资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
课时标题：7.1.2 认识证明 —— 定义与命题
核心内容：理解定义的内涵，掌握命题的结构与分类
授课教师：[你的姓名]
授课时长：[预计时长，如 35 分钟]
幻灯片 2：情境导入 —— 从生活到数学
1. 生活中的 “定义”
展示案例：
“手机是可以在较广范围内使用的便携式电话终端”；
“直角是等于 90° 的角”；
提问引导：“这些语句有什么共同特点？它们都是对某一事物的本质属性进行描述，在数学中，这类语句被称为‘定义’。”
2. 生活中的 “判断”
展示案例：
“今天会下雨”；
“三角形的内角和是 180°”；
“平行四边形的对边相等”；
提问引导：“这些语句与‘定义’有什么不同？它们是对某件事情做出判断，在数学中，这类语句被称为‘命题’。今天我们就来深入学习定义与命题。”
幻灯片 3：知识点 1—— 定义
1. 定义的概念
严谨表述：对名称和术语的含义加以描述，作出明确的规定，也就是给出它们的定义。
关键词解析：
“明确规定”：定义必须清晰、准确，不产生歧义，比如 “无限不循环小数叫做无理数”，明确了无理数的本质属性；
“本质属性”：定义要抓住事物区别于其他事物的核心特征，比如 “有一个角是直角的平行四边形叫做矩形”，既包含平行四边形的属性，又突出 “有一个角是直角” 这一独特属性。
2. 数学中常见的定义示例
代数类：
正数：大于 0 的数叫做正数；
分式：形如\(\frac{A}{B}\)（A、B 是整式，且 B 中含有字母，B≠0）的式子叫做分式；
几何类：
等腰三角形：有两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
平行线：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。
3. 定义的作用
规范表述：为数学交流提供统一的语言标准，避免因理解不同产生误解，比如提到 “菱形”，大家都知道是 “有一组邻边相等的平行四边形”；
作为证明依据：在后续证明中，可直接引用定义判断事物的类别或属性，比如判断一个图形是否为正方形，可依据 “有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形叫做正方形” 这一定义。
幻灯片 4：知识点 2—— 命题的概念与识别
1. 命题的概念
严谨表述：判断一件事情的语句，叫做命题。
关键词解析：
“判断”：命题必须对事情作出 “是” 或 “否”、“正确” 或 “错误” 的明确判断，不能模棱两可，比如 “明天可能会下雪”，没有明确判断，不是命题；
“语句”：命题通常以陈述句的形式呈现，疑问句、祈使句、感叹句不能作为命题，比如 “你喜欢数学吗？”（疑问句）、“画一条线段”（祈使句）都不是命题。
2. 命题的识别示例
是命题的语句：
“对顶角相等”（判断对顶角的关系，明确且为陈述句）；
“π 是无理数”（判断 π 的属性，明确且为陈述句）；
“1+1=3”（判断错误，但仍属于命题）；
不是命题的语句：
“请打开课本”（祈使句，无判断）；
“多么美丽的图形啊！”（感叹句，无判断）；
“x+2=5”（x 的值不确定，无法判断真假，不是命题）。
3. 小练习：识别命题
下列语句中，哪些是命题？
两条直线相交，只有一个交点；
延长线段 AB；
相等的角是对顶角；
今天的气温很高。
答案：1、3 是命题；2 是祈使句，4 判断模糊（“很高” 无标准），均不是命题。
幻灯片 5：知识点 3—— 命题的结构
1. 命题的一般结构
组成部分：命题通常由题设（也叫条件）和结论两部分组成。
题设：已知事项，即命题中 “如果” 后面的部分；
结论：由已知事项推出的事项，即命题中 “那么” 后面的部分。
结构形式：可改写为 “如果…… 那么……” 的形式，例如：
原命题：“对顶角相等”；
改写后：“如果两个角是对顶角，那么这两个角相等”；
题设：两个角是对顶角；
结论：这两个角相等。
2. 复杂命题的结构拆分
示例 1：原命题 “等腰三角形的两底角相等”；
改写：“如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两个底角相等”；
题设：一个三角形是等腰三角形；
结论：它的两个底角相等。
示例 2：原命题 “平行于同一条直线的两条直线互相平行”；
改写：“如果两条直线都平行于同一条直线，那么这两条直线互相平行”；
题设：两条直线都平行于同一条直线；
结论：这两条直线互相平行。
3. 注意事项
有些命题的题设和结论不明显，需要补充完整语句再拆分，比如 “同角的余角相等”，需先改写为 “如果两个角是同一个角的余角，那么这两个角相等”，再确定题设和结论；
拆分时要注意语言的准确性，避免改变命题的原意。
幻灯片 6：知识点 4—— 命题的分类
1. 分类标准：根据命题的真假性
真命题：如果题设成立，那么结论一定成立的命题，叫做真命题。
示例：“两直线平行，同位角相等”（题设成立时，结论必然成立）；
假命题：题设成立时，不能保证结论一定成立的命题，叫做假命题。
示例：“相等的角是对顶角”（两个角相等，但不一定是对顶角，如等腰三角形的两个底角相等，却不是对顶角）。
2. 假命题的判断方法：举反例
反例定义：具备命题的题设，但不具备命题的结论的例子，叫做反例。
举反例示例：
命题 “所有的整数都是正数”（假命题）；
反例：-2 是整数，但 - 2 不是正数；
注意事项：一个反例即可证明命题是假命题，无需多个反例。
3. 真命题的判断方法
需通过严格的推理证明，确认题设成立时结论一定成立，后续将学习证明方法。
幻灯片 7：典型例题精讲
例题 1：命题的结构拆分
题目：将下列命题改写为 “如果…… 那么……” 的形式，并指出题设和结论。
垂直于同一条直线的两条直线平行；
同旁内角互补；
菱形的四条边相等。
解答：
改写：“如果两条直线都垂直于同一条直线，那么这两条直线平行”；
题设：两条直线都垂直于同一条直线；
结论：这两条直线平行；
改写：“如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”；
题设：两个角是同旁内角；
结论：这两个角互补；（注：此命题为假命题，反例：两直线不平行时，同旁内角不互补）
改写：“如果一个四边形是菱形，那么这个四边形的四条边相等”；
题设：一个四边形是菱形；
结论：这个四边形的四条边相等。
例题 2：判断命题真假并举反例
题目：判断下列命题的真假，若是假命题，举一个反例。
若 a = b ，则 a = b；
三角形的三个内角中，至少有一个角是锐角；
若 x 是有理数，则 x 是正数。
解答：
假命题；反例：a=2，b=-2 时，a = 4，b = 4，满足 a = b ，但 a ≠ b；
真命题；（提示：假设三角形三个角都不是锐角，即都是直角或钝角，则内角和≥90°+90°+0°=180°，但三个角都是直角时和为 270°＞180°，矛盾，故至少有一个锐角）
假命题；反例：x=0 时，x 是有理数，但 x =0，不是正数。
幻灯片 8：易错点警示
1. 定义与命题混淆
错误表现：将定义误认为命题，或反之，比如认为 “有一个角是直角的三角形叫做直角三角形” 是命题；
避坑指南：定义是 “描述属性”，无判断；命题是 “做出判断”，有明确的 “是” 或 “否”，上述语句是对直角三角形的定义，不是命题。
2. 命题结构拆分错误
错误表现：拆分题设和结论时遗漏关键条件，比如将 “等腰三角形的两腰相等” 拆分为 “如果等腰三角形，那么两腰相等”，遗漏 “一个三角形”；
避坑指南：改写时补充完整主语，确保题设和结论逻辑完整，正确改写为 “如果一个三角形是等腰三角形，那么它的两腰相等”。
3. 假命题判断错误
错误表现：认为 “假命题就是错误的语句”，忽略 “题设成立” 的前提，比如判断 “若 a＞b，则 a ＞b ” 时，未考虑 a、b 为负数的情况；
避坑指南：判断假命题需先满足题设，再看结论是否不成立，反例需符合题设条件。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题 1：定义与命题识别
下列语句中，哪些是定义？哪些是命题？
含有未知数的等式叫做方程；（定义）
方程 2x+3=7 的解是 x=2；（命题）
有一个角是钝角的三角形叫做钝角三角形；（定义）
钝角三角形的内角和是 180°；（命题）
提升题 2：命题结构与真假判断
已知命题：“若一个数是偶数，则它能被 2 整除”。
改写为 “如果…… 那么……” 的形式；（如果一个数是偶数，那么它能被 2 整除）
指出题设和结论；（题设：一个数是偶数；结论：它能被 2 整除）
判断命题的真假，并说明理由。（真命题，因为偶数的定义就是能被 2 整除的数）
拓展题 3：构造假命题并举反例
请构造一个关于 “图形” 的假命题，并举反例证明其为假命题。
示例：命题 “所有的平行四边形都是矩形”；反例：菱形是平行四边形，但菱形不是矩形。
幻灯片 10：课堂总结与课后作业
1. 课堂总结
核心知识：
定义：对名称和术语的明确规定，用于规范表述和作为证明依据；
命题：判断一件事情的语句，由题设和结论组成，分真命题和假命题；
假命题的判断：举反例（具备题设，不具备结论）。
关键方法：
识别命题：判断是否为陈述句且有明确判断；
拆分命题：改写为 “如果…… 那么……” 形式，明确题设和结论。
2. 课后作业
必做题：完成教材对应练习题，将 3 个命题改写为 “如果…… 那么……” 形式，判断真假并说明理由；
选做题：收集 5 个数学中的定义和 5 个命题，整理成表格，区分定义与命题的不同；
实践题：在生活中寻找 3 个 “判断性语句”，判断是否为数学中的命题，若不是，说明理由。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.1.2 认识证明-定义与命题
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
小华与小刚正在津津有味地阅读《我们爱科学》.
这个黑客终于被逮住了.
是的,现在的因特网广泛运用于我们的生活中,给我们带来了方便,但……
这个黑客是个小偷.
是个喜欢穿黑衣服的贼.
坐在旁边的两个人一边听着他们的谈话，一边也在悄悄地议论着.
小明的百米成绩有进步，已达到 9 秒 9.
好！继续努力，争取超过 10 秒！
不要再抢啦！每人发一个球！
有一位田径教练向领导汇报训练成绩：
相传，阎锡山在观看士兵篮球赛时，双方争抢非常激烈，于是命令：
交流必须对某些名称和术语有共同的语言认知才能进行.
根据上面的情境，你能得出什么结论？
要对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定.也就是给出它们的定义.
请你举出你所熟知的一些定义例子.
定义
例如:
1.“具有中华人民共和国国籍的人，叫做中华人民共和国公民” 是“中华人民共和国公民”的定义；
2.“两点之间线段的长度，叫做这两点之间的距离” 是“两点之间的距离”的定义；
3.“无限不循环小数称为无理数” 是“无理数”的定义.
你还能举出曾学过的“定义”吗
1. 两条边相等的三角形叫做等腰三角形；
2. 能够完全重合的两个三角形叫做全等三角形；
3. 一般地，如果在某个变化过程中有两个变量 x 和 y，并且对于变量 x 的每一个值，变量 y 有唯一确定的值与它对应，那么我们称 y 是 x 的函数.
想一想
下面的语句中，哪些语句对事情作出了判断，哪些没有？与同伴进行交流.
1. 任何一个三角形一定有一个角是直角.
2. 对顶角相等.
3. 无论 n 为怎样的自然数，式子 n2-n+11 的值都是质数.
4. 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
5. 你喜欢数学吗？ 6. 作线段 AB = CD.
有
有
有
有
没有
没有
命题
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
2. 如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那
么它就不是命题.
如：作线段 AB = CD.
1. 只要对一件事情作出了判断，不管正确与否，都是
命题.
如：相等的角是对顶角.
注意：
判断一件事情的语句，叫做命题.
命题的概念
概念学习
典例精析
例1 下列句子都是命题吗？
(1) 熊猫没有翅膀.
如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
(2) 对顶角相等.
如果两个角是对顶角，那么它们就相等.
(3) 平行于同一条直线的两条直线平行.
如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行.
都是命题
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式. 反之，如果一个句子没有对某一件事情作出任何判断，那么它就不是命题.
例如，下列句子都不是命题:
(1) 你喜欢数学吗 (2) 作线段 AB = CD.
(3) 清新的空气. (4) 不许讲话！
1. 如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等；
2. 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行；
3. 如果一个三角形是等腰三角形，那么这个三角形的两个底角相等.
这些命题有什么共同的结构特征？
观察下列命题：
命题一般都可以写成“如果……那么……”的形式.
1.“如果”后面接的部分是条件；
2.“那么”后面接的部分是结论.
如命题：熊猫没有翅膀. 改写为：
如果一个动物是熊猫，那么它就没有翅膀.
注意：添加“如果”“那么”后，命题的意义不能改变，改写的句子要完整，语句要通顺，使命题的题设和结论更明朗，易于分辨，改写过程中，要适当增加词语，切不可生搬硬套.
命题
题设
结论
已知事项
由已知事项推出的事项
两直线平行， 同位角相等.
题设（条件）
结论
命题的组成：
总结归纳
例2 下列命题的条件是什么？结论是什么？
(1) 如果两个角相等，那么它们是对顶角；
(2) 如果 a＞b，b＞c，那么 a = c；
(3) 两角和其中一角的对边分别相等的两个三角形全等；
(4) 全等三角形的面积相等.
解：(1) 条件：两个角相等. 结论：它们是对顶角.
(2) 条件：a＞b，b＞c. 结论：a = c.
(3) 条件：两个三角形的两角和其中一角的对边分别相等. 结论：这两个三角形全等.
(4) 条件：两个三角形全等. 结论：它们的面积相等.
特别规定：
正确的命题叫真命题，错误的命题叫假命题.
命题1：如果一个数能被 4 整除，那么它也能被 2 整除.
观察下列命题，你能发现它们有什么不同的特点吗？
命题 1 是一个正确的命题，命题 2 是一个错误的命题.
命题2：如果两个角互补，那么它们是邻补角.
想一想
“因为早上我发现张三从玉米地那边过来，把一袋东西背回家，还发现我地里的玉米被人偷了，我知道张三家没有种玉米.所以我家玉米肯定是张三偷的.”
片段1：一天早上，李老汉来到衙门里告状说：张三刚刚在他地里偷了一袋子玉米.吕县令立即派衙役将张三拘捕到县衙审讯.
吕县令问李老汉：“你怎知是张三偷了你的玉米 ”
李老汉想证明什么？
他是怎么证明的？
这种从已知条件出发（列出理由），推断出结论的证明方法，叫综合法. 综合法是最常用的证明方法.
故事分析
根据李老汉的证明，你能断定玉米是张三偷的吗？你觉得有疑点吗？
片段2：县令一时拿不定主意，就问旁边的师爷道：“师爷，你怎么看？”
师爷说：“这事要证明是张三干的，还得弄清那袋子里装的是不是刚掰的玉米，还要看看地里的脚印是不是张三的才行.如果袋子里装的是刚掰的玉米，且地里的脚印是张三的，那就一定是他偷的.”
从结论出发，逆着寻找所需要的条件的思考过程，叫分析.
在分析的过程中，如果发现所需要的条件都已具备，或可从已知条件中推得，那么证明就很容易了.
说明假命题的方法：
举反例
使之具有命题的条件，而不具有命题的结论.
（1）同旁内角互补.（ ）
（4）两点可以确定一条直线.（ ）
（7）互补的两个角的平分线互相垂直.（ ）
（2）一个角的补角大于这个角.（ ）
判断下列命题的真假，真的打“√”，假的打“×.
（5）两点之间线段最短.（ ）
（3）相等的两个角是对顶角.（ ）
×
×
（6）同角的余角相等.（ ）
×
√
√
√
×
练一练
1. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
⑴ 对顶角相等.
⑵ 画一个角等于已知角.
⑶ 两直线平行，同位角相等.
⑷ a、b 两条直线平行吗？
⑸ 温柔的小李.
⑹ 玫瑰花是动物.
⑺ 若a2＝4，求 a 的值.
⑻ 若 a2＝b2，则 a＝b.
不是
是
不是
不是
是
不是
是
是
2. 下列句子中，哪些是命题？哪些不是命题？
（1）正数大于一切负数吗？
（2）两点之间线段最短.
（3） 不是无理数.
（4）作一条直线和已知直线平行.
（ √ ）
（×）
（×）
（ √ ）
如果在同一个三角形中，有两个角相等，那么这两个角所对
的边也相等.
3. 将下列命题改写成“如果……那么……”的形式，
并指出的条件和结论：
⑴ 三条边分别相等的两个三角形全等；
⑵ 在同一个三角形中，等角对等边；
⑶ 对顶角相等.
如果两个三角形的三条边分别相等，那么这两个三角形全等.
条件
条件
如果两个角是对顶角，那么这两个角相等.
条件
结论
结论
结论
知识点1 定义与命题的概念
1.下列语句中，属于定义的是( )
C
A.对顶角相等
B.作一条直线和已知直线垂直
C.在同一平面内，不相交的两条直线叫作平行线
D.图形的平移不改变图形的形状和大小
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2.［2025西安校级期末］下列语句：①钝角大于 ；②两点之间，线
段最短；③希望明天下雨；④作 ；⑤同旁内角不互补，两直线
不平行。其中是命题的是( )
B
A.①②③ B.①②⑤ C.①②④⑤ D.①②④
返回
知识点2 命题结构
3.命题“平面内垂直于同一条直线的两条直线互相平行”的条件是______
_____________________________，结论是________________。
平面
内的两条直线垂直于同一条直线
这两条直线平行
返回
4.将命题“绝对值相等的两个数互为相反数”改写成“如果 ，那么……”
的形式：________________________________________________。
如果两个数的绝对值相等，那么这两个数互为相反数
返回
知识点3 真、假命题
5.下列四个命题，是真命题的是( )
C
A.面积相等的两个三角形全等
B.负数没有立方根
C.有一个角是 的等腰三角形是等边三角形
D.两直线平行，同位角互补
返回
6.［2025杭州月考］要证明命题“若 , 为锐角，则
”是假命题，下列 的度数能作为反例的是( )
A
A. B. C. D.
返回
定义与命题
定义
概念：判断一个事件的句子
结构：如果……那么……
分类：真命题、假命题
命题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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