资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
课时标题：7.2.1 平行线的证明 —— 平行线的判定
核心内容：回顾判定公理，证明判定定理，掌握逻辑推理
授课教师：[你的姓名]
授课时长：[预计时长，如 40 分钟]
幻灯片 2：旧知回顾 —— 衔接导入
1. 平行线的定义与基本事实
定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线（通常用 “∥” 表示）。
基本事实（公理）：过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行（平行公理）。
2. 已学的平行线判定方法（猜想阶段）
方法 1：同位角相等，两直线平行（小学及前期接触，暂作为公理）；
方法 2：内错角相等，两直线平行（观察猜想，需证明）；
方法 3：同旁内角互补，两直线平行（观察猜想，需证明）；
提问引导：“我们通过观察发现内错角相等、同旁内角互补时两直线也平行，但这两个结论需要严格证明才能作为定理使用，今天我们就来完成这些证明。”
幻灯片 3：核心公理 —— 同位角相等，两直线平行
1. 公理内容与图形表示
公理表述：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行（简记：同位角相等，两直线平行）。
图形标注：展示直线 a、b 被直线 c 所截的图形，标注同位角∠1 和∠2（如∠1=∠2），明确 “若∠1=∠2，则 a∥b”。
2. 公理的作用
是证明其他平行线判定定理的基础依据，无需证明，可直接用于推理。
示例应用：如图，已知∠1=50°，∠2=50°，判断 a 与 b 是否平行？（依据公理，∠1=∠2 为同位角，故 a∥b）。
幻灯片 4：定理证明 1—— 内错角相等，两直线平行
1. 明确命题与图形
命题内容：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行（简记：内错角相等，两直线平行）。
图形与已知求证：
已知：如图，直线 a、b 被直线 c 所截，∠1=∠2（∠1 与∠2 为内错角）；
求证：a∥b。
2. 证明思路分析
内错角与同位角存在数量关系（对顶角相等），可通过 “同位角相等，两直线平行” 这一公理推导，即：先利用对顶角相等将内错角转化为同位角，再结合公理证明平行。
3. 规范证明过程
证明：
① 因为∠1 与∠3 是对顶角（对顶角的定义），所以∠1=∠3（对顶角相等）；
② 又因为∠1=∠2（已知），所以∠2=∠3（等量代换）；
③ ∠2 与∠3 是同位角（同位角的定义），且∠2=∠3，所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）；
结论：“内错角相等，两直线平行” 是真命题，可作为平行线的判定定理。
幻灯片 5：定理证明 2—— 同旁内角互补，两直线平行
1. 明确命题与图形
命题内容：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行（简记：同旁内角互补，两直线平行）。
图形与已知求证：
已知：如图，直线 a、b 被直线 c 所截，∠1+∠2=180°（∠1 与∠2 为同旁内角）；
求证：a∥b。
2. 证明思路分析
同旁内角互补可转化为同位角相等（平角定义：180° 的角为平角），即：先利用平角定义将同旁内角互补转化为同位角相等，再结合公理证明平行；也可转化为内错角相等，利用已证定理证明。
3. 规范证明过程（两种思路）
思路 1：转化为同位角
证明：
① 因为∠2 与∠3 组成平角（平角的定义），所以∠2+∠3=180°（平角的度数为 180°）；
② 又因为∠1+∠2=180°（已知），所以∠1=∠3（同角的补角相等）；
③ ∠1 与∠3 是同位角（同位角的定义），且∠1=∠3，所以 a∥b（同位角相等，两直线平行）。
思路 2：转化为内错角
证明：
① 因为∠1 与∠4 是对顶角（对顶角的定义），所以∠1=∠4（对顶角相等）；
② 又因为∠1+∠2=180°（已知），所以∠4+∠2=180°（等量代换）；
③ 因为∠2+∠3=180°（平角定义），所以∠4=∠3（同角的补角相等）；
④ ∠3 与∠4 是内错角（内错角的定义），且∠3=∠4，所以 a∥b（内错角相等，两直线平行）。
结论：两种思路均能证明命题成立，“同旁内角互补，两直线平行” 是真命题，可作为判定定理。
幻灯片 6：三种判定方法的对比与联系
1. 表格梳理核心要点
判定方法
条件（角的关系）
依据类型
核心逻辑
方法 1
同位角相等
公理
直接应用，无需证明
方法 2
内错角相等
定理
转化为同位角，用公理证明
方法 3
同旁内角互补
定理
转化为同位角或内错角，用公理 / 已证定理证明
2. 内在联系总结
三种方法本质是 “角的关系→直线平行” 的推导，核心依据是 “同位角相等，两直线平行” 这一公理；
内错角、同旁内角的关系需通过 “对顶角相等”“补角性质” 等转化为同位角关系，体现 “转化思想” 在证明中的应用。
幻灯片 7：典型例题精讲（分场景应用）
例题 1：基础应用 —— 直接用判定方法
题目：如图，直线 a、b 被直线 c 所截，已知∠1=65°，∠2=65°，∠3=115°，分别用三种判定方法判断 a 与 b 是否平行。
解答：
方法 1（同位角）：∠1 与∠2 是同位角，且∠1=∠2=65°，故 a∥b（同位角相等，两直线平行）；
方法 2（内错角）：∠1 与∠4 是内错角（∠4=∠2=65°，对顶角相等），∠1=∠4=65°，故 a∥b（内错角相等，两直线平行）；
方法 3（同旁内角）：∠2 与∠3 是同旁内角，∠2+∠3=65°+115°=180°，故 a∥b（同旁内角互补，两直线平行）。
例题 2：综合应用 —— 结合垂直关系
题目：如图，已知 AB⊥EF，CD⊥EF，垂足分别为 B、D，求证：AB∥CD。
证明过程：
① 因为 AB⊥EF，CD⊥EF（已知），所以∠ABD=90°，∠CDB=90°（垂直的定义）；
② 所以∠ABD=∠CDB（等量代换）；
③ ∠ABD 与∠CDB 是内错角（内错角定义），且∠ABD=∠CDB，故 AB∥CD（内错角相等，两直线平行）；
补充思路：也可将∠ABD 与∠CDB 视为同位角，用 “同位角相等，两直线平行” 证明。
例题 3：拓展应用 —— 多线相交问题
题目：如图，已知∠1=∠2，∠3+∠4=180°，求证：a∥c。
证明过程：
① 因为∠1=∠2（已知），所以 a∥b（内错角相等，两直线平行）；
② 因为∠3+∠4=180°（已知），所以 b∥c（同旁内角互补，两直线平行）；
③ 又因为 a∥b，b∥c，所以 a∥c（平行于同一条直线的两条直线互相平行）。
幻灯片 8：易错点警示（证明与应用误区）
1. 角的位置判断错误
错误表现：混淆同位角、内错角、同旁内角的位置关系（如将非截线形成的角当作同位角）；
避坑指南：判断角的关系时，先明确 “截线”（第三条直线），再根据角的位置特征（同位角：同旁同侧；内错角：之间两侧；同旁内角：之间同侧）识别。
2. 证明依据混淆
错误表现：用 “两直线平行，同位角相等”（性质定理）证明判定定理，出现 “循环论证”；
避坑指南：证明判定定理时，仅能使用 “同位角相等，两直线平行”（公理）、对顶角相等、补角性质等已确认的依据，不可提前使用未证明的性质定理。
3. 忽略 “同一平面” 条件
错误表现：判断空间中不相交的直线为平行线；
避坑指南：平行线定义的前提是 “同一平面内”，空间中不相交也不平行的直线为异面直线，需特别注明平面条件。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题 1：填空补全证明
已知：直线 a、b 被直线 c 所截，∠1=∠2（∠1 与∠2 为内错角），求证 a∥b。
证明：
① ∠1=∠3（）；
② 又∠1=∠2（已知），所以∠2=∠3（）；
③ 故 a∥b（______）。
答案：①对顶角相等；②等量代换；③同位角相等，两直线平行。
提升题 2：独立证明
题目：如图，已知∠A + ∠ABC = 180°，求证：AD∥BC。
提示：先确定截线（AB），识别∠A 与∠ABC 的位置关系（同旁内角），再用判定定理证明。
拓展题 3：多条件推理
题目：如图，∠1=∠2，∠2=∠3，∠3+∠4=180°，判断直线 a 与 d 的位置关系，并证明。
幻灯片 10：课堂总结与课后作业
1. 课堂总结
核心知识：1 个公理（同位角相等，两直线平行），2 个定理（内错角相等、同旁内角互补，两直线平行）；
证明思想：将未知角的关系转化为已知角的关系（如内错角→同位角），依据公理 / 定理推导；
应用关键：准确识别角的位置关系，明确证明依据，规范书写过程。
2. 课后作业
必做题：完成教材对应练习题，用规范步骤证明 “若两条直线都垂直于同一条直线，则这两条直线平行”；
选做题：尝试用反证法证明 “同位角相等，两直线平行”（假设两直线不平行，推出同位角不相等的矛盾）；
实践题：在生活中寻找平行线的实例（如铁轨、窗框），观察并记录这些场景中 “角的关系” 如何体现平行线判定。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.2.1平行线的证明-平行线的判定
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
请找出图中的平行线！它们为什么平行
基本事实 两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：同位角相等，两直线平行.
你认为“两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行”这个命题正确吗？说明理由.
平行线的判定
据说，人类知识的 75% 是在操作中学到的.
小明用下面的方法作出平行线，你认为他的作法对吗？为什么？
通过这个操作活动，得到了什么结论
实验猜想
定理 两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
这个定理可以简单说成：内错角相等，两直线平行.
你能运用所学知识来证明它是一个真命题吗
如图，∠1 和∠2 是直线 a，b 被直线 c 截出的内错角，且∠1 =∠2. 求证：a∥b.
证明：∵∠1 =∠2 (已知)，
∠1 =∠3 (对顶角相等)，
∴∠2 =∠3 (等量代换).
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
定理证明
a
b
c
1
3
2
判定方法2：两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么这两条直线平行.
简单说成：内错角相等，两直线平行.
2
b
a
1
3
∵∠3 =∠2(已知)，
∴ a∥b (内错角相等，两直线平行).
应用格式：
总结归纳
证明：∵∠1 与∠2 互补 (已知)，
∴∠1 +∠2 = 180° (互补的定义).
又∵∠3 +∠2 = 180° (平角的定义)，
∴∠1 =∠3 (同角的补角相等).
∴ a∥b (同位角相等，两直线平行).
a
b
c
1
3
2
如图，∠1 和∠2 是直线 a、b 被直线 c 截出的同旁内角，且∠1 与∠2 互补. 求证：a∥b.
定理证明
判定方法3：两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么这两条直线平行.
简单说成：同旁内角互补，两直线平行.
应用格式：
2
b
a
1
∵∠1 +∠2 = 180° (已知)，
∴ a∥b (同旁内角互补，两直线平行).
总结归纳
① ∵∠2 =∠6（已知），
∴ ___∥___ ( ).
② ∵∠3 =∠5（已知），
∴ ___∥___ ( ).
③ ∵∠4 +___ = 180°（已知），
∴ ___∥___ ( ).
AB
CD
AB
CD
∠5
AB
CD
同位角相等,两直线平行
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
A
C
1
4
2
3
5
8
6
7
B
D
F
E
典例精析
例1 根据条件完成填空.
① ∵∠1 =_____（已知），
∴ AB∥CE ( ).
② ∵∠1 +_____= 180°（已知），
∴ CD∥BF ( ).
③ ∵∠1 +∠5 = 180°（已知），
∴ _____∥_____ ( ).
CE
AB
∠2
④ ∵∠4 +_____= 180°（已知），
∴ AB∥CE ( ).
∠3
∠3
1
3
5
4
2
C
F
E
A
D
B
内错角相等,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
同旁内角互补,两直线平行
练一练 根据图形完成填空：
∴ AB∥MN（内错角相等，两直线平行）.
解：
∵∠MCA =∠A（已知），
又 ∵∠DEC =∠B（已知），
∴ AB∥DE（同位角相等，两直线平行）.
∴ DE∥MN（如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行）.
例2 如图，已知∠MCA =∠A，∠DEC =∠B，那么
DE∥MN 吗？为什么？
A
E
B
C
D
N
M
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
如图，∠3 = 45°，∠1 与∠2 互余，试说明：AB∥CD.
解：∵∠1 =∠2 (对顶角相等)，
∠1 +∠2 = 90° (已知)，
∴∠1 = ∠2 = 45°.
∵∠3 = 45° (已知)，
∴∠2 =∠3.
∴ AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
1
2
3
A
B
C
D
练一练
例3 如图所示，已知∠OEB = 130°，OF 平分∠EOD，∠FOD = 25°，AB∥CD 吗？试说明．
解 ： AB∥CD.
∵ OF 平分∠EOD，∠FOD = 25°，
∴∠EOD = 2∠FOD = 50°.
∵∠OEB = 130°，
∴∠EOD +∠OEB = 180°.
∴ AB∥CD (同旁内角互补，两直线平行).
做一做
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
做一做
同位角相等，两直线平行.
内错角相等，两直线平行.
同旁内角互补，两直线平行.
1. 对于图中标记的各角，下列条件能够推理得到 a∥b 的是 ( )
A.∠1 = ∠2 B.∠2 = ∠4
C.∠3 = ∠4 D.∠1 +∠4 = 180°
【解析】∠1 的对顶角与∠4 是同旁内角，若∠1 +∠4 = 180°，可以根据同旁内角互补，两直线平行得到 a∥b.
D
2. 如图所示，∠1 = 75°，要使 a∥b，则∠2 等于( )
A. 75°
B. 95°
C. 105°
D. 115°
a
b
1
2
【解析】∠1 的同位角与∠2 互为补角，所以∠2 = 180° - 75° = 105°.
C
3. 如图，已知∠1 = 30°，若∠2 或∠3 满足条件
____________________，则 a∥b.
2
1
3
a
b
c
∠2 = 150° 或∠3 = 30°
4. 如图.（1）从∠1 = ∠4，可以推出　 ∥ ，
理由是 .
(2) 从∠ABC +∠ = 180°，可以推出 AB∥CD，理由是 .
A
B
C
D
1
2
3
4
5
AB
内错角相等，两直线平行
CD
BCD
同旁内角互补，两直线平行
(3) 从∠ =∠ 2 ，可以推出 AD∥BC，
理由是 .
(4) 从∠5 =∠ ，可以推出 AB∥CD，
理由是 .
3
内错角相等，两直线平行
ABC
同位角相等，两直线平行
A
B
C
D
1
2
3
4
5
理由如下：
∵ AC 平分∠DAB (已知)，
∴∠1 =∠2 (角平分线的定义).
又∵∠1 =∠3 (已知)，
∴∠2 =∠3 (等量代换).
∴ AB∥CD (内错角相等，两直线平行).
5. 如图，已知∠1 =∠3，AC 平分∠DAB，你能判定
哪两条直线平行？请说明理由.
2
3
A
B
C
D
）
）
1
（
解：AB∥CD.
知识点 平行线的判定
1.下列图形中，由能得到 的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2.［教材习题 变式］如图，木工师傅用图中的角尺画平行线的依
据是( )
B
（第2题）
A.两直线平行，同位角相等
B.同位角相等，两直线平行
C.过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行
D.如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线
也互相平行
返回
（第3题）
3.［2025杨州期末］如图，点在 的延长线上，下
列条件中不能判断 的是( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第4题）
4. 如图，将一款教室护眼灯用两根电
线，吊在天花板上， 是护眼灯，已知
，为保证护眼灯与天花板平行,下面添
加的条件中，正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
（第5题）
5.如图，一条街道有两个拐角和 ，测得
，则 ，就可以知道
，其依据的定理是_____________________
_____。
内错角相等，两直线
平行
返回
6. 如图，在四边形中，是 延长线上一点，请
添加一个条件，使 ，那么可以添加的条件是________________
_______________（写出一个即可）。
（答案不唯一）
（第6题）
返回
7. 如图，已知 ,
, 。试说明： ,
。
根据图形，完成下面的推理：
解： , ,
。
____//____（________________________）。
与相交, （____________）。
。
又 , 。
____//____（__________________________）。
同位角相等，两直线平行
对顶角相等
同旁内角互补，两直线平行
返回
两条直线平行的判定方法
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b.
_______相等， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b. ________互补， 两直线平行 ∵ (已知)， ∴ a∥b. a
b
c
1
2
4
3
∠1 =∠2
∠3 =∠2
∠2 +∠4 = 180°
同位角
内错角
同旁内角
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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