资源简介

(共19张PPT)
幻灯片 1：封面
章节名称：第五章 二元一次方程组
学科：数学
年级：八年级
整合目标：梳理二元一次方程组的概念、解法、应用及与函数的关联，提升综合解题与建模能力
幻灯片 2：章节知识框架
幻灯片 3：核心知识点 1—— 二元一次方程组的概念与解
1. 二元一次方程的定义与特征
定义：含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是 1 的整式方程，一般形式为\(ax + by = c\)（\(a\)、\(b\)不同时为 0）。
关键判断标准：
含两个不同未知数（如\(x\)、\(y\)）；
未知数的次数为 1（无平方、乘积项，如\(xy = 5\)非二元一次方程）；
整式方程（分母不含未知数，如\(\frac{1}{x} + y = 3\)非二元一次方程）。
解的特征：无数组解，给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值（如方程\(x + y = 5\)，\(x=2\)时\(y=3\)，\(x=3\)时\(y=2\)）。
2. 二元一次方程组的定义与解
定义：把含相同未知数的两个二元一次方程合在一起，组成二元一次方程组，一般形式为\(\begin{cases} a_1x + b_1y = c_1 \\ a_2x + b_2y = c_2 \end{cases}\)。
解的特征：
唯一解：两个方程对应的直线相交（如\(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)，解为\(\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}\)）；
无解：两直线平行（斜率相同，截距不同，如\(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 5 \end{cases}\)）；
无数组解：两直线重合（斜率、截距均相同，如\(\begin{cases} x + y = 3 \\ 2x + 2y = 6 \end{cases}\)）。
解的验证：将一组数代入方程组的两个方程，若均满足，则为方程组的解（如验证\(\begin{cases} x=3 \\ y=2 \end{cases}\)是否为\(\begin{cases} x + y = 5 \\ x - y = 1 \end{cases}\)的解，代入后两方程均成立）。
3. 三元一次方程组（拓展）
定义：含三个相同未知数的三个三元一次方程组成，一般形式为\(\begin{cases} a_1x + b_1y + c_1z = d_1 \\ a_2x + b_2y + c_2z = d_2 \\ a_3x + b_3y + c_3z = d_3 \end{cases}\)。
核心解法：消元降次（先消一个未知数化为二元方程组，再消元化为一元方程）。
幻灯片 4：核心知识点 2—— 二元一次方程组的解法
1. 代入消元法（适合某一未知数系数为 1 或 - 1）
解题步骤：
选方程：选择未知数系数为 1 或 - 1 的方程（如\(x - y = 2\)），用一个未知数表示另一个未知数（如\(x = y + 2\)）；
代消元：将表达式代入另一个方程，消去一个未知数，得到一元一次方程（如将\(x = y + 2\)代入\(x + y = 5\)，得\(y + 2 + y = 5\)）；
解一元：求解一元一次方程（如\(2y = 3\)→\(y = 1.5\)）；
回代求：将结果代入表达式，求另一个未知数（如\(x = 1.5 + 2 = 3.5\)）；
验与写：验证并写出方程组的解。
示例：解\(\begin{cases} x - y = 2 \\ x + y = 5 \end{cases}\)，用代入法得\(\begin{cases} x=3.5 \\ y=1.5 \end{cases}\)。
2. 加减消元法（适合系数成倍数或互为相反数）
解题步骤：
观系数：观察某一未知数的系数，若互为相反数（相加消元）或相等（相减消元）；
做加减：将两个方程相加或相减，消去一个未知数（如\(\begin{cases} 2x + y = 7 \\ x - y = 2 \end{cases}\)，两方程相加消去\(y\)，得\(3x = 9\)）；
解一元：求解一元一次方程（如\(x = 3\)）；
回代求：代入原方程求另一个未知数（如\(3 - y = 2\)→\(y = 1\)）；
验与写：验证并写出解。
变形技巧：若系数既不相等也不相反，给方程乘适当常数（如\(\begin{cases} 2x + 3y = 11 \\ x + 2y = 7 \end{cases}\)，给第二个方程乘 2，得\(2x + 4y = 14\)，再与第一个方程相减消去\(x\)）。
3. 两种解法对比
解法
适用场景
优点
缺点
代入消元法
某一未知数系数为 1 或 - 1
步骤直接，易理解
系数非 1 时易出现分数，计算繁琐
加减消元法
系数成倍数、互为相反数或易变形
减少分数运算，计算高效
需判断系数关系，变形需细心
幻灯片 5：核心知识点 3—— 二元一次方程组的实际应用
1. 应用解题流程（五步建模法）
设：设两个未知量（直接设问题要求的量，或间接设中间量）；
找：从题干中提取两个独立的等量关系（如 “总重量 = 各部分重量和”“利润 = 收入 - 成本”）；
列：根据等量关系列出二元一次方程组；
解：用代入或加减消元法求解方程组；
验：验证解的数学正确性与实际意义（如人数为正整数、单价为正数），再作答。
2. 典型应用场景与示例
场景类型
核心等量关系
示例（题干简化）
方程组示例
增收节支
利润 = 收入 - 成本；增长后量 = 原量 ×(1 + 增长率)
去年收入 200 万、成本 150 万，今年收入增 20%、成本减 10%，利润 95 万
\(\begin{cases} x - y = 50 \\ 1.2x - 0.9y = 95 \end{cases}\)（x = 收入，y = 成本）
几何问题
长方形周长 = 2 (长 + 宽)；面积 = 长 × 宽
长方形周长 28cm，长减 2cm、宽加 2cm 变正方形
\(\begin{cases} 2(x+y)=28 \\ x-2=y+2 \end{cases}\)（x = 长，y = 宽）
行程问题
相遇：路程和 = 总距离；追及：路程差 = 初始距离
甲、乙相向而行 3 小时相遇，甲速比乙快 10km/h，总距离 210km
\(\begin{cases} y - x = 10 \\ 3(x+y)=210 \end{cases}\)（x = 乙速，y = 甲速）
配套问题
按比例配套（如 1 螺栓配 2 螺母→螺母 = 2× 螺栓）
22 人生产螺栓（12 个 / 人）和螺母（18 个 / 人），需 1:2 配套
\(\begin{cases} x + y = 22 \\ 2 12x = 18y \end{cases}\)（x = 螺栓人数，y = 螺母人数）
幻灯片 6：核心知识点 4—— 二元一次方程组与一次函数的关联
1. 二元一次方程与一次函数的转化
转化方法：将二元一次方程\(ax + by = c\)（\(b 0\)）变形为一次函数\(y = kx + b\)的形式（如\(2x + y = 5\)→\(y = -2x + 5\)）。
对应关系：
方程的一组解\(\begin{cases} x = x_0 \\ y = y_0 \end{cases}\)，对应函数图象上的点\((x_0, y_0)\)；
函数图象上的任意点\((x_0, y_0)\)，其坐标是方程的一组解。
本质：方程的所有解构成的集合，与函数图象上所有点的坐标集合完全相等。
2. 二元一次方程组与函数图象的交点
核心结论：方程组的解是两个一次函数图象的交点坐标；反之，两函数图象的交点坐标是方程组的解。
三种位置关系与方程组解的对应：
两函数图象关系
交点个数
方程组解的情况
示例（函数表达式）
相交
1 个
唯一解
\(y = 2x + 1\)与\(y = -x + 4\)（交点 (1,3)）
平行
0 个
无解
\(y = 2x + 1\)与\(y = 2x + 3\)
重合
无数个
无数组解
\(y = 2x + 1\)与\(2y = 4x + 2\)
图象法求方程组的解：画出两个函数的图象，找到交点坐标，即为方程组的解（如求\(\begin{cases} x + y = 5 \\ 2x - y = 1 \end{cases}\)，图象交点 (2,3) 即为解）。
幻灯片 7：典型例题（综合应用）
例题 1：解法选择与求解
问题：解方程组\(\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 2x - 5y = -1 \end{cases}\)，选择合适的解法。
解答：
选择加减消元法，消去\(x\)（系数 3 和 2 的最小公倍数为 6）；
第一个方程 ×2：\(6x + 4y = 26\)（①）；第二个方程 ×3：\(6x - 15y = -3\)（②）；
① - ②：\(19y = 29\)？修正数据：将第二个方程改为\(2x - 5y = -4\)，则① - ②：\(19y = 30\)→\(y = \frac{30}{19}\)？更优数据：\(\begin{cases} 3x + 2y = 13 \\ 2x - 5y = -1 \end{cases}\)，正确计算：
①×2：\(6x + 4y = 26\)；②×3：\(6x - 15y = -3\)；
① - ②：\(19y = 29\)→\(y = \frac{29}{19}\)，\(x = \frac{63}{19}\)（验证成立）。
例题 2：实际应用（行程问题）
问题：甲、乙两车从 A、B 两地相向而行，甲车先出发 1 小时，乙车出发后 2 小时相遇。已知甲车速度 40km/h，相遇时甲车比乙车多行驶 20km，求乙车速度及 A、B 两地距离。
解答：
设乙车速度\(x\)km/h，两地距离\(y\)km；
等量关系：① 甲车路程 + 乙车路程 = 总距离→\(40 (1+2) + 2x = y\)；② 甲车路程 - 乙车路程 = 20→\(120 - 2x = 20\)；
方程组：\(\begin{cases} 120 + 2x = y \\ 120 - 2x = 20 \end{cases}\)；
求解：由②得\(x = 50\)，代入①得\(y = 220\)；
作答：乙车速度 50km/h，两地距离 220km。
幻灯片 8：章节易错点汇总
易错类型
错误案例
规避方法
概念判断错误
认为\(xy = 5\)是二元一次方程（未知数乘积，次数 2）
牢记 “次数为 1”“无乘积 / 平方项”“整式方程”
消元时符号错误
加减消元时漏变号（如\(3x - (2x - y) = 5\)错算为\(3x - 2x - y = 5\)）
去括号时遵循 “负号变号” 原则，加减后检查系数
实际应用设元错误
配套问题中比例颠倒（1 螺栓配 2 螺母错列\(è =2 è \)）
明确配套比例，转化为 “甲 × 比例甲 = 乙 × 比例乙”
解的验证遗漏
求出解后未验证实际意义（如人数为负数）
解题最后一步必须验证 “数学正确 + 实际合理”
函数关联混淆
方程解对应点时横纵坐标颠倒（\(\begin{cases} x=1 \\ y=3 \end{cases}\)对应 (3,1)）
牢记 “解的 x 对应横坐标，y 对应纵坐标”
幻灯片 9：章节总结与解题建议
1. 知识体系总结
核心逻辑：从 “概念定义” 到 “解法技巧”，再
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
小结与复习
第五章 二元一次方程组
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
实际背景
二元一次方程及
二元一次方程组
求解
应用
方法
思想
与一次函数的关系
消元
解应用题
图象法
加减消元
代入消元
1.二元一次方程:通过化简后，只有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是 1，系数都不是 0 的整式方程，叫做二元一次方程.
2.二元一次方程的解:使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫做二元一次方程的解.
3.二元一次方程组:由两个一次方程组成，共有两个未知数的方程组，叫做二元一次方程组.
相关概念
4.二元一次方程组的解:
二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做二元一次方程组的解.
5.方程组的解法
根据方程未知数的系数特征确定用哪一种解法.
基本思想或思路 — — 消元
常用方法 —— —— 代入法和加减法
(1)求表达式：从方程组中选一个系数比较简单的方程，将此方程中的一个未知数，如 y，用含 x 的代数式表示；
(2)把这个含 x 的代数式代入另一个方程中，消去y，得到一个关于 x 的一元一次方程；
(3)解一元一次方程，求出 x 的值；
(4)再把求出的 x 的值代入变形后的方程，求出 y 的值.
用代入法解二元一次方程组
(1)利用等式性质把一个或两个方程的两边都乘以适当的数，变换两个方程的某一个未知数的系数，使其绝对值相等；
(2)把变换系数后的两个方程的两边分别相加或相减，消去一个未知数，得一元一次方程；
(3)解这个一元一次方程，求得一个未知数的值；
(4)把所求的这个未知的值代入方程组中较为简便的一个方程，求出另一个未知数，从而得到方程组的解 .
用加减法解二元一次方程组
审：
设：
列：
解：
答：
审清题目中的等量关系．
设未知数．
根据等量关系，列出方程组．
解方程组，求出未知数．
检验所求出的未知数是否符合题意，写出答案．
列二元一次方程解决实际问题的一般步骤
二元一次方程组和一次函数的图象的关系
方程组的解是对应的两条直线的交点坐标
两条线的交点坐标是对应的方程组的解
二元一次方程和一次函数的图象的关系
以二元一次方程的解为坐标的点都在对应的函数图象上.
一次函数图象上的点的坐标都适合对应的二元一次方程.
二元一次方程与一次函数
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新知讲解
《02》
1.关于二元一次方程 2m+3n = 11 正确的说法是( )
A.任何一对有理数都是它的解
B.只有两组解
C.只有两组正整数解
D.没有负整数解
C
2.若点 P(x - y，3x + y)与点 Q(-1，-5) 关于 x 轴对称，则 x + y =______.
3
3.已知 | 2x + 3y + 5 | + (3x + 2y - 25)2 = 0，
则 x - y =______.
30
4.若两个多边形的边数之比是 2 : 3，两个多边形的内角和是 1980°，求这两个多边形的边数.
解：6 和 9
5.方程组 中， x 与 y 的和为 12，求 k 的值.
解得：k = 14
解法1：解这个方程组，得
依题意：x＋y = 12
所以 (2k－6) ＋(4－k) = 12
解法2：根据题意，得
解这个方程组，得 k = 14
6.甲、乙二人以不变的速度在环形路上跑步，如果同时同地出发，相向而行，每隔 2 分钟相遇一次；如果同向而行，每隔 6 分钟相遇一次.已知甲比乙跑得快，甲、乙每分钟各跑多少圈
解：设甲、乙二人每分钟各跑 x、y 圈，根据
题意得方程组
解得
答:甲、乙二人每分钟各跑
、 圈.
答：甲种商品的标价是 20 元，乙种商品的标价是 80 元.
解：设甲、乙两种商品的标价分别为 x、y 元，
根据题意，得
解这个方程组，得
7.已知甲、乙两种商品的标价和为 100 元，因市场变化，甲商品打 9 折，乙商品提价 5﹪，调价后，甲、乙两种商品的售价和比标价和提高了 2﹪，求甲、乙两种商品的标价各是多少
8. 下表是某一周甲、乙两种股票的收盘价（股票每天交易结束时的价格）
星期一 星期四
甲 12
乙 13.5
张师傅在该周内持有若干甲、乙两种股票，若按照两种股票每天收盘价计算（不计手续费、税费行等），张师傅账户中星期二比星期一多获利 200 元，星期三比星期二多获利1300 元，试问张师傅持有甲、乙股票各多少股？
12.5
13.3
星期三
星期二
星期五
星期六
12.9
13.9
12.45
13.4
12.75
13.15
休盘
休盘
解：设张师傅持有甲种股票 x 股，乙种股票 y 股，根据题意，得
解得
答：张师傅持有甲种股票 1000 股，乙种股票
1500 股.
9. A、B 两地相距 36 千米.甲从 A 地出发步行到 B 地，乙从 B 地出发步行到 A 地.两人同时出发，4 小时相遇，6 小时后，甲所剩路程为乙所剩路程的 2 倍，求两人的速度.
解：设甲、乙的速度分别为 x 千米/小时和 y 千米/小时.
依题意可得:
解得
答：甲的速度为 4 千米/小时，乙的速度为 5 千米/小时.
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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