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第二章 实数 章末复习
一、知识框架
（一）实数的相关概念
无理数：无限不循环小数。例如，\(\pi\)，\(0.1010010001\cdots\)（相邻两个\(1\)之间\(0\)的个数逐次加\(1\)）。
算术平方根：若一个正数\(x\)的平方等于\(a\)，即\(x^{2}=a\)，那么这个正数\(x\)叫做\(a\)的算术平方根，\(0\)的算术平方根是\(0\)。
平方根：若\(x^{2}=a\)，则\(x\)叫做\(a\)的平方根，一个正数有两个平方根，它们互为相反数；\(0\)的平方根是\(0\)；负数没有平方根。
立方根：若\(x^{3}=a\)，则\(x\)叫做\(a\)的立方根，正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，\(0\)的立方根是\(0\)。
实数：有理数和无理数统称为实数。
（二）实数的分类
按定义分类
有理数：有限小数或无限循环小数，包括整数和分数。整数又分为正整数、\(0\)、负整数；分数分为正分数、负分数。
无理数：无限不循环小数，如开方开不尽的数（\(\sqrt{2}\)，\(\sqrt[3]{3}\)等）、含\(\pi\)的数、有特定结构的数（\(0.1010010001\cdots\)等）。
按正负性分类
正实数：正有理数和正无理数。
\(0\)
负实数：负有理数和负无理数。
（三）实数的性质
相反数：若\(a\)与\(b\)互为相反数，则\(a + b = 0\)，在数轴上，表示互为相反数的两个点位于原点两侧，且到原点的距离相等。
倒数：若\(a\)与\(b\)互为倒数，则\(ab = 1\)，\(0\)没有倒数。
绝对值：任何实数\(a\)的绝对值都是非负数，即\(\vert a\vert\geq0\)。当\(a\gt0\)时，\(\vert a\vert = a\)；当\(a = 0\)时，\(\vert a\vert = 0\)；当\(a\lt0\)时，\(\vert a\vert = -a\)。
实数与数轴的关系：实数与数轴上的点一一对应，即每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数。
（四）实数的运算
运算法则
加、减法：有理数的加、减法法则在实数范围内同样适用。例如：\(\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(1 + 3)\sqrt{2}=4\sqrt{2}\)。
乘、除法：
乘法：\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a\geq0,b\geq0)\)，如\(\sqrt{3}\times\sqrt{5}=\sqrt{15}\)。
除法：\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a\geq0,b\gt0)\)，如\(\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{3}}=\sqrt{\frac{12}{3}}=\sqrt{4}=2\)。
乘方：\((\sqrt{a})^{2}=a(a\geq0)\)，如\((\sqrt{5})^{2}=5\)。
运算顺序：先乘方、开方，再乘除，最后算加减；同级运算按照从左到右的顺序进行，有括号的先算括号里面的。
（五）二次根式
定义：形如\(\sqrt{a}(a\geq0)\)的式子叫做二次根式。
性质
\((\sqrt{a})^{2}=a(a\geq0)\)。
\(\sqrt{a^{2}}=\vert a\vert=\begin{cases}a(a\geq0)\\ -a(a\lt0)\end{cases}\)。
\(\sqrt{ab}=\sqrt{a}\times\sqrt{b}(a\geq0,b\geq0)\)。
\(\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}(a\geq0,b\gt0)\)。
最简二次根式：被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式的二次根式叫做最简二次根式。例如，\(2\sqrt{3}\)是最简二次根式，而\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)不是最简二次根式。
二次根式的运算
加减运算：先把各个二次根式化成最简二次根式，再将被开方数相同的二次根式合并。如\(\sqrt{8}+\sqrt{18}=2\sqrt{2}+3\sqrt{2}=(2 + 3)\sqrt{2}=5\sqrt{2}\)。
乘除运算：如上述运算法则中的乘法和除法规则。
二、重点题型剖析
（一）无理数的判断
例 1：在\(\frac{22}{7}\)，\(\sqrt{9}\)，\(\pi\)，\(\sqrt[3]{8}\)，\(0.1010010001\cdots\)中，无理数有（ ）
A. \(1\)个 B. \(2\)个 C. \(3\)个 D. \(4\)个
解析：\(\frac{22}{7}\)是分数，属于有理数；\(\sqrt{9}=3\)，是整数，属于有理数；\(\pi\)是无限不循环小数，是无理数；\(\sqrt[3]{8}=2\)，是整数，属于有理数；\(0.1010010001\cdots\)是无限不循环小数，是无理数。所以无理数有\(\pi\)和\(0.1010010001\cdots\)，共\(2\)个，答案选 B。
（二）平方根、算术平方根、立方根的计算
例 2：（1）\(25\)的平方根是______；（2）\(0.04\)的算术平方根是______；（3）\(-64\)的立方根是______。
解析：（1）因为\((\pm5)^{2}=25\)，所以\(25\)的平方根是\(\pm5\)；（2）因为\(0.2^{2}=0.04\)，所以\(0.04\)的算术平方根是\(0.2\)；（3）因为\(( - 4)^{3}=-64\)，所以\(-64\)的立方根是\(-4\)。
（三）实数的运算
例 3：计算\(\sqrt{12}-\sqrt{3}+\sqrt{\frac{1}{3}}\)
解析：先将各项化为最简二次根式，\(\sqrt{12}=\sqrt{4\times3}=2\sqrt{3}\)，\(\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}\)。
则原式\(=2\sqrt{3}-\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\sqrt{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{3\sqrt{3}}{3}+\frac{\sqrt{3}}{3}=\frac{4\sqrt{3}}{3}\)。
（四）二次根式的化简与求值
例 4：已知\(x = \sqrt{3}+1\)，求\((x + 1)^{2}-4(x + 1)+4\)的值。
解析：先对式子进行变形，\((x + 1)^{2}-4(x + 1)+4=(x + 1 - 2)^{2}=(x - 1)^{2}\)。
把\(x = \sqrt{3}+1\)代入得\((\sqrt{3}+1 - 1)^{2}=(\sqrt{3})^{2}=3\)。
三、易错点总结
（一）对平方根、算术平方根概念混淆
如求\(9\)的平方根时，错误地只写\(3\)，忽略了\(-3\)，应牢记正数有两个平方根。
（二）二次根式运算时忽略被开方数的取值范围
在进行二次根式乘除运算\(\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{ab}\)，\(\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}\)时，要注意\(a\geq0\)，\(b\geq0\)（\(b\gt0\)在除法中），否则运算无意义。
（三）实数运算顺序错误
在进行实数混合运算时，一定要严格按照先乘方、开方，再乘除，最后算加减，有括号先算括号里面的顺序进行，避免因顺序错误导致结果错误。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
小结与复习
第二章 实数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
平方根与立方根
二次根式
实数
平方根
算术平方根
定义：最简二次根式
性质：积（商）的算术平方根
运算：加、减、乘、除、乘方
立方根
概念与性质
定义
分类
实数
有理数(有限或无限
循环小数)
整数
分数
正整数
零
负整数
正分数
负分数
无理数（无限不循环小数）
正无理数
负无理数
或 实数
正实数
零
负实数
注: 0 既不是正数，也不是负数，但属于整数
1. 实数的分类
实数的相关概念
2. 数轴
① 三要素：原点、单位长度、正方向；
② 与实数一一对应.
3. 相反数、倒数
a 与 -a 相反数的两数和为 0 (a与b互为相反数 a+b = 0)
b 与 互为倒数的两数积为 1 (a 与 b 互为倒数 ab = 1)
4. 绝对值（到原点的距离）
①
|a|=
a (a > 0)
0 (a = 0)
-a (a < 0)
|a| 为非负数，即 |a|≥0
② 非负式的常见形式有：|a|； a2； ；
5. 实数的大小比较
① 利用数轴（右边的数总比左边大）；
② 作差与 0 比；
③ 作商与 1 比（分母的符号已知）.
算术平方根的意义：
算术平方根具有双重非负性.
非负数
≥0
（a≥0）
正数 a 的正的平方根，叫做这个正数的算术平方根.
0 的算术平方根是 0 ，即
平方根与立方根
平方根的定义：
若 ，则 x 叫 a 的平方根，即 .
类比
当 ，则 x 叫做什么呢？
x 叫 a 的立方根.
即：
开平方的定义
类比
开立方的定义
平方根的性质
立方根的性质
求一个数 a 的立方根的运算，叫做开立方，其中 a 叫做被开方数.
如：求 8 的立方根.
一个正数有两个平方根；0 只有一个平方根，它是 0 本身；负数没有平方根.
正数的立方根是正数；
负数的立方根是负数；
0 的立方根是 0.
求一个数 a 的平方根的运算，叫做开平方，其中 a叫做被开方数.
如：求 9 的平方根.
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《02》
1、定义：
形如　　　　　的式子叫做二次根式，
2、性质：
⑴积的算术平方根：
等于算术平方根的积；
⑵商的算术平方根：
等于算术平方根的商；
其中 a 叫做被开方数.
二次根式
3、最简二次根式 ：
满足以下三个条件的二次根式叫最简二次根式：
⑴被开方数不能含有开得尽方的因数或因式；
⑵被开方数不能含有分母；
⑶分母不能含有根号.
注意：
二次根式的化简与运算，最后结果应化成最简二次根式.
4、二次根式的运算：
⑴二次根式的加减：
类似合并同类项；
⑵二次根式的乘法：
⑶二次根式的除法：
(4)二次根式的平方：
注意:平方差公式与完全平方公式的运用！
中无理数的个数是（ ）
A. 2 B. 3 C. 4 D. 5
A
1. 下列各数
2. 一个长方形的长与宽分别是 6、3，它的对角线的长是（ ）
A. 整数
D. 无理数
C. 有理数
B. 分数
D
3. 下列语句中正确的是（ ）
A.
-9 的平方根是 -3
B.
9 的平方根是 3
C.
9 的算术平方根是±3
D. 9 的算术平方根是 3
D
4. 下列运算中，正确的是（ ）
A
5.
的平方根是（ ）
A.±5
C. 5
B. -5
D.
6. 下列等式正确的是（ ）
D
D
7. 已知一个正方形的边长为 a，
面积为 S，则 ( )
C
8. 9 的算术平方根是 ；
9. (-5)3 的立方根是 ；
10. 10-2 的平方根是 .
3
-5
±0.1
11. 比较大小： 与
解：∵ (-2 + )-(-2+ ) = -2+ +2- = - ＞0，
∴ -2+ ＞-2+
另解：直接由正负决定-2+ ＞-2+
12. 实数 a，b，c，d 在数轴上的对应点如图所示，则
将它们用“ < ”连接是 .
c d 0 b a
其中：
c < d < b < a
a + b
-d - c
b - c
a - d
考点1 五个概念
概念1 无理数与实数
1.［2024烟台中考］下列实数中的无理数是( )
C
A. B.3.14 C. D.
返回
2.［教材 尝试·思考变式］ 把下列各数分别填入相应的集合中。
，， ，，0， （相邻两个1之间0的个数
逐次加1），，，， 。
整数集合：{_____________…}；
有理数集合：{___________________…}；
无理数集合：{_________________________________________________
____________________________…}；
正实数集合：{_________________________________________________
___________________________________ …}。
，,0
,,，0,
， （相邻两个1之间0的个数逐次加1），，，
，， ， （相邻两个1之间0
的个数逐次加1），，，
返回
概念2 算术平方根与平方根
3.求下列各数的平方根及算术平方根：
（1）2.25；
解：2.25的平方根是 ,算术平方根是1.5。
（2） ；
解：的平方根是，算术平方根是 。
（3） 。
解：的平方根是，算术平方根是 。
返回
概念3 立方根
4.［2025成都月考］若是16的算术平方根，则 的立方根是___。
2
返回
概念4 二次根式
5.下列选项中，不是二次根式的是( )
C
A. B. C. D.
返回
6.若代数式在实数范围内有意义，则 的取值范围是( )
A
A. B. C. D.
返回
概念5 最简二次根式
7.下列二次根式中，最简二次根式为( )
B
A. B. C. D.
返回
考点2 一个关系——实数与数轴上的点的对应关系
8. 如图，数轴上有一只蚂蚁，小羽用小方盒扣住蚂蚁，
蚂蚁可在小方盒内爬动，当蚂蚁在数轴上时，其所在位置在数轴上对应
的点可能是( )
C
A. B. C. D.
返回
考点3 四个性质
性质1 实数的性质
9.［2025天津期中］下列说法正确的是( )
A
A.的相反数为 B.的绝对值是
C.若，则 D.若，则
返回
性质2 与 的性质
10.［2025长沙月考］实数, 在数轴上的对应点的位置如图所示，则
化简的结果是( )
D
A. B. C. D.0
返回
性质3 平方根和立方根的性质
11.已知一个正数的两个平方根分别是和 ，求这个正数的立方根。
解：因为一个正数的两个平方根分别是和 ，
所以,解得 。
所以这个正数是 。
所以这个正数的立方根是 。
返回
12.若与互为相反数，求 的值。
解：因为与互为相反数，所以与 互为相
反数。
所以,即 。
所以 。
返回
性质4 二次根式的性质
13.下列各式化简结果正确的是( )
D
A. B. C. D.
返回
14.计算：
（1） ；
解： 。
（2） 。
解： 。
返回
考点4 三种运算
运算1 估算
15.估计 的值在( )
D
A.6到7之间 B.5到6之间 C.4到5之间 D.3到4之间
返回
运算2 实数的运算
16. 如图，这是一个简单的数值运算程序，当输入 的
值为16时，输出的数值为___。
3
返回
17.计算： 。
解：原式 。
返回
运算3 二次根式的运算
18.计算： ___。
3
返回
19.先化简，再求值：，其中 。
解： ，
当时，原式 。
返回
考点5 一个技巧——比较大小的技巧
20.比较大小：___（填“ ”“ ”或“ ”）。
返回
考点6 三种思想
思想1 数形结合思想
21.为了比较与 的大小，可以构造如图所示的图形进行推算，
其中 ，，在上且 。通过计算可得
___。（填“ ”“ ”或“ ”）
返回
思想2 分类讨论思想
22.比较,， 的大小。
解：由题意知 。
当时， ;
当时， ;
当时， 。
返回
思想3 整体思想
23.已知, ,求
的值。
解：因为, ,
所以 ,
即 。
所以
。
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
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