资源简介

(共38张PPT)
幻灯片 1：封面
课程名称：4.4.2 利用一个一次函数的图象解决问题
学科：数学
年级：八年级
授课教师：[教师姓名]
幻灯片 2：学习目标
理解一次函数图象（直线）的关键要素（与 x 轴 /y 轴交点、斜率 k 的实际意义），能从图象中提取自变量、函数值的相关信息。
掌握利用一个一次函数图象解决实际问题的步骤（识图象→建模型→求关键值→答问题），能解决行程、费用、产量等场景的问题。
体会 “图象直观化” 与 “函数模型化” 的联系，提升从图象中分析数量关系的能力。
幻灯片 3：知识回顾与情境导入
知识回顾：
一次函数的表达式：\(y = kx + b\)（\(k 0\)），其中：
\(k\)（斜率）：表示自变量 x 每增加 1 个单位，函数值 y 的变化量（如速度、单价、单位产量利润）；
\(b\)（截距）：表示 x=0 时 y 的初始值（如初始距离、固定成本、初始库存）。
一次函数图象的特征：直线与 y 轴交点为（0，b），与 x 轴交点为（\(-\frac{b}{k}\)，0）（令 y=0 求解 x）。
情境导入：
问题 1：小明从家骑自行车去书店，途中休息了一段时间，之后继续前往。下图是他离家的距离\(y\)（km）与出发时间\(x\)（h）的函数图象，你能从图中看出他的初始离家距离、休息时间、到达书店的时间吗？
问题 2：某手机套餐的月费\(y\)（元）与通话时间\(x\)（分钟）的函数图象是一条直线，过（0，18）和（100，28）两点，如何通过图象确定套餐的月租费和每分钟通话费？
提问引导：
一次函数图象中的 “点” 和 “线段” 分别对应实际问题中的什么状态？
如何根据图象中的关键信息（如交点、线段斜率）建立一次函数表达式，解决具体问题？
幻灯片 4：核心知识点 1—— 从一次函数图象中提取关键信息
1. 图象关键要素与实际意义的对应
图象要素
数学含义
实际意义（以行程问题为例：y = 距离，x = 时间）
与 y 轴交点（0，b）
x=0 时的函数值 y=b
初始距离（出发时离家 b km）
与 x 轴交点（\(x_0\)，0）
y=0 时的自变量值 x=\(x_0\)
回到起点的时间（出发\(x_0\)小时后到家）
直线斜率 k（\(k=\frac{\Delta y}{\Delta x}\)）
y 随 x 的变化率（x 每增 1，y 增 k）
速度（每小时行驶 k km）
线段的端点（\(x_1,y_1\)）
特定 x 对应的 y 值
出发\(x_1\)小时后，离家\(y_1\) km
水平线段（k=0）
y 随 x 增大不变（\(\Delta y=0\)）
静止状态（休息时间，距离不变）
2. 信息提取步骤（以任意一次函数图象为例）
找交点：确定图象与 x 轴、y 轴的交点坐标，明确初始值和 “函数值为 0” 的状态；
算斜率：选取图象上两点（\(x_1,y_1\)）、（\(x_2,y_2\)），用\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)计算变化率，对应实际中的 “速度”“单价” 等；
读端点：根据线段端点坐标，确定特定自变量对应的函数值（如 “x=2 时，y=10”）；
析趋势：根据 k 的正负判断 y 随 x 的变化趋势（k>0：y 随 x 增大而增大，如匀速前进；k<0：y 随 x 增大而减小，如匀速返回）。
3. 示例：从行程图象提取信息
图象：一次函数\(y = -15x + 30\)（y = 距图书馆距离，x = 行驶时间）的图象是过（0，30）和（2，0）的直线。
与 y 轴交点（0，30）：出发时距图书馆 30 km；
与 x 轴交点（2，0）：行驶 2 小时后到达图书馆；
斜率 k=-15：每行驶 1 小时，距图书馆的距离减少 15 km（速度为 15 km/h，方向朝向图书馆）；
当 x=1 时，y=15：行驶 1 小时后，距图书馆 15 km。
幻灯片 5：核心知识点 2—— 根据图象建立一次函数模型
1. 建模步骤（已知图象求表达式\(y=kx+b\)）
确定 b 值：图象与 y 轴交点为（0，b），直接读取 b（若图象不过 y 轴，需通过其他点计算）；
求 k 值：选取图象上两个清晰的点（\(x_1,y_1\)）、（\(x_2,y_2\)），代入\(k=\frac{y_2-y_1}{x_2-x_1}\)；
写表达式：将 k 和 b 代入\(y=kx+b\)，验证是否符合图象上其他点（如与 x 轴交点），确保模型正确。
2. 示例：根据费用图象建模
问题：某文具店售卖笔记本，购买数量 x（本）与总费用 y（元）的函数图象过（0，0）和（5，12.5）两点，求函数表达式。
步骤 1：求 b：图象过（0，0），故 b=0；
步骤 2：求 k：\(k=\frac{12.5-0}{5-0}=2.5\)（每本笔记本 2.5 元）；
步骤 3：写表达式：\(y=2.5x\)，验证 x=3 时，y=7.5（符合实际：3 本 7.5 元）。
3. 特殊情况：图象含分段线段（非单一一次函数）
若图象由多段直线组成（如行程问题中的 “前进→休息→返回”），需对每段线段分别建模，注意各段的 x 取值范围。
示例：图象第一段（0≤x≤1）过（0，0）、（1，10），表达式\(y=10x\)（前进，速度 10 km/h）；第二段（1≤x≤1.5）为水平线段（1，10）、（1.5，10），表达式\(y=10\)（休息，k=0）；第三段（1.5≤x≤2.5）过（1.5，10）、（2.5，0），表达式\(y=-10x+25\)（返回，速度 10 km/h）。
幻灯片 6：典型例题 1—— 行程问题（匀速运动与到达时间）
例 1：如图，是小亮从家骑行到公园再返回的距离\(y\)（km）与时间\(x\)（h）的函数图象，其中去公园的过程为线段 OA，返回的过程为线段 AB。
（1）求小亮去公园时的速度；
（2）求线段 AB 的函数表达式；
（3）小亮出发 1.5 小时后，离家的距离是多少？
解答与分析：
（1）求去公园的速度：
线段 OA 过（0，0）和（1，8）（x=1 时到达公园，距离 8 km）；
速度 = 斜率 k=\(\frac{8-0}{1-0}=8\)（km/h）；
答：去公园时的速度为 8 km/h。
（2）求线段 AB 的函数表达式：
线段 AB 过 A（1，8）和 B（2.5，0）（x=2.5 时回到家）；
第一步：求 k：\(k=\frac{0-8}{2.5-1}=\frac{-8}{1.5}=-\frac{16}{3}\)（负号表示距离减小，即返回）；
第二步：求 b：将 A（1，8）代入\(y=-\frac{16}{3}x + b\)，得\(8=-\frac{16}{3} 1 + b\)→\(b=8+\frac{16}{3}=\frac{40}{3}\)；
表达式：\(y=-\frac{16}{3}x + \frac{40}{3}\)（x 取值范围：1≤x≤2.5）；
答：线段 AB 的函数表达式为\(y=-\frac{16}{3}x + \frac{40}{3}\)（1≤x≤2.5）。
（3）出发 1.5 小时后的离家距离：
1.5 小时在 AB 段（1≤1.5≤2.5），代入表达式：\(y=-\frac{16}{3} 1.5 + \frac{40}{3}=-\frac{24}{3} + \frac{40}{3}=\frac{16}{3} 5.33\)（km）；
答：出发 1.5 小时后，离家约 5.33 km。
幻灯片 7：典型例题 2—— 费用问题（固定成本与单价）
例 2：某快递公司寄件收费标准如下：首重 1kg 内（含 1kg）收费 12 元，超过 1kg 的部分，每千克收费 5 元（不足 1kg 按 1kg 算）。下图是寄件重量 x（kg）与总费用 y（元）的函数图象（x≥0）。
（1）求 x≤1 时的函数表达式；
（2）求 x>1 时的函数表达式，并计算寄 3.5kg 物品的费用（按 4kg 算）；
（3）若某人寄件费用为 27 元，求他的寄件重量范围。
解答与分析：
（1）x≤1 时的表达式：
x≤1 时，费用固定为 12 元，图象为水平线段（0≤x≤1，y=12）；
表达式：\(y=12\)（0≤x≤1）；
答：x≤1 时，\(y=12\)。
（2）x>1 时的表达式与费用计算：
选取 x>1 时的两点：（1，12）（1kg 时 12 元）、（2，17）（2kg 时 12+5=17 元）；
求 k：\(k=\frac{17-12}{2-1}=5\)（每千克加收 5 元）；
求 b：将（1，12）代入\(y=5x + b\)，得\(12=5 1 + b\)→\(b=7\)；
表达式：\(y=5x + 7\)（x>1）；
寄 4kg 物品：x=4，\(y=5 4 + 7=27\)（元）；
答：x>1 时，\(y=5x + 7\)；寄 3.5kg（按 4kg 算）费用为 27 元。
（3）费用 27 元对应的重量范围：
费用 27 元在 x>1 的范围，代入\(y=5x + 7=27\)→\(5x=20\)→\(x=4\)；
因超过 1kg 后不足 1kg 按 1kg 算，故重量范围为 3kg答：寄件重量范围是 3kg幻灯片 8：典型例题 3—— 产量问题（总产量与时间）
例 3：某工厂生产零件，生产天数 x（天）与总产量 y（个）的函数图象是过（0，50）和（5，300）的直线（x≥0），已知工厂每天的固定成本为 200 元，每个零件的生产成本为 1.5 元。
（1）求总产量 y 与生产天数 x 的函数表达式；
（2）求生产 10 天后的总产量，以及此时的总成本（总成本 = 固定成本 × 天数 + 零件成本 × 总产量）；
（3）若工厂计划总产量达到 500 个，需要生产多少天？
解答与分析：
（1）求总产量表达式：
设\(y=kx + b\)，图象过（0，50）→b=50（初始库存 50 个）；
过（5，300）→\(300=5k + 50\)→\(5k=250\)→\(k=50\)（每天生产 50 个）；
表达式：\(y=50x + 50\)（x≥0）；
答：总产量表达式为\(y=50x + 50\)。
（2）生产 10 天的总产量与总成本：
总产量：x=10，\(y=50 10 + 50=550\)（个）；
总成本：固定成本 = 200×10=2000（元），零件成本 = 1.5×550=825（元），总 = 2000+825=2825（元）；
答：生产 10 天总产量 550 个，总成本 2825 元。
（3）总产量 500 个所需天数：
令\(50x + 50=500\)→\(50x=450\)→\(x=9\)（天）；
答：需要生产 9 天。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题
一次函数\(y = 3x + 6\)的图象过（0，）和（，0），斜率 k=，表示 x 每增 1，y 增；当 x=2 时，y=___。
某公交车从起点站出发，载客人数 y（人）与行驶站点数 x（个）的函数图象过（0，20）和（5，5），求：
（1）函数表达式；
（2）行驶 8 个站点时的载客人数。
提升题
如图，是某水箱注水过程中，水位高度 y（cm）与注水时间 x（分钟）的函数图象，前 5 分钟匀速注水，5 分钟后停止注水（水位不变）。
（1）求前 5 分钟的函数表达式；
（2）若水箱最大水位高度为 40cm，按此注水速度，注满水箱需要多少分钟？
拓展题
某书店售卖图书，会员购买时需先缴纳 20 元会员费，之后每本书按 8 元购买；非会员每本书按 10 元购买。
（1）分别写出会员、非会员购买 x 本书的费用 y（元）与 x 的函数表达式；
（2）通过图象分析，购买多少本书时，会员与非会员的费用相等？（提示：先画图象，找交点）
幻灯片 10：易错点深度剖析
混淆斜率 k 的实际意义（正负与变化率）：
错误案例：在行程问题中，将 k=-10 理解为 “速度为 - 10 km/h”（正确应为 “速度大小 10 km/h，方向为返回，即距离随时间减小”）；计算斜率时，颠倒\(\Delta y\)与\(\Delta x\)的
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
4.4.2利用一个一次函数的图象解决问题
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
回顾与思考
1.由一次函数的图象可确定 k 和 b 的符号；
2.由一次函数的图象可估计函数的变化趋势；
3.可直接观察出：x 与 y 的对应值；
4.由一次函数的图象与 y 轴的交点的坐标可确定 b 值，
从而确定一次函数的图象的表达式.
从一次函数图象可获得哪些信息
引例:由于持续高温和连日无雨，某水库的蓄水量随着时间的增加而减少.蓄水量 V (万 m3)与干旱持续时间 t ( 天)的关系如图所示.
一次函数图象的应用
0 10 20 30 40 50 t/天
V/
回答下列问题:
(2)干旱持续 10 天，蓄水量为多少 连续干旱 23 天呢
1000
(1)水库干旱前的蓄水量是多少
1200
1200
1000
800
600
400
200
(23，？)
0 10 20 30 40 50 t/天
V/
回答下列问题:
(3)蓄水量小于 400 时，将发生严重的干旱警报.干旱多少天后将发出干旱警报
40天
(4)按照这个规律，预计持续干旱多少天水库将干涸
60天
1200
100
800
600
400
200
例1 某种摩托车加满油后，油箱中的剩余油量 y (升)与摩托车行驶路程 x (千米)之间的关系如图所示：
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
典例精析
(1)油箱最多可储油多少升？
解:当 x = 0 时，y = 10.
因此，油箱最多可储油 10 L.
根据图象回答下列问题：
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(2)一箱汽油可供摩托车行驶多少千米？
解：当 y = 0 时，x = 500，
因此一箱汽油可供摩托车行驶 500 km.
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(3)摩托车每行驶 100 千米消耗多少升
解： x 从 100 增加到 200 时，y 从 8 减少到 6，减少了 2，因此摩托车每行驶 100 千米消耗 2 升汽油.
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
(4)油箱中的剩余油量小于 1 升时将自动报警.行驶多少千米后摩托车将自动报警
解：当 y = 1时，x = 450，因此行驶了 450 千米后，摩托车将自动报警.
0 100 200 300 400 500 x/千米
y/升
10
8
6
4
2
总结归纳
如何解答实际情景函数图象的信息？
1.理解横纵坐标分别表示的实际意义；
3.利用数形结合的思想：
将“数”转化为“形” 由“形”定“数”
2.分析已知条件，通过作 x 轴或 y 轴的垂线，在图象上找到对应的点，由点的横坐标或者纵坐标的值读出要求的值；
原图
应用与延伸
例1中摩托车行至加油站加完油后，摩托车油箱的剩余油量 y (升)和摩托车行驶路程 x (千米)之间 的关系变为图1:
试问：(1)加油站在多少千米处 加油多少升
400 千米
6-2 = 4 升
（ ，6)
图1 加油后的图象
（ ，2）
应用与延伸
试问： (2)加油前每 100 千米耗油多少升 加油后每 100 千米耗油多少升
（400，6)
图1 加油后的图象
（400，2）
（600，2)
解： 加油前，摩托车每行驶 100千米消耗 2 升汽油.
加油后 ，x 从 400 增加到 600 时，油从 6 减少到 2 升，200 千米用了 4 升，因此加油后摩托车每行驶 100 千米消耗 2 升汽油.
应用与延伸
试问：(3)若乙地与加油站之间还有 250 千米，要到达乙地所加的油是否够用
图1 加油后的图象
答：够用.理由：由图象上观察：400 千米处设加油站，到700 米处油用完，说明所加油最多可供行驶 300 千米.
9
6
3
12
15
18
21
24
y/cm
l
2
4
6
8
10
12
14
t/天
某植物 t 天后的高度为 y cm，图中的 l 反映了 y 与 t 之间的关系，根据图象回答下列问题：
(1) 植物刚栽的时候多高？
(2) 3天后该植物多高？
(3) 几天后该植物高度可达
21 cm？
9 cm
12 cm
12 天
（3，12）
（12，21）
练一练
议一议：一元一次方程 0.5x + 1 = 0 与一次函数 y = 0.5x + 1 有什么联系？
1.从“数”的方面看，当一次函数 y = 0.5x + 1 的因变量的值为 0时，相应的自变量的值即为方程 0.5x + 1 = 0 的解.
2.从“形”的方面看，函数 y = 0.5x + 1与 x 轴交点的横坐标，即为方程 0.5x + 1 = 0 的解.
2
0
1
3
1
2
3
-1
-2
-3
-1
-2
-3
x
y
一次函数与一元一次方程
1.直线 y = 2x + 20与 x 轴交点坐标为
（____，_____），这说明方程 2x＋20＝0 的解是 x =_____.
-10
0
-10
练一练
2.若方程 kx＋b＝0 的解是 x = 5，则直线 y = kx＋b与 x 轴交点坐标为（____，_____）.
5
0
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
一次函数与一元一次方程的关系
一次函数 y = kx+b
中 y = 0 时的 x 值
从“函数值”看
求一元一次方程
kx + b = 0 的解
直线 y = kx + b
与 x 轴交点的横
坐标
从“函数图象”看
归纳总结
例2 一次函数 y＝kx＋b (k，b 为常数，且 k ≠ 0) 的图象如图所示，根据图象信息可求得关于 x 的方程 kx＋b＝0 的解为(　　)
A．x＝－1 B．x＝2 C．x＝0 D．x＝3
【解析】由函数经过点(0，1)可得b＝1，再将点(2，3)代入 y＝kx＋1，可求出 k 的值为 1，故一次函数的表达式为 y＝x＋1，再求出方程 x＋1＝0 的解为 x＝－1.
A
1.某地长途汽车客运公司规定旅客可随身携带一定质量的行李，如果超过规定，则需要购买行李票，行李票费用 y 元与行李质量 x 千克的关系如图：
(1)旅客最多可免费携带多少千克行李？
⑵超过 30 千克后，每千克需付多少元？
30
30 千克
0.2 元
2. 全国每年都有大量土地被沙漠吞没，改造沙漠，保护土地资源已经成为一项十分紧迫的任务，某地区现有土地 100 万平方千米，沙漠 200 万平方千米，土地沙漠化的变化情况如下图所示.
(1)如果不采取任何措施，那么
到第 5 年底，该地区沙漠面积
将增加多少万平方千米？
10 万平方千米
(2)如果该地区沙漠的面积继续按此趋势扩大，那么从现在开始，第几年底后，该地区将丧失土地资源？
(3)如果从现在开始采取植树造林措施，每年改造 4 万平方千米沙漠，那么到第几年底，该地区的沙漠面积能减少到 176 万平方千米．
每年新增面积为 2 平方万千米，所以第 50 年底后将丧失土地资源.
第 12 年底
3. 近几年来，由于经济和社会发展迅速，用电量越来越多. 为缓解用电紧张，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量 x（度）与应付电费 y（元）的关系如图所示.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元)
x(度)
75
(1)请你根据图象所描述的信息，分别求出当 0≤x≤50 和 x＞50 时，y 与 x 的函数表达式；
解：当 0≤x≤50 时，由图象可设 y = k1x，
∵其经过(50，25)，代入得 25 = 50k1，
∴k1 = 0.5，∴y = 0.5x ；
当 x＞50 时，由图象可设 y = k2x+b，
∵其经过(50，25)、(100，70)，
得 k2 = 0.9，b = -20，∴ y = 0.9x - 20.
25
50
75
100
25
50
70
100
O
y(元)
x(度)
75
(2)根据你的分析：当每月用电量不超过 50 度时，收费标准是多少？当每月用电量超过 50 度时，收费标准是多少？
解：不超过 50 度部分按 0.5 元/度计算，超过部分按 0.9 元/度计算.
知识点1 单个一次函数图象的应用
（第1题）
1.［2025长沙月考］如图，某公司市场营销
部的个人收入与其每月的销售量成一次函数
关系。由图中给出的信息，预测营销人员销
售2万件时的个人收入是( )
B
A.3 100元 B.13 000元
C.12 900元 D.28 000元
返回
（第2题）
2.由于持续高温和连日无雨，水库蓄水量普遍下
降。如图所示的是某水库蓄水量 （万立方米）
与干旱时间 （天）之间的关系图，请你根据此图
填空：
（1）水库原蓄水量是______万立方米，持续干
旱10天后，蓄水量为_____万立方米；
1000
800
（2）水库的蓄水量小于400万立方米时，将发出严重干旱预报，则持续
干旱____天后，将发出严重干旱预报。按此规律，持续干旱____天时，
水库的水将干涸。
30
50
返回
3. ［2024陕西中考］ 我国新能源汽车快速健康发展，续
航里程不断提升，王师傅驾驶一辆纯电动汽车从市前往 市，他驾车
从市一高速公路入口驶入时，该车的剩余电量是 ，行驶了
后，从 市一高速公路出口驶出，已知该车在高速公路上行驶
的过程中，剩余电量与行驶路程 之间的关系如图所示。
（1）求与 之间的关系式；
解：设与之间的关系式为，将代入，得 ，再
将代入，解得，所以与 之间的关系式
为 。
（2）已知这辆车的“满电量”为，求王师傅驾车从 市这一高
速公路出口驶出时，该车的剩余电量占“满电量”的百分之多少。
解：当时，， 。
答：该车的剩余电量占“满电量”的 。
返回
知识点2 一次函数与一元一次方程
4.一次函数，为常数且 的图
象如图所示，则关于的方程 的解为
( )
A
A. B. C. D.
返回
5.一元一次方程的解是,则函数的图象与 轴
的交点坐标是( )
B
A. B. C. D.
返回
6.如图，在平面直角坐标系中，函数 的图象与
轴、轴分别交于点， ，请根据函数图象回答下列问题：
（1）点的坐标是______，点 的坐标是______；
（2）由函数图象可知，当时， 的值是___；
2
（3）当时，求 的值。
解：当时， ,
解得 。
返回
7.若一次函数为常数，且的图象经过点 ，则
关于的方程 的解为( )
C
A. B. C. D.
返回
8. 在物理实验探究课上，小明利用滑轮组及相关器材
进行实验，不计绳重和摩擦，他把得到的拉力 和所悬挂重物的重力
的几组数据用电脑绘制成如图所示的图象，则以下结论错误的是
( )
C
（第8题）
A.当拉力时，重力
B.拉力随着重力 的增加而增大
C.拉力与重力 成正比例函数关系
D.当滑轮组不挂重物时，所用拉力为
返回
一次函数的应用
一次函数与一元一次方程的关系
单个一次函数图象的应用
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

展开更多......

收起↑