资源简介

(共40张PPT)
幻灯片 1：封面
课时标题：7.2.2 平行线的性质
核心内容：证明平行线性质定理，掌握性质应用，区分判定与性质
授课教师：[你的姓名]
授课时长：[预计时长，如 40 分钟]
幻灯片 2：复习导入 —— 衔接旧知
1. 回顾平行线判定定理
判定 1（公理）：同位角相等，两直线平行；
判定 2（定理）：内错角相等，两直线平行；
判定 3（定理）：同旁内角互补，两直线平行；
提问引导：“判定定理是由‘角的关系’推导‘直线平行’，那如果已知两条直线平行，能推出‘角的关系’吗？这就是我们今天要学行线性质。”
2. 提出核心问题
思考：如图，直线 a∥b，被直线 c 所截，同位角∠1 与∠2、内错角∠1 与∠3、同旁内角∠1 与∠4 之间有什么数量关系？（展示图形，引导学生观察猜想）
幻灯片 3：性质定理 1—— 两直线平行，同位角相等
1. 明确命题与图形
命题内容：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等（简记：两直线平行，同位角相等）。
图形与已知求证：
已知：如图，直线 a∥b，直线 c 分别交 a、b 于点 M、N，∠1 与∠2 是同位角；
求证：∠1=∠2。
2. 证明思路（反证法）
假设∠1≠∠2，根据 “同位角相等，两直线平行” 的判定公理，可推出 a 与 b 不平行，这与已知条件 “a∥b” 矛盾，因此假设不成立，故∠1=∠2。
3. 规范证明过程
证明：
① 假设∠1≠∠2；
② 根据 “同位角相等，两直线平行”，若同位角不相等，则直线 a 与 b 不平行（即 a 与 b 相交）；
③ 但已知 a∥b（已知条件），这与 “a 与 b 相交” 矛盾；
④ 因此假设 “∠1≠∠2” 不成立，故∠1=∠2；
结论：“两直线平行，同位角相等” 是真命题，可作为平行线的性质定理。
幻灯片 4：性质定理 2—— 两直线平行，内错角相等
1. 明确命题与图形
命题内容：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等（简记：两直线平行，内错角相等）。
图形与已知求证：
已知：如图，直线 a∥b，直线 c 分别交 a、b 于点 M、N，∠1 与∠3 是内错角；
求证：∠1=∠3。
2. 证明思路分析
利用已证的 “两直线平行，同位角相等”，结合对顶角相等，将内错角转化为同位角，推导内错角相等。
3. 规范证明过程
证明：
① 因为 a∥b（已知），所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）；
② 又因为∠2 与∠3 是对顶角（对顶角的定义），所以∠2=∠3（对顶角相等）；
③ 由①②可得∠1=∠3（等量代换）；
结论：“两直线平行，内错角相等” 是真命题，可作为平行线的性质定理。
幻灯片 5：性质定理 3—— 两直线平行，同旁内角互补
1. 明确命题与图形
命题内容：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补（简记：两直线平行，同旁内角互补）。
图形与已知求证：
已知：如图，直线 a∥b，直线 c 分别交 a、b 于点 M、N，∠1 与∠4 是同旁内角；
求证：∠1+∠4=180°。
2. 证明思路分析（两种方法）
思路 1：利用 “两直线平行，同位角相等”，结合平角定义推导（∠1=∠2，∠2+∠4=180°，故∠1+∠4=180°）；
思路 2：利用 “两直线平行，内错角相等”，结合平角定义推导（∠1=∠3，∠3+∠4=180°，故∠1+∠4=180°）。
3. 规范证明过程（以思路 1 为例）
证明：
① 因为 a∥b（已知），所以∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）；
② 因为∠2 与∠4 组成平角（平角的定义），所以∠2+∠4=180°（平角的度数为 180°）；
③ 将∠1=∠2 代入②，得∠1+∠4=180°（等量代换）；
结论：“两直线平行，同旁内角互补” 是真命题，可作为平行线的性质定理。
幻灯片 6：平行线性质与判定的对比
1. 表格梳理核心区别
类别
推理方向
核心逻辑
常用场景
平行线判定
角的关系→直线平行
已知角相等 / 互补，证平行
判断两条直线是否平行
平行线性质
直线平行→角的关系
已知直线平行，求角的关系
已知平行，计算角的度数
2. 实例对比应用
判定应用：如图，∠1=∠2，求证 a∥b（由角相等证平行，用判定）；
性质应用：如图，a∥b，已知∠1=50°，求∠2 的度数（由平行求角，用性质）；
总结口诀：“判定是‘因角判平行’，性质是‘因平行求角’”。
幻灯片 7：典型例题精讲（分场景应用）
例题 1：基础应用 —— 求角的度数
题目：如图，直线 a∥b，直线 c 截 a、b 于点 M、N，已知∠1=70°，求∠2、∠3、∠4 的度数。
解答：
因为 a∥b，∠1 与∠2 是同位角，所以∠2=∠1=70°（两直线平行，同位角相等）；
因为 a∥b，∠1 与∠3 是内错角，所以∠3=∠1=70°（两直线平行，内错角相等）；
因为 a∥b，∠1 与∠4 是同旁内角，所以∠1+∠4=180°，故∠4=180°-70°=110°（两直线平行，同旁内角互补）。
例题 2：综合应用 —— 结合垂直关系
题目：如图，已知 AB∥CD，EF⊥AB，垂足为 E，交 CD 于点 F，∠1=45°，求∠2 的度数。
解答过程：
① 因为 EF⊥AB（已知），所以∠AEF=90°（垂直的定义）；
② 因为 AB∥CD（已知），EF 截 AB、CD，所以∠AEF=∠CFE=90°（两直线平行，同位角相等）；
③ 在△CFG 中，∠CFE=90°，∠1=45°（已知），三角形内角和为 180°，所以∠2=180°-90°-45°=45°；
补充思路：也可利用 “AB∥CD” 推出∠2 与∠1 的内错角相等，简化计算。
例题 3：拓展应用 —— 多线平行推理
题目：如图，已知 AB∥CD∥EF，∠A=120°，∠F=150°，求∠ACE 的度数。
解答过程：
① 因为 AB∥CD（已知），所以∠A+∠ACD=180°（两直线平行，同旁内角互补），故∠ACD=180°-120°=60°；
② 因为 CD∥EF（已知），所以∠F+∠FCE=180°（两直线平行，同旁内角互补），故∠FCE=180°-150°=30°；
③ 因为∠ACE=∠ACD + ∠DCE（角的和差关系），而∠DCE=∠FCE=30°，所以∠ACE=60°+30°=90°。
幻灯片 8：易错点警示（性质应用误区）
1. 混淆判定与性质的推理方向
错误表现：已知 a∥b，求∠1 的度数时，误用 “内错角相等，两直线平行” 作为依据；
避坑指南：先明确 “已知条件” 与 “所求结论”，若已知平行，用性质（平行→角）；若证平行，用判定（角→平行）。
2. 忽略 “两条直线平行” 的前提
错误表现：未说明 a∥b，直接得出 “同位角相等”；
避坑指南：平行线性质的适用前提是 “两条直线平行”，必须先明确平行关系，再应用性质。
3. 角的位置关系判断错误
错误表现：将非平行线被截形成的角，误用平行线性质计算；
避坑指南：应用性质前，确认角是 “两条平行线被第三条直线所截” 形成的同位角、内错角或同旁内角。
幻灯片 9：课堂练习（分层巩固）
基础题 1：填空计算
已知直线 a∥b，∠1 与∠2 是同旁内角，∠1=55°，则∠2=______°；若∠3 与∠1 是内错角，则∠3=______°。
答案：125；55（依据 “两直线平行，同旁内角互补”“两直线平行，内错角相等”）。
提升题 2：证明与计算结合
题目：如图，已知 AD∥BC，∠A=∠C，求证 AB∥CD，并求∠B 的度数（若∠A=110°）。
提示：先由 AD∥BC 推出∠A 与∠B 互补，再结合∠A=∠C，推出∠C 与∠B 互补，证明 AB∥CD。
拓展题 3：多条件综合推理
题目：如图，AB∥CD，∠1=∠2，∠3=∠4，求证 CE⊥CF，并说明理由。
幻灯片 10：课堂总结与课后作业
1. 课堂总结
核心知识：3 条性质定理（两直线平行，同位角相等、内错角相等、同旁内角互补）；
关键区别：判定是 “由角判平行”，性质是 “由平行求角”；
应用技巧：先明确平行关系，再识别角的类型，最后选择对应性质计算或证明。
2. 课后作业
必做题：完成教材对应练习题，用规范步骤解答 “已知 AB∥CD，∠B=70°，∠D=30°，求∠BED 的度数”；
选做题：尝试用多种方法证明 “两直线平行，同旁内角互补”（如利用内错角相等或平角定义）；
实践题：观察生活中的平行场景（如楼梯扶手、书架隔板），结合平行线性质，测量并计算相关角的度数，验证性质的正确性。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
7.2.2 平行线的性质
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
图片导入
两直线平行
1. 同位角相等
2. 内错角相等
3. 同旁内角互补
问题 平行线的判定方法是什么？
思考 反过来，如果两条直线平行，同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
两条直线被第三条直线所截，
合作探究
问题1：根据“两条平行线被第三条直线所截，同位角相等”，你能作出相关的图形吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
平行线的性质
问题2：你能根据所作的图形写出已知、求证吗？
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
已知：如图，直线 AB∥CD，∠1 和∠2 是直线 AB、CD 被直线 EF 所截得的同位角.
求证：∠1 =∠2.
文字语言
符号语言
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
问题3：你能说说证明的思路吗？
G
H
证明：假设∠1 ≠ ∠2，过点 M 作直线 GH，使∠EMH =∠2，如图. 根据“同位角相等，两直线平行”，可知 GH∥CD.
又因为 AB∥CD，这样经过点 M 存在两条直线 AB 和 GH 都与直线 CD 平行. 这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2 的假设不成立，所以∠1 =∠2.
如果∠1 ≠ ∠2，AB 与 CD 的位置关系会怎样呢？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
一般地，平行线具有如下性质：
性质1 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简单说成：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1 =∠2
（两直线平行，同位角相等）.
∵ a∥b（已知），
应用格式：
总结归纳
议一议
利用上述性质，你能证明哪些熟悉的结论？
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
尝试来证明一下！
性质2：两条平行直线被第三条直线所截，内错角相等.
已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是
直线 a，b 被直线 c 截得的内错角.
求证：∠1 =∠2.
证明：∵ a∥b (已知)，
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等).
∵∠1＝∠3 (对顶角相等)，
∴∠1＝∠2 (等量代换).
1
2
b
c
3
a
性质3：两条平行直线被第三条直线所截，同旁内角互补.
已知：直线 a∥b，∠1 和∠2 是直
线 a，b 被直线 c 截得的同旁内角.
求证：∠1 +∠2 = 180°.
证明：∵ a∥b (已知)，
∴∠2 =∠3 (两条直线平行，同位角相等).
∵∠1 +∠3 = 180° (平角的定义)，
∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换) .
1
2
b
c
3
a
证明：∵ a∥b，c∥b，
∴∠1 =∠2，∠2 =∠3.
∴∠1 =∠3.
∴ a∥c.
定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
已知：如图，直线 a，b，c 被直线 d 所截，且 a∥b，c∥b.
求证：a∥c.
平行线的性质
性质定理 1：
两直线平行，同位角相等.
∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 2：
两直线平行，内错角相等.
∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 3：
两直线平行，同旁内角互补.
∵ a∥b，∴∠1 +∠2 = 180°.
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
这些结论，以后可以直接运用.
总结归纳
归纳总结
证明一个命题的一般步骤：
(1) 弄清题设和结论；
(2) 根据题意画出相应的图形；
(3) 根据题设和结论写出已知，求证；
(4) 分析证明思路，写出证明过程.
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新知讲解
《02》
解：∠A =∠C，∠B =∠D.
理由：∵ AB∥CD，AD∥BC (已知)，
∴∠A +∠D = 180°，
∠C +∠D = 180° (两直线平行，同旁内角互补).
∴∠A =∠C (同角的补角相等).
同理，∠B =∠D.
典例精析
A
D
C
B
例1 如图，已知四边形 ABCD 中，AB∥CD，AD∥BC，试问∠A 与∠C，∠B 与∠D 的大小关系如何？
证法一：
∵ AB∥DC（已知），
∴∠B +∠C = 180°（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠B =∠D（已知），
∴∠D +∠C = 180°（等量代换）.
∴ AD∥BC（同旁内角互补，两直线平行）.
A
D
C
B
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.
求证：AD∥BC.
证法二：
如图，延长 BA（构造一组同位角）
∵AB∥CD（已知）
∴∠1 = ∠D（两直线平行，内错角相等）
∵∠B = ∠D（已知）
∴∠1 = ∠B（等量代换）
∴AD∥BC（同位角相等，两直线平行）
1
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.
求证：AD∥BC.
A
D
C
B
证法三：
如图，连接 BD (构造两组内错角).
∵ AB∥CD (已知)，
∴∠1 =∠4 (两直线平行，内错角相等).
∵∠ABC =∠ADC (已知)，
∴∠ABC－∠1 =∠ADC－∠4 (等式的性质).
∴∠2 =∠3. ∴ AD∥BC (内错角相等，两直线平行).
1
2
3
4
A
D
C
B
例2 已知：如图，AB∥CD，∠B =∠D.
求证：AD∥BC.
平行线的判定与性质
两直线平行
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
线的关系
角的关系
性质
角的关系
线的关系
判定
讨论：平行线三个性质的条件是什么？结论是什么？它与判定有什么区别？（分组讨论）
素材：探索平行线的性质（点击播放及下一步操作）
1. 下列图形中，由 AB∥CD，能得到∠1 =∠2 的是 ( )
B
解：∵ AB∥DE ( )，
∴∠A =_______ ( ).
∵ AC∥DF ( ) ，
∴∠D =______ ( ).
∴∠A =∠D ( ).
2. (1) 有这样一题：如图 1，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A =∠D. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
P
F
C
E
B
A
D
图 1
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行，同位角相等
等量代换
解：∵ AB∥DE ( )，
∴∠A = ______ ( ).
∵AC∥DF ( ) ，
∴∠D + _______=180° ( ).
∴∠A +∠D=180° ( ).
2. (2) 有这样一题：如图 2，若 AB∥DE，AC∥DF，试说明∠A +∠D = 180°. 请补全下面的解答过程，括号内填写依据.
图2
F
C
E
B
A
D
P
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
（3）∠4 = 70°，
两直线平行，同旁内角互补.
3. 如图，已知平行线 AB、CD 被直线 AE 所截.
(1) 从∠1 = 110° 可以知道∠2 是多少度？为什么？
(2) 从∠1 = 110° 可以知道∠3 是多少度？为什么？
(3) 从∠1 = 110° 可以知道∠4 是多少度？为什么？
2
3
E
1
4
A
B
D
C
解：(1) ∠2 = 110°，
两直线平行，内错角相等.
（2）∠3 = 110°，
两直线平行，同位角相等.
4. 如图，一条公路两次拐弯前后两条路互相平行. 第
一次拐的∠B 是 142°，第二次拐的∠C 是多少度？
为什么？
解：∠C = 142°.
两直线平行，内错角相等.
B
C
A
B
C
D
解：因为梯形上、下底互相平行，所以
∠A 与∠D 互补，∠B 与∠C 互补.
所以梯形的另外两个角的度数分别是 80°、65°.
于是∠D = 180°-∠A = 180°-100° = 80°，
∠C = 180°-∠B = 180°-115° = 65°.
5.如图是一块梯形铁片的残余部分，量得∠A = 100°，∠B = 115°，梯形的另外两个角的度数分别是多少？
6. 如图，在△ABC 中，CE⊥AB 于点 E，DF⊥AB 于点 F，AC∥ED，CE 是∠ACB 的平分线，则∠EDF =∠BDF，请说明理由.
解：因为 CE⊥AB，DF⊥AB，
所以 DF∥EC.
所以∠BDF =∠1，
∠EDF =∠3.
因为 AC∥ED，
所以∠3 =∠2.
所以∠EDF =∠2.
又 CE 平分∠ACB，
所以∠1 =∠2.
所以∠EDF =∠BDF.
知识点1 平行线的性质
1.如图,已知直线 。
（1）根据“两直线平行，同位角相等”，可得
___, ___,___， ___；
5
8
6
7
（2）根据“两直线平行，内错角相等”，可得
___, ___；
8
5
（3）根据“两直线平行，同旁内角互补”，可得 ___ ,
___ 。
5
8
返回
（第2题）
2.［2024重庆中考］如图， ，若
，则 的度数为( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3.［教材习题 变式］如图，已知
，平分，，则 为
( )
B
A. B. C. D.
返回
（第4题）
4.［2024盐城中考］小明将一块直角三角板摆放在
直尺上，如图，若 ，则 的度数为
( )
B
A. B. C. D.
返回
5.如图，直线， ， ，则 ( )
C
（第5题）
A. B. C. D.
返回
6.已知：如图，，点，，分别在，， 上。求
证： 。
证明：如图， （已知），
（两直线平行，内错角相等）。
（已知），
（两直线平行，内错角相等），
（已知），
（等量代换）。
返回
知识点2 平行线的性质与判定的综合应用
7.如图，点在的延长线上， ，下列结论不正确的是
( )
B
A. B.
C. D.
返回
8.［教材习题变式］已知：如图， ， ，
求证： 。
证明： （已知），
（同旁内角互补，两直线平行）。
（两直线平行，同位角相等）。
又 （已知），
（等量代换）。
（内错角相等，两直线平行）。
（两直线平行，内错角相等）。
返回
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
两直线平行
判定
性质
已知
得到
得到
已知
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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