资源简介

(共34张PPT)
幻灯片 1：封面
标题：2.1.1.2 有理数的加法运算律
副标题：巧用运算律，简化有理数加法
背景图：以天平为背景，天平两边放置着一些标有有理数的砝码，通过移动砝码体现加法的平衡与运算，旁边配上一些加法算式，如 “3 + (-2)”“(-5) + 7” 等，直观展示有理数加法的场景。
幻灯片 2：学习目标
理解并掌握有理数加法的交换律（a + b = b + a）和结合律（(a + b) + c = a + (b + c)），能准确用文字和字母表述。
能熟练运用加法运算律进行有理数加法的简便运算，提高运算速度与准确性，如通过凑整（互为相反数相加得 0、同分母分数相加等）简化计算过程。
体会运算律在数学运算中的重要性，感受从具体实例到抽象规律的归纳过程，培养观察、分析和归纳总结的能力，提升数学思维。
幻灯片 3：导入 —— 从简单加法实例引出运算律
复习回顾：
有理数加法法则：
同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加。例如：3 + 5 = 8，(-3) + (-5) = -8。
绝对值不相等的异号两数相加，取绝对值较大的加数的符号，并用较大的绝对值减去较小的绝对值。例如：3 + (-5) = -2，(-3) + 5 = 2。
互为相反数的两个数相加得 0。例如：3 + (-3) = 0。
一个数同 0 相加，仍得这个数。例如：3 + 0 = 3，0 + (-3) = -3。
简单加法计算回顾：
3 + 2 = 5；
2 + 3 = 5；
(1 + 2) + 3 = 3 + 3 = 6；
1 + (2 + 3) = 1 + 5 = 6。
提出问题：
观察上面的计算，3 + 2 和 2 + 3 的结果相同，(1 + 2) + 3 与 1 + (2 + 3) 的结果也相同，这是偶然现象吗？对于任意的有理数相加，是否也存在这样的规律？从而引出有理数加法运算律的探究。
幻灯片 4：有理数加法交换律
规律探究：
给出更多有理数加法的例子：
(-2) + 3 = 1，3 + (-2) = 1；
(-5) + (-1) = -6，(-1) + (-5) = -6；
0 + 4 = 4，4 + 0 = 4。
引导学生观察这些等式，发现两个有理数相加，交换加数的位置，和不变。
定义表述：
有理数加法交换律：两个数相加，交换加数的位置，和不变。用字母表示为 a + b = b + a，其中 a、b 为任意有理数。
意义解读：
交换律改变了加法运算中加数的顺序，结果保持不变，这为我们在进行有理数加法运算时调整计算顺序提供了依据，方便我们通过凑整等方式简化计算。例如在计算 3 + (-5) + 7 时，可以根据交换律先计算 3 + 7 = 10，再计算 10 + (-5) = 5，使计算更简便。
幻灯片 5：有理数加法结合律
规律探究：
展示如下计算过程：
[(2 + 3) + 4]：先算 2 + 3 = 5，再算 5 + 4 = 9；
[2 + (3 + 4)]：先算 3 + 4 = 7，再算 2 + 7 = 9。
[(-1) + (-2)] + (-3)：先算 (-1) + (-2) = -3，再算 (-3) + (-3) = -6；
(-1) + [(-2) + (-3)]：先算 (-2) + (-3) = -5，再算 (-1) + (-5) = -6。
引导学生观察发现，三个有理数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。
定义表述：
有理数加法结合律：三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变。用字母表示为 (a + b) + c = a + (b + c)，其中 a、b、c 为任意有理数。
意义解读：
结合律允许我们在有理数加法中改变运算的先后顺序，通过合理组合加数，将便于计算的数结合在一起，如将互为相反数的数结合、同分母分数结合、能凑整的数结合等，从而简化运算过程，提高计算效率。比如计算 (-2) + 3 + 2 + (-5) 时，利用结合律将 (-2) 与 2 结合，3 与 (-5) 结合，即 [(-2) + 2] + [3 + (-5)] = 0 + (-2) = -2。
幻灯片 6：有理数加法运算律的综合应用示例
例题 1：简便计算：
(-23) + 58 + (-17)
解答过程：
观察式子，发现 - 23 与 - 17 相加可凑整。
根据加法交换律，将式子变形为 (-23) + (-17) + 58。
再根据加法结合律，先计算 [(-23) + (-17)] = -40。
最后计算 - 40 + 58 = 18。
1/2 + (-2/3) + 4/5 + (-1/2) + (-1/3)
解答过程：
观察式子，1/2 与 - 1/2 互为相反数，-2/3 与 - 1/3 分母相同。
根据加法交换律，将式子变形为 (1/2 + (-1/2)) + [(-2/3) + (-1/3)] + 4/5。
先分别计算括号内的值：(1/2 + (-1/2)) = 0，[(-2/3) + (-1/3)] = -1。
最后计算 0 + (-1) + 4/5 = -1 + 4/5 = -1/5。
例题 2：实际应用问题：
某仓库星期一运进货物 5 吨，星期二运出货物 3 吨，星期三又运进货物 2 吨，星期四运出货物 4 吨，星期五运进货物 1 吨。问该仓库这五天货物的净增量是多少？
解答过程：
规定运进货物为正，运出货物为负，则这五天货物的变化量可表示为：5 + (-3) + 2 + (-4) + 1。
根据加法交换律和结合律，变形为 [(5 + 2 + 1) + (-3) + (-4)]。
先计算括号内：(5 + 2 + 1) = 8，(-3) + (-4) = -7。
最后计算 8 + (-7) = 1（吨）。
答：该仓库这五天货物的净增量是 1 吨。
幻灯片 7：易错点辨析与注意事项
易错点 1：运算律使用时符号错误：
示例：计算 (-3) + 5 + (-7) 时，错写成 [(-3) + (-7)] + 5，导致结果错误。正确的应该是 [(-3) + (-7)] + 5 = -10 + 5 = -5，而错误写法计算结果为 (-10) + 5 = -5（此处结果巧合相等，但过程错误）。若式子为 (-3) + 5 + 7，错写成 [(-3) + 7] + 5，结果就会出错，正确结果为 (-3) + 5 + 7 = 2 + 7 = 9，错误写法计算为 [(-3) + 7] + 5 = 4 + 5 = 9（同样结果巧合相等，但过程错误）。若式子为 (-3) + (-5) + 7，错写成 [(-3) + 7] + (-5)，结果也会出错，正确结果为 (-3) + (-5) + 7 = -8 + 7 = -1，错误写法计算为 [(-3) + 7] + (-5) = 4 + (-5) = -1（结果巧合相等，但过程错误）。在实际复杂运算中，这种错误很容易导致最终答案错误。
提醒：在运用加法交换律和结合律时，要连同加数的符号一起交换和结合，确保符号的正确性。
易错点 2：对运算律适用条件理解不清：
示例：在只有两个数相加时，错误地认为不能用结合律。例如计算 3 + (-5)，有的同学认为结合律在此处无用，只能按顺序计算。实际上，虽然结合律主要用于三个或三个以上数相加，但两个数相加时，它本质上是结合律的特殊情况，如 3 + (-5) 可以看作 [(3 + 0) + (-5)]，只是这种情况下按顺序计算更简便，但从运算律的角度理解是相通的。还有在多个数相加时，没有分析清楚哪些数结合更简便，盲目使用运算律。比如计算 2 + 3 + (-4) + 5 + (-6)，直接随意结合，没有将能凑整的数结合在一起，导致计算复杂。
纠正：要理解加法交换律和结合律适用于任意有理数的加法运算，无论是两个数还是多个数相加。在进行多个数相加运算时，要先观察式子中数的特点，分析哪些数结合能使计算简便，再合理运用运算律。
易错点 3：运算顺序混乱：
示例：计算 12 + (-8) + 3 - 5 时，有的同学先计算 12 + 3 = 15，然后再计算 (-8) - 5 = -13，最后计算 15 + (-13) = 2，这种计算顺序错误。正确的应该根据运算律，先将正数与正数结合，负数与负数结合，即 [12 + 3] + [(-8) + (-5)] = 15 + (-13) = 2。在有加法和减法混合运算时，应先将减法转化为加法（减去一个数等于加上这个数的相反数），再运用加法运算律进行计算。例如计算 12 - 8 + 3 - 5，应先转化为 12 + (-8) + 3 + (-5)，然后再运用运算律计算。
强调：在进行有理数加法及加减混合运算时，要遵循先确定运算顺序，再合理运用运算律的原则。先将式子中的减法统一转化为加法，然后观察式子中数的特征，运用加法交换律和结合律，将便于计算的数结合在一起进行计算。
幻灯片 8：课堂练习 —— 分层巩固
基础练习 1：运算律的简单应用：
5 + (-3) + 7 = 5 + 7 + (-3)，这里运用了有理数加法的______律。（答案：交换）
(-2) + 3 + 5 = (-2) + (3 + 5)，这里运用了有理数加法的______律。（答案：结合）
计算：3 + (-5) + 7 = （答案：5，先算 3 + 7 = 10，再算 10 + (-5) = 5）
提升练习 2：简便运算：
(-18) + 23 + (-12) + 7 = （答案：0，[(-18) + (-12)] + (23 + 7) = -30 + 30 = 0）
1/3 + (-2/5) + 2/3 + (-3/5) = （答案：-2/5，(1/3 + 2/3) + [(-2/5) + (-3/5)] = 1 + (-1) = 0，0 + (-2/5) = -2/5）
拓展练习 3：实际问题中的运算律应用：
小明在一条南北方向的街道上行走，规定向北为正，他先向北走了 50 米，接着向南走了 30 米，然后又向北走了 20 米，最后向南走了 40 米。问小明最终在出发点的什么方向，距离出发点多远？
解答过程：
小明行走的路程可表示为：50 + (-30) + 20 + (-40)。
根据加法运算律，[(50 + 20) + (-30) + (-40)] = 70 + (-70) = 0（米）。
答：小明最终在出发点处。
幻灯片 9：课堂小结
核心知识回顾：
有理数加法交换律：a + b = b + a，两个数相加，交换加数位置，和不变。
有理数加法结合律：(a + b) + c = a + (b + c)，三个数相加，改变相加顺序，和不变。
运算律应用：通过合理运用交换律和结合律，可将有理数加法中的数进行重新组合，如凑整（互为相反数相加、同分母分数相加、能凑成整十整百等的数相加），简化运算过程，提高计算准确性和速度。
思想方法总结：
从特殊到一般思想：通过对多个具体有理数加法实例的观察、计算和分析，归纳总结出加法交换律和结合律这一普遍适用的规律。
优化思想：运用运算律的目的是优化计算过程，在解决有理数加法问题时，学会观察式子特点，选择最优的计算方法，培养思维的灵活性和创造性。
学习建议：
做有理数加法运算时，先观察式子中数的特点，思考能否运用运算律简化计算，养成运用运算律的习惯。
对于复杂的有理数加减混合运算，先将减法统一转化为加法，再综合运用交换律和结合律进行计算。
多做针对性练习，尤其是易错题的反复练习，加深对运算律的理解和掌握，提高运算能力。
幻灯片 10：课后作业布置
基础巩固：完成教材对应练习题，进行有理数加法运算律的简单应用和简便运算练习，强化对运算律的理解和运用。
实践应用：记录一周内自己的零花钱收支情况（收入为正，支出为负），运用有理数加法运算律计算本周零花钱的结余情况，并分析各项收支对结余的影响。
拓展探究：思考在多个有理数相乘的运算中，是否也存在类似的交换律、结合律等运算律，尝试举例验证，并与同学交流讨论。
2024人教版数学七年级上册
授课教师： . 班 级： . 时 间： .
2.1.1.2有理数的加法运算律
第二章 有理数的运算
a
i
T
u
j
m
i
a
N
g
1. 通过学生自主探究、归纳得出有理数的加法运算律，掌握有理数的加法运算律，并学会运用运算律对算式进行简化运算，提高学生自主学习的能力．
2．通过对有理数加法运算律的学习，让学生感受学习有理数、有理数的加法、有理数的加法运算的过程，完善学生的数学思维．
3．经历运用有理数的加法运算律解决实际问题的过程，培养学生分析问题和解决问题的能力．
重点
难点
旧知回顾
1．有理数加法的运算法则是什么？
类型 方法或结果
同号两数相加
异号两数相加 绝对值不相等
互为相反数
一个数与0相加
和取相同的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值的和
和取绝对值较大的加数的符号，且和的绝对值等于加数的绝对值中较大者与较小者的差
相加得0
仍得这个数
2.在小学，我们学过哪些加法的运算律？
加法交换律、加法结合律
故事导入
有个人养了一群猴子，每天早晨给每只猴子4个栗子，晚上再给3个，猴子大吵大闹起来，它们想不通，为什么晚上比早晨少了一个呢？
这个人希望猴子愉快一点，可是他又没有更多的栗子，于是改成早晨给3个，晚上给4个.从此，猴子高兴了，它们发现：每天晚上都比早晨吃到更多的栗子.
4+3=3+4，它们不懂得交换律，所以朝三暮四和朝四暮三得到了不同的效果.
为了防止水土流失，保护环境，某县从2020年起开始实施植树造林，其中2020年完成786亩，2021年完成957亩，2022年完成1214亩，2023年完成1543亩.
问题：该县从2020年到2023年一共完成植树造林多少亩？
看谁算得又快又对！
情境导入
提出问题:
计算30+(-20), (-20)+30,
两次所得的和相同吗 换几个加数再试一试.
从上述计算中,你能得出什么结论
问题导入
1.计算：
(1)39＋15＝____，15＋39＝____；
(2)(－98)＋(－12)＝______，(－12)＋(－98)＝______；
(3)(－24)＋(＋24)＝____，(＋24)＋(－24)＝____；
(4)(－23)＋(＋17)＝____，(＋17)＋(－23)＝____．
54
54
－110
－110
0
0
－6
－6
2.通过刚才的计算，你发现了什么？用字母怎么表示？
有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变．a＋b＝b＋a
3．填空：
(1)(－15)＋(＋26)＋(＋9)
＝(－15)＋[_________＋_________]
＝_______；
(2)(－2)＋(－12)＋(＋12)
＝(－2)＋[_________＋________]
＝_______．
(＋26)
20
(－12)
－2
(＋9)
(＋12)
4．从上述计算中，你能得出什么结论？怎么用符号表示？
5．课本29页加法结合律符号语言中的a，b，c分别表示什么？(a，b，c均表示任意一个有理数)
6．请同学们完成课本29页例2，例3.
(在有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变．(a＋b)＋c＝a＋(b＋c))
1.请同学们计算：
(1)(－25)＋(＋56)＋(－39)＋(＋28)；
(2)(－1.9)＋3.6＋(－10.1)＋1.4；
(1)原式＝20.
(2)原式＝－7.
(3)原式＝－ .
(4)原式＝－10
2．根据刚才的题目，你能说说如何利用加法运算律简化运算吗？
同号两数优先相加；能凑整的优先相加；同分母的分数优先相加；互为相反数的两数优先相加
小组展示
我提问
我回答
我补充
我质疑
提疑惑：你有什么疑惑？
越展越优秀
知识点：有理数的加法运算律(重难点)
运算律 文字语言 符号语言
加法交换律 有理数的加法中，两个数相加，交换加数的位置，和不变 a＋b＝b＋a
加法结合律 有理数的加法中，三个数相加，先把前两个数相加，或者先把后两个数相加，和不变 (a＋b)＋c＝a＋(b＋c)
注：(1)用加法交换律运算时，一定要连同加数的符号一起交换，即“符号跟着数字走”．
(2)优先相加的数：①互为相反数的两个数先相加；②符号相同的数先相加；③分母相同的分数先相加；④相加能得到整数的数先相加．
【题型一】有理数的加法运算律
A．加法交换律　　　B．加法交换律和加法结合律　　　
C．加法结合律　　　D．无法判断
B
解：(1)原式＝(34＋156)＋[(－25)＋(－65)]＝190＋(－90)＝100.
(2)原式＝[(－5.4)＋(－0.6)]＋(0.2＋6)＝－6＋6.2＝0.2.
例3：草莓开始采摘啦！每筐草莓以4千克为标准，超过的千克数记为正数，不足的千克数记为负数，记录如图所示，则这4筐草莓的总质量是(　 )
A．15.7千克　　B．15.9千克　C．16.1千克　D．16.3千克
C
【题型二】有理数加法的应用
例4：某人用400元购买了八套儿童服装，准备以一定的价格出售．他以每套55元的价格为标准，将超出的记作正数，不足的记作负数，记录如下：＋2，－3，＋2，＋1，－2，－1，0，－2(单位：元)．他卖完这八套儿童服装后是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？
解：(＋2)＋(－3)＋(＋2)＋(＋1)＋(－2)＋(－1)＋0＋(－2)＝－3(元)，55×8－3＝437(元)，437－400＝37(元)．
答：他卖完这八套儿童服装后是盈利，盈利了37元．
例5：某出租车驾驶员从出租车公司出发，在南北走向的人民路上连续接送了5批客人，行驶路程记录如下(规定向南为正，向北为负)：
(1) 接送完第5批客人后，该驾驶员在出租车公司的什么方向？距离出租车公司多少千米？
解：(1)5＋2＋(－4)＋(－3)＋6＝6(千米)．故接送完第5批客人后，该驾驶员在出租车公司的南边，距离出租车公司6千米．
批次 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
路程/千米 ＋5 ＋2 －4 －3 ＋6
(2) 该出租车如果每千米耗油0.1升，那么在这个过程中共耗油多少升？
(2)5＋2＋4＋3＋6＝20(千米)，20×0.1＝2(升)．
故在这个过程中共耗油2升．
批次 第1批 第2批 第3批 第4批 第5批
路程/千米 ＋5 ＋2 －4 －3 ＋6
练 习
【教材P30】
1. 计算：
（1）23+(-17)+6+(-22)； （2）(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)；
解：（1）原式 = (23 - 22) +［(-17) +6］
= 1 +(-11)
= -10
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
（2）原式 = ［(-2)+ 2］+［3+(-3)］+［1+(-4)］
= 0+0+(-3)
= -3
练 习
【教材P30】
1. 计算：
（1）23+(-17)+6+(-22)； （2）(-2)+3+1+(-3)+2+(-4)；
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
（3） ；（4） .
（3）原式 =
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
（3） ；（4） .
（4）原式 =
有相反数的可先把相反数相加，能凑整的可先凑整，从而使计算简化.
有理数加法的常用运算技巧：
（1）相反数结合法：互为相反数的两个数结合到一起相加；
（2）同号结合法：符号相同的数分别结合到一起相加；
（3）同分母结合法：同分母(或易通分)的数结合到一起相加；
（4）凑整法：能凑成整数的几个数结合到一起相加；
（5）同形结合法：整数与整数、小数与小数分别结合到一起相加.
利用有理数的加法解下列各题(第2~3题)：
2. 某银行储蓄卡中存有人民币 450 元，先取出 80 元，随后又存入 150 元. 储蓄卡中还存有人民币多少元？
450 + (-80) + 150
= [450 +150]+ (-80)
= 600 - 80
= 520
答：储蓄卡中还存有人民币 520 元.
【教材P30】
1. 下列变形中，运用加法运算律正确的是( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
2. 能与 相加得0的是( )
C
A. B. C. D.
返回
3.母题教材P30练习 一个水利勘察队第一天向上游走
，第二天向上游走，第三天向下游走 ，
第四天向下游走，这时勘察队在出发点的上游__ 处.
（规定向上游走为正）
返回
4.绝对值小于2 025的所有整数的和为___.
0
返回
5.小华探究“幻方”时，提出了一个问题：如图，
将0，， ，1，2这五个数分别填在五个小
正方形内，使横向三个数之和与纵向三个数之
和相等，则填入中间位置的小正方形内的数可
0（答案不唯一）
以是_________________.（写出一个符合题意的数即可）
返回
本节课我们学习了哪些知识？
有理数的加法交换律和加法结合律
同学们，加法运算律对于我们简化运算有着非常重要的意义，在使用加法交换律时一定要连同它的符号一起移动．
必做作业：从教材习题中选取；
选做作业：完成练习册本课时的习题.
谢谢观看！

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