资源简介

(共33张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：1.2.1 有理数的概念
副标题：梳理数的分类，构建有理数体系
背景图：左侧展示整数（如 - 3、0、5）和分数（如\(\frac{1}{2}\)、-0.6）的示例，右侧用集合图呈现 “有理数” 包含 “整数” 和 “分数” 两大类别，中间用箭头标注 “整数可化为特殊分数（如 3=\(\frac{3}{1}\)）”，直观呈现有理数的构成关系。
幻灯片 2：学习目标
理解有理数的定义，明确有理数是 “可以表示为两个整数之比（分母不为 0）的数”，能准确区分有理数与非有理数（如 π 暂不属有理数）。
掌握有理数的两种分类方法（按 “定义” 分、按 “正负性” 分），能清晰列出各类别的具体数，避免分类重叠或遗漏。
结合正负数、整数、分数的已有知识，理解整数与分数的转化关系（如整数可化为分母为 1 的分数），构建完整的有理数认知框架。
能通过实例辨析有理数，解决与有理数分类相关的问题，培养分类思想与逻辑归纳能力。
幻灯片 3：导入 —— 从已学数的拓展切入
复习回顾：
已学数的类型：正整数（如 1、2、3）、零（0）、负整数（如 - 1、-2）、正分数（如\(\frac{1}{3}\)、1.5）、负分数（如 -\(\frac{2}{5}\)、-0.3）。
实例提问：我们学过的这些数有什么共同特征？能否用统一的标准将它们归为一类？
情境引入：
生活中常见的数：超市商品价格 19.9 元（可表示为\(\frac{199}{10}\)）、电梯楼层 - 2 层（可表示为\(\frac{-2}{1}\)）、班级人数 45 人（可表示为\(\frac{45}{1}\)）。这些数都能写成 “两个整数相除（分母不为 0）” 的形式，由此引出 “有理数” 的概念。
幻灯片 4：有理数的定义
定义表述：
整数和分数统称为有理数。从数学本质上看，有理数是 “可以表示为\(\frac{p}{q}\)的形式，其中 p、q 为整数，且 q≠0” 的数。
定义解读：
整数的转化：所有整数都可以表示为分母为 1 的分数，如 3=\(\frac{3}{1}\)，-5=\(\frac{-5}{1}\)，0=\(\frac{0}{1}\)，因此整数属于有理数的范畴。
分数的范畴：
正分数（如\(\frac{2}{3}\)、4.2=\(\frac{21}{5}\)）、负分数（如 -\(\frac{1}{4}\)、-0.7=\(\frac{-7}{10}\)）均为有理数；
有限小数和无限循环小数可化为分数（如 0.3=\(\frac{3}{10}\)，0.\(\dot{3}\)=\(\frac{1}{3}\)），因此也属于有理数；
无限不循环小数（如 π≈3.1415926…）不能化为分数，暂不属于有理数。
判断练习：下列数是否为有理数？
5（是，5=\(\frac{5}{1}\)，整数）；
\(\frac{1}{2}\)（是，分数）；
-0.4（是，-0.4=\(\frac{-2}{5}\)，分数）；
π（否，无限不循环小数，不能化为分数）；
0（是，0=\(\frac{0}{1}\)，整数）。
幻灯片 5：有理数的分类方法（一）—— 按定义分类
分类逻辑：根据有理数的定义（整数和分数），将有理数分为 “整数” 和 “分数” 两大类，再对每类细分：
关键说明：
整数包含正整数、零、负整数，零既不是正整数也不是负整数，是整数的 “中性数”；
分数包含正分数和负分数，有限小数、无限循环小数需先化为分数形式再分类（如 2.4=\(\frac{12}{5}\)，归为正分数）；
注意 “整数与分数无重叠”：一个有理数要么是整数，要么是分数，不存在既是整数又是分数的数。
幻灯片 6：有理数的分类方法（二）—— 按正负性分类
分类逻辑：根据有理数的正负属性，将有理数分为 “正有理数”“零”“负有理数” 三大类，再对正、负有理数细分：
关键说明：
零既不是正数也不是负数，单独作为一类，是正、负有理数的分界；
正有理数包含所有正整数和正分数，负有理数包含所有负整数和负分数；
分类时需注意 “不重不漏”：如 “-3” 归为负整数（属负有理数），“\(\frac{5}{2}\)” 归为正分数（属正有理数），“0” 单独归类。
幻灯片 7：两种分类方法的对比与关联
对比表格：
分类维度
分类结果
核心区别
适用场景
按定义分类
整数（正整数、零、负整数）、分数（正分数、负分数）
基于 “数的表现形式”（整数 / 分数）
理解有理数的本质构成（整数可化为分数）
按正负性分类
正有理数（正整数、正分数）、零、负有理数（负整数、负分数）
基于 “数的正负属性”
解决与正负数相关的问题（如比较大小、统计正负数量）
关联总结：
两种分类是 “从不同角度描述同一集合”：如 “正整数” 既属于 “整数”（定义分类），也属于 “正有理数”（正负性分类）；
零在两种分类中均单独成类（定义分类中属整数，正负性分类中单独为零），体现零的特殊性。
幻灯片 8：有理数分类的实例辨析与易错点
例题 1：将下列有理数按两种方法分类：
给定数：-5、0、\(\frac{3}{4}\)、2.8、-1\(\frac{1}{2}\)、7、-0.3。
按定义分类：
整数：-5、0、7；
分数：\(\frac{3}{4}\)、2.8（=\(\frac{14}{5}\)）、-1\(\frac{1}{2}\)（=\(\frac{-3}{2}\)）、-0.3（=\(\frac{-3}{10}\)）。
按正负性分类：
正有理数：\(\frac{3}{4}\)、2.8、7；
零：0；
负有理数：-5、-1\(\frac{1}{2}\)、-0.3。
易错点辨析：
误区 1：将 “零” 归为正有理数或负有理数：
错误示例：将 0 归为正有理数（正确：零既不是正数也不是负数，单独归类）；
提醒：零是有理数的重要组成部分，是正、负有理数的分界，不可与正、负有理数混淆。
误区 2：将 “有限小数、无限循环小数” 排除在分数外：
错误示例：认为 2.5 是小数，不是分数（正确：2.5=\(\frac{5}{2}\)，属分数，也是有理数）；
纠正：有限小数和无限循环小数均可化为分数，因此属于分数范畴，进而属于有理数。
误区 3：分类重叠（如认为 “-3” 既是整数又是负分数）：
错误示例：将 - 3 归为负分数（正确：-3 是负整数，属整数，不是分数）；
预防：明确整数与分数的互斥关系 —— 一个有理数要么是整数，要么是分数，二者必居其一且仅居其一。
幻灯片 9：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：判断下列数是否为有理数：
\(\frac{7}{3}\)（是，分数）；
-4（是，整数）；
0.1\(\dot{2}\)（是，无限循环小数，可化为\(\frac{11}{90}\)）；
π-3（否，π 是无限不循环小数，π-3 仍为无限不循环小数）。
提升练习 2：按要求分类：
给定有理数：-2、\(\frac{1}{5}\)、0、3.6、-\(\frac{4}{7}\)、10、-1.2。
正整数：______（答案：10）；
负分数：______（答案：-\(\frac{4}{7}\)、-1.2）；
非负有理数：______（答案：\(\frac{1}{5}\)、0、3.6、10）；
整数：______（答案：-2、0、10）。
拓展练习 3：开放性问题：
写出 3 个既是负数又是分数的有理数，再写出 3 个既是整数又是非负有理数的数（答案示例：负分数：-0.5、-\(\frac{2}{3}\)、-1.8；非负整数：0、5、9）。
幻灯片 10：课堂小结
核心知识回顾：
有理数定义：整数和分数统称为有理数，本质是 “可表示为\(\frac{p}{q}\)（p、q 为整数，q≠0）” 的数；
两种分类：
按定义：有理数 = 整数（正整数、零、负整数）+ 分数（正分数、负分数）；
按正负性：有理数 = 正有理数（正整数、正分数）+ 零 + 负有理数（负整数、负分数）；
关键结论：零是有理数，有限小数和无限循环小数属分数，均为有理数；无限不循环小数（如 π）暂不属有理数。
思想方法总结：
分类思想：通过明确标准对有理数分类，培养 “不重不漏” 的逻辑思维；
转化思想：将整数化为分数（如 3=\(\frac{3}{1}\)），理解有理数的统一本质；
集合思想：用集合图呈现有理数的包含关系，构建系统的数系认知。
学习建议：
记忆有理数分类时，可结合实例辅助理解，避免死记框架；
遇到模糊的数（如小数），先尝试化为分数形式，再判断其类别；
对比 “有理数” 与 “已学数” 的关系，明确有理数是对整数、分数的统一命名，后续将学习有理数的运算规则。
幻灯片 11：课后作业布置
基础巩固：完成教材对应练习题，按两种方法对给定有理数分类；
实践任务：记录生活中 5 个有理数（如购物价格、温度、楼层），并标注其类别（如 “18.5 元：正分数”）；
拓展思考：探究 “所有整数都是有理数，所有有理数都是整数吗？”，下节课分享你的结论与理由。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
1.2.1 有理数的概念
第一章 有理数
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过阅读课本理解有理数的概念，理解并掌握有理数的两种分类方法，了解0在有理数分类中的作用，能把给出的有理数按要求分类，初步感受分类讨论的数学思想．
2．通过对有理数的学习，体会数的扩充，感受数学与现实世界的紧密联系，提高学生观察、归纳、抽象、概括的能力．
重点
难点
旧知回顾
1．思考：回想一下，我们都认识哪些类型的数？你能举出一些例子吗？
2．是不是所有的小数都可以化成分数的形式？
小学学习了自然数、正分数，初中学习了负数；举例略
不是．有限小数和无限循环小数都可以化成分数，但是无限不循环小数不能化成分数
情境导入
某天老师看报纸，见到下面一段内容：
冬季的一天，某地的最高气温为5℃，最低气温达到-9℃，平均气温是0℃，而同一天北京的气温为-2℃~6℃.
这里出现了哪些数？
我们到目前为止学过了哪些数？
你能试着将它们进行分类吗？
这里有一组数：
你能试着将它们分类吗
问题导入
请同学们观看一段视频：
视频导入
1.请同学们阅读课本7页，回答下列问题：
(1)正整数、0、负整数统称为什么？
(2)正分数、负分数统称为什么？
(3)整数和分数统称为什么？
(4)按整数、分数分类：
整数
分数
有理数
有理数
整数
正整数
0
负整数
分数
正分数
负分数
(5)按正负分类：
有理数
正有理数
正整数
正负数
0
负整数
负分数
负有理数
2.把下列有理数分别填入所属的圆圈内：
15， ，－5， ， ，0.1，－5.32，－80，123，2.333，0， ，200%.
正数
负数
2.把下列有理数分别填入所属的圆圈内：
15， ，－5， ， ，0.1，－5.32，－80，123，2.333，0， ，200%.
整数
分数
15，－5，－80，
123，0，200%
1. 你能对有理数进行分类吗？分类的标准是什么？
2．游戏：请10名同学每人扮演一个不同的有理数，各自寻找自己的朋友．
能，根据整数、分数分，根据正负分
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
教师扩充：为什么整数和分数可以统称为有理数？有理数的由来．
明朝科学家徐光启在翻译《几何原本》时，没有现成的、可对照的词，许多译名都是从无到有创造出来的，徐光启将“ratio(比)”译成了“理”，即“理”就是“比”的意思，所以有理数应理解为“可以写成两个整数之比的数”
1．整数：正整数、0、负整数统称为整数．
2．分数：正分数、负分数统称为分数．
3．有理数：可以写成分数形式的数称为有理数．
知识点1：有理数的有关概念(重点)
注意：(1)任何有理数都可以写成 (m，n是整数，其中m≠0)的形式．
(2)所有的分数都可以化为有限小数或无限循环小数，反之，有限小数或无限循环小数都可以化为分数．
4.常用的各种“数”．
名称 描述
正整数 大于0的整数
正分数 大于0的分数
非负数 正数和0
非负整数 正整数和0
名称 描述
负整数 小于0的整数
负分数 小于0的分数
非正数 负数和0
非正整数 负整数和0
1．按照有理数的定义分类：　
知识点2：有理数的分类(难点)
有理数
整数
正整数
0
负整数
分数
正分数
负分数
有理数
正有理数
正整数
正分数
0
负整数
负分数
负有理数
2．按照有理数的性质分类：
都是把有理数细分为五类！
注意：(1)分类必须有标准，分类标准不同，结果也不同；
(2)对有理数进行分类时，要时刻注意0的归属问题．
【题型一】有理数的有关概念
例1：下列说法中，正确的是(　 　)
A．有理数是指整数、分数、0、正有理数、负有理数这五类
B．一个有理数不是正数就是负数
C．一个有理数不是整数就是分数
D．以上说法都正确
C
变式： 在－ ，＋1，6.7，－14，0， ，－5，25%这些数中，属于整数的有(　 　)
A．2个　　　　　　　B．3个　　　　　　　
C．4个　　　　　　　D．5个
C
例2：在下列数中，既是分数又是正数的是(　 　)
A．＋2 B．＋4 C．0 D．－2.3
变式：分别写出一个符合下列要求的有理数：[(1)(2)(4)答案不唯一]
(1)既是整数也是负数：____；(2)是分数但不是正数：____；
(3)既不是正数也不是负数：____；(4)是正数但不是分数：____；
(5)最小的非负有理数：____．
B
【题型二】有理数的分类
－1
0
2
0
2. 指出下列各数中的正有理数、负有理数、整数：
-15，+6，-2，-0.4，1， ，0，3 ，0.63， .
正有理数
负有理数
整数
3. 在 -12， ，19%，50，-3.12，-11，-5%，6.3，2022 中，
正有理数的个数为______，其中正整数的个数为______；
负有理数的个数为______，其中负整数的个数为______.
5
2
4
2
1. 把下列各有理数填在相应的集合内：
3，- ，0，1 ，0.45，120，-77，-2.56，-123 ，0.3 .
正有理数集合：{ …}，
负有理数集合：{ …}，
整数集合：{ …}.
3，1 ，0.45，120 ，0.3
- ，-77，-2.56，-123
3，0，120，-77
【选自教材P16 习题 1.2 第1题】
1. ［2025重庆万州区期中］下列7个数：， ，
，0， ， （每两个1之间依次多一
个4）， ，其中有理数有( )
C
A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个
返回
2. 下列关于有理数的描述：
①有限小数和循环小数都是有理数；
是非负有理数；
既不是正数，也不是负数，由此可知0不是有理数；
④一个有理数如果不是整数，那么它一定是分数.
其中正确的个数是( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
返回
3. 请写出一个既是整数，又是负数的有理数：
__________________.
（答案不唯一）
返回
4.母题教材P8练习 把下列各数填入相应的集合内：
5，，，，，，0，，， ，
, .
正有理数集合： ；
负有理数集合： ；
负整数集合： ；
非负整数集合： .
【解】正有理数集合：，，，，，， ；
负有理数集合：，，，， ；
负整数集合：， ；
非负整数集合：，0， .
返回
本节课我们学习了哪些知识？
1.有理数的概念；2.有理数的分类
同学们，我们将数的领域扩充到了有理数，在分类时，我们一定要清楚分类标准，再完成分类．
一、有理数:可以写成分数形式的数称为有理数，
二、有理数的分类
(一)按整数、分数分类 (二)按正负分类
有理数
整数
正整数
0
负整数
分数
正分数
负分数
有理数
正有理数
正整数
正分数
0
负整数
负分数
负有理数
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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