资源简介

(共30张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.2.4 绝对值
副标题：探究数的 “距离” 属性，理解非负性本质
背景图：左侧展示数轴，标注表示 - 3、-1、0、2、4 的点，右侧用虚线连接各点到原点，标注距离 “3”“1”“0”“2”“4”，下方用文字说明 “数轴上点到原点的距离即该数的绝对值”，直观呈现绝对值的几何意义。
幻灯片 2：学习目标
理解绝对值的定义（代数定义与几何定义），能准确表述 “一个数的绝对值是它在数轴上对应点到原点的距离”，明确绝对值的非负性（结果≥0）。
掌握绝对值的表示方法（符号 “| |”），能熟练计算任意有理数的绝对值（正数、负数、0），牢记 “正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数，0 的绝对值是 0”。
能运用绝对值解决实际问题（如表示距离、比较大小、处理相反意义量的差值），体会绝对值在描述 “非方向” 数量中的作用。
结合正负数知识，理解绝对值与相反数的联系（互为相反数的两个数绝对值相等），培养数形结合思想与逻辑推理能力。
幻灯片 3：导入 —— 从生活中的 “距离” 问题切入
情境展示：
小明从学校（记为原点 0）向东走 3 千米到家，小红从学校向西走 3 千米到家，两人的行走方向相反，但他们家到学校的距离都是 3 千米；
数轴上，点 A 表示的数是 - 5，点 B 表示的数是 5，点 A 和点 B 在原点两侧，但它们到原点的距离都是 5 个单位长度。
提出问题：
上述情境中，“-3 与 3”“-5 与 5” 是具有相反意义的量，但它们表示的 “距离” 却相同。如何用数学符号表示这种 “与方向无关，只与大小有关” 的量？引出本节课核心 —— 绝对值。
幻灯片 4：绝对值的定义与表示方法
1. 几何定义（核心本质）：
一般地，数轴上表示数 a 的点与原点的距离叫做数 a 的绝对值，记作 “|a|”（读作 “a 的绝对值”）。
示例：
数轴上表示 3 的点到原点的距离是 3，故 | 3|=3；
数轴上表示 - 3 的点到原点的距离是 3，故 |-3|=3；
数轴上表示 0 的点到原点的距离是 0，故 | 0|=0。
2. 代数定义（计算规则）：
根据几何定义，可推导绝对值的代数计算规则：
当 a 是正数（a>0）时，|a|=a（正数的绝对值是它本身）；
当 a 是负数（a<0）时，|a|=-a（负数的绝对值是它的相反数，注意：-a 此时为正数，如 a=-2，-a=2）；
当 a=0 时，|a|=0（0 的绝对值是 0）。
统一表示：|a| = \(\begin{cases}
a & (a>0) \\
0 & (a=0) \\
-a & (a<0)
\end{cases}\)
3. 表示方法：
用符号 “| |” 表示绝对值，如 “-4 的绝对值” 记作 “|-4|”，“x 的绝对值” 记作 “|x|”。
注意：绝对值符号是 “成对出现” 的，不能单独使用，如 “| -3”“5 |” 均为错误写法。
幻灯片 5：绝对值的计算（分情况讨论）
运算步骤：
判断数的正负性（正数、负数或 0）；
根据代数定义选择对应规则计算；
确定结果（结果必为非负数，即≥0）。
例题 1：计算下列各数的绝对值：
|5|；2. |-7|；3. |0|；4. |-3.8|；5. |\(\frac{1}{2}\)|；6. |-\(\frac{3}{4}\)|。
解答过程：
5 是正数，故 | 5|=5；
-7 是负数，故 |-7|=-(-7)=7；
0 的绝对值是 0，故 | 0|=0；
-3.8 是负数，故 |-3.8|=-(-3.8)=3.8；
\(\frac{1}{2}\)是正数，故 |\(\frac{1}{2}\)|=\(\frac{1}{2}\)；
-\(\frac{3}{4}\)是负数，故 |-\(\frac{3}{4}\)|=-(-\(\frac{3}{4}\))=\(\frac{3}{4}\)。
规律总结：
互为相反数的两个数，绝对值相等（如 | 3|=|-3|=3，|a|=|-a|）；
任何数的绝对值都不是负数，即 | a|≥0（绝对值的非负性，这是绝对值的核心性质）。
幻灯片 6：绝对值的性质（核心特征）
性质 1：非负性：对任意有理数 a，都有 | a|≥0，当且仅当 a=0 时，|a|=0。
示例：|x|+2≥2（因为 | x|≥0，故 | x|+2 的最小值为 2）；若 | a|+|b|=0，则 a=0 且 b=0（两个非负数的和为 0，只能各自为 0）。
性质 2：对称性：对任意有理数 a，|a|=|-a|（互为相反数的两个数绝对值相等）。
示例：|5|=|-5|=5，|-(x+1)|=|x+1|。
性质 3：等价性：对任意有理数 a，|a| =a （绝对值的平方等于该数的平方，因平方后正负性消失）。
示例：|3| =9，3 =9；|-2| =4，(-2) =4，故 | a| =a 。
性质 4：传递性：若 | a|=|b|，则 a=b 或 a=-b（绝对值相等的两个数，要么相等，要么互为相反数）。
示例：若 | x|=4，则 x=4 或 x=-4；若 | 2y-1|=|y+2|，则 2y-1=y+2 或 2y-1=-(y+2)。
幻灯片 7：绝对值的应用 1—— 表示实际距离
核心思路：实际生活中，“距离” 是没有方向的量，可用绝对值表示 “两点间的距离”（如位置差的绝对值）。
例题 2：位置与距离问题：
数轴上，点 M 表示的数是 - 2，点 N 表示的数是 3，求点 M 与点 N 之间的距离；
小明在数轴上的位置对应的数是 x，他到表示数 5 的点的距离为 3，求 x 的值。
解答过程：
两点间距离 =|3 - (-2)|=|5|=5（或 | -2 - 3|=|-5|=5，即两点对应数的差的绝对值）；
由题意得 | x - 5|=3，根据绝对值性质，x - 5=3 或 x - 5=-3，解得 x=8 或 x=2。
例题 3：行程距离问题：
一辆汽车从 A 地出发，向东行驶记为正，向西行驶记为负，先后行驶的路程为：+5 千米、-3 千米、+7 千米、-4 千米，求汽车最终与 A 地的距离。
解答过程：
先计算汽车最终位置：5 - 3 + 7 - 4=5（千米，在 A 地东边 5 千米处）；
距离是位置的绝对值（因距离无方向）：|5|=5（千米）；
结果：汽车最终与 A 地的距离为 5 千米。
幻灯片 8：绝对值的应用 2—— 比较有理数大小（含负数）
比较规则：
正数大于 0，0 大于负数，正数大于负数；
两个负数比较大小，绝对值大的反而小（因负数的绝对值越大，它在数轴上的位置越靠左，数值越小）。
例题 4：比较下列各组数的大小：
-3 与 - 5；2. -\(\frac{1}{2}\)与 - 0.6；3. |-4 | 与 -(-3)。
解答过程：
先算绝对值：|-3|=3，|-5|=5；因 3<5，故 - 3> -5（两个负数，绝对值大的反而小）；
算绝对值：|-\(\frac{1}{2}\)|=0.5，|-0.6|=0.6；因 0.5<0.6，故 -\(\frac{1}{2}\) > -0.6；
先化简：|-4|=4，-(-3)=3；因 4>3，故 |-4| > -(-3)。
幻灯片 9：易错点辨析与注意事项
易错点 1：混淆 “绝对值” 与 “相反数”（对负数绝对值的理解错误）：
示例：误将 |-5 | 计算为 - 5（正确应为 5，负数的绝对值是它的相反数，-5 的相反数是 5）；或认为 “|a|=a” 对任意 a 成立（错误，当 a 为负数时，|a|=-a）。
提醒：计算负数的绝对值时，先明确 “相反数” 的概念（如 a=-3，-a=3），避免符号错误。
易错点 2：忽略绝对值的非负性（认为绝对值可能为负数）：
示例：解方程 | x|=-2（错误，因 | x|≥0，故方程无解）；或认为 “|a|+1 的最小值为 0”（正确最小值为 1，因 | a|≥0，故 | a|+1≥1）。
纠正：牢记 “绝对值的结果一定是非负数”，遇到 “绝对值等于负数” 的情况，直接判断无意义或无解。
易错点 3：比较两个负数大小时，误将绝对值大的数认为更大：
示例：比较 - 6 与 - 4 时，误认为 |-6|=6>|-4|=4，故 - 6 > -4（正确应为 - 6 < -4，两个负数，绝对值大的反而小）。
预防：比较两个负数前，先计算它们的绝对值，再根据 “绝对值大的负数更小” 的规则判断，可结合数轴辅助理解（数轴上靠左的数更小）。
易错点 4：绝对值符号与括号的混淆（运算顺序错误）：
示例：计算 -| -3 | 时，误写成 -(-3)=3（正确应为 - 3，先算绝对值 |-3|=3，再算前面的负号，即 - 3）；或计算 | -2 + 5 | 时，误写成 |-2| + |5|=2+5=7（正确应为 | 3|=3，先算括号内的运算，再算绝对值）。
强调：绝对值符号相当于 “括号”，需先计算符号内的表达式，再求绝对值；若绝对值符号外有负号，需先算绝对值，再算负号。
幻灯片 10：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：计算绝对值：
|-8|=；2. |0.7|=；3. |-\(\frac{2}{3}\)|=；4. -| -5 |=（答案：8；0.7；\(\frac{2}{3}\)；-5）。
提升练习 2：利用绝对值解决问题：
若 | x|=6，则 x=______（答案：6 或 - 6）；
比较大小：-|-3| ______ -2（填 “>”“<” 或 “=”，答案：<，因 -|-3|=-3 < -2）；
数轴上，点 P 表示的数为 m，点 Q 表示的数为 - 3，若 PQ=5，则 m=______（答案：2 或 - 8，因 | m - (-3)|=5，即 | m+3|=5）。
拓展练习 3：绝对值的非负性应用：
若 | a-2| + |b+1|=0，求 a+b 的值（答案：a=2，b=-1，故 a+b=1）。
幻灯片 11：课堂小结
核心知识回顾：
绝对值的定义：几何定义（数轴上点到原点的距离），代数定义（分正、负、0 三种情况）；
绝对值的性质：非负性（|a|≥0）、对称性（|a|=|-a|）、等价性（|a| =a ）；
绝对值的应用：表示距离、比较负数大小、解决非负性问题；
关键公式：|a| = \(\begin{cases} a & (a>0) \\ 0 & (a=0) \\ -a & (a<0) \end{cases}\)。
思想方法总结：
数形结合思想：通过数轴理解绝对值的几何意义，辅助计算与比较；
分类讨论思想：计算绝对值时，根据数的正负性分类处理；
转化思想：将 “距离问题” 转化为 “绝对值问题”，将 “负数比较” 转化为 “绝对值比较”。
学习建议：
多结合数轴理解绝对值的几何意义，避免死记硬背规则；
遇到绝对值相关问题，先判断数的正负性或表达式的正负性，再选择对应方法；
注意绝对值的非负性，这是解决很多综合题的关键突破口。
幻灯片 12：课后作业布置
基础巩固：完成教材对应练习题，计算绝对值、比较大小、利用绝对值解方程；
实践应用：记录某天的气温变化（如最高气温 5℃，最低气温 - 3℃），用绝对值表示温差（|5 - (-3)|=8℃），并计算一周的平均温差；
拓展思考：探究 “|a + b | 与 | a| + |b | 的关系”（提示：分 a、b 同号、异号、其中一个为 0 三种情况讨论）。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2.4 绝对值
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过实例，了解绝对值的概念，理解利用数轴表示绝对值的意义，培养学生数形结合的思想．
2．通过观察、思考、探究等学习活动，体会绝对值的几何意义和代数意义，发展学生的形象思维和抽象思维能力．
3．经历学习活动的过程，让学生充分感受数学与生活的密切联系，使学生获得学习数学的信心和乐趣．
重点
难点
图片导入
三只动物在离家不远的地方玩耍.观察图片，并回答问题.
（1）大象和两只小狗分别距离原点多远？
（2）从图中你还能知道哪两只动物之间的距离？
体育课上，你和同学在操场上玩扔沙包的游戏，如果你向左扔一个沙包，落在离你 10 米的地方，向右扔了一个，落在离你同样远的位置，规定向右为正.
（1）两次的位置分别可以记作什么？
（2）它们与你的距离都是多少米？
情境导入
同学们，老师这里有几个问题，你们能帮老师解答一下吗？
早晨小明爸爸开车送小明去学校，东行3千米到学校，之后向西行6千米到图书馆拿办公资料，如果规定向东为正，且小明家、学校、图书馆在同一条直线上.
（1）计算小明爸爸所行的总路程.
（2）请你画一条数轴，原点表示小明家，在数轴上画出表示学校、图书馆的点，学校和图书馆在数轴上表示的数是多少？到小明家的距离分别是多少？
问题导入
1. 请同学们阅读课本13页探究前．
2．你能根据绝对值的定义说出下面这些数的绝对值吗？
3．①上述各数的绝对值与原数有什么关系？
②你能用字母a表示刚才的发现吗？
③一个数的绝对值会是负数吗？为什么？
一个正数的绝对值是它本身，一个负数的绝对值是它的相反数，0的绝对值是0
如果a>0，那么|a|＝a；如果a＝0，那么|a|＝0；如果a<0，那么|a|＝－a
一个数的绝对值不可能是负数．因为从定义上来看，绝对值表示一个点与原点的距离，距离不可能是负数，可以是0，可以是正数
④互为相反数的两个数的绝对值有什么关系？
表示互为相反数的两个点分别在原点两侧，它们到原点的距离是相等的，所以互为相反数的两个数的绝对值相等
4．研读课本例4，思考并回答下题．
在数轴上表示下列各数：
找出绝对值最大的数和绝对值最小的数．
学生合作交流：
一个学生说绝对值，另一个学生说它的意义和结果
(如|－2|，表示－2的点与原点的距离，|－2|＝2)．
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
1．绝对值的几何意义：一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫作数a的绝对值，记作|a|.
2．绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.
知识点：绝对值(重难点)
|a|＝
a（a>0） .
0（a＝0） .
－a（a<0）.
0的绝对值是它本身，0的绝对值也是它的相反数！
注：(1)任何数都有绝对值，并且只有一个；
(2)如果两个数互为相反数，那么它们的绝对值相等；
(3)如果两个数的绝对值相等，那么这两个数相等或互为相反数；
(4)求一个数的绝对值的两种方法：①判断这个数的符号，根据绝对值的代数意义求解；②根据绝对值的几何意义求解．
【题型一】绝对值的概念及几何意义
例1：点A，B，C在数轴上的位置如图所示：
(1)点A表示的数是________，它到原点的距离是____，所以|－2|＝____；
(2)点B表示的数是___，它到原点的距离是____，所以|0|＝____；
(3)点C表示的数是_____，它到原点的距离是____，所以|4|＝____．
－2
2
2
0
0
0
4
4
4
例2：|－2 024|的结果是(　 )
A.　　　　　　B．2 024 　　　C．－　　　　D．－2 024
B
【题型二】绝对值的计算
例3：若|x|＝x，则x是(　 　)
A．正数 B．0 C．非负数 D．都不对
例4：【探究】填空：
①|＋4|＝____，|－4|＝____，|＋4|＝|－4|＝____；
②|－3|＝____，|＋3|＝____，|－3|＝|＋3|＝____；
③|0|＝____．
C
【题型三】绝对值的性质
4
4
4
3
0
3
3
【发现】①绝对值是一个正数的数有___个，它们互为______数；
②根据上面的规律发现，不论正数、负数，还是0，它们的绝对值一定是__________．
【应用】①若|x|＝2，则x的值是(　 　)
A．2　　　　B．－2　　　C．±2　　　D．都不对
②若|a－1|＋|b－2|＝0，则a＝____，b＝____．
2
相反
非负数
C
1
2
同学们，今天我们学习了哪些重要内容呢？
绝对值的概念、绝对值的计算、绝对值的几何意义和代数意义
进入初中阶段大家的成绩难免有起伏，偶尔的成绩退步也是学习上的前进，就像负数的绝对值仍然是正数，让我们保持一个良好的心态，迎接未来的挑战吧！
归 纳
求一个数的绝对值的方法：
求一个数的绝对值
正数
0
负数
等于它本身
等于它的相反数
1. 写出下列各数的绝对值.
【教材P14】
8，-3.9， ，100，7.5，0，-(-13)，-(+18).
解：|8| = 8，|-3.9| = 3.9，| | = ，|100| = 100，
|7.5| = 7.5，|0| = 0，|-(-13)| = 13，|-(+18)| = 18.
2. 判断题.
（1）绝对值是它本身的数是正数；
（2）当 a ≠ 0 时，| a | 总是大于 0；
（3）绝对值小于 2 的整数是 1 和 -1.
×
√
×
3. 如果 |a| = |-2|，那么 a =_________；
如果 m 是负数，且 |m| = 10，那么 m =______.
-2 或 2
-10
4. 化简下列各数：
+|-3.5|，-|+ |，-|-11|，|+(-15)|，|-(-7)|，|-(+9)|.
解：+|-3.5| = 3.5，-|+ | = - ，-|-11| = -11，
|+(-15)| = 15，|-(-7)| = 7，|-(+9)| = 9.
1. 数，，， 在数轴上对应点的位置如
图所示，这四个数中绝对值最小的是( )
B
A. B. C. D.
返回
2. 母题教材P14练习 若，则 的值为
( )
B
A. B. 或 C. D.
返回
3. 给出下面四种说法：
①如果两个数的绝对值相等，那么这两个数可能不相等；
②一个数的绝对值等于它本身，这个数不是负数；
③若，则 ；
④如果，那么 .
其中正确的是( )
A
A. ①②③ B. ①②④
C. ①③④ D. ②③④
返回
4. 下列各组数中，互为相反数的是( )
D
A. 与 B. 与
C. 与 D. 与
【点拨】A.因为， ，所以
，故本选项错误；B.因为 ，
，所以 ，故本选项错误；C.
，故本选项错误；D.因为 ，
所以与 互为相反数，故本选项正确.故选D.
返回
5. 手机信号的强弱通常采用负数来表示，绝
对值越小表示信号越强（单位： ），则下列信号最强的
是( )
A
A. B.
C. D.
返回
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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