资源简介

(共45张PPT)
幻灯片 1：封面
章节名称：第一章 勾股定理（章末复习）
学科：数学
年级：八年级
复习目标：系统梳理章节知识，掌握核心考点，提升解题能力
幻灯片 2：章节知识框架
幻灯片 3：核心知识点 1—— 勾股定理（性质）
1. 定理内容
文字表述：直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方。
符号语言：在 Rt△ABC 中，∠C=90°（直角对斜边），则\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(a\)、\(b\)为直角边，\(c\)为斜边）。
关键提醒：仅适用于直角三角形；斜边是最长边，对应直角的对边。
2. 常见应用
已知两直角边求斜边：\(c = \sqrt{a^2 + b^2}\)（如\(a=3\)、\(b=4\)，则\(c=5\)）；
已知斜边和一直角边求另一直角边：\(a = \sqrt{c^2 - b^2}\)或\(b = \sqrt{c^2 - a^2}\)（如\(c=13\)、\(a=5\)，则\(b=12\)）；
勾股数：正整数组，满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，如（3,4,5）、（5,12,13）、（6,8,10）（倍数仍为勾股数）。
3. 典型例题
例：在 Rt△ABC 中，∠B=90°，AB=6，BC=8，求 AC 的长度。
解：∵ ∠B=90°，∴ AB、BC 为直角边，AC 为斜边。
由勾股定理：\(AC^2 = AB^2 + BC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100\)，故\(AC = 10\)。
幻灯片 4：核心知识点 2—— 勾股定理的图形验证
1. 四种经典验证方法对比
验证方法
核心材料
面积关系推导核心
思想体现
赵爽弦图
4 个直角三角形 + 1 个小正方形
大正方形面积 = 4 个三角形面积 + 小正方形面积
中国古代 “数形结合”
毕达哥拉斯拼图
2 个直角三角形 + 2 个小正方形
L 形面积（a +b ）= 大正方形面积（c ）
西方 “面积转化”
总统证法
2 个直角三角形 + 1 个等腰直角三角形
梯形面积 = 3 个三角形面积和
简洁推导，梯形面积公式应用
青朱出入图
2 个小正方形 + 切割小块
割补后面积不变（青方 + 朱方 = 弦方）
中国 “出入相补”
2. 验证核心逻辑
所有方法均以 “面积不变” 为核心：通过不同方式表示同一图形的面积，联立等式推导\(a^2 + b^2 = c^2\)，证明勾股定理的普遍性。
幻灯片 5：核心知识点 3—— 勾股定理的逆定理（判定）
1. 定理内容
文字表述：若一个三角形的三边长\(a\)、\(b\)、\(c\)（\(c\)为最长边）满足\(a^2 + b^2 = c^2\)，则这个三角形是直角三角形，且直角对应最长边\(c\)的对角。
符号语言：在△ABC 中，若\(a^2 + b^2 = c^2\)（\(c\)最长），则△ABC 是 Rt△，∠C=90°。
2. 应用步骤
找最长边：确定三边中的最长边\(c\)；
算平方和：计算较短两边的平方和\(a^2 + b^2\)与最长边的平方\(c^2\)；
作判断：若\(a^2 + b^2 = c^2\)，则为直角三角形；否则不是。
3. 典型例题
例：判断三边为 7、24、25 的三角形是否为直角三角形。
解：最长边为 25，计算\(7^2 + 24^2 = 49 + 576 = 625\)，\(25^2 = 625\)。
因\(7^2 + 24^2 = 25^2\)，故该三角形是直角三角形，直角为最长边 25 的对角。
幻灯片 6：核心知识点 4—— 勾股定理的实际应用
1. 四大典型应用场景
应用场景
解题思路
示例题目
梯子靠墙问题
墙与地面垂直→直角三角形，梯子为斜边
梯子长 13m，距墙 5m，求顶端高度
航海距离问题
东西 / 南北方向垂直→直角三角形
向东 12km，向北 9km，求距起点距离
折叠问题
折叠后对应边相等，构造直角三角形列方程
矩形折叠，求重叠部分边长
立体最短路径
展开为平面图形，求对角线长度
正方体表面蚂蚁爬行路径
2. 典型例题（折叠问题）
例：矩形 ABCD 中，AB=8，BC=6，沿 AC 折叠，B 落在 E 处，求 CF 的长度。
解：设 CF=x，由折叠知 AE=AB=8，∠E=90°，且∠FAC=∠BAC=∠FCA，故 AF=CF=x，DF=8-x。
在 Rt△ADF 中，\(AD^2 + DF^2 = AF^2\)，即\(6^2 + (8-x)^2 = x^2\)，解得\(x=6.25\)。
幻灯片 7：章节易错点汇总与规避方法
易错点类型
错误案例
规避方法
直角边与斜边混淆
已知 Rt△中 a=3、c=5，求 b 时错算为\(b^2=3^2+5^2\)
先标记直角符号，确定斜边（最长边）
逆定理忽略最长边
判断三边 5、12、13 时错比\(5^2+13^2\)与\(12^2\)
第一步先找最长边，再算对应平方和
图形验证边长错误
赵爽弦图中小正方形边长错算为\(a+b\)
实物拼接 + 标注，明确边长关系（b-a）
立体路径未展开
正方体表面路径错算为棱长和
先展开为平面，再用勾股定理求对角线
勾股数判断错误
认为（2,3,\(\sqrt{13}\)）是勾股数
勾股数需为正整数组
幻灯片 8：章节综合练习题（分层）
基础题（巩固知识）
在 Rt△ABC 中，∠C=90°，a=5，b=12，求 c；若 c=25，a=7，求 b。
判断三边为 9、12、15 和 4、5、6 的三角形是否为直角三角形。
提升题（综合应用）
一架梯子长 25m，斜靠在墙上，顶端距地面 24m，求梯子底部距墙的距离。
长方体长 40、宽 30、高 20，求底面顶点到顶面对角顶点的最短路径。
拓展题（思维拓展）
已知△ABC 三边满足\(a^2 + b^2 + c^2 + 50 = 6a + 8b + 10c\)，判断△ABC 的形状并求面积。
幻灯片 9：章节总结
知识体系：勾股定理（性质）→ 图形验证（数形结合）→ 逆定理（判定）→ 实际应用（场景化），形成 “性质 - 验证 - 判定 - 应用” 的完整链条。
核心思想：
数形结合：通过图形面积推导数量关系，用数量关系解决图形问题；
转化思想：将立体问题转化为平面问题，将折叠问题转化为直角三角形问题；
从特殊到一般：从特殊直角三角形探索定理，再推广到任意直角三角形。
学习建议：
牢记定理与逆定理的区别（性质 vs 判定），避免混用；
多动手操作（拼图、折叠、展开），深化对图形的理解；
针对典型题型（折叠、最短路径）总结解题模板，提升效率。
2024北师大版数学八年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
小结与复习
第一章 勾股定理
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
勾股定理
勾股定理
的逆定理
直角三角形
验证方法
已知两边
求第三边
判定直角三角形
判定勾股数
判定垂直
如果直角三角形两直角边分别为 a，b，斜边为 c，
那么
a2 + b2 = c2.
即直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方.
在直角三角形中才可以运用！
已知 Rt△ABC 的两直角边长分别是 3 和 4，则它的斜边长是 .
5
勾股定理的应用条件：
勾股定理
勾股定理的逆定理
如果三角形的三边长 a，b，c 满足 a2 +b2 = c2，
那么这个三角形是直角三角形.
满足 a2 + b2 = c2 的三个正整数 a，b，c，称为勾股数.
勾股数
勾股定理的逆定理与勾股数
以“一个三角形是直角三角形”为条件，得出三角形三边有 a2 + b2 = c2 关系式成立.
以一个三角形的三边 a、b、c 满足 a2 + b2 = c2 为条件，得出这个三角形是直角三角形的结论
都与三角形三边有关；
都与直角三角形有关
勾股定理
勾股定理的逆定理
区
别
联
系
勾股定理与勾股定理的逆定理的比较
LOGO
学校标志
新知讲解
《02》
1. 已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4 ，则第三边长的平方是（　　）
A. 25 B. 14 C. 7 D. 7 或 25
2. 下列各组数中，以 a，b，c 为边的三角形不是直角三角形的是（　　）
A. a = 1.5，b = 2，c = 3 B. a = 7，b = 24，c = 25
C. a = 6，b = 8，c = 10 D. a = 3，b = 4，c = 5
D
A
3. 如果直角三角形的两直角边长分别为 n2 - 1，2n (n>1)， 那么它的斜边长是（　　）
A. 2n B. n + 1 C. n2 - 1 D. n2 + 1
4. 已知 Rt△ABC 中，∠C = 90°，若 a + b = 14 cm，c =
10 cm，则 Rt△ABC 的面积是（　　）
A. 24 cm2 B. 36 cm2 C. 48 cm2 D. 60 cm2
D
A
5. 在 Rt△ABC 中，∠C = 90°.
① 若 a = 5，b = 12，则 c =______；
② 若 a = 15，c = 25，则 b =______.
6. 直角三角形两直角边长分别为 5 和 12，则它斜边上的高为______.
13
20
7. B 港有甲、乙两艘渔船，若甲船沿北偏东 60° 方向以每小时 8 n mile 的速度前进，乙船沿南偏东某个角度以每小时 15 n mile 的速度前进，2 h 后，甲船到 M岛，乙船到 P 岛，两岛相距 34 n mile，你知道乙船是沿哪个方向航行的吗？
解：甲船航行的距离为 BM = 16 n mile，
乙船航行的距离为 BP = 30 n mile.
∵ 162+302 = 1156，342 = 1156，∴ BM2 + BP2 = MP2.
∴△MBP 为直角三角形. ∴∠MBP = 90°.
∴ 乙船是沿着南偏东 30° 方向航行的.
8. 小明家住在 18 层的高楼，一天，他与妈妈去买竹竿.
买最长的吧！
快点回家，好用它晾衣服
糟糕，太长了，放不进去
如果电梯的长、宽、高分别是 1.5 米、1.5 米、2.2 米，那么，能放入电梯内的竹竿的最大长度大约是多少米？你能估计出小明买的竹竿至少是多少米吗？
1.5 米
1.5 米
2.2 米
1.5 米
1.5米
x
x
2.2米
A
B
C
x2 = 1.52 + 1.52 = 4.5
AB2 = 2.22 + x2 = 9.34
AB ≈ 3.1 米
能放入电梯内的竹竿的最大长度大约 3.1 米，因为竹竿放不进去，所以小明买的竹竿至少是 3.1 米.
考点1 一个定理——勾股定理
（第1题）
1.如图，在中， ，
，，点为线段 上一动点，则
的最小值为( )
B
A.4 B.4.8 C.5 D.6
返回
（第2题）
2.如图，在 中，分别以这个三角形的三边为
边长向外作正方形，面积分别记为，， ，如果
，则阴影部分的面积是( )
C
A.2 B.8 C.6 D.4
返回
3.如图，在中， ， ，
。分别以点和点为圆心、大于 的长为
半径作弧，两弧相交于，两点，作直线交 于
点，连接，则 的周长是____。
18
返回
4.如图，它由2个全等的直角三角形与一个小直角梯形组成，恰好拼成
一个大直角梯形，请你利用该图形证明勾股定理。
证明：如图，连接 。
易知 。
因为
，
所以 ，
所以 ，
所以 。
返回
考点2 一个判定——直角三角形的判定
5.［2025邯郸期中］在中，，，所对的边分别为， ，
。下列条件中，不能判定 为直角三角形的是( )
D
A.
B.
C.，，
D.，，
返回
6.［教材习题 变式］ 在正方形网格中，下面的三角形是直角三角
形的是( )
C
A. B. C. D.
返回
7.如图，在中，，， ，将
三角形纸片沿折叠，使点落在边上的点 处，
则 的长为( )
D
A.2 B.4 C. D.
返回
考点3 一个概念——勾股数
8.下列各组数中，是勾股数的一组为( )
C
A.，， B.，，
C.9，40，41 D.， ，1
返回
9. 勾股定理最早出现在《周髀算经》中：“勾广三，股修
四，径隅五”。观察下列各组勾股数：6，8，10；8，15，17；10，24，
26；12，35，37；14，48，50；……可发现当一组勾股数的勾为
（，为正整数）时，它的股、径分别为和 。若一
组勾股数的勾为26，则径为_____。
170
返回
考点4 两个应用
应用1 勾股定理的应用
10. 学习了“勾股定理”后，某校数学兴趣小组的同学把
“测量风筝的竖直高度”作为一项课题，利用课余时间完成了实践活动，
并形成了如下的活动报告，请根据活动报告完成下列各题。
报告 测量风筝的竖直高度
工具 皮尺等
示意图 ____________________________________________
方案 先测量风筝的水平距离 ，然后根据手中剩余线的长度
得出风筝线长，最后测量放风筝的同学的身高
数据 ，， ，
续表
（1）求此时风筝的竖直高度 ；
解：在 中，由勾股定理得
，
所以 。
（2）若站在点不动，想把风筝沿方向从点的位置上升至点
的位置（即，点，， 在一条直线上，图中所有点均在同
一平面内），则还需放出风筝线多少米？
解：因为， ，
所以 。
在中， ，
所以 ，
所以 。
答：还需放出风筝线 。
返回
11.［2025盐城期中］小丽在物理课上学习了发声物体
的振动实验后，对其做了进一步的探究：在一个支架的
横杆点处用一根细绳悬挂一个小球，小球 可以自由
摆动，如图， 表示小球静止时的位置。当小丽用发
声物体靠近小球时，小球从摆到 的位置，此时过
点作于点（图中的，，， 在同一平面
上），测得，，求 的长。
解：设，则 ，
因为，所以 。
因为， ，
所以在中，，即 ，解得
。所以的长为 。
返回
应用2 直角三角形判定的应用
12. 如图①是某品牌婴儿
车，图②为其简化结构示意图，现测得
， ，
，其中与 之间由一个
固定为 的零件连接（即
），根据安全标准需满足
，通过计算说明该车是否符合
安全标准。
解：因为 ，， ，
所以，因为 ，
,所以在中， ，所
以 ，
所以 是直角三角形，
且 ，所以 ，
所以该车符合安全标准。
返回
考点5 三种思想
思想1 方程思想
13.在中， ，，，，分别是斜边 和
直角边上的点，把沿着直线折叠，顶点的对应点是 。
（1）如图①，如果点和顶点重合，求 的长；
解：若点和顶点重合，由折叠的性质可得 ，
设，则 。
因为 ，所以由勾股定理得 ，
所以，解得，所以 。
（2）如图②，如果点落在的中点处，求 的长。
解：因为点落在 的中点，
所以 。
设，则 。
因为 ，所以由勾股定理得 ，
所以，解得 ，
即的长为 。
返回
思想2 转化思想
14.如图，长方体的底面相邻两边的长分别为 和
,高为,如果用一根细线从点 开始经过4个侧
面缠绕一圈到达点 ,那么所用细线最短需要多长？如
果从点开始经过4个侧面缠绕圈到达点 ，那么所
用细线最短时其长度的平方是多少？
解：将长方体的侧面展开如图所示，连接 。
因为 ，
，
所以 。所以
。
所以用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点 ，所用细线最
短需要 。
易知如果从点开始经过4个侧面缠绕圈到达点 ，那么所用细线最短
时其长度的平方为 。
返回
15.如图是一个供滑板爱好者使用的型池，该 型池可以看作是一个长
方体去掉一个半圆柱而成，中间可供滑行部分的截面是半径为 的半
圆，其边缘，点在上， ，一滑行爱好者
从点滑行到点，求他滑行的最短距离（ 的值取3）。
解：将半圆面展开如图，连接,则 是最短路径。
易知, ,
由勾股定理得，所以 ,
所以滑行的最短距离约为 。
返回
思想3 分类讨论思想
16.在中，若,,边上的高为12，则 的周
长为________。
60或42
[解析] 点拨：设边上的高为，则，和 都是
直角三角形，由勾股定理得 ，
，
所以， 。
若高在 的内部，如图①，
则 ，
所以 的周长为；
若高在 的外部，如图②，
则 ，
所以的周长为 。
综上所述， 的周长为60或42。
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17.如图，在中， ，, ，动
点从点出发沿射线以的速度运动，设运动的时间为 。
（1）求 边的长；
解：在中， ，所以
。
（2）当为直角三角形时，求 的值。
解：由题意知,当 为直角三角形时，有
两种情况：
Ⅰ.如图①，当为直角时，点与点 重合，
,即 。
Ⅱ.如图②，当为直角时，易知 。
又因为，所以在中， 。
在中， ，
即,解得。故当 为直角三角形时，
或 。
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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