资源简介

(共18张PPT)
幻灯片 1：封面
课时标题：7.1.3 认识证明 —— 定理与证明
核心内容：明确定理定义，掌握证明的步骤与逻辑
授课教师：[你的姓名]
授课时长：[预计时长，如 35 分钟]
幻灯片 2：回顾导入 —— 衔接旧知
1. 旧知回顾
提问 1：上节课我们通过多个案例，明白了 “为什么要证明”，谁能说说证明的核心作用是什么？（引导学生回答：排除误差、确保结论普遍成立、保证数学严谨性）
提问 2：数学中，有些结论是通过观察和猜想得到的，有些则是经过严格推理确认的，这两类结论有什么本质区别？（引出 “定理” 的概念铺垫）
2. 导入新课
“上节课我们知道了证明的必要性，今天我们将聚焦证明的核心对象 —— 定理，深入学习‘什么是定理’‘如何进行规范的证明’，这是我们后续开展数学推理的基础。”
幻灯片 3：知识点 1—— 什么是定理
1. 定理的定义
严谨表述：在数学中，有些命题经过推理证实后被确定是正确的，并且可以作为进一步推理的依据，这样的真命题叫做定理。
关键词解析：
“推理证实”：定理不是凭空产生的，必须经过严格的证明过程；
“真命题”：定理一定是正确的结论，不存在例外情况；
“进一步推理的依据”：定理可以作为证明其他结论的已知条件，是数学推理的 “基石”。
2. 定理与公理的区别
公理：不需要证明，经过长期实践检验被公认正确的基本事实（如 “两点之间，线段最短”“过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”）；
定理：需要通过公理、定义或已证明的定理进行推理证明才能确认正确的命题（如 “三角形内角和为 180°”“等腰三角形两底角相等”）；
举例对比：
类别
例子
是否需要证明
作用
公理
两点确定一条直线
否
作为证明的初始依据
定理
直角三角形两锐角互余
是
可用于证明其他几何结论
幻灯片 4：知识点 2—— 什么是证明
1. 证明的定义
规范定义：根据已知的定义、公理、定理，按照逻辑规则逐步推理，来判断一个命题是否正确的过程，叫做证明。
核心要素：
已知依据：定义、公理、已证定理（不能用未经证明的猜想或主观判断）；
逻辑规则：每一步推理都要有因果关系，不能跳跃或矛盾；
最终目的：判断命题的真假（证明为真则成为定理，证明为假则为假命题）。
2. 证明的一般步骤
明确命题：分清命题的 “题设”（已知条件，即 “如果” 部分）和 “结论”（需要证明的内容，即 “那么” 部分）；
梳理依据：回忆与命题相关的定义、公理、已证定理，确定证明的 “已知条件库”；
构建思路：从题设出发，逐步推导，建立 “已知→中间结论→最终结论” 的逻辑链条；
规范书写：用数学语言（符号、文字）清晰表达每一步推理，注明依据（如 “根据平行线的性质”“由全等三角形定义可知”）；
得出结论：确认推理过程无逻辑漏洞，最终判断命题是否成立。
幻灯片 5：例题精讲 —— 定理的证明过程（几何类）
例题 1：证明 “直角三角形两锐角互余”
明确命题：
题设：一个三角形是直角三角形（设∠C=90°）；
结论：它的两个锐角互余（即∠A + ∠B = 90°）。
梳理依据：
三角形内角和定理（已证：三角形内角和为 180°）；
互余的定义（若两个角的和为 90°，则这两个角互余）。
规范证明过程：
已知：如图，在△ABC 中，∠C = 90°。
求证：∠A + ∠B = 90°。
证明：
① 因为三角形内角和为 180°（三角形内角和定理），所以在△ABC 中，∠A + ∠B + ∠C = 180°；
② 又因为∠C = 90°（已知），将∠C = 90° 代入①式，得∠A + ∠B + 90° = 180°；
③ 等式两边同时减去 90°，得∠A + ∠B = 90°；
④ 根据互余的定义，可知∠A 与∠B 互余。
结论：“直角三角形两锐角互余” 是真命题，可作为定理使用。
教师点拨
每一步推理都要 “有理有据”，不能省略关键步骤（如步骤②中 “代入已知条件” 的过程）；
几何证明中，若涉及图形，需先明确 “已知” 中的图形描述，确保推理与图形对应。
幻灯片 6：例题精讲 —— 定理的证明过程（代数类）
例题 2：证明 “若 a 为整数，则 (a + 1)(a - 1) = a - 1”（平方差公式的简单形式）
明确命题：
题设：a 为整数；
结论：(a + 1)(a - 1) = a - 1。
梳理依据：
多项式乘法法则（已学：(m + n)(p + q) = mp + mq + np + nq）；
合并同类项的规则（同类项的系数相加，字母及指数不变）。
规范证明过程：
已知：a 为整数。
求证：(a + 1)(a - 1) = a - 1。
证明：
① 根据多项式乘法法则，将 (a + 1)(a - 1) 展开，得 (a + 1)(a - 1) = a×a + a×(-1) + 1×a + 1×(-1)；
② 计算每一项：a×a = a ，a×(-1) = -a，1×a = a，1×(-1) = -1，因此①式可化为 a - a + a - 1；
③ 合并同类项：-a 与 + a 是同类项，系数相加得 0，因此 a - a + a - 1 = a - 1；
④ 综上，(a + 1)(a - 1) = a - 1。
结论：该命题为真命题，可作为代数运算中的定理（平方差公式的特例）。
幻灯片 7：易错点警示 —— 证明中的常见错误
依据错误：使用未经证明的猜想作为依据（如用 “四边形内角和为 360°” 证明其他结论，但未先证明该结论本身）；
反例：证明 “矩形内角和为 360°” 时，直接说 “因为四边形内角和为 360°，所以矩形内角和为 360°”，但 “四边形内角和为 360°” 需先证明，不能直接作为初始依据。
逻辑跳跃：省略关键推理步骤，导致因果关系断裂（如几何证明中，直接从 “AB=CD” 推出 “△ABC≌△DCB”，未说明其他全等条件）；
语言不规范：使用模糊表述（如 “看起来相等”“大概是 90°”），而非精确的数学语言；
题设与结论混淆：证明时偏离命题的题设，或篡改结论（如证明 “等腰三角形两底角相等” 时，误将 “两腰相等” 作为结论，而非 “两底角相等”）。
幻灯片 8：课堂练习 —— 巩固证明能力
基础练习 1：补全证明过程
命题：“等腰三角形的顶角平分线平分底边”（已知：在△ABC 中，AB=AC，AD 平分∠BAC，交 BC 于点 D；求证：BD=CD）。
请补全以下证明步骤的依据：
① 在△ABD 和△ACD 中，AB=AC（），∠BAD=∠CAD（），AD=AD（）；
② 所以△ABD≌△ACD（）；
③ 因此 BD=CD（______）。
答案提示：①已知；角平分线的定义；公共边；②SAS（边角边）全等判定定理；③全等三角形的对应边相等。
提升练习 2：独立证明
命题：“若 n 为偶数，则 n 也为偶数”（n 为整数）。
要求：按照 “明确题设与结论→梳理依据→规范书写证明过程” 的步骤完成证明。
参考思路：
题设：n 为整数且 n 是偶数；结论：n 是偶数；
依据：偶数的定义（能被 2 整除的整数叫做偶数，即 n=2k，k 为整数）、乘法运算规则；
证明过程：因为 n 是偶数，所以设 n=2k（k 为整数），则 n =(2k) =4k =2×(2k )，因为 k 是整数，所以 2k 是整数，因此 n 能被 2 整除，即 n 为偶数。
幻灯片 9：课堂总结
1. 核心知识点回顾
定理：经推理证实的真命题，可作为证明的依据，与公理的区别在于是否需要证明；
证明：从已知依据出发，按逻辑规则推导命题真假的过程，核心是 “有理有据、步骤清晰、语言规范”；
证明步骤：明确命题→梳理依据→构建思路→规范书写→得出结论。
2. 学习方法提炼
证明前先 “拆解命题”，分清题设和结论，避免方向偏差；
推理时多问 “为什么”，确保每一步都有明确依据；
书写时注重 “条理性”，用①②③标注步骤，注明依据来源。
幻灯片 10：课后作业
必做题：证明命题 “平行于同一条直线的两条直线互相平行”（提示：结合平行线的性质与判定定理，可通过反证法或同位角相等证明）；
选做题：查阅资料，了解 “勾股定理” 的一种证明方法（如赵爽弦图法），尝试用规范的数学语言写出证明过程；
实践题：结合生活中的案例，说说 “定理” 与 “生活中的规律” 有什么相似之处（如 “热胀冷缩” 是生活中的规律，类似数学中的定理，都需经过多次验证，但数学定理的验证是严格推理，生活规律可能存在例外）。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.1.3 认识证明-定理与证明
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
用我们以前学过的观察,实验,验证特例等方法.
这些方法往往并不可靠.
那已经知道的真命题又是如何证实的
能不能根据已经知道的真命题证实呢
呃……那可
怎么办
如何证实一个命题是真命题呢？
思考：如何证实一个命题是真命题呢？
了解《原本》与《几何原本》；了解古希腊数学家欧几里得 (Euclid，公元前 300 前后)；找出下列各个定义并举例．
1. 原名: 某些数学名词称为原名.
2. 公理: 公认的真命题称为公理.
3. 证明: 除了公理外,其他真命题的正确性都
通过推理的方法证实. 推理的过程称为证明.
4. 定理: 经过证明的真命题称为定理.
公理与定理
证实其他命题的正确性
推理
推理的过程叫证明
经过证明的真命题叫定理
原名、公理
一些条件
＋
总结归纳
本套教科书选用九条，我们已经认识了其中的八条：
1. 两点确定一条直线.
2. 两点之间线段最短.
3. 同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.
4. 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行 (简述为：同位角相等，两直线平行).
基本事实
5. 过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行.
6. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等.
7. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等.
8. 三边分别相等的两个三角形全等.
试证明定理“对顶角相等”.
例1 如图，直线 AB 与直线 CD 相交
于点 O，∠AOC 与∠BOD 是对顶角.
求证：∠AOC =∠BOD.
证明：
∴∠AOB 与∠COD 都是平角 ( ).
平角的定义
∴∠AOC 和∠BOD 都是∠AOD 的补角
∴∠AOC =∠BOD ( ).
同角的补角相等
∵ 直线 AB 与直线 CD 相交于点 O ( )，
( ).
已知
补角的定义
例2 已知：b∥c，a⊥b．
求证：a⊥c．
证明：∵ a⊥b（已知），
∴∠1 = 90°（垂直的性质）.
又 b∥c（已知），
∴∠2 =∠1 = 90°（两直线平行，同位角相等）.
∴ a⊥c（垂直的定义）.
a
b
c
1
2
典例精析
1.“两点之间，线段最短”这个语句是（ ）
A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 只是命题
2.“同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个语句是（ ）
A. 定理 B. 公理 C. 定义 D. 只是命题
B
C
3. 下列命题中，属于定义的是（ ）
A. 两点确定一条直线
B. 同角的余角相等
C. 互补的两个角和为 180°
D. 点到直线的距离是该点到这条直线的垂线段的长度
D
4. 下列句子中，是定理的是______，是公理的是____.
① 两点确定一条直线； ② 对顶角相等；
③ 全等三角形的对应边相等，对应角相等.
②③
①
知识点1 公理、定理
1.下列命题中，不能作为公理的是( )
B
A.三边分别相等的两个三角形全等
B.角平分线上的点到角两边的距离相等
C.两点确定一条直线
D.同位角相等，两直线平行
返回
2.“等式两边除以同一个不为0的数，结果仍是等式”是______（填“定义”
“公理”或“定理”）。
定理
返回
3.关于公理和定理的联系：
①公理和定理都是真命题;
②公理就是定理，定理也是公理;
③公理和定理都可以作为推理论证的依据;
④公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明。说法正确的是______
___。（填序号）
①③④
返回
知识点2 证明
4.在证明过程中可作为推理依据的是( )
B
A.命题、定义、公理 B.定理、定义、公理
C.命题 D.真命题
返回
5. 完成下面的证明：
如图，， ，
求证： 。
证明： （______），
已知
两直线平行，内错角相等
两直线平行，同旁内角互补
____
（________________________）。
，
____ （_________________________）。
（等量代换）。
返回
命题
证明：推理的过程
真命题和假命题
定理：经过证明的真命题
分类
公理(基本事实)：公认的真命题
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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