资源简介

(共32张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.2.2 数轴
副标题：用直线表示有理数，建立数形结合桥梁
背景图：左侧展示标准数轴（含正方向箭头、原点、单位长度），标注 - 3、-2、-1、0、1、2、3 等点，右侧用文字标注数轴三要素 “正方向、原点、单位长度”，直观呈现数轴的核心构成。
幻灯片 2：学习目标
理解数轴的定义，明确数轴的三要素（正方向、原点、单位长度），能准确表述三要素的作用（缺一不可）。
掌握数轴的画法，能按步骤画出标准数轴，并在数轴上准确表示出任意有理数（正数、负数、0）。
理解有理数与数轴上点的对应关系（每一个有理数都可以用数轴上唯一的点表示），能根据数轴上的点读出对应的有理数。
能运用数轴比较有理数的大小（右边的数大于左边的数），为后续学习相反数、绝对值奠定数形结合基础。
幻灯片 3：导入 —— 从 “用直线表示数” 的需求切入
情境展示：
温度计：刻度线有原点（0℃）、正方向（温度上升方向）、单位长度（1℃），能直观表示零上、零下温度（如 3℃、-2℃）；
直尺：有原点（0 刻度）、正方向（刻度增加方向）、单位长度（1 厘米），可表示长度（正数）；
思考：能否将温度计、直尺的原理推广，用一条直线表示所有有理数（包括正数、负数、0）？
提出问题：
要想用直线表示有理数，需要确定哪些要素？如何在直线上区分正数、负数和 0？引出本节课核心 —— 数轴。
幻灯片 4：数轴的定义与三要素
定义表述：
规定了正方向、原点和单位长度的直线叫做数轴。
三要素解读（缺一不可）：
原点（表示 0 的点）：
定义：数轴上标注为 “0” 的点，是正数和负数的分界点；
作用：确定数的基准，所有数的位置都相对于原点确定（原点右侧为正数，左侧为负数）。
正方向（通常向右为正）：
定义：用箭头表示的方向，通常规定数轴水平放置时，向右为正方向（也可根据需求规定向上、向右上方等为正方向，但需明确标注）；
作用：区分数的正负（正方向一侧的点表示正数，相反方向一侧表示负数）。
单位长度（统一的长度标准）：
定义：数轴上相邻两个整数点之间的距离，需保持统一（如 1 个单位长度表示 1，相邻两点间隔相等）；
作用：确定数的大小对应的距离，确保不同数在数轴上的位置准确（如从原点向右 1 个单位是 1，向左 2 个单位是 - 2）。
判断练习：下列图形是否为数轴？为什么？
无原点的直线（不是，缺少原点）；
有原点和正方向，但单位长度不统一的直线（不是，单位长度不一致）；
有原点、正方向、统一单位长度的直线（是，三要素齐全）。
幻灯片 5：数轴的画法（分步教学）
标准画法步骤：
画直线：画一条水平直线（也可画竖直或倾斜直线，通常水平放置更直观）；
定原点：在直线上选取一个点作为原点，标注 “0”；
标正方向：在直线上从原点出发，向一个方向（通常向右）画箭头，标注正方向（可在箭头旁写 “+”）；
定单位长度：根据需要确定单位长度（如 1 厘米代表 1），从原点开始，向正方向和负方向依次标注间隔相等的点，正方向一侧标注 1、2、3…，负方向一侧标注 - 1、-2、-3…；
检查完善：检查三要素是否齐全（原点、正方向、单位长度），标注的数是否准确，直线是否平整。
示例演示：画一条数轴，并标注出 - 2.5、0、3、-1 这些数的位置：
画水平直线，定原点标注 “0”；
向右画箭头（正方向），标注 “+”；
设定 1 厘米为 1 个单位长度，从原点向右 1 厘米标 “1”，2 厘米标 “2”，3 厘米标 “3”；向左 1 厘米标 “-1”，2 厘米标 “-2”，2.5 厘米标 “-2.5”；
在对应位置用实心点标出 - 2.5、0、3、-1，并用短线连接点与数字。
注意事项：
单位长度可根据数的范围调整（如表示较大数时，1 个单位长度可代表 10、100 等）；
表示小数或分数时，需在两个整数点之间平均分（如 - 2.5 在 - 2 和 - 3 中间，\(\frac{1}{2}\)在 0 和 1 中间）。
幻灯片 6：用数轴表示有理数
核心对应关系：
每一个有理数都可以用数轴上唯一的一个点来表示；反之，数轴上表示有理数的点，都对应唯一的一个有理数（后续会学习无理数，数轴上还有表示无理数的点）。
分类表示方法：
表示正数：在原点右侧，距离原点几个单位长度，就表示几（如距离原点 3 个单位，为 3）；
表示负数：在原点左侧，距离原点几个单位长度，就表示负几（如距离原点 2 个单位，为 - 2）；
表示 0：直接用原点表示（对应点为标注 “0” 的点）；
表示小数 / 分数：在对应整数点之间细分单位长度（如 0.5 在 0 和 1 中间，-\(\frac{3}{2}\)在 - 1 和 - 2 中间，且更靠近 - 2）。
例题 1：在数轴上表示下列有理数：-4、\(\frac{1}{2}\)、-1.5、0、2.
解答过程：
画出标准数轴（三要素齐全）；
表示 - 4：在原点左侧 4 个单位长度处画实心点，标注 “-4”；
表示\(\frac{1}{2}\)（0.5）：在原点右侧 0.5 个单位长度处（0 和 1 中间）画实心点，标注 “\(\frac{1}{2}\)”；
表示 - 1.5：在原点左侧 1.5 个单位长度处（-1 和 - 2 中间）画实心点，标注 “-1.5”；
表示 0：在原点处画实心点，标注 “0”；
表示 2：在原点右侧 2 个单位长度处画实心点，标注 “2”。
幻灯片 7：数轴的应用 1—— 比较有理数大小
核心依据：
数轴上的点表示的数，右边的数总比左边的数大（这是有理数大小比较的几何本质）。
推导与示例：
数轴上，1 在 0 的右边，故 1 > 0；-1 在 0 的左边，故 - 1 <0；2 在 1 的右边，故 2> 1；-2 在 - 1 的左边，故 - 2 < -1；
总结规律：正数 > 0 > 负数；两个正数，右边的数大；两个负数，右边的数大（绝对值小的负数大）。
例题 2：根据数轴上的点，比较下列各组数的大小：
3 与 - 2；2. -1 与 - 3；3. 0 与 - 0.5。
解答过程：
在数轴上，3 在 - 2 的右边，故 3 > -2；
在数轴上，-1 在 - 3 的右边，故 - 1 > -3；
在数轴上，0 在 - 0.5 的右边，故 0 > -0.5。
幻灯片 8：数轴的应用 2—— 理解相反数的几何意义
关联回顾：
互为相反数的两个数（如 3 与 - 3、-2 与 2），在数轴上对应的点关于原点对称，即到原点的距离相等，且分别在原点两侧（0 的相反数仍是 0，对应原点本身）。
例题 3：在数轴上找出表示 - 3 的相反数的点，并说明该点表示的数。
解答过程：
首先，-3 在数轴上的位置：原点左侧 3 个单位长度处；
其相反数对应的点与 - 3 关于原点对称，即原点右侧 3 个单位长度处；
该点表示的数为 3，故 - 3 的相反数是 3。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：数轴三要素缺失或不规范：
示例：画数轴时遗漏正方向箭头，或单位长度忽大忽小（如原点右侧 1 厘米标 1，2 厘米标 3，单位长度不统一）；
提醒：画数轴时严格遵循 “三要素齐全” 原则，单位长度必须统一，正方向用箭头明确标注。
易错点 2：表示负数时位置错误（在原点右侧）：
示例：将 - 2 标在原点右侧 2 个单位长度处（错误，负数应在原点左侧）；
纠正：牢记 “原点右侧为正数，左侧为负数”，表示负数时先确定在原点左侧，再数对应单位长度。
易错点 3：表示小数 / 分数时位置偏差：
示例：将\(\frac{1}{3}\)标在 0 和 1 中间（近似正确，但更准确的是根据分数值细分，\(\frac{1}{3}\)约在 0 和 1 之间的\(\frac{1}{3}\)处）；
预防：表示非整数时，先确定其所在的两个整数区间（如\(\frac{2}{3}\)在 0 和 1 之间），再根据分数或小数的具体值确定精确位置，必要时标注细分刻度（如将 0 到 1 的线段平均分成 3 份，取第 2 份处为\(\frac{2}{3}\)）。
易错点 4：误认为 “数轴上的点都表示有理数”：
示例：认为数轴上只能表示整数、分数、有限小数（错误，后续会学习无理数，如 π，也能在数轴上表示）；
说明：目前阶段，我们学习的有理数都能在数轴上表示，但数轴上还有表示无理数的点，数轴是所有实数的 “直观模型”。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：画数轴并表示数：
画出一条标准数轴，在数轴上表示出下列有理数：-3、1.5、-\(\frac{1}{2}\)、0、4（答案：按数轴画法步骤操作，确保点的位置准确）。
提升练习 2：根据数轴比较大小：
如图，数轴上 A、B、C、D 四点分别表示 - 4、-1.5、2、3.5，用 “<” 连接这四个数（答案：-4 < -1.5 < 2 < 3.5）。
拓展练习 3：数轴上的距离问题：
在数轴上，点 M 表示的数为 2，点 N 与点 M 的距离为 3 个单位长度，求点 N 表示的数（答案：点 N 可能在 M 右侧 3 个单位（5），或左侧 3 个单位（-1），故 N 表示 5 或 - 1）。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识回顾：
数轴定义：规定正方向、原点、单位长度的直线；
三要素：正方向（箭头表示）、原点（0 点）、单位长度（统一间隔），缺一不可；
画法：画直线→定原点→标正方向→定单位长度→标注数；
应用：表示有理数（一一对应）、比较大小（右边的数大于左边的数）、理解相反数（关于原点对称）。
思想方法总结：
数形结合思想：将抽象的有理数转化为数轴上直观的点，通过 “形” 的位置关系理解 “数” 的大小、相反数等属性；
建模思想：用数轴这一数学模型表示有理数，建立数与形的桥梁，为后续学习奠定基础。
学习建议：
多动手画数轴，通过实践熟悉三要素和画法，避免纸上谈兵；
遇到有理数大小比较、相反数等问题时，可借助数轴辅助理解，培养数形结合思维；
注意数轴上数的位置与实际距离的关联，为后续学习绝对值的几何意义做准备。
幻灯片 12：课后作业布置
基础巩固：完成教材对应练习题，画数轴并表示指定有理数，根据数轴比较数的大小；
实践应用：观察生活中的 “数轴模型”（如温度计、直尺、体重秤），记录其 “原点”“正方向”“单位长度”，并尝试用它们表示对应的数；
拓展思考：在数轴上，若点 A 表示的数为 a，点 B 表示的数为 b，如何用数轴上两点的位置关系表示 a 与 b 的大小？（提示：若 A 在 B 右侧，则 a > b；若 A 在 B 左侧，则 a < b；若 A 与 B 重合，则 a = b）。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2.2 数轴
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过对数轴的探究，培养学生的观察、分析、归纳的能力，通过数轴让学生体会数形结合的数学思想．
2．通过学生自主探究，掌握数轴的三要素，能正确画出数轴，在数轴上表示出任意给定的有理数，进一步深入理解0的基准意义，提高学生的动手能力．
3．通过对数轴的学习，使学生体会数学与实际生活的密切联系，增强学生学好数学的意识．
重点
难点
图片导入
同学们，有理数是怎样分类的？
请同学们来看这张图，这是温度计，你能读出此时温度计所显示的温度吗？
温度计上每个刻度值都对应一个温度，那么，我们能不能利用一个类似于温度计的图形，用它的刻度（也就是点）来表示有理数呢？
同学们，你们知道在古代人们是如何记数的吗？
史书上有大量关于中国古代结绳记数法、刻木记数法应用的事实记载：①打绳结记数，绳子每打一个结代表一个或一次.②在木头上画道，每一道代表1或10或100等.《唐会要》记载：吐蕃人“无文字，刻木结绳为约”，即是说吐蕃人在文字发明之前通过刻木记事和结绳记事方法订立契约.
问题1：结绳记数法和刻木记数法是如何记数的呢？
问题2：我们的有理数可不可以像记数法那样表示出来？
历史导入
请同学们观看一段视频：
视频导入
1.请同学们阅读课本8－9页第1个思考，思考并回答下面的问题．
(1)马路可以用什么几何图形代表？
(2)你认为汽车站牌在这里起什么作用？
(3)你是怎么确定问题中各物体的位置的？
直线
作为基准点
相对于汽车站牌的方向、与汽车站牌的距离
2．思考：上面的问题中，“东”和“西”、“左”和“右”都具有相反意义，通过上节课的学习，我们知道正数和负数可以表示两种具有相反意义的量，那么如何用有理数表示柳树、交通标志杆、槐树、电线杆与汽车站牌的相对位置关系呢(方向、距离)
将汽车站牌的位置用0表示，规定1个单位长度代表1 m长，向东为正，向西为负，则柳树表示为3，交通标志杆表示为7.5，槐树表示为－3，电线杆表示为－4.8
3．请同学们阅读课本9页思考后－10页归纳前，并思考：
(1)画数轴的步骤是什么？
第一步，画一条水平(或竖直)直线，规定原点，表示数0；第二步，规定直线上从原点向右(或上)为正方向；第三步，选择合适的单位长度
(2)“原点”起什么作用？
原点是数轴的基准点，表示数0，是正数和负数的分界点
(3)如何理解“选取适当的长度”？
根据问题的需要选取单位长度，使数轴画出的部分长度合适，表示数的点间隔合适
4．下面的数轴画法是否正确？如果不正确，请指出问题．
①不正确，没有规定原点；②不正确，没有规定正方向；③正确；④不正确，没有规定单位长度；⑤正确；⑥不正确，单位长度不统一
小组讨论并回答下面问题：
1．(1)到原点的距离为4的点有几个？分别代表了什么数？
(2)一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在数轴的_________上，与原点的距离是____个单位长度，表示数－a的点在数轴的________上，与原点的距离是___个单位长度．
两个，分别代表4和－4
正半轴
a
负半轴
a
2．如图，A，B，C，D四个点将数轴上表示－6与5的两点间的线段五等分，这四个等分点位置最靠近原点的是(　 )
A．点A　　　B．点B　　　C．点C　　　D．点D
C　
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．数轴：规定了原点、正方向和单位长度的直线叫作数轴.
知识点1：数轴的概念(重点)
2.数轴的画法：
步骤 画法 图形
一画 先画一条直线(一般画成水平的直线)
二取 在直线的适当位置任取一点作为原点，并用这点表示数0(在原点下边标上0)
三定 规定正方向(一般规定从原点向右为正方向，有时规定从原点向上为正方向)，画上箭头
四标 在数轴上，选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次标上1，2，3，4，…；从原点向左，每隔一个单位长度取一个点，依次标上－1，－2，－3，－4，…
2．数轴的三要素：原点、正方向、单位长度，三者缺一不可．
注：1.数轴常见的四大错误：(1)没有正方向；(2)没有原点；(3)单位长度不统一；(4)数排列顺序错误．
1．所有的有理数都可以用数轴上的点表示，但数轴上的点表示的数并不都是有理数．
2．表示正有理数的点在原点的右边，表示负有理数的点在原点的左边，0用原点表示．
知识点2：数轴上的点与有理数的关系(难点)
注：数轴是描点和读数的桥梁．
(1)由数描点：先由符号确定位置(在原点的哪一侧)，再由距离找到点；
(2)由点读数：先由位置(在原点的哪一侧)确定符号，再由距离读出数．
【题型一】数轴的三要素
例1：下列数轴表示正确的是(　 　)
变式：下列语句中，说法错误的是(　 　)
A．数轴上，原点位置的确定是任意的　　　　　
B．数轴上，正方向一定是从原点向右
C．数轴上，单位长度可以根据需要任意选取
D．数轴上，原点表示的数是0
D
B
例2：如图，数轴上被墨水遮盖的数可能为(　 　)
A．－1　　　　B．－1.5　　　　C．－3　　　　D．－4.2
变式：如图，写出数轴上A，B，C，D四点分别表示的有理数．
　
C
【题型二】用数轴上的点表示有理数
解：由图可知，A，B，C，D四点表示的有理数分别为2.5，－0.5，2，－3.5.
例3：数轴上表示－2的点到原点的距离是____．
变式：数轴上A，B两点表示的有理数分别是 ，则A，B两点之间的整数有(　 　)
A．4个　　　　B．5个　　　　C．6个　　　　D．7个
【题型三】数轴上两点之间的距离
2
C
1. 如图，写出数轴上点 A，B，C，D，E 表示的数.
【教材P11】
0
1
2
3
-1
-2
-3
2.5
A
B
C
D
E
A：0
B：-2
C：1
D：2.5
E：-3
根据数轴上的点读数的技巧：
（1）点所在的位置（正半轴或负半轴）决定数的正负；
（2）点到原点的距离决定数.
2. 画出数轴，并在数轴上表示下列有理数：
-5，3.5， ， ， ，5， .
0
1
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-5
3.5
5
3. 在数轴上，表示 -2 与 4 的点之间（包括这两个点）有_____个点表示的数是整数，它们表示的数分别是 _______________________，其中负整数有_____个.
0
1
2
3
4
-1
-2
7
-2，-1，0，1，2，3，4
2
4. 在数轴上，点 A 表示的数是 -3，从点 A 出发，沿数轴向某一方向移动 4 个单位长度到达点 B，则点 B 表示的数是多少？
-2
-1
0
1
2
3
-3
-4
-5
-6
-7
A
B
B
点B表示-7或1.
1. 下图是四名同学画的数轴，其中正确的是( )
D
A. B.
C. D.
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2. 下列说法：
①规定了原点、正方向的直线是数轴；
②数轴上两个不同的点可以表示同一个有理数；
③有理数 在数轴上无法表示出来；
④任何一个有理数都可以在数轴上找到与它对应的唯一点.
其中正确的是( )
D
A. ①②③④ B. ②③④
C. ③④ D. ④
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3.（1）数轴上到表示 的点的距离等于3的点所表示的数是
_______.
（2）数轴上点表示的数是，将点 向左平移2个单位长
度，再向右平移4个单位长度到达点，则点 表示的数为___.
或1
1
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4.母题教材P8问题 如图所示，在一条笔直的公路边有一棵柳
树、一棵杨树和一棵松树，如果柳树的位置用有理数“ ”表
示，杨树的位置用有理数“ ”表示，那么松树的位置可用有
理数____表示.
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5.小明在写作业时不慎将墨水滴在数轴上，如图，则被墨迹
盖住的整数共有___个.
9
【点拨】结合数轴得，第一部分盖住的整数有， ，
，， ，第二部分盖住的整数有1，2，3，4，所以两
部分一共盖住9个整数.
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1.本节课学习了哪些主要内容？
2．数轴的“三要素”是什么？
数轴
原点、正方向、单位长度
同学们，这节课我们初步体会了数学中的数形结合思想，是不是比单纯看文字更好理解呢？在画数轴时一定要注意它的三要素缺一不可．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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