 0 = 0\)（成立），表达式正确。
幻灯片 7：特殊场景 3—— 已知一点与函数性质
1. 场景特点
若图象中只给出一个点的坐标，但已知函数的性质（如\(k > 0\)（\(y\)随\(x\)增大而增大）、\(k < 0\)（\(y\)随\(x\)增大而减小），或图象经过的象限），可结合性质缩小\(k\)的范围，若点坐标含参数，可进一步确定参数值。
2. 示例 4：已知一点与增减性求表达式
问题：一次函数\(y = kx + 3\)（\(k 0\)）的图象过点（1，m），且\(y\)随\(x\)的增大而减小，若该图象还过点（2，1），求\(k\)和\(m\)的值及函数表达式。
解答步骤：
求\(k\)：将（2，1）代入\(y = kx + 3\)，得\(1 = 2k + 3\)→\(2k = -2\)→\(k = -1\)（满足\(k < 0\)，符合\(y\)随\(x\)增大而减小的性质）；
写表达式：\(y = -x + 3\)；
求\(m\)：将（1，m）代入表达式，得\(m = -1 + 3 = 2\)。
验证：\(k = -1 < 0\)，\(y\)随\(x\)增大而减小（符合性质）；过（2，1）和（1，2），两点连线斜率为\(\frac{1 - 2}{2 - 1} = -1 = k\)（符合），表达式正确。
幻灯片 8：典型例题 —— 复杂图象场景（含分段或隐含点）
例 5：如图，是某水箱注水与停水过程中，水位高度\(y\)（cm）与时间\(x\)（分钟）的函数图象，分为两段：第一段（0≤x≤5）是注水过程（一次函数），第二段（5≤x≤10）是停水过程（水位不变，常数函数）。已知注水 5 分钟时水位高度为 20cm，求第一段注水过程的函数表达式。
解答步骤：
分析图象：第一段是一次函数，过两点：
起点（0，0）（初始水位为 0，x=0 时 y=0）；
终点（5，20）（注水 5 分钟，水位 20cm）；
设表达式：因过原点，第一段为正比例函数（特殊一次函数），设\(y = kx\)（\(k 0\)）；
求\(k\)：将（5，20）代入，得\(20 = 5k\)→\(k = 4\)；
写表达式：\(y = 4x\)（\(0 ¤x ¤5\)）。
验证：x=0 时，y=0（初始水位正确）；x=5 时，y=20（符合图象终点），表达式正确。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
一次函数的图象过点（1，3）和（-2，-3），求该函数的表达式。
一次函数的图象与\(y\)轴交于（0，4），与\(x\)轴交于（-2，0），求该函数的表达式。
正比例函数的图象过点（3，-9），求该函数的表达式。
提升题
一次函数\(y = kx + b\)的图象过点（2，-1），且图象平行于直线\(y = -3x + 2\)（提示：平行直线\(k\)相等），求该函数的表达式。
一次函数的图象经过第一、二、四象限，且过点（1，2）和（m，-1），若\(k = -3\)，求\(m\)的值及函数表达式。
拓展题
如图，一次函数的图象过点 A（-1，3）和 B（2，-3），该图象与 x 轴交于点 C，与 y 轴交于点 D，求：
（1）该函数的表达式；
（2）点 C 和点 D 的坐标；
（3）△COD 的面积（O 为原点）。
幻灯片 10：易错点深度剖析
选取的点不是图象上的点，导致计算错误：
错误案例：图象中两点实际为（1，2）和（3，6），误读为（1，3）和（3，6），代入后求出错误的\(k\)和\(b\)。
规避方法：读取点的坐标时，严格对照坐标轴刻度，横坐标看 x 轴，纵坐标看 y 轴，确保 “横对横、纵对纵”；优先选择与坐标轴交点、网格线交点（整数坐标），减少读数误差。
解方程组时计算失误，或漏写\(k 0\)的条件：
错误案例：解方程组\(\begin{cases} 3 = k + b \\ 5 = 2k + b \end{cases}\)时，错算得\(k = 1\)，\(b = 2\)（正确应为\(k = 2\)，\(b = 1\)）；或求出\(k = 0\)时，未意识到不符合一次函数定义，仍写出表达式\(y = 0x + b\)。
规避方法：解方程组后，将\(k\)和\(b\)代入原方程组验证，确保等式成立；若求出\(k = 0\)，需判断是否为一次函数（若题目明确是一次函数，则需检查点的坐标是否读取错误）。
忽略自变量的取值范围，表达式未标注适用区间：
错误案例：分段函数的某一段（如 0≤x≤5），求出表达式后未标注 x 的范围，导致表达式适用场景模糊。
规避方法：若图象是分段的一次函数（如注水 - 停水 - 放水），或点的坐标有明确限制（如时间 x≥0），确定表达式后需标注自变量的取值范围，明确表达式的适用区间。
幻灯片 11：课堂总结
核心知识梳理：
确定一次函数表达式的关键：求参数\(k\)和\(b\)，需两个独立条件（通常是两个点的坐标）；
核心方法：两点法（设表达式→找两点→列方程组→解方程组→验证）；
特殊场景简化：过原点（\(b=0\)，正比例函数）、与坐标轴交点（\(b\)已知）、平行直线（\(k\)相等）。
方法提炼：
常规场景 “四步法”：设→找→列→解（验证）；
特殊场景 “简化法”：过原点省\(b\)，与 y 轴交点直接得\(b\)，平行直线直接得\(k\)；
复杂场景 “分段法”：分段分析图象，每段单独用两点法求表达式，标注 x 的取值范围。
幻灯片 12：作业布置
课本第 [具体页码] 页习题 [具体题号]（根据一次函数图象确定表达式相关题目）。
拓展练习：
（1）一次函数的图象过点（-3，4）和（1，0），求该函数的表达式，并求出图象与 y 轴的交点坐标；
（2）正比例函数的图象过点（m，2）和（2，m），且\(y\)随\(x\)的增大而增大，求\(m\)的值及函数表达式。
实践作业：
（1）在方格纸上画一条一次函数的直线，标注两个点的坐标，让同桌根据坐标求出表达式，互相验证；
（2）观察生活中的一次函数场景（如购物费用与数量、行程距离与时间），记录两个
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.1根据一次函数的图象确定表达式
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
　 　前面，我们学习了一次函数及其图象和性质，你能写出两个具体的一次函数表达式吗？如何画出它们的图象？
　　思考：反过来，已知一个一次函数的图象经过两个具体的点，你能求出它的表达式吗？
两点法 — — 两点确定一条直线
问题引入
引例：某物体沿一个斜坡下滑，它的速度 v (m/s) 与其下滑时间 t (s) 的关系如图所示．
(1) 请写出 v 与 t 的关系式；
(2) 下滑第 3 s 末物体的速度是多少？
v (m/s)
t(s)
O
5
2
解：（1）v = 2.5t.
（2）v = 2.5×3 = 7.5 (m/s).
确定正比例函数的表达式
典例精析
例1 求正比例函数 的表达式．
解：由正比例函数的定义知
m2－15＝1 且 m－4≠0，
∴ m＝－4.
∴ y＝－8x.
方法总结：利用正比例函数的定义确定表达式：自变量的指数为 1，系数不为 0，常数项为 0.
想一想：确定正比例函数的表达式需要几个条件？
确定一次函数的表达式呢？
一个
两个
例2 已知一次函数的图象经过(0，5)、(2，－5)两点，求一次函数的表达式．
解：设一次函数的表达式为 y＝kx＋b，根据题意得，
∴－5＝2k＋b，5＝b，
解得 b＝5，k＝－5.
∴一次函数的表达式为 y＝－5x＋5.
确定一次函数的表达式
练一练
解：设直线 l 为 y = kx + b，
　 ∵ l 与直线 y = -2x 平行，∴ k = -2.
又∵ 直线过点 (0，2)，
∴ 2 = -2×0 + b.
∴ b = 2.
∴直线 l 的表达式为 y = -2x + 2.
已知直线 l 与直线 y = -2x 平行，且与 y 轴交于点 (0，2)，求直线 l 的表达式.
例3 正比例函数与一次函数的图象如图所示，它们的交点为 A(4，3)，B 为一次函数的图象与 y 轴的交点，且 OA ＝ 2OB. 求正比例函数与一次函数的表达式．
解：设正比例函数的表达式为 y1 ＝ k1x，一次函数的表达式为 y2 ＝ k2x＋b.
∵ 点 A (4，3)是它们的交点，
∴ 将点 A (4，3)代入上述表达式中，
得 3 ＝ 4k1，3＝4k2＋b.
∴k1 ＝ ，
即正比例函数的表达式为 y ＝ x.
∵ OA＝ ＝5，且 OA ＝ 2OB，
∴ OB ＝ .
∵ 点 B 在 y 轴的负半轴上，
∴ 点 B 的坐标为 (0，－ )．
又∵ 点 B 在一次函数 y2＝k2x＋b 的图象上，
∴－ ＝b.
代入 3＝4k2＋b 中，得 k2＝ .
∴ 一次函数的表达式为 y2＝ x－ .
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
做一做
某种拖拉机的油箱可储油 40 L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量 y（L）与工作时间 x（h）（0≤x≤8）之间为一次函数关系，函数图象如图所示.
（1）求 y 关于 x 的函数表达式；
（2）一箱油可供拖拉机工作几
小时？
y = -5x + 40.
8 h
根据图象确定一次函数的表达式的方法：从图象上选取两个已知点的坐标，然后运用待定系数法将两点的横、纵坐标代入所设表达式中，解方程组求出待定系数，从而得到函数的表达式．
归纳总结
例4 在弹性限度内，弹簧的长度 y（厘米）是所挂物体质量 x（千克）的一次函数. 一根弹簧不挂物体时长 14.5 厘米；当所挂物体的质量为 3 千克时，弹簧长 16 厘米. 请写出 y 与 x 之间的关系式，并求当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度.
解：设 y = kx + b (k ≠ 0)
由题意，得 14.5 = b，16 = 3k + b，解得 b=14.5，k=0.5.
∴在弹性限度内，y = 0.5x + 14.5.
当 x = 4 时，y ＝ 0.5×4＋14.5 = 16.5（厘米）.
故当所挂物体的质量为 4 千克时弹簧的长度为 16.5 厘米.
解此类题要根据所给的条件建立数学模型，得出变化关系，并求出函数的表达式，根据函数的表达式作答．
归纳总结
1. 一次函数 y = kx + b (k ≠ 0) 的图象如图，则下列结论正确的是 ( )
A．k = 2　　　 B．k = 3　　　
C．b = 2　 　 D．b = 3
D
y
x
O
2
3
2. 如图，直线 l 是一次函数 y = kx + b 的图象，填空：
　(1) b = ______，k =______；
(2) 当 x = 30 时，y =______；
(3) 当 y = 30 时，x =______.
2
-18
-42
l
x
y
3.某商店售货时，在进价的基础上加一定利润，其数量 x与售价 y 的关系如下表所示，请你根据表中所提供的信息，列出售价 y (元)与数量 x (千克)的函数关系式，并求出当数量是 2.5 千克时的售价.
数量 x/千克 售价 y/元
1 8 ＋ 0.4
2 16 ＋ 0.8
3 24 ＋ 1.2
4 32 ＋ 1.6
5 40 ＋ 2.0
　　… 　　…
解：由表中信息，
得 y＝(8＋0.4)x＝8.4x，
即售价 y 与数量 x 的函数关系
式为 y＝8.4x.
当 x＝2.5 时，y＝8.4×2.5＝21.
所以数量是 2.5 千克时的售价是 21 元．
4. 已知一次函数的图象过点 (0，2)，且与两坐标轴围成的三角形的面积为 2，求此一次函数的表达式.
解：设一次函数的表达式为 y = kx + b (k ≠ 0).
∵ 一次函数 y = kx + b 的图象过点 (0，2)，
∴ b = 2.
∵ 一次函数的图象与 x 轴的交点是( ，0)， 则 解得 k = 1 或 -1.
故此一次函数的表达式为 y = x + 2 或 y = -x + 2.
知识点1 确定一次函数表达式
1.已知直线过点，则直线 对应的函数表达式是
( )
D
A. B. C. D.
返回
2.［教材P随堂练习T变式］ 已知正比例函数 的图象经过点
。
（1）求这个函数的表达式；
解：将点的坐标代入,得 ,
解得 ,
所以这个函数的表达式为 。
（2）判断点 是否在这个函数的图象上。
解：当时，,所以点 不在这个函数
的图象上。
返回
3.在平面直角坐标系内，一次函数的图象经过 ，
，三点，求这个一次函数的表达式及 的值。
解：由已知条件得，,,解得 。所以这个一次函数
的表达式为 。
因为一次函数的图象过点 ，
所以。所以 。
返回
知识点2 借助一次函数表达式解决简单实际问题
4.游学期间，两名老师带领 名学生到展览馆参观，已知老师参观门票
每张40元，学生参观门票每张20元，设参观门票总费用为元，则与
的函数关系为( )
A
A. B. C. D.
返回
5.如图，用绳子围成周长为的长方形，记长方形的一边长为 ，
它的邻边长为，则关于 的函数表达式是( )
A
A. B. C. D.
返回
6. 某地随着海拔的升高，大气压强下降，空气中的含氧
量也随之下降，即含氧量与大气压强 成正比例函数关系。
当时， 。
（1）含氧量与大气压强 之间的关系式是________；
（2）当大气压强是时，含氧量是____ 。
87
返回
确定一次函数表达式
一次函数
y = kx+b(k≠0)
正比例函数
y = kx(k≠0)
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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