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幻灯片 1：封面
章节名称：第四章 一次函数（章末复习）
学科：数学
年级：八年级
复习目标：整合一次函数的概念、图象、性质与应用，提升数形结合与实际解题能力
幻灯片 2：章节知识框架
幻灯片 3：核心知识点 1—— 函数基础与一次函数概念
1. 函数的核心定义
变量与常量：变化过程中，数值变化的量为变量（分自变量、因变量），数值不变的量为常量（如速度、单价）。
函数本质：对于自变量\(x\)的每一个确定值，因变量\(y\)都有唯一确定的值与之对应（单值对应关系），记作\(y=f(x)\)。
表示方法：
列表法：直观读取对应值（如时刻表）；
解析式法：简洁通用（如\(y=2x+1\)）；
图象法：展示变化趋势（如折线图）。
2. 一次函数与正比例函数的概念
函数类型
表达式
关键条件
从属关系
示例
正比例函数
\(y = kx\)
\(k 0\)，\(b=0\)
特殊的一次函数
\(y=3x\)、\(y=-\frac{1}{2}x\)
一次函数
\(y = kx + b\)
\(k 0\)（\(b\)为任意实数）
包含正比例函数（\(b=0\)时）
\(y=2x+3\)、\(y=-x-5\)
概念辨析：
若\(k=0\)，则\(y=b\)为常数函数，非一次函数（如\(y=5\)）；
自变量\(x\)的次数必须为 1，且不能在分母、根号内（如\(y=\frac{1}{x}\)、\(y=\sqrt{x}\)非一次函数）。
幻灯片 4：核心知识点 2—— 一次函数的图象与性质
1. 正比例函数（\(y=kx\)，\(k 0\)）
图象特征：过原点（0，0）的直线，两点可确定（优先取（0，0）、（1，k））。
性质（由\(k\)决定）：
\(k\)的符号
图象倾斜方向
经过象限
\(y\)随\(x\)的变化
示例
\(k>0\)
左低右高
一、三
增大
\(y=2x\)（\(x\)增 1，\(y\)增 2）
\(k<0\)
左高右低
二、四
减小
\(y=-3x\)（\(x\)增 1，\(y\)减 3）
倾斜程度：\(|k|\)越大，直线越陡（如\(y=5x\)比\(y=2x\)陡）。
2. 一次函数（\(y=kx+b\)，\(k 0\)）
图象特征：直线，两点法绘制（优先取与坐标轴交点：（0，b）、（\(-\frac{b}{k}\)，0））。
性质（由\(k\)和\(b\)共同决定）：
\(k\)的作用：决定增减性（同正比例函数）和倾斜方向；
\(b\)的作用：决定与\(y\)轴交点（截距）——\(b>0\)交正半轴，\(b<0\)交负半轴，\(b=0\)过原点；
图象经过的象限（\(k\)与\(b\)组合）：
| \(k>0\) | \(b>0\)→一、二、三象限；\(b<0\)→一、三、四象限 |
| \(k<0\) | \(b>0\)→一、二、四象限；\(b<0\)→二、三、四象限 |
图象平移：\(y=kx\)→\(y=kx+b\)，“上加下减”（\(b>0\)向上移\(b\)个单位，\(b<0\)向下移\(|b|\)个单位），平移后直线平行（\(k\)不变）。
幻灯片 5：核心知识点 3—— 一次函数表达式的确定
1. 核心方法：两点法（通用）
步骤：
设表达式：正比例函数设\(y=kx\)（\(k 0\)），一次函数设\(y=kx+b\)（\(k 0\)）；
代点列方程：将图象上两点（\(x_1,y_1\)）、（\(x_2,y_2\)）代入，得方程组；
解方程求\(k\)、\(b\)；
验证并写出表达式。
示例：已知一次函数过（2，5）、（-1，-1），设\(y=kx+b\)，列方程组\(\begin{cases}5=2k+b\\-1=-k+b\end{cases}\)，解得\(k=2\)，\(b=1\)，表达式为\(y=2x+1\)。
2. 特殊场景简化
场景 1：过原点（正比例函数）：只需一个非原点的点（如（2，4）），代入\(y=kx\)得\(k=2\)，表达式\(y=2x\)。
场景 2：已知与坐标轴交点：与\(y\)轴交点（0，b）直接得\(b\)，再代入与\(x\)轴交点（\(x_0,0\)）求\(k\)（如与（0，-6）、（3，0）交于，得\(b=-6\)，代入（3，0）得\(k=2\)，表达式\(y=2x-6\)）。
场景 3：平行直线：平行直线\(k\)相等（如与\(y=-3x+2\)平行，设\(y=-3x+b\)），再代入一个点求\(b\)。
幻灯片 6：核心知识点 4—— 一次函数的实际应用
1. 利用一个函数图象解决问题
核心思路：从图象提取关键信息（\(k\)的实际意义：速度、单价；\(b\)的实际意义：初始距离、固定成本；与坐标轴交点：终点、临界值）。
示例（行程问题）：图象过（0，30）（初始距离 30km）、（2，0）（2 小时到达），表达式\(y=-15x+30\)，\(k=-15\)表示速度 15km/h（负号表距离减小），可求任意时间的剩余距离。
2. 利用两个函数图象解决问题
核心思路：
交点意义：两函数值相等的状态（如相遇、费用相等），交点坐标是方程组的解；
比较大小：图象上方的函数值大（如费用更低、距离更近），以交点横坐标为分界。
示例（费用对比）：套餐 A（\(y=5x+10\)）与套餐 B（\(y=2x+25\)），交点（5，35）表示 5GB 时费用相等，\(x<5\)选 A，\(x>5\)选 B。
幻灯片 7：典型例题剖析
例题 1：一次函数概念与性质应用
问题：已知一次函数\(y=(m-2)x+(n+1)\)，回答下列问题：
（1）若为正比例函数，求\(m\)、\(n\)的值；
（2）若图象过二、三、四象限，求\(m\)、\(n\)的取值范围；
（3）若\(y\)随\(x\)增大而增大，且图象与\(y\)轴交于正半轴，求\(m\)、\(n\)的范围。
解答：
（1）正比例函数→\(b=0\)且\(k 0\)→\(n+1=0\)（\(n=-1\)），\(m-2 0\)（\(m 2\)）；
（2）过二、三、四象限→\(k<0\)（\(m-2<0\)→\(m<2\)），\(b<0\)（\(n+1<0\)→\(n<-1\)）；
（3）\(y\)随\(x\)增大而增大→\(k>0\)（\(m>2\)），与\(y\)轴交正半轴→\(b>0\)（\(n>-1\)）。
例题 2：表达式确定与图象应用
问题：如图，一次函数图象过 A（0，4）和 B（2，0），与正比例函数\(y=kx\)交于 C 点。
（1）求一次函数表达式；
（2）若 C 点横坐标为 1，求正比例函数表达式及△AOC 的面积（O 为原点）。
解答：
（1）设一次函数\(y=kx+b\)，代入 A（0，4）得\(b=4\)，代入 B（2，0）得\(0=2k+4\)→\(k=-2\)，表达式\(y=-2x+4\)；
（2）C 点横坐标 1，代入一次函数得\(y=-2 1+4=2\)，故 C（1，2）；代入正比例函数得\(2=k 1\)→\(k=2\)，表达式\(y=2x\)；△AOC 面积 =\(\frac{1}{2} OA C ¨ =\frac{1}{2} 4 1=2\)。
幻灯片 8：章节易错点汇总
易错类型
错误案例
规避方法
概念混淆
认为\(y=0x+3\)是一次函数（\(k=0\)，实为常数函数）
牢记\(k 0\)是一次函数的核心条件
图象平移错误
将\(y=2x\)向上移 3 个单位写成\(y=2(x+3)\)（应为\(y=2x+3\)）
平移口诀 “上加下减，只变 b”
表达式求解失误
解方程组时计算错误，或漏验证
解后代入原两点验证，确保等式成立
实际意义误解
把\(k=-15\)理解为 “速度 - 15km/h”（实为速度 15km/h，方向返回）
结合场景分析\(k\)的符号意义，负号表 “减少”
交点意义混淆
认为两函数交点仅表示 “相遇”（还可表示费用相等、产量相同）
明确交点的本质是 “函数值相等”，结合场景解读
幻灯片 9：章节总结与解题方法提炼
1. 知识体系总结
核心逻辑：从 “函数定义” 到 “一次函数特殊形式”，再到 “图象性质”“表达式确定”，最终落地 “实际应用”，贯穿 “数形结合” 思想。
关键关联：正比例函数是一次函数的特例，图象平移是性质的延伸，表达式确定是应用的基础。
2. 通用解题方法
概念题：紧扣定义（\(k 0\)、单值对应），排除干扰项；
图象题：先看\(k\)定增减，再看\(b\)定截距，结合象限判断；
表达式题：优先用两点法，特殊场景简化（如过原点、平行直线）；
应用题：先建函数模型（设表达式），再提取图象信息，最后结合场景作答。
幻灯片 10：复习作业
基础题：已知一次函数过（-1，2）和（3，-2），求表达式，并判断图象过哪些象限，\(y\)随\(x\)的变化规律；
提升题：正比例函数\(y=k_1x\)与一次函数\(y=k_2x+b\)交于（2，4），一次函数过（0，6），求两函数表达式及交点外另一个一次函数与 x 轴的交点；
拓展题：某商店销售商品，成本 30 元 / 件，售价\(x\)元 / 件（\(x 30\)），销量\(y=-2x+160\)，求利润\(W=(x-30)y\)与\(x\)的函数关系（化为一次函数形式），并求售价为多少时利润为 1200 元。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
小结与复习
第四章 一次函数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
丰富的现实背景
函数
一次函数
函数关系式
图象
函数关系式的确定
图象的应用
函数
一
1. 叫变量，
叫常量.
2.函数定义：
数值发生变化的量
数值始终不变的量
在一个变化过程中，如果有两个变量 x 与 y，并且对于 x 的每一个确定的值，y 都有唯一确定的值与其对应，那么我们就说 x 是自变量，y 是 x 的函数.
(所用方法:描点法)
3.函数的图象：对于一个函数，如果把自变量与函数的每对对应值分别作为点的横坐标和纵坐标，那么坐标平面内由这些点组成的图形，就是这个函数的图象.
列表法
关系式法
图象法
5.函数的三种表示方法：
4.描点法画图象的步骤：列表、描点、连线
一次函数 一般地，如果 y＝kx＋b (k、b 是常数，k ≠ 0)，那么 y 叫做 x 的一次函数
正比例函数 特别地，当 b＝____时，一次函数
y＝kx＋b 变为 y＝ ___( k 为常数，k ≠ 0)，这时 y 叫做 x 的正比例函数
注意：一次函数与正比例函数的关系
0
kx
一次函数与正比例函数的概念
函数 字母取值 （ k＞0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 y 随 x增大而
增大
b＝0 b＜0 一、三象限
一、二、三象限
一、三、四象限
一次函数的图象与性质
函数 字母取值 （ k＜0 ） 图象 经过的象限 函数性质
y＝kx + b (k ≠ 0) b＞0 ________ y 随 x增大而
减小
b＝0 ________ b＜0 ________ 一、二、四象限
二、四象限
二、三、四象限
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
求一次函数关系式一般步骤：
（1）先设出函数关系式；
（2）根据条件列关于待定系数的方程（组）；
（3）解方程（组）求出关系式中未知的系数；
（4）把求出的系数代入设的关系式，从而具体写出这个关系式.
求一次函数的关系式
1.　填空题：
　　有下列函数：①　　　　　 ， ②　　　　 ，
③　　　 ， ④ .其中过原点的直
线是_____；函数 y 随 x 的增大而增大的是___________；函数 y 随 x 的增大而减小的是______；图象在第一、二、三象限的是_____.
②
①、②、③
④
③
x
y
2
=
k__0，b__0 k__0，b__0 k__0，b___0 k__0，b___0
2.根据下列一次函数 y = kx + b (k ≠ 0)的草图回答出各图中 k、b 的符号：
＜
＞
＜
＞
＞
＞
＜
＜
3、在下列函数中， x 是自变量， y 是 x 的函数， 哪些是一次函数？哪些是正比例函数？
y = 2x y = -3x+1 y = x2
4、某函数具有下列两条性质
（1）它的图像是经过原点（0，0）的一条直线；
（2）y 的值随 x 值的增大而增大.
请你举出一个满足上述条件的函数（用关系式表示）
.
y = 3x（答案不唯一）
解：(1)(2)是一次函数，其中(1)是正比例函数.
5.函数 的图象与 x 轴交点的坐标为_______，
与 y 轴的交点坐标为______.
(-6，0)
(0，4)
6.已知函数 y = -x + 2.当 -1＜x≤1 时，y 的取值范围是_______.
1≤y＜3
7.已知一次函数 y = kx + b，y 随着 x 的增大而减小，且 kb＜0，则在直角坐标系内它的大致图象是( 　)
A 　 　 　 B 　 C 　 　D
A
x
y
O
O
x
y
x
y
y
x
O
O
　8.一次函数 y = ax + b 与 y = ax + c (a＞0)在同一坐标系中的图象可能是（　 　）
x
y
o
x
y
o
x
y
o
x
y
o
A
B
C
D
A
9.李老师开车从甲地到相距 240 千米的乙地，如果油箱剩余油量 y (升)与行驶里程 x (千米)之间是一次函数关系，其图象如图所示，那么
到达乙地时油箱剩余油量是多少升？
解：设一次函数的关系式为 y＝kx＋35，
将(160，25)代入，得 160k＋35＝25，
解得 k＝ ，
所以一次函数的关系式为 y＝ x＋35.
再将 x＝240 代入 y＝ x＋35，
得 y＝ ×240＋35＝20，
即到达乙地时油箱剩余油量是 20 升．
10.自来水公司有甲、乙两个蓄水池，现将甲池中的水匀速注入乙池，甲、乙两个蓄水池中水的深度 y (米)与注水时间 x (时)之间的函数图象如图所示，结合图象回答下列问题．
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中
水的深度 y 与注水时间 x 之间的
函数关系式；
解：(1)设它们的函数关系式为
y＝kx＋b，根据甲的函数图象可知，
当 x＝0，y＝2；当 x＝3时，y＝0，
将它们代入关系式 y＝kx＋b 中，
得 k＝ ，b＝2，
所以甲蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式为：y＝ x＋2. 同理可得乙蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式为：y＝x＋1；
(1)分别求出甲、乙两个蓄水池中水的深度 y 与注水时间 x 之间的函数关系式；
(2)求注入多长时间后甲、乙两个蓄水池的深度相同；
(2) 由题意得 x＋2＝x＋1，
解得 x＝ .
故当注水 小时后，甲、乙两个蓄水池水的深度相同；
(3) 求注入多长时间甲、乙两个蓄水池的蓄水量相同？
(3) 从函数图象判断当甲水池的水全部注入乙水池后，甲水池深度下降 2 米，而乙水池深度上升 3 米，所以甲乙水池的底面积之比为 S甲 : S乙 = 3 : 2，
S甲·( x＋2) = S乙·(x＋1)，解得 x = 1.故注水 1 小时后，甲乙两蓄水池的蓄水量相同.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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