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幻灯片 1：封面
章节标题：第七章 命题与证明 —— 章末复习
复习目标：构建知识体系，突破重点难点，提升推理证明能力
授课教师：[你的姓名]
复习时长：[预计时长，如 45 分钟]
幻灯片 2：本章知识框架图
设计意图：通过可视化框架，让学生快速串联本章知识点，明确各模块间的逻辑关联。
幻灯片 3：核心知识点 1—— 命题
1. 命题的定义与识别
定义：能判断真假的陈述句叫做命题（祈使句、疑问句、感叹句不是命题）。
示例：
是命题：“对顶角相等”（能判断真假）、“3＞5”（能判断真假，假命题）；
不是命题：“画一条直线”（祈使句）、“今天天气好吗？”（疑问句）。
2. 命题的结构拆分
结构形式：通常可改写为 “如果…… 那么……” 的形式，“如果” 后是题设（已知条件），“那么” 后是结论（需要判断的内容）。
拆分示例：
原命题：“直角三角形两锐角互余”；
改写后：“如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余”；
题设：一个三角形是直角三角形；结论：它的两个锐角互余。
3. 命题的分类与判断
真命题：经过推理证实成立的命题（如 “两点之间，线段最短”）；
假命题：推理后发现不成立的命题，判断假命题只需举一个反例（如命题 “所有整数都是正数”，反例：-1 是整数但不是正数）。
练习：判断下列命题真假，是假命题的举反例：
（1）“若 a = b ，则 a = b”（假命题，反例：a=2，b=-2 时，a =b 但 a≠b）；
（2）“同位角相等，两直线平行”（真命题）。
幻灯片 4：核心知识点 2—— 定理与公理
1. 公理的特点与实例
特点：
经过长期实践检验，被公认正确；
不需要证明，是证明其他结论的 “初始依据”。
常见公理：
两点确定一条直线；
两点之间，线段最短；
过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行；
同位角相等，两直线平行（平行线判定公理）。
2. 定理的特点与实例
特点：
必须通过公理、定义或已证定理严格证明后才能确认；
证明后可作为证明其他定理的依据，是数学推理的 “中间桥梁”。
常见定理：
对顶角相等；
三角形内角和为 180°；
直角三角形两锐角互余；
两直线平行，同位角相等（平行线性质定理）。
3. 公理与定理的区别与联系
区别：公理无需证明，定理需证明；
联系：公理是定理的证明基础，定理是公理的延伸与应用，两者共同构成数学推理的 “依据体系”。
表格对比：
类别
证明需求
作用
示例
公理
无需证明
初始依据
两点确定一条直线
定理
需证明
中间依据
三角形内角和为 180°
幻灯片 5：核心知识点 3—— 证明
1. 证明的本质与核心要素
本质：从 “已知依据”（定义、公理、定理）出发，通过逻辑推理，判断命题真假的过程（真命题→定理，假命题→举反例）。
核心要素：
依据合法：不能用未经证明的猜想或主观判断；
逻辑严密：每一步推理有 “因” 有 “果”，无跳跃、无矛盾；
语言规范：用数学符号、文字准确表达，注明依据来源。
2. 证明的一般步骤（四步走）
审命题：分清题设（已知）和结论（求证），复杂命题可改写为 “如果…… 那么……” 形式；
找依据：梳理与命题相关的定义、公理、已证定理，确定推理的 “工具库”；
建思路：从题设出发，逐步推导中间结论，最终指向求证结论（综合法：已知→未知）；
写过程：用①②③标注步骤，每步注明依据，结尾明确命题真假。
3. 常见证明方法
直接证明（综合法）：多数证明采用此方法，直接从题设推结论（如证明 “直角三角形两锐角互余”）；
间接证明（反证法）：当直接证明困难时，假设结论不成立，推出与已知矛盾的结果，从而证明结论成立（如证明 “过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行”）。
幻灯片 6：典型例题精讲（分类型）
类型 1：命题的识别与改写
例题：下列语句中，哪些是命题？若是命题，改写为 “如果…… 那么……” 形式，并判断真假。
（1）“画一个半径为 2cm 的圆”；
（2）“同旁内角互补”；
（3）“若 x = 2，则 x = 4”。
解答：
（1）不是命题（祈使句，无法判断真假）；
（2）是命题，改写为 “如果两个角是同旁内角，那么这两个角互补”，假命题（反例：两直线不平行时，同旁内角不互补）；
（3）是命题，改写为 “如果 x = 2，那么 x = 4”，真命题。
类型 2：几何证明（综合法）
例题：证明 “等腰三角形两腰上的高相等”。
步骤解析：
审命题：
已知：在△ABC 中，AB = AC，BD⊥AC 于 D，CE⊥AB 于 E；
求证：BD = CE。
找依据：等腰三角形性质（AB=AC→∠ABC=∠ACB）、三角形面积公式、全等三角形判定（AAS）。
写过程：
证明：
① 因为 BD⊥AC，CE⊥AB（已知），所以∠ADB = ∠AEC = 90°（垂直的定义）；
② 在△ADB 和△AEC 中，∠A = ∠A（公共角），∠ADB = ∠AEC（已证），AB = AC（已知）；
③ 所以△ADB ≌ △AEC（AAS 全等判定定理）；
④ 因此 BD = CE（全等三角形对应边相等）。
结论：该命题为真命题，可作为等腰三角形的性质定理。
类型 3：代数证明
例题：证明 “若 n 为正整数，则 n (n + 1) 是偶数”。
步骤解析：
审命题：
已知：n 为正整数；
求证：n (n + 1) 是偶数。
找依据：偶数定义（能被 2 整除）、正整数的分类（奇数、偶数）。
写过程：
证明：
① 正整数 n 分为两种情况：n 为奇数或 n 为偶数；
② 当 n 为偶数时，设 n = 2k（k 为正整数），则 n (n + 1) = 2k (2k + 1)，因为 2k 能被 2 整除，所以 2k (2k + 1) 是偶数；
③ 当 n 为奇数时，设 n = 2k - 1（k 为正整数），则 n (n + 1) = (2k - 1)×2k = 2k (2k - 1)，因为 2k 能被 2 整除，所以 2k (2k - 1) 是偶数；
④ 综上，无论 n 为奇数还是偶数，n (n + 1) 都是偶数。
类型 4：反证法证明
例题：用反证法证明 “在一个三角形中，至少有一个内角不小于 60°”。
步骤解析：
假设结论不成立：假设三角形的三个内角都小于 60°；
推出矛盾：设三个内角为∠A、∠B、∠C，则∠A + ∠B + ∠C ＜ 60° + 60° + 60° = 180°，这与 “三角形内角和为 180°”（三角形内角和定理）矛盾；
否定假设，确认结论：因此 “三个内角都小于 60°” 不成立，故原命题 “在一个三角形中，至少有一个内角不小于 60°” 成立。
幻灯片 7：本章易错点警示（高频错误 + 避坑指南）
1. 命题识别错误
错误表现：将祈使句、疑问句误判为命题（如 “请说明理由” 是命题）；
避坑指南：紧扣命题定义 ——“能判断真假的陈述句”，非陈述句或无法判断真假的语句均不是命题。
2. 命题结构拆分错误
错误表现：拆分 “题设” 和 “结论” 时遗漏关键条件（如将 “全等三角形的对应边相等” 拆分为 “如果全等三角形，那么对应边相等”，遗漏 “两个三角形”）；
避坑指南：改写时补充完整主语，确保题设和结论逻辑完整（正确改写：“如果两个三角形是全等三角形，那么它们的对应边相等”）。
3. 证明依据错误
错误表现：用未证明的猜想作为依据（如用 “平行四边形对角线互相平分” 证明 “矩形对角线相等”，但未先证明前者）；
避坑指南：证明前梳理 “依据清单”，确保仅使用定义、公理或已证定理，陌生结论需先证明再使用。
4. 逻辑推理跳跃
错误表现：省略关键推理步骤（如几何证明中，直接从 “AB=CD，AD=BC” 推出 “四边形 ABCD 是平行四边形”，未注明 “两组对边分别相等的四边形是平行四边形” 这一定理）；
避坑指南：每一步推理后标注依据，反问 “这一步为什么成立”，确保因果关系完整。
5. 反证法使用错误
错误表现：假设结论不成立后，未推出与已知的矛盾，直接否定假设（如证明 “两直线相交只有一个交点” 时，假设 “有两个交点”，但未结合 “两点确定一条直线” 推出矛盾）；
避坑指南：反证法核心是 “找矛盾”，需明确矛盾对象（公理、定理、已知条件），无矛盾则无法证明。
幻灯片 8：分层练习（基础 + 提升 + 拓展）
基础题（巩固概念）
下列语句中，属于命题的是（ ）
A. 你今天吃饭了吗？ B. 画∠AOB = 60° C. 对顶角不相等 D. 好美的风景！
把命题 “邻补角互补” 改写为 “如果…… 那么……” 的形式：________________________。
判断命题 “若 a＞b，则 a ＞b ” 的真假，若是假命题，举反例：________________________。
提升题（证明应用）
证明：“平行于同一条直线的两条直线互相平行”（用综合法，结合平行线判定公理）。
参考思路：设直线 a∥c，b∥c，求证 a∥b；通过 “同位角相等” 推导，利用 “同位角相等，两直线平行” 证明。
用反证法证明：“直角三角形中，斜边是最长的边”。
参考思路：假设斜边不是最长边，即某直角边更长，结合 “直角三角形两锐角互余” 推出 “大角对大边” 的矛盾。
拓展题（综合应用）
已知命题：“若一个三角形的三条边满足 a + b = c ，则该三角形是直角三角形”（勾股定理的逆定理）。
（1）判断该命题的真假；
（2）若为真命题，尝试结合 “全等三角形” 和 “三角形内角和定理” 证明；
（3）若△ABC 的三边为 5，12，13，利用该命题判断△ABC 的形状，并说明理由。
幻灯片 9：本章总结
1. 知识脉络梳理
核心主线：从 “命题”（判断语句）到 “依据”（公理、定理），再到 “方法”（证明），形成 “判断→依据→推理” 的逻辑闭环；
关键结论：
命题分真假，假命题需举反例；
公理是基础，定理需证明；
证明要严谨，逻辑是核心。
2. 能力提升方向
识别能力：快速判断命题、拆分结构，明确证明目标；
推理能力：熟练运用综合法、反证法，构建严密逻辑链条；
规范能力：规范书写证明过程，注明依据，避免逻辑漏洞；
应用能力：结合几何、代数场景，灵活运用证明解决实际问题。
3. 后续学习衔接
本章是 “平面几何证明” 的基础，后续将学习 “三角形全等的证明”“四边形性质的证明” 等，需熟练掌握本章的证明方法和逻辑思维；
建议通过 “多练 + 多改” 提升能力：先独立证明，再对照标准过程修改，重点关注 “思路差异” 和 “依据遗漏”。
幻灯片 10：课后作业
必做题：完成教材章末复习题（选择题 1-4，填空题 1-3，解答题 1-2），重点规范解答题的证明过程；
选做题：收集 1 个生活中的 “命题”（如 “早起身体好”），判断其真假，尝试用 “生活依据”（如科学研究、生活经验）“证明” 或举反例；
拓展题：查阅资料，了解 “欧几里得《几何原本》” 中的 5 条公理，思考这些公理如何支撑起整个平面几何的证明体系，撰写 100 字左右的感悟。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
小结与复习
第七章 命题与证明
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
证明
分类
结构
定理
推论
公理
条件
命题
真命题
假命题
结论
反例
证明
应用
平行线
三角形
判定
性质
内角和
定理
推论
1．判断一件事情的句子叫做命题.
2. 命题有真有假，其中正确的命题叫做　 　，错
误的命题叫做　 　.
真命题
假命题
3. 要说明一个命题是假命题，只要举出一个符合命题
条件，但不符合命题结论的例子就可以，像这样的
例子称为______．
反例
命题
4. 公认的真命题称为　 .
公理
5. 演绎推理的过程称为______，经过证明的真命题称为______.
证明
定理
图形
已知
结果
结论
同位角
内错角
同旁内角
a∥b
a∥b
a∥b
同位角相等
两直线平行
内错角相等
两直线平行
同旁内角互补
两直线平行
1
2
2
3
2
4
）
）
）
）
）
）
a
b
a
b
a
b
c
c
c
平行线的判定
性质定理 1：
两直线平行，同位角相等.
∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 2：
两直线平行，内错角相等.
∵ a∥b，∴∠1 =∠2.
性质定理 3：
两直线平行，同旁内角互补.
∵ a∥b，∴∠1 +∠2 = 180°.
a
b
c
2
1
a
b
c
1
2
a
b
c
1
2
平行线的性质
定理：三角形的内角和等于_______.
推论1：三角形的一个外角等于和它不相邻的
两个内角的和.
推论2：三角形的一个外角大于任何一个和它
不相邻的内角.
180°
三角形内角和定理
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
1. 下列语句是命题的有_________.
（1）两点之间线段最短；
（2）向雷锋同志学习；
（3）对顶角相等；
（4）三个角分别相等的两个三角形是全等三角形.
(1)(3)(4)
2. 下列命题，哪些是真命题？哪些是假命题？如果是真命题，请写出条件与结论，如果是假命题，请举出反例.
（1）同角的补角相等；
（2）同位角相等，两直线平行；
（3）若 |a| = |b|，则 a = b.
真命题
真命题
反例：取 a = -1，b = 1，则 |a| = |b|，但 a ≠ b.
假命题
3. 如图，AD、BE、CF 为△ABC 的三条角平分线，则∠1 +∠2 +∠3 =______.
1
A
B
C
D
E
F
2
3
90°
4. 如图所示，△ABC 中，∠ACD = 115°，∠B = 55°， 则∠A = °，∠ACB =______°.
5. 如图，AB∥CD，若∠ABE = 130°，∠CDE = 152°，则∠BED =______°.
60
65
78
第 4 题图
A
B
C
D
A
B
C
D
E
F
第 5 题图
6. 如图，直线 a，b 被直线 c 所截，a∥b.
求证：∠1 +∠2 = 180°.
证明：∵ a∥b（已知），
∴∠1 +∠3 = 180°
（两直线平行，同旁内角互补）.
∵∠3 =∠2 (对顶角相等)，
∴∠1 +∠2 = 180° (等量代换).
7. 已知：如图，∠1 +∠2 = 180°.
求证：∠3 =∠4.
证明：∵∠2 =∠5（对顶角相等），
∠1 +∠2 = 180°（已知），
∴∠1+∠5 = 180°（等量代换）.
∴ CD∥EF（同旁内角互补，两直线平行）.
∴∠3 =∠4（两直线平行，同位角相等）.
8. 如图，直线 AB∥ED.
求证：∠ABC +∠CDE = ∠BCD.
证法一：如图，过点 C 作 CF∥AB.
A
B
C
D
E
∴∠ABC = ∠BCF（两直线平行，内错角相等）.
∵ AB∥ED（已知），
∴ ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行）.
∴∠EDC =∠FCD（两直线平行，内错角相等）.
∴∠BCF +∠FCD =∠EDC +∠ABC（等式性质），
即∠BCD =∠ABC +∠CDE.
F
证法二：如图，延长 BC 交 DE 于点 G.
A
B
C
D
E
G
∵ AB∥DE（已知），
∴∠ABC =∠CGD（两直线平行，内错角相等）.
∵∠BCD 是△CDG 的一个外角（外角定义），
∴∠BCD =∠CGD +∠CDE（三角形的外角性质1）.
∴∠BCD =∠ABC +∠CDE（等量代换）.
9. 如图，直线 AB∥ED，∠ABC 、∠CDE 、∠BCD之间有什么数量关系？请说明理由.
如图，过点 C 向左作 CF∥AB，
A
B
C
D
E
∴∠ABC +∠BCF = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
∵ AB∥ED（已知），
∴ ED∥CF（平行于同一直线的两条直线互相平行）.
解：∠ABC +∠CDE +∠BCD = 360°，理由如下：
F
∴∠EDC +∠DCF = 180°
(两直线平行，同旁内角互补).
∴∠ABC+∠CDE +∠BCD
=∠ABC +∠BCF +∠CDE +∠DCF
= 180° + 180° = 360° (等式性质).
即∠ABC +∠CDE +∠BCD = 360°.
A
B
C
D
E
F
∴∠ABC =∠CFE（两直线平行，同位角相等）.
10. 如图，直线 AB∥ED，∠ABC、∠CDE、∠BCD 之间有什么数量关系？请说明理由.
解：∠ABC =∠CDE +∠BCD ，理由如下：
∵ AB∥DE（已知），
∵∠CFE 是△CDF 的一个外角（外角定义），
∴∠CFE =∠CDE +∠BCD（三角形的外角性质1）.
∴∠ABC =∠CDE +∠BCD（等量代换）.
F
A
B
C
D
E
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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